高考数学一轮复习考点总结-指数与指数函数（含解析）

指数与指数函数(3种核心题型+基础保分练+综合提升练+

拓展冲刺练)

D1【考试提醒】

i.理解有理数指数塞的含义，了解实数指数幕的意义，掌握指数幕的运算性质.

2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象3理解指数函数的单调性、特

殊点等性质，并能简单应用.

血【知识点】

1.根式

(1)一般地，如果炉=0,那么工叫做。的〃次方根，其中心1,且〃GN*.

(2)式子物叫做根式，这里〃叫做根指数，。叫做被开方数.

(3)(%)"=攵.

当力为奇数时，'\la"=a,

当〃为偶数时，$=|〃|=・

[—a,a<0.

2.分数指数累

m

正数的正分数指数幕：an=yla"'(a>0,m,n>l).

,,,--11

正数的负分数指数幕：an=—=~^(a>0,m,〃CN*,〃>1).

0的正分数指数幕等于O0的负分数指数幕没有意义.

3.指数幕的运算性质

a'as=ar+s-,(优)'=d；(aby=arb'\a>Q,b>0,r,sWQ).

4.指数函数及其性质

(1)概念：一般地，函数y=〃(a>0,且aNl)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域

是R.

(2)指数函数的图象与性质

a>\0<a<l

)>y=axy=ax\

图象(0,1)

二1X

定义域R

值域(0,+8)

过定点(0」),即x=0时，j=l

当x>0时,y>\；当x<0时，y>l；

性质

当时，0勺<1当40时，0勺<1

在(-8,+8)上是增函数在(—8,+8)上是减函数

【常用结论】

1.指数函数图象的关键点(0,1),(1,a),Ia).

2.如图所示是指数函数(1»=入(2)y=bx,(3)y=cS(4»=/的图象，则c"?>l>a>6>0,即

在第一象限内，指数函数y="(a>0,且aWl)的图象越高，底数越大.

福【核心题型】

题型一指数暴的运算

(1)指数赛的运算首先将根式、分数指数森统一为分数指数霹，以便利用法则计算，还应注

意：

①必须同底数幕相乘，指数才能相加.

②运算的先后顺序.

(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

【例题1](2024•广东•模拟预测)若砂=3,

【答案】±2A/3

【分析】分工>0/>。和x<0)<0两种情况分类计算.

【详解】当尤>0/>0时,

当x<0,y<0时,

故答案为：±2百

【变式1】(2。24高三下•全国•专题练习)已知函数八)=5"蓝:1,则

/(log26)+/(log23=

o

【答案】6

?Y斗pX_-x

【分析】根据函数奇偶性的定义可判断g（x）=rf广为奇函数，即可得

访（108,6）+分（108,3=），进而根据指数幕的运算即可求解.

0O

【详解】••・函数小）=1

Q+iy+e—e-Zx+eX-eT1

设h(x)=

12,+1)—12(x2+1)12

2x+ex-e-x

令g(%)=

2(X2+1)

-2x+e-x-ex2x+ex-e-x

贝I」g(-%)=-=_g(x)

2[(-x)2+l]2(X2+1)

力(x)+〃(一])=g(x)+g(-%)+7

6

又-log26=log2：,/z(log26)+/z(log24=7,

ooo

*.•(1)1O826+(^)1O82i=U6

/(log26)+/(log24=6.

o

故答案为：6.

2x,x<l,

【变式2］（2024•全国•模拟预测）已知函数/（%）=,

/(x-2),x>l,

【答案】手产

【分析】直接代入分段函数求函数值即可.

【详解】由题意得了6

故答案为：交.

2

【变式3］（2024高三・全国•专题练习）化简下列各式:

(2)(11V_11(a>0,b>0=

a4b2a3b3

（3设A4丫3一q,则x+x-1的值为_____________

ATA一。

【答案】ofab-7

b

【分析】（1）根据指数募的运算性质，化简求值，即得答案;

（2）将根式化为指数幕的形式，结合指数嘉的运算，即可求得答案;

（3）将1+平方，即可求得答案.

A\A-J

J_2£

325247

(aba^y—三昕］a

_LL-b;

ab2a

(3)因为£+

人I人—D

/二丫

/.x+x-1=+x2—2=32—2=7.

故答案为：（1）0；（2）y；（3）7

b

题型二指数函数的图象及应用

对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、

对称变换得到.特别地，当底数4与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.

【例题2】（2024高三•全国•专题练习）在同一平面直角坐标系中，函数>=5，»=loga（x

+-）（q>0,且"1）的图象可能是（）

2

【答案】D

【解析】略

【变式1］（23-24高三下•江西•开学考试）

【答案】A

【分析】由奇函数性质以及指数函数单调性即可判断.

【详解】/（-x）=-P-=-/（x）>且函数定义域为国#0},关于原点对称，所以/（无）为

奇函数，排除CD.

当x>0时，2，-2T>0,所以f（x）>0,排除B,经检验A选项符合题意.

故选：A.

【变式2］（23-24高三上•山东潍坊•期中）已知指数函数y=优，对数函数了=b&x的图象

如图所示，则下列关系成立的是（）

产「1

\kog/

oT/1x

A.0<tz<Z?<1B.Q<a<l<b

C.0<b<1<aD.a<0<l<b

【答案】B

【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性即可得到。力的范围，从而得到结果.

【详解】由图象可得，指数函数歹=优为减函数,

对数函数y=iogb%为增函数,

所以,

即

故选：B

【变式3］（2024•四川•模拟预测）已知函数y=y=bx,V=log,%在同一平面直角坐标

系的图象如图所示，则（）

Alog]c<ba<sinZ?B10gle<sinb<6"

22

a

Qsinb<6"<logicDsinZ7<logxc<b

22

【答案】B

【分析】根据基函数，指数与对数函数的性质可得AC的取值范围，进而根据指对数与三

角函数的性质判断即可.

【详解】因为>=/图象过（L1）,故由图象可得a<0,

又了=/图象过（0,1）,故由图象可得0<6<1,

又y=log,x图象过（1,0）,故由图象可得c>l.

故log/<logj=0,（）<sin6<i,/>及=1,故bg|C<sinb<6"

222

故选：B

题型三指数函数的性质及应用

（1）利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小

还可以借助中间量.

（2）求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、

最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断.

命题点1比较指数式大小

4

【例题3】（2024•甘肃武威・模拟预测）^a=0.8-°,b=log050.8,c^log040.9,则瓦c的大

小关系是（）

A.b>c>aB.a>c>bC.b>a>cD.a>b>c

【答案】D

【分析】利用中间值"1"与。/,c比较得出a>L0（”c<l,再由作差比较法比较4c,利用

换底公式和对数函数的单调性即得.

【详解】因为"OSjAOWNLZmlogosO.gvlogosO.Snl,所以a>6.同理a>c.

又因y=logo_5X在定义域内为减函数，SfcZ>=log050.8>log050.9,

而log0.50.9-log0.40.9=—^―-=鲁弋一:&噂;，

log090.5log090.4log090.5-log090.4

g|log090.5>0,log090.4>0,>logO9O.4-logft0O.5>O,^log050.9>log040.9,即b>c,

所以a>b>c.

故选：D.

【变式1】（2024•全国•模拟预测）已知。=抽2,6=lg4,c=2e~,则。,仇。的大小关系为

（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

【答案】A

【分析】根据题意利用指、对数函数单调性以及指、对数运算分析判断.

【详解】因为4=log52<log56=g,6=lg4>IgViU=；,所以。<b；

又因为31g2=lg23=lg8<l,3e->1,则31g2<3「,

即lg2<e-1,所以21g2=lg4<2e-1,即Z?<c；

所以a<b<c.

故选：A.

【变式2］（2024•北京房山•一模）已知ACER,则下列命题为假命题的是（）

A.若a>b,贝U〃+c〉6+cB.若a〉6〉0,贝！la。",/）”

C.若a>6,则仕广D.若“>b>0,c>0,则2>三

^2）^2）aa+c

【答案】D

【分析】根据不等式的性质即可判断A；根据暮函数单调性可判断B；根据指数函数的性质

即可判断C；利用作差法即可判断D.

【详解】对于A,因为a>&,所以a+c>6+c,故A结论正确；

对于B,当a>A>0时，因为哥函数y=xg在（0,+s）上单调递增，所以护*洲,故B

结论正确；

对于C,因为a>&,所以”+c>6+c,

而函数为减函数，所以，故c结论正确;

bb+c6(a+c)-a(6+c)c(b-a)

，寸D,—7\一/\,

aa+ca(a+c]ala+c)

因为〃>6〉0,c>0,所以c(b-a)(0,a(a+c)0,

bb+cc(b—a)bb+c

所以--------(<0,所以2〈竺£,故D结论错误.

aa+ca\a+c)aa+c

故选：D.

【变式3](2024•陕西西安•模拟预测)若a=0.3T5/=log312,c=log26,d=『|,则有()

A.a>b>cB.b>a>d

C.c>a>bD.b>c>a

【答案】B

【分析】由题意首先得=进一步

b=log312=1+log34>2,c=log26=1+log23>2,从而我们只需要比较log34,log23的大小关

系即可求解，两式作商结合基本不等式、换底公式即可比较.

【详角军】a=0.31'5<0,31°=1,所以0<a<l,d=^|<0,

b=log312=1+log34>2,c=log26=1+log23>2,

pn4+ln2V

又因为盛4_In4/n212J(ln202,

2

log23ln34n3ln3ln3(ln3)

所以d<a<b<c.

故选：B.

命题点2解简单的指数方程或不等式

【例题4X23-24高三上•陕西咸阳•阶段练习）若函数/（力=优+1（。>0且aW1）在区间口,2]

上的值域为[3,5],则实数。的值为（）

11

A.-B.2C.3D.-

23

【答案】B

【分析】分。〉1与0<。<1两种情况，结合函数单调性得到方程组，求出答案.

【详解】①当。>1时，〃力=优+1单调递增，

f/(l)=a+l=3

改[〃2)=/+1=5解得Q=2;

②当0va<l时,f[x)=ax+1单调递减,

/⑴=。+1=5

无解,

/(2)=/+「3

综上可知4=2.

故选：B

【变式1]（23-24高三上•河南周口•阶段练习）已知函数/（%）=22、-&2、+4,若/（式10恒

成立，则实数。的取值范围为（）

A.（-oo,4]B.（-oo,2]C.[4,+oo）D.[2,+oo）

【答案】A

【分析】参变分离可得。V2,+三4恒成立，结合基本不等式求出2,+令4的最小值，即可求出

参数的取值范围.

【详解】因为/(x)»0恒成立，即22工-02'+420恒成立，

所以。42工+：恒成立，又由2*+$2/，义』=4(当且仅当x=l时取等号)，

所以aW4.

故选：A.

【变式2](2023•山东荷泽•三模)已知函数/(x)=sinx+x,若xeR,不等式

/(2)+/1学-2五]>0恒成立，则正实数冽的取值范围为()

A.(3,4)B.(2,+oo)C.[3,+00)D.(4,+<»)

【答案】B

【分析】分析出函数/(x)为奇函数，利用导数分析可知函数/(x)在R上为增函数，由

+后]>0可得出加>2板々'-QxJ,令"2*>0,求出函数了=2后/一/在

(0,+句上的最大值，即可得出实数7〃的取值范围.

【详解】因为/(x)=sinx+x,其中xeR,贝!]/'(x)=cosx+120,且/'(x)不恒为零，

所以，函数〃x)在R上为增函数，

又因为/(-x)=sin(-x)+(-x)=-sinx-x=—/(x),故函数/(x)为奇函数，

由/(叫+/事-2目>0可得了g-2可>_/(2，)=/卜21,

所以，——25/2>—2A,所以，m>2\/2-2X—^2A),

令/=2工>0,因为y=26-产=一(/一后):242,当且仅当/=0时，等号成立，

所以，m>2.

故选：B.

【变式3](2024高三・全国・专题练习)若集合A={x|log2xW1},集合5=卜pV2},则/口3=

A.<x<ln2|B.1x|0<x<1}C.{x［0<x<ln2jD,^x|0<x<2

【答案】C

【分析】先求出集合42,再由交集的定义求解即可.

【详解】因为/={x|10g/Vl}={xp<xV2},

B={xpV2}={xkWln21,所以/c5=30<x<ln21,

故选：C.

命题点3指数函数性质的综合应用

【例题5】(23-24高三上•陕西•阶段练习)已知函数［(X)=］3一。是奇函数.

(1)求。的值；

(2)求/'(x)在［-1,3］上的值域.

【答案】(1)“=；

-7r

(2)-—,7-

1O0

【分析】(1)根据利用函数是奇函数求解；

(2)根据指数函数的单调性易证/(x)=仃-G是R上的减函数求解.

【详解】(1)解：因为=

一1T

所以/(T)--------Q-------Q.

172112"+1

因为/(%)是奇函数，

所以〃f)=-/(x),即-

1Y

即2Q=+=1,

2X+12X+1

解得

(2)由⑴可知y(x)=2，+i2'

易知f=2'+l在R上单调递增且/=2*+1>1,少在(1,+⑹上单调递减,

所以“X)是R上的减函数.

17

因为/■(-0=公，/(3)=--.

01o

「71

所以/(X)在［-1,3］上的值域为-寿：.

【变式1】(23-24高三上•广东茂名•阶段练习)若函数〃x)=(2a-l广3+6的图象恒经过定点

(3,-2).

⑴求6的值；

(2)当/(x)在R上是增函数，求。的范围.

【答案】⑴-3

(2)a>1

【分析】(1)利用条件建立方程1+6=-2,即可求出结果；

(2)由(1)得到/(x)=(2a-1尸一3,再根据条件即可得到结果.

【详解】⑴因为/(x)的图象过(3,-2)

所以/(3)=(2a—1广+6=—2,得到1+6=-2,所以b=—3.

(2)由(1)知，/(x)=(2a-l)v-3-3

因为/(x)在R上是增函数，所以得到”1.

【变式2］(2024•全国•模拟预测)已知函数〃x)=|2x-4|+|x+3|.

七的解集;

(1)求不等式I

2

(2)若/(x)>h+l恒成立，求实数上的取值范围.

【答案】(1)｛小40或转学

(2)(-3,2).

【分析】(1)根据指数函数的单调性得到不等式，求出/(x)=|2x_4|+|x+3|Z7,三段法解

绝对值不等式，求出不等式解集;

(2)画出画x)=|2x-4|+|x+3|的图象,数形结合得到答案.

【详解】(1)依题意,I<|,由于y=I在R上单调递减,

故/（X）叩I+|x+3|N7,

当％<—3时，4-2x-x-3>7,解得x4-2,故、<一3；

当一3WxW2时，4-2x+x+3>7,解得x40,故一3<xW0；

QQ

当x〉2时，2x-4+x+3>7,解得故xN］；

综上所述，不等式IV的解集为｛x|xV0或

1—3x,x<-3,

(2)由(1)可知，/(x)=<1-x,-3<x<2,,

3x-l,x>2,

作出函数/（X）的图象如图所示,

观察可知，临界状态为直线y=Ax+l过8（2,5）或与直线y=l-3无平行,

当直线夕=履+1过8（2,5）时，2左+1=5,解得左=2,

当直线V=履+1与直线V=1-3%平行时，k=—3,此时歹=-3%+1与歹=b+1重合,

故实数上的取值范围为（-3,2）.

【变式3]（23-24高三上•江苏淮安•期中）已知不等式log2（x+2）Wlog2（8-2x）.

⑴求不等式的解集A；

（2）若当xeN时，不等式&['-4&]+22机总成立，求加的取值范围.

【答案】⑴4=（-2,2]

（2）m£1

【分析】（1）根据对数函数的单调性结合对数不等式可得出关于X的不等式组，即可解出集

合A；

X-1

（2）求出函数I-4I+2在（-2,2］上的最小值，即可得出实数加的取值范围.

x+2>0

【详解】（1）解：H^jlog2（x+2）<log2（8-2x）,则8-,解得-252,

故1=(-2,2].

（2）解：令〃幻=（'-4f||+2,则原问题等价

且=+2,其中工€（-2,2］,

令"[J]e',',可得y=/(X)=4/-4(+2=41+1,其中；,4

当”;时，即当x=l时，函数了=/（尤）取得最小值，即/（x）1nto=/⑴=1,

所以，m£1.

口【课后强化】

基础保分练

一、单选题

1.（2024•四川绵阳・二模）的展开式中，x的系数为（）

A.-5B.-10C.5D.10

【答案】A

【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为1求得厂值，则答案可求.

【详解】［石-」的展开式的通项为乙=（T）'C女言.

令「5-3r=1,得r=1.

•”的系数为-C；=-5.

故选：A.

2.（2024•内蒙古包头•一模）已知〃回=21（6>0）是奇函数，则6=（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【分析】根据题意，利用［（0）=0,求得6=1,结合函数奇偶性的定义与判定，即可求解.

【详解】由函数/（必=\!色＞°）是奇函数，可得/（0）=U=£3=o，

解得6=1,即函数〃x）=W，

又由函数〃x）=F的定义域为R,且'=_/&）,

3+1----1-1

3》

所以函数/（X）为奇函数，所以6=1符合题意.

故选：D.

3.（23-24高三上•广东梅州•期中）计算：1.1°+痫-0.5一?+lg25+21g2=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据根式、指数、对数运算求得正确答案.

【详解】l.l°+^/64-0.5-2+lg25+21g2=l++Ig25+lg4

=1+4-22+lg(25x4)=1+2=3.

故选：C

4.（2024高三下•全国•专题练习）已知/（x）=土"里士2+xcosx（-l〈x41）,设函数/⑴的

八20101+1

最大值是最小值是N,则（）

A.M+N=8B.M-N=8

C.M+N=6D.M-N=6

【答案】C

【分析】将/（X）看成两个函数的和，函数g（x）=f史上在R上单调递增，函数y=xcosx

2010A+1

为奇函数，从而函数/（x）的最大值与最小值之和为函数g00的最大值和最小值之和，结合

单调性利用指数运算化简求值即可.

x

【详解】因为g（x）=^*4-(2010+l)-2_42

2010x+l―-2010x+l

由复合函数单调性的判断方法，知此函数g。）在R上为增函数

又(-尤)cos(-x)=-xcosx,所以V=xcosx为R上的奇函数，故其最大值加最小值为0,

bi、1“曾/八/1、c/22、门x20l02、门x2011./

所以M+N=g⑴+g(-1)—8—(----；----1-----；)=8—(-------F------+=8—(-----)-=6.

2010-1+12010'+12010+12010+12011

故选：C

二、多选题

5.(23-24高三上•福建漳州•阶段练习)小明同学对函数/(x)=3工->0且。片1)进得

研究，得出如下结论，其中正确的有()

A.函数/(x)的定义域为RB.函数/(x)有可能是奇函数，也有可能是偶

函数

C.函数/(x)在定义域内单调递减D.函数/(x)不一定有零点

【答案】ABD

【分析】根据解析式确定定义域，令左=1、左=-1研究/(x)的性质判断各项的正误即可.

【详解】由xeR,有优>0,即/(x)恒有意义，故定义域为R,A对；

当"=1,贝一优，故/(_》)=优-。-，=-/0),此时为奇函数，

当出=一1,贝1]/(力=3'+优，故/(_》)=/+/，=〃x),此时为偶函数，B对；

若/(x)=aT+晨=，+/>0,令/=优，易知了=t+；在(0,1)上递减，在(1,+8)上递增，

当。>1时，/=罐在(F,+8)上递增，根据复合函数的单调性可知，

在(0,+。)上递增，在(-巴0)上递减，所以在定义域内不递减，且无零点，C错;

若-小，显然"0)=0,此时函数有零点，综上，“X)不一定有零点，D对.

故选：ABD

2

6.(2024•山东临沂•一模)已知函数〃x)=*：+a(aeR),则()

A./(x)的定义域为(-”,0)U(0,+⑹

B.的值域为R

C.当a=l时，"X)为奇函数

D.当a=2时，f(-x)+f(x)^2

【答案】ACD

【分析】由分母不为零求出函数的定义域，即可判断A,再分2，-1>0、分别

求出函数值的取值范围，即可得到函数的值域，从而判断B,根据奇偶性判断C,根据指数

幕的运算判断D.

2

【详解】对于函数/（X）=^--+a（rzeR）,令2*-1*0,解得尤力0,

2—1

所以“X）的定义域为（-8,0"（0,+8）,故A正确；

22

因为2*>0,当2工一1>0时7；~->0,所以不一-+a>a,

2T2X-1

22

—1<2'—1<0Ebf——7<—2,所以—-+a<—2+a,

2*-12X-1

综上可得的值域为（-8,-2+a）U（a,+s）,故B错误；

当4=1时+1=^^,则/（——/《），

）2X-12X-1'72-x-l2X-117

2

所以〃x）=5口+1为奇函数，故C正确；

?+1?工+1尸_i_i

当a=2时/（x）=^+2=^^+l,则/（-工）+/（元）=^£+1+^^+1=2,

故D正确.

故选：ACD

三、填空题

7.（2023・上海金山•一模）若x>0时，指数函数y=（加2_37的值总大于1,则实数用的取

值范围是.

【答案】加<-2或%>2

【分析】根据指数函数的性质以及单调性，即可得到关于加的不等式，求解不等式即可得

到结果.

【详解】由已知可得，/_3>0且/一33.

又x>0时，y>l,

即（/―3）>1=（m2—3）,

所以有痴-3>1,即（加+2）（加一2）>0,

解得m<-2或m>2.

故答案为：/<-2或机>2.

8.（23-24高三上•江苏连云港•阶段练习）设尤eR,用[司表示不超过x的最大整数，则了=[x]

称为高斯函数.例如：[2』=2,-3.1]=-4.已知函数〃》）=书3,则[〃-1）]=,

函数V=[/（无）]的值域为.

【答案】1{0,1,2}

【分析】利用分离参数法可得二+",根据题意直接代入求解即可得

根据指数函数性质可得〃x）的值域，进而可得了=[/1）]的值域.

【详解】因为〃幻=三券=1总厂11,

所以卜（一3=]]=1；

又因为2加＞0,则1+22＞1，

可得°＜号蓊＜1,所以/（x）e\，3）,

若小）0[/（吁0；

若/（x）e[l,2）,[/（%）]=1；

若/(x)e[2,3),[/(x)]=2；

综上所述：函数夕="（切的值域为{01,2}.

故答案为：1；{0,1,2}.

四、解答题

9.（2024高三・全国•专题练习）画下列函数图像

（i）y=2R

【答案】⑴图象见解析

（2）图象见解析

【分析】（1）利用函数图象平移的性质，结合指数函数的图象即可得解;

（2）利用函数图象平移的性质，结合反比例函数的图象即可得解.

【详解】（1）将y=2』的图象向左平移2个单位，即可得到y=2"2的图象，如图,

Y+2

再向上平移1个单位，即得y=T的

XX-1

10.(2024高三・全国・专题练习)化简：

27-----1

(1)(—P+(0.002)W-10(75-2)+(V2-6)°；

8

【答案】⑴一1

(2)272

【详解】⑴原式=(缸：+(焉厂;一营工+1=510也一10小一20+1=—1

(2)原式=(1+也)+|1—也|=1+也+也-1=2收.

丁*XX

V+2-2-

11.(23-24高三上•安徽合肥•阶段练习)已知函数,g(x)=

2

⑴若存在xe(O,+s),使得〃x)=f-2，+；成立，求实数，的取值范围;

(2)若不等式/■(2x)+26g(x”0,对任意的xe[10恒成立，求实数6的取值范围.

【答案】(1"e；

叶「丘17+8))

【分析】(1)由题设，问题化为:=；(23-2一'+1)在xe(O,+s)有解，应用换元法及二次函

数性质求参数范围;

(2)由题设得于'+23+却2'+2一'。0,令2<2一”=加，问题进一步化为62-'三对任

2v72m

「3151

意的相£恒成立，根据右侧单调性求最值，即可得参数范围.

_24_

QXr^-X1

【详解】(1)=/(x)=%2+；,

22

2"；21=72，+',即/=；(2一2，一2一'+1)在xe(O,+s)有解，

令〃2=2-%(0,1),所以/=?+口:

8212)

当加=g时/min='；当机趋向于0或1时/趋向于g,BPt£

(2)/(2x)+26g(x)N0,gp2+/)(21+2^)>0,

令2，-2'M=m,因为尤e[l,2],所以y=2"-2r为增函数，

"315"

所以me,则2"+2-二=*+2,

_24_

所以立2+加^o,化为bN-公三对任意的mJ：,9]恒成立，

22m124」

加)=一加。+2+在|■，号上单调递减，

2m12m)1_24_

当切=1■时，取得最大值为夕+!■]=_*,

所以62-197,实数6的取值范围为「-二17,+s、.

12.(23-24高三上•河南郑州•阶段练习)已知函数/(x)=a*+6,g(x)=log«x,

其中a,6均为实数.

⑴若函数〃无)的图像经过点」(0,2),5(1,3),求。力的值;

(2)如果函数/(x)的定义域和值域都是，求a+6的值.

⑶若“满足不等式22用>25々，且函数g(2尤-1)在区间[1,3]上有最小值一2,求实数。的值.

【答案】（l）a=2,b=l

3

(2)a+b=-—

⑶a=—

5

【分析】(1)将43点坐标代入/'(x)=0'+b直接求解即可;

（2）根据指数函数的单调性结合定义域和值域的概念分情况讨论即可；

（3）先根据指数函数的单调性求出。的范围，再由对数函数的单调性求出。的值即可.

【详解】（1）因为函数〃力=。、+6的图像经过点2（0,2）,5（1,3）,

(2°+6=2a=2

所以,解得

a1+b=3b=\"

（2）当0>1时，函数［。）=优+6在［-1,0］上为增函数,

,、,干解.

由题意可得，/(0)=«°+^=0尢解'

当0<a<l时,函数/'@）=优+6在上为减函数,

1

/(-1)=/+6=0a=­

由题意可得解得2,

/(O)=a°+Z7=-l

b=-2

3

所以。+6=——.

2

(3)因为22a">25所2,所以2。+1>5。-2,解得a<1,

又a>0,所以0<a<1,函数g（2x-l）=log.（2xT）在区间［1,3］上单调递减,

所以当x=3时，g（2x-l）取得最小值一2,

gPg(2x3-l)=loga(2x3-l)=loga5=-2,

解得“=YL

5

综合提升练

一、单选题

1.（2023•广东珠海•模拟预测）已知a>0且下列等式正确的是（）

1

C.a6+a3=a9D.a2=y—

【答案】D

【分析】ABC选，利用指数幕的运算法则判断，D选项，由分数指数基的定义得到D正确.

【详解】A选项，a>0且awl,故a/，〃=/2+3=°,人错误；

6

B选项，a>0且awl,故々=/-3=",B错误；

C选项，/+///,c错误；

-j_1_1

D选项，。>0且故0~=丁屋=-,f7，D正确.

故选：D

2.（23-24高三下•重庆•阶段练习）已知/（无）=］看为奇函数，贝|-1）=（）

【答案】A

【分析】利用奇函数的定义求参数。得函数解析式，再求值即可.

【详解】由题意可知y（x）+/（-x）=^—+^—=二^二

、）v）2"一12一⑪一12flX-l1-

所以2,一2-=0=>x-（一x+）=0=>〃=2,

yx7

所以/(x)=m=/⑴=匚1

故选：A

3.（2024•全国•模拟预测）已知函数小）=3工，若a=〃log36）/=〃log510）,c=d£|,则

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小.

【详解】依题意，Iog36=l+log32>l+log36=g,log510=1+log52<l+log5^-=|-

3

因此Iog510<3<log36,而函数/(x)=3"在R上单调递增,

3

所以/(logs10)</(-)</(log36),即6<c<a.

故选：D

2x+2-x,x<3

4.（2024•江苏南通•二模）已知函数/（尤）=/吟，则〃唾?9）=（）

J\—\,x>3

80

~9

【答案】B

2jr+2-x,x<3

【详解】因为/■(%)=<

由于log29>3,贝1/(log29)=/(|log29)=/(log23)=2噫心击=3+1=y

故选：B

5.(2023•江西南昌•三模)设函数/(X)="，(0<4<1),g(x)=log6x(Z?>1),若存在实数加

满足：①/(⑼+g(加)=0;②/(a)-g(")=0,③|机-〃区1,则g/-〃的取值范围是()

J.J.D(3+亚1

2，-4(一—'一5)

【答案】D

【分析】由①/'(〃?)+g(%)=0,②/(")-g(〃)=0解出0<加<1,n>\,解出g俏-

结合③转化为线性规划问题解出z>-二^

【详解】函数/(》)=优(0<。<1),g(x)=logAx(/>>l),

若存在实数加满足：①/(〃?)+g(机)=0;②/(〃)一g(")=o,

mm

即a=-logfcm,且a"=10gzin,贝！|a"a=10gbmn<0,

则0<加〃<1,且0<相<1,H>1,所以工冽一〃〈一工，

22

又因为③阿-〃区1,

0<mn<1i

则II』］,^-z=-m-n,

\m-n\<12

不防设x=〃jy=n,则转化为线性规划问题,

在A点处z取最小值.

-1+A/5

1x=-----

y———2

由＜X解得，

加+1'

J=X+1y=----

2

代入解得z＞Y

故选：D.

6.（23-24高三上•福建莆田•阶段练习）函数了=。1+2（。＞0且。片1）的图象恒过定点优力）,

...91

右加+〃=b—左且加〉0,〃〉0,贝1」一+一的最小值为（）

mn

95

A.9B.8C.—D.一

22

【答案】B

【分析】先求出函数过定点的坐标，再利用基本不等式求最值.

【详解】函数了=。1+2（。＞0且。*1）的图象恒过定点（1,3）,所以〃+z〃=3-1=2,

'J/J9n

2=[m+〃)1-=

mn)\mn)

91

.-.2—+——+->8,

mnJmn

当且仅当9把〃=竺JTI，即等1号3成立,

mn22

所以29+士1的最小值为8.

mn

故选：B.

7.（23-24高三上・云南楚雄・期末）设衿的小数部分为x,则X3+6X?+12X=（）

32

A.1B.-C.2D.-

23

【答案】A

【分析】先算出我的整数部分，再表示出我的小数部分，所以有（X