福建省部分高中2024-2025学年高三年级下册2月质量检测数学试题（含答案）

（在此卷上答题无效）

2024〜2025学年第二学期福建省部分优质高中高中毕业班2月质量检测

数学试卷

（完卷时间：120分钟；满分：150分）

温馨提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是

符合题目要求的。

1.已知集合&=“管上0卜B=贝IJAB=（）

A.[-2,1]B.[-2,1）C.[1,2]D.（1,2]

2.已知向量〃=（1,2）,/2=（2,-2）,C=（肛-1）,若。//（2〃+。），则加等于（）

A.-2B.—1C.—D.—

22

3.已知圆柱和圆锥的底面半径及高均相等，且圆锥侧面展开图为一个半圆，则该圆柱和圆锥的侧面

积的比值为（）

A.2B.72C.3D.目

4.已知正项等差数列｛%｝满足34=%"，且％是%-3与g的等比中项，则%=（）

A.3B.6C.9D.12

5.已知er,/?w（0,兀），JILcosa=^-,sin（cu+/?）=>则cos^=（）

5、'10

A叵R「9^09M

10105050

6.生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象，

若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q,一年四季均可繁殖，繁殖间隔了为相邻两代间繁殖所需要的

平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型K（〃）=41og3〃（2为常数）来描述该物种累计繁殖数量〃

与入侵时间K（单位：天）之间的对应关系，且。=5+1,在物种入侵初期，基于现有数据得出

A

Q=6,T=60,据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍所需要的时间为（）

天，（结果保留一位小数，参考数据：In2。0.30,In3。0.48）

A.19.5B.20.5C.22.5D.19

7.已知直线4：«ix+y+2=0与直线4：x-my-2=0交于点Af,点M关于直线x-y=。对称的点为

N（a,b）,则h士+的?取值范围是（）

a

A.[-7,1]B.(-oo,-7]u[l,+oo)C.[-1,7]D.(一00,-1]。[7,+8)

（TTTT\

8.已知/（x）=Asin（。尤+e）［4＞0,。＞0,-5＜。＜5）的部分图象如下图，点「（见，%乂%。。0）是图象

上一点，则（）

TT7T

A.函数/（%）在-“I上单调递增

JT

B.函数/（X）的图象向左平移一个单位长度，所得图象关于y轴对称

8

C.若/（乌）=&cosa,则sin2a=±±

25

D.若点。5,为）（不。0）处的切线经过坐标原点，则tan（2x「4）_2

%

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知虚数z满足彳=—L+@i,贝ij（）

22

A.Z的实部为［B.z的虚部为当C.1z|=l

D.z在复平面内对应的点在第三象限

10.离散型随机变量X的分布列如右表所示，〃〃是非零实数,

X20242025

则下列说法正确的是（）

A.m+n=lB.X服从两点分布Pmn

C.2024＜E（X）＜2025D.D（X）=mn

11.如图，中，AB=BC=4,AB±BC,M是AB中点,N是AC边上靠近A的四等分点,

将—AMN沿着MN翻折，使点A到点夕处，得到四棱锥尸-BCM0,则（）

A.5到平面PMN的距离的最小值为近P

B.存在点尸使得平面？平面PW

C.PC中点的运动轨迹长度为变兀

2

'B

D.四棱锥P-6CM0外接球表面积的最小值为20兀

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知圆C:(x-l)2+(y-2)2=4,试写出一个半径为1,且与％轴和圆C都相切的圆的标准方

程：.

22

13.若直线/：丁=左(％-2)与双曲线1恰好有一个交点，则直线/的斜率为.

14.甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号123,4,5,6,7的卡片各1张，两人轮流从中不放回

的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所有卡片被抽完时，游戏结束.

若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

已知数列｛4｝是公差大于1的等差数列，为=3,且4+l，%T，R-3成等比数列，若数列物/前

〃项和为并满足=22+“,"WN*.

(1)求数列｛%｝,也｝的通项公式.

(2)若G=3-1)(2-1),求数列｛q｝前九项的和却

16.（15分）

已知锐角△A3C的三个角A,3,C的对边分别为a,Z?,c,且满足c(2sinAsinB-"sinC)=®bsinB-asin4).

(1)求A的值.

(2)若。=2,求△ABC周长的取值范围.

17.（15分）

如图，三棱柱ABC-A4G中，AB=BC=2,AC=2五,3g=4,点"，N分别为AC,A3的

中点，且取0=汨，AB工B[N.

(1)证明：耳平面ABC；

(2)求平面ACGA与平面与MN夹角的余弦值.

18.（17分）

椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果椭圆G的“特

征三角形”为T，椭圆的“特征三角形”为-2,若△产△?,则称椭圆G与相似”，并将包与2

222

的相似比称为椭圆a与的相似比.已知椭圆Gq+V=1与椭圆］=1(a>b>0)相似.

(1)求椭圆G的离心率；

(2)若椭圆G与椭圆G的相似比为2(2>0)，设。为C2上异于其左、右顶点A，4的一点.

①当2时，过。分别作椭圆G的两条切线「用，PB一切点分别为用，B设直线P耳，尸外的

2「一2,一

斜率为占,k2,证明:左#2为定值；

②当4=后时，若直线尸4与G交于。，£两点，直线尸4与G交于航，N两点，求QE|+|MN|

的值.

19.(17分)

己知函数"了)=炉+皿%+1).

(1)求曲线y=/(%)在点(。"(。))处的切线方程；

(2)设g(%)=/(%)—ax,其中a>l.

(i)求证：g(x)在区间(0,+8)上有唯一的极值点；

(ii)设加为且⑴在区间(0,+8)上的零点，"为g(”在区间(0,+8)上的极值点，比较2〃与加

的大小，请说明理由.2024-2025学年第二学期福建省部分优质高中高中毕业班2月

质量检测

数学学科评分细则

二、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是

符合题目要求的。

题号12345678

答案DADCBCDD

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

题号91011

答案ACDACDBCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

22+五+A

12.（xT）2+（yT）2=l（答案不唯一）13.-3或—5（漏写答案不得分）

29

14.210（本题答案唯一）

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

解：（1）设等差数列｛%｝的公差为d（d>l）,

由q+1,%T,4-3成等比数列，

则（％-=（4+1）（L-3）,

口J（a。+d—1）-=（%—d+1）（%+4d—3）,

由%=3,

则方程化简可得5储_12〃+4=0,

解得d=2,易知生=1,

所以首项为1,公差为2的等差数列｛4｝的通项公式为%=2〃-1.

当〃=1时，S]=2a+1,

则伪=24+1,解得用=-1；

当〃22时，b„=S“—S”T=2bn+〃一（2〃i+〃一1）=纥厂纥-+1,

可得4=2%-1,

两边同时减1,

可得2-1=2（膜「1）,

由乙一1=一2,

则数列也｝是以-2为首项，以2为公比的等比数歹U，

所以6“一1=-2.21=-2",

可得或=1-2".

(2)由题意可得％=(2力-2)•(-2"),

T.=C1+C2+C3+L+cn

=0X(-2)+2X(-22)+4X(-23)+...+(2«-2)-(-2"),

234),+1

2Tn=0X(-2)+2X(-2)+4X(-2)+...+(2H-2)-(-2),

两式相减可得一看=0+2x(—22)+2X(-23)+...+2.(-2")-(2〃一2>(—2用),

-7；=2x-4^~2-(2«-2)•(-2"+1)=23-2"+2+(«-1)­2"+2=8+(«-2)-2"+2,

1—2

解得北=(2-耳.2"+2一8.

16.(15分)

解：(1)|3c^2sinAsinB-^3sinCj=^3(Z?sinB-tzsinA),

所以2bcsinA-6c之=-6a?，

即~i=besinA=b2+c2-a2,

由余弦定理4H条八出人，

COSA=----------=---------

2bc2bc

所以tanA—A/3,

又Ae(O,7t),

所以A=；

bca245/3

(2)由正弦定理得$布2-sinC~sinC-.兀一亍，

sin——

3

.「46・R

••b-----sinD,

3

4G.e4^.z.4g.

c=§sinC=§sin(A+sinI—+BI.

。+6+0=2+迥也8+述sin

33

=2+^-sinB+^-sinBcos-+cosBsin-

33I33

=2+2^3sinB+2cosB

=2+4——sinB+—cosB

I22

=2+4sin^B+^

jrjr

在锐角AABC中，。<8<]，0<c<-,

2兀

又一8,

3263

综上可得三<3<?

o2

.71__712兀

..-<B+-<一,

363

<sin,+W1

2+26<2+4sin/+胃46

.'.△ABC周长的取值范围为（2+2省,6].

17.（15分）

（1）证明：连接BM,

因为AS=3C=2,AC=2近,

则AB2+BC2=AC-,

可知

且点M,N分别为AC,A3的中点，

则BN=MN=1,3M=7I,MN//BC,

12

则BM+B1M=BB；,

可知BM±4M,

又因为ABJLBM

则B、N=-BN1=A/15,

222

可得BXM+MN=BtN,

可知,

且5MMN=M,肱Vu平面A5C,

所以印W,平面ABC.

（2）解：因为用MJ•平面ABC,ABu平面ABC,

则B[M±AB,

又因为AB_L3C,MN//BC,

则AB_L脑V,

且B\MMN=M,B、M,MNu平面耳MN,

所以AB,平面印3.

以5为坐标原点，5cBA分别为苍丁轴，平行于片”的直线为z轴，建立空间直角坐标系,

则4（0,2,0）,8（0,0,0）,0（2,0,0）,“（1,1,0），4（1,1,抽）6卜,1,取），4（1,3,后卜

LlUUlUUU

可得AC=(2,-2,0),CG=

设平面ACG4的法向量与=（x,y,z）,

,n-AC=2x-2y=0

则r-，

nCC[=x+y+J14z=0

令x=中,则y="z=_曰

可得n=(E,币,-吟,

由AB，平面用AfN可知：平面B.MN的法向量可以为根=（0,1,0）,

m-n

则cos(m,n\=_s

加I.网一百一彳'

所以平面ACCA与平面B\MN夹角的余弦值为五.

4

18.（17分）

（1）解：对于椭圆C：y+/=l,长轴长为20,短轴长为2,焦距为2,

22

椭圆g：我=1（"6>0）的长轴长为2%短轴长为劝，焦距为2石二笆，

依题意可得在=2

a2址-及

所以,冬

则椭圆G的离心率6=

V2_2_72

（2）①证明：由相似比可知,

a2y1a2-b22

解得“4=石2

22

所以椭圆g:上+==1,

42

设P(%o,y0),

则直线尸瓦的方程为y-%=K（x-Xo），

即y=klx+y0-klx0,

记"%一4尤0，

则P4的方程为y=%x+t,

将其代入椭圆G的方程，消去九

得（2片+1卜2+4匕枕+2/一2=0,

因为直线尸片与椭圆G有且只有一个公共点，

所以△=（4Q『一4（2忏+1）（2/一2）=0,

即2片一产+1=。，

将，=%-%与代入上式，

整理得（x；-2）6,2xoyoki+^-1=0,

同理可得（4-2）代-2履+y；-1=0,

所以匕，网为关于左的方程（反-2快2_2x。%左+y；-1=0的两根,

所以%人=月，

*0-2

22

又点P（%o，y°）在椭圆C2：,+5=i上，

所以尤=2一%，

所以依1,为定值.

1--片-2-2

②解：由相似比可知，显=/

a2Va

Ct—\

解得，丘,

b=----

I2

所以椭圆G：X2+2/=1,

其左、右顶点分别为A（T，o），4（1，。），

恰好为椭圆G的左、右焦点，

设尸优,为）,易知直线总、时的斜率均存在且不为0,

所以即A即&=告1，涓=号'

因为p（w，%）在椭圆Q上，

所以x；+2y；=1,

即考一1=一2只，

所以无心勺均=X；[]=一/•

设直线尸4的斜率为上，

则直线时的斜率为

2k

所以直线尸4的方程为、=左（彳+1）,

y=Z(%+1)

由*

—+y=1

I2,

设。（％，%），^（毛，力），

-4公2k2-2

贝1)8+%=Z-fXAXC：-T

1+2左2451+2/

2

所以\DE\=yjl+k|x4-x5|=J(1+/)[(<+X5)2_4X4X5]

2

I-4x

小阴[奇）1+2米21+242

2

201+1

2k应(1+4左2)

同理可得MM=

广-1+242

1+2

2k

所以吃…嗯△当兽