高考数学一轮复习重难点突破：圆中的范围与最值问题（含解析）

圆中的范围与最值问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：斜率型.................................................................2

题型二：直线型.................................................................5

题型三：距离型.................................................................7

题型四：周长面积型............................................................10

题型五：数量积型..............................................................12

题型六：坐标与角度型..........................................................15

题型七：长度和差型............................................................19

题型八：方程中的参数型........................................................23

03过关测试....................................................................27

1、涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解.一般地：

（1）形如〃=匕心的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.

x-a

（2）形如，=◎+"的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.

（3）形如加=（x—aA+O—Ay的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a,6）的距离平方的最值

问题.

2、解决圆中的范围与最值问题常用的策略：

（1）数形结合

（2）多与圆心联系

（3）参数方程

（4）代数角度转化成函数值域问题

题型一：斜率型

【典例1-1］已知实数X,一满足方程，则上的最大值为（）

JX

A.0B.1C.V3D.2

【答案】C

【解析】方程y=7-X2+4X-1化为（x-2）2+必=3（噂0）,

表示的图形是一个以（2,0）为圆心，力为半径的半圆，

令2=左，即了=h，如图所示，

2%r

当直线与半圆相切时,圆心到直线的距离d=^^=石,

J1+F

解得k=G或k=-6(负值不满足条件，舍去),

所以上的最大值为由,

X

故选：C.

【典例1-2]如果实数X,V满足(x-2y+V=2,则t的范围是()

A.(-1,1)B.[-1,1]C.(-co,-l)u(l,+oo)D.(^o,-l]U[l,+<»)

【答案】B

【解析】设岁=左，则了=日表示经过原点的直线，左为直线的斜率.

X

如果实数x,V满足。-2)2+必=2和?=左，即直线夕=日同时经过原点和圆上的点(xj).

其中圆心C(2,0),半径一0

从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且刚好与圆相切，设此时切点为E

则直线的斜率就是其倾斜角NEOC的正切值，易得|OC|=2,|CE|=r=VL

可由勾股定理求得|OE|=^OC2-CE2=V2,于是可得到k=tan/EOC=||=1为5的最大值;

同理，上的最小值为-1.

X

则?的范围是

故选：B.

【变式1-1]若实数X、/满足条件/+/=1,则叶一的范围是()

X+1

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】令三号=左，可得（"l）x-y+左+1=0,

贝！I直线（左一1）》一了+左+1=0与圆x2+y2=l有公共点,

解得£，

所以,

即用的取值范围是-w

故选：B.

【变式1-2］（2024・山东日照•二模）若实数x、V满足条件/+/=1,则匕［的范围是（）

A.［。,桓］B.［-3,5］C.（-℃,-1］D.

【答案】D

【解析】—的几何意义即圆上的点（x/）到定点（-1,2）的斜率，由图知，斜率的范围处在圆的两条切线

斜率之间，其中/C斜率不存在，设45的斜率为h

则AB的方程为y=左（、+1）+2="+左+2,

由切线性质有，仪T=i,解得左=-,，故匕］的取值范围为（-应

J1+公4x+114.

故选：D

【变式1-3】已知尸（根,〃）为圆。：。-1）2+"-1）2=1上任意一点，则—的最大值为（）

m+1

A.昱B.-且C.1+6D.1--

3333

【答案】C

由于尸（根,"）为圆C:（x-1）2+（y-l）2=1上任意一■点，

故熹可看作圆上任意一点PM到定点/（一1/）的斜率，

当直线P4与圆相切时，此时斜率最大，

PC1

由于相切时，|/C|=2,|CP|=1故R|=K,此时斜率无=方=花

故二—的最大值为1+3，

m+13

故选：C

题型二：直线型

【典例2-1】（2024•江西吉安・宁冈中学校考一模）已知点P（x,y）是圆/+/-6%-4了+12=0上的动点，则

x+y的最大值为（）

A.5+V2B.5-72C.6D.5

【答案】A

【解析】由（x-3）2+（y-2）2=1,令广：+c°sg,则x+y=5+0sin（O+£）,

［歹=2+sin。4

所以当sin（6»+?）=l时，x+y的最大值为5+0.

故选：A

【典例2-2】已知点尸（xj）是圆C：（尤-“『+/=3（“>0）上的一动点，若圆C经过点贝iJV-x

的最大值与最小值之和为（）

A.4B.2&"C.-4D.-2^6

【答案】C

【解析】因为圆C：（尸4+/=3（°>0）经过点/（1,后），

(l-a)2+2=3.又a>0,所以a=2,

y-x可看成是直线y=x+b在》轴上的截距.如图所示,

当直线y=x+6与圆相切时，纵截距6取得最大值或最小值，此时"」向=百，解得b=-2±V6，

所以的最大值为-2+而，最小值为-2-遥，故的最大值与最小值之和为-4.

故选：c.

【变式2-1】点P(")在圆(x-2)2+(y+3)2=l上，则x+y的范围是—.

【答案】|^-V2-1,V2-1J

【解析】设x=2+cos。，y=-3+cos6,即尸(2+cosa-3+sin6),

^fyj,^+>,=sin0+cos0-l=V2sin^0+^-l,

因为—1Wsin+]]W1,所以-1Wx+yW-1.

故答案为：[-^2-1,V2-1]

【变式2-2】已知X,V满足/+/+2x-4,y=0,则2x+y的范围是.

【答案】[-5,5]

【解析】因为x2+/+2x-4y=0,所以(x+iy+(y-2)2=5,表示以(-1,2)为圆心,石为半径的圆，即

点(x,y)为圆(尤+l[+(y_2)2=5上的点，

令2x+y=z,即2x+y_z=0,当直线与圆(x+l『+(y_2)2=5相切时z取得最值，所以

I2x(一1)+2—z|厂11

1=J_\'1=V5,即忖=5,解得z=±5,所以一5W2x+yW5

也+F

故答案为：[-5,5]

【变式2-3]如果实数x，y满足等式，+/+4x-2y-4=0,那么一+产的最大值是；2x-y的最大值

是—.

【答案】14+675/675+143V5-5/-5+3V5

【解析】由/+『+4》_2k4=0,得(x+2)2+3-I)?=9,/+/的几何意义为圆。+2)2+(y-i)2=9上的

动点到原点距离的平方.

因为圆心(-2,1)到原点的距离为石，所以圆上的动点到原点距离的最大值为斯+3，

贝!!/+/的最大值是(退+3)2=14+6

令2x-y=t,则V是直线2x-y=f在N轴上的截距，

当直线与圆相切时，直线2x-y=f在》轴上的截距，一个是最大值，一个是最小值,

此时，圆心(-2,1)到直线2x-y=t的距离d=J—1=3,解得5±36，

所以2x-y的最大值为3迷-5.

故答案为：14+6石；375-5.

题型三：距离型

【典例3-1】已知点P(7〃，切在圆(7:卜-2)2+(k2)2=9上运动，贝IJ(机+2『+5+1)2的最大值为_,最小

值为___，Vm2+n2的范围为.

【答案】644[3-272,3+272]

【解析】由圆。的圆心为(2,2),半径为3,且尸在圆。上，

则(加+2『+(“+1)2表示在圆C上点到(-2,-1)距离的平方，

而圆心到(-2,-1)的距离为J[2-(-2)?+[2-(-1)『=5>3，

所以在圆C上点到(-2,-1)距离的最大值为8,最小值为2,

故(加+2)2+(“+1)2的最大值为64,最小值为4；

又Jm2+n2表示在圆C上点到原点的距离，而圆心到原点距离为2〃<3，

所以JmZ+n?的范围为[3-271,3+2®].

故答案为：64,4,[3-272,3+272]

【典例3-2】直线/：h->一24+2=0(keR)过定点0,若尸为圆C:(x-2了+(y-3>=4上任意一点，则

的最大值为()

A.1B.3C.4D.2

【答案】B

［解析］由/:Ax—y—24+2=0(左eR),得/_2=上@一2),

所以直线过定点。(2,2),

由C:(x-2)2+(y-3>=4,知圆心坐标(2,3),半径为2,

所以。到圆心的距离为4=J(2-2『+(2一3『=1<2,则。在圆内，

则|尸。|的最大值为d+2=3,

故选：B

【变式3-1](2024・浙江・三模)已知/(-2,-2),8(1,3),点尸在圆召+『=4上运动，则照「+阿『的最大

值为()

A.16-6立B.26+20C.26+4收D.32

【答案】C

【解析】设尸(2cos6,2sin。)，

贝1J1PH2+|F5|2=(2cos夕+2)2+(2sin0+2)2+(2cos6>—I)：+(2sin6>—3『

=4cos26+8cos6+4+4sin261+8sin6l+4+4cos2^-4cos6)+l+4sin261-12sin6l+9

=4cos6-4sin6+26=4^/2cos+：]+26,

当cos,+：j=1时，+|尸2「取得最大值26+4A/2.

故选：C.

【变式3-2](2024•山东济南•三模)圆(x-l)*+(y+l)2=4上的点到直线3x+4»-14=0的距离的最大值为

()

A.3B.4C.5D.9

【答案】C

【解析】圆(xTy+(y+l)2=4的圆心为C(l,-1),半径r=2,

|3-4-14|

则圆心C(l,T)到直线3x+4y—14=0的距离为d=11=3,

A/32+42

所以圆(x-l)2+(y+l)2=4上的点至!|直线3x+4y—14=0的距离的最大值为3+2=5.

故选：C.

2

【变式3-3]已知X；+y：=x；+“=8,且xxx2+y1y2=0,则(%+x2-2)：+(乃+y2)的最大值为

()

A.9B.12C.36D.48

【答案】C

【解析】设4(匹,必)与5(工2，%)为圆O:x2+y2=8上一点，

则。4・05=%工2+=0,得=|（24|=|08|=2A/2>

即AaBO为等腰直角三角形，设M为的中点，

则\0M\=席+说=2，得xj+短=4，

即点M在以0为圆心，2为半径的圆上，

故（玉+马—2）2+（必+为『=472一］）-1）2+yj］,

因为点”到定点0（1,0）的距离的最大值为d=3,

因此（占+%-2）2+（必+%『的最大值为36.

故选：C

【变式3-4］（2024・四川乐山•三模）已知圆。：/+/=16,点£是/:2x-y+16=0上的动点，过E作圆O

的切线，切点分别为48,直线N8与EO交于点W,则的最大值为（）

A.2B.V5C.aD.V7

【答案】B

【解析】由题意作出图形如图所示

设Af（x,y），E（x',y'），由△NOE”,可得黑=

\OE\_\OA^1616—■16——

所以—„OE=­OM

\OM\|OM|2-x2+y2m

所以(x',y')=x2：y2(xj)(16x16yl

+y2\2+、2J，

16x

x=

x2+y2

所以＜

16y

y,=

x2+y2

所以点石[4^16y]

—+y2J

将点E的坐标代入直线I：2x-y+16=0中,

化简可得；

(X+l)2+._5(》4不同时为0),

4

所以点M的轨迹是以为圆心，字为半径的圆,

所以10M的最大值为J(-1-0『+[-oJ+1二班.

故选：B.

题型四：周长面积型

【典例4-1](2024•高三・河南•开学考试)若直线/：丘一了+2—仁0与圆C：/+/_/-2/_4=0交于/,

B两点,则当△ZBC周长最小时，k=()

A.-B.----C.1D.—1

22

【答案】c

【解析】直线/:自一y+2—左=0的方程可化为y—2=Nx—1)

所以直线/恒过定点31,2),

因为f+2?-4x1-2x4-4=71<0

所以点。在圆内，

由圆的性质可得当时，|48|最小，VN3C周长最小，

又c(2,i),。(1,2)

所以上C£>=-1,此时左=1.

故选：C.

【典例】在直角坐标系中，已知)()动点/满足霁

4-2xQy4(4,0)1(1,3,C0,-4,2,则面积

的范围为

【答案】[8,24]

［解析］设点/（尤,了），则阳/|=yl（x-4）2+y2,\MB\=7（x-l）2+（y-3）2

由已知得网母=2|九创，

所以J(x—4)2+/=2y](x—I)2+(y—3)2)即厂+，〜—8y+8=0

故点M的轨迹方程为一+必一匕+8=0,即/+。-4『=8,其圆心(0,4),半径为「=2垃.

直线/C的方程为:+2=1,即x-y-4=0

4-4

贝1］点〃■至ij边NC的距离的最小值为d-r=4亚一2亚=2叵,最大值为〃+厂=4&+26=6

又|=7（4-0）2+（0+4）2=4V2

则△A//C面积的最小值为:X4贬x2&=8,最大值为:x4也义60=24,

所以△M4C面积的范围为［8,24］.

故答案为：［8,24］.

【变式4-1】若圆。的方程为/+/+加x+2加歹+（加-2）=0,则圆。的最小周长为（）

A36万\8出兀厂\2■加兀「兀

A.-----D.---------C.---------D.-------

5555

【答案】D

【解析】因为圆。的方程为彳2+/+〃穴+2加y+（机-2）=0,

___________________________/f_2V36__

所以圆C的半径为J/772+（2W）2-4（；77-2）J5m2-4m+85J+51675375）

r=-------------------------------=---------------------=------------------------>—x-------=------

222255

所以圆C的最小周长为2s=或工.

故选：D.

【变式4-2】已知点48在直线/：x-2尸2=0上运动，且同=2石，点。在圆（x+l）?+y2=5上，则

V48c的面积的最大值为（）

【答案】A

【解析】设圆心到直线的距离为4c到直线的距离为4,

又圆心坐标为（-1,0）,则〃=

3

又半径为石，则当4最大时，d、=d+#>=F+旧,

专+/=8.

此时V4BC面积也最大，SAABC

故选：A.

题型五：数量积型

【典例5-1】已知PQ九W是半径为5的圆0上的两条动弦，，闿=6,|疝卜8,则归而+函|最大值是（

12C.14D.16

【答案】C

【解析】

如图，连接M9,O0,OP,CW,作尸。_L0£,MN1OD,

易知E是0P的中点，。是的中点，由勾股定理得0E=4,OD=3,

故PM+QN=OM-OP+ON-OQ=（OM+02V）-（OP+OQ）=1（00-OE）,

故时+西=2|历-西叫西+|词）=14,当炉,而反向时等号成立，故C正确.

故选：C

JT

【典例5-2］在A4BC中，BC=2,ABAC=~,。为8C中点，在N18C所在平面内有一动点尸满足

uuxnumnumLium__________k

PB-PD=PC-PD，则/P8C的最大值为（）

A.&B.述C.百D.迪

333

【答案】D

,UUXULllUUUULIUHUUUlUULttUULUULUUULU

【解析】由尸氏尸。=尸。.尸。，得尸Z）•（尸C-PS）=0,即尸。.国7=0，

ULUuunuiMuumuumuumuumuumUULUUUULUULU

所以AP•BC=(AD-PD)•BC=AD•BC-PD•BC=AD•BC.

设瓦正所在圆的圆心为M，连接〃8、MC.MD,

”“八一BD_^3BD_2V3

贝IjMDlBC,』BMC=一，可得3。=1,MD~一三-万，-一^-丁.

3tan—sin—

33

以5为原点，5c所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，

可得C（2,0）,D（l,0）,M]l,gj,圆〃的方程为（工一1『+y—R=|,

设4（九"）,则石=（1一九一〃），结合就=（2,0）,

可得而•数=2（1-加）+0=2-2加,

（/~\2

因为/点在圆Af：（X—1）2+y----=一上运动，

、313

所以1-2立W加V1+,可得当机=1-*^^时，2—2m=2—2（1—2锭）=46,达至ij最大值.

33333

综上所述，当机=1一空时，而•元有最大值迪.

33

故选：D.

【变式5-1]已知圆（x-2）2+/=9的弦的中点为点尸为圆上的动点，则方.砺的最大值为

()

A.2B.672-3C.8D.4+672

【答案】D

【解析】圆（X-2F+/=9,圆心四（2,0）,半径为3,如图,

・♦・0(1,1)为弦N8的中点，，MQ±AB,\MQ\=6,

\AB\=2^\MBI2-\MQI2=2A/7,

:|尸0闫九@|+3=3+8,尸,0共线时等号成立，

:.PA-PB=(PQ+Q^{PQ+QB^=［闻—国］闻］国

=1尸°『一^51=|尸0『一7411+6e一7=4+/.

4

故选:D.

【变式5-2］在矩形N5c。中，AB=2,AD=3,尸为矩形45co所在平面内的动点，且尸N=l,贝U

丽.京的最大值是()

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【解析】如图，建立平面直角坐标系，设P(x,y),BC中点为H,

因为刖=2,4。=3,所以省。,0),3(2,0),C(2,3),7/(2,-),

得到K(2-X,7),定=(2-x,3-y),所以而•卮=(x-2)2+/-3y=(x-2)2+”-|)2-\,

又因为尸N=l,所以，+必=1,

又尸〃=J(x-2)2+(y-|y44口+”={2*+1=］当且仅当",4尸(尸在的延长线上)三点共

线时取等号，

_.__.3o499

所以PB.尸C=(x-2)2+/-3y=(x-2)2+(y-192-j4j-j=10,

故选：B.

题型六：坐标与角度型

【典例6-1】已知圆C：(x-1)2+产=1,点尸(xo,刃)在直线x-y+l=O上运动.若C上存在点。，使/

。产。=30。，则xo的取值范围是.

【答案】［一1』

【解析】

若圆存在点。，使得NCPQ=30。，

当尸在直线x-y+l=O上运动，极端情况，出与圆C相切，ZCPg=30°.

在ATZkCP。中，|团=1,所以|CP|=2.

所以以(LO)为圆心，2为半径的圆与直线交于尸，片两点.

符合条件的点在线段理之间.

x-y+1=0卜=1卜二-1

所以

(1)2+/=4[y=2[y=0

故％的取值范围为［-1』.

故答案为：［-U］

则氏的最大值为（

【典例6-2】已知无y满足Y+r=4)一3,

A.1B.2C.V3D.V5

【答案】C

【解析】点/（X,力在圆£+（广2）2=1上,5（V3,1）,

J3x+yOAOB

则丁丁OB\cosZ.AOB=2cosAAOB

如图，当。与圆相切时，。取得最小值所以地,此时点.

42/8弋弋22

6W+yIJ

故选：c

【变式6-1］动圆M经过坐标原点，且半径为1,则圆心M的横纵坐标之和的最大值为（）

A.1B.2C.72D.2VI

【答案】C

【解析】设动圆圆心〃（x,y）,半径为1,动圆M经过坐标原点，可得知。=1,即/+/=1,

（x+y）2^x2+y2+Ixy<2（x2+）=2,当且仅当x=y=2时取等号，即x+yW。，

则圆心A/的横纵坐标之和的最大值为上

故选：C

22

【变式6-2］（2024•湖南邵阳•三模）已知直线/：x-y_2=0与圆O：x+y=b过直线/上的任意一

点尸作圆O的切线尸/，PB，切点分别为/，B则//尸8的最大值为（）

A.—B.—C.-D.-

4326

【答案】C

【解析】由题意可知：圆0：/+/=1的圆心为0（0,0）,半径为1,

则圆心到直线/的距离为|2|=V2>1,可知直线/与圆。相离,

O双

31

因为NAPB=2NAPO,且sinNAP。=

旧

又因为|0尸|的最小值即为圆心0到直线I的距离为V2，

此时sinZAPO=—,ZAPO=-'所以NAPB取得最大值--

242

故选：C.

【变式6-3](2024•湖南衡阳•模拟预测)如图，已知尸是圆C:(x-2)2+(y-3)2=2上一点,

”(-1,0)1(1,0),则//尸2的正切值的最大值为()

A.1B.72C.V3D.2

【答案】A

【解析】设过4昆尸三点的圆的圆心为M,且〃(0,。，

由于44八四=2/4?8,故最大，则N/PB最大，

只需要圆M与圆C相切于点尸时，N4PB最大,

则有〃+1+收=，4+«-3)2=7”-301+23=0=/=1或1=彳(舍去)，.」=1，

所以M(o,i)M(-i,o),c(2,3),易知此时4Mpe四点共线,

此时NMAB=45°,;.NMBA=45°,进而Z_AMB-90°，故tan^fAPB=tanZ.AMB=tan45°=1,

故选：A.

【变式6-4]已知圆D(%-〃1+/=/(r>o)与％轴相交于4、5两点，且圆C/+(》—5『=9,点

M(0,3).若圆。与圆。相外切，则tan/4M3的最大值为()

【答案】B

【解析】圆。：（》一0）2+/=/上>0）的圆心。g,o）,半径为「，

圆C：/+5-5『=9的圆心。（0,5）,半径为3,

因为圆C与圆。相外切，所以J/+25=3+r，所以/=/+6r—16，

且圆Z）与x轴交于（a—r,O）,（a+r,O）,不妨记上（a-r,0）,3（a+r,0）,

因为圆C关于>轴对称，点（见0）与点（-。,0）关于>轴对称，点儿《0,3）在>轴上,

由对称性不妨令。>0,

Q

当OWa<尸时，贝I0«/=r+6〃-16<,，解得2（/〈3，

a+r

-----F

故tanZAMB=tan(ZBMO+ZAM(J)=—3

r-a

1

33

6r6r*7.竺12_1

a2-r2+96r-76r-719'5j’

)

当。二r时，贝1J/=/+6/-16=/，解得

此时z(o,o),«*()],

98

故tanZAMB=一'

39

当时，则/=尸2+6升一]6>/，解得/〉.8

3f

a+ra-r

故tanZAMB=tan(ZBMO-ZAMC>)=-_3

a-r

1+----

3

_6r_6r7f

~a2-r2+9~6r-1~'6r-71'9J

yt

12

综上所述，tanN/"B的最大值为彳.

故选：B.

题型七：长度和差型

【典例7-1】已知复数Z1=a+bi,z2=c+di,a,b,C,<7eR,若团="|=2,且就+〃=2,则

a+6_4|+2|c+d-4|的最大值为—.

【答案】12+2V14

【解析】由团="|=2,得复数句在复平面内对应点Z1(a,b),复数句在复平面内对应点Zz(c,d).

OZ[^(a,b),运=(c,d),口目=|。司=2,记函与四夹角为8

OZXOZ2=ac+bd=2,OZYOZ2=|(9Z1||(9Z2|cos^=4cos^,所以cosO=g,e=g,

\a+b—A\

4(9)到直线/:x+>-4=0的距离&

z2(c,d)到直线/:x+y-4=0的距离d2=:笺勺,

即求|a+6—4|+2]c+t/—4|=V2(4+2"?)的最大值.

设点。为Z|Zz的三等分点，且ZQ=2DZ2，

则D到直线l:x+y-4=0的距离d=4俨,

\a+b-4\+2\c+d-4\=342d即求〃的最大值,

设D到直线x+y=O距离为屋

=d'+242,即求优最大值.

由|间=|四=2，可知.斗上+审-2x2x|cos60°2A/7

~T~

点Z](a,b),Z2(c,d)在圆上运动，d'<\OCl\,

故当。O，/时，才取得最大值空，d取得最大值其1+2行，

33

|。+6-4|+2|。+1-4|取得最大值12+24？，

故答案为：12+2V14.

【典例7-2】（2024•黑龙江佳木斯•三模）已知圆£+丁=8上两点”（国,必），B（x2,y2）,。为坐标原点，若

ZAOB=120°,则|再+乂—4|+昆+%-4的最大值是（）

A.8B.&J2C_8A/2D.12

【答案】D

【解析】由圆£+）2=8上两点4（%i，yi）,8（＞2，丫2），

得|04|=|。邳=2/,

设48的中点为E,则。

jr

由乙403=120。，得/ABO=NBAO=一,

6

所以|。同=曰。旬=夜，

所以点£的轨迹是以血为半径，。为原点的圆，

匕+乂-41+民+力-小^公+丁［

表示43两点到直线x+y-4=0的距离之和的正倍,

因为E为的中点，

故43两点到直线x+y-4=0的距离之和等于点后到直线x+y-4=0的距离的2倍,

|-4|

圆心。到直线x+y-4=0的距离=2行,

Vi+T

所以点E到直线》+7-4=0的距离的最大值为2//=3逝，

所以|再+%-4|+上+%-4|的最大值是3亚x/x2=12.

【变式7-1】设/为直线x+y-2=0上一点，p,。分别在圆+必=；与圆

g:（x_l）2+（y-4）2=l上运动，则|/。|-日尸|的最大值为（）

3+V1301+V1303+V73「-3+V73

AA.------h>.------C.-------D.----------

2222

【答案】A

【解析】设。2。，4）关于直线x+y-2=0对称的点的坐标为C（见〃），

l+m4+〃八八

----+------2=0

则，解得m=-2,n=\,

，-1）=-1

Im-1''

即c（-2,i）,由对称性可知HO=XG|,

对于圆C1：（x+J+/=；，圆心c1-g，o］，半径/=；，MC2|-M£|=|/C|-MG国CCI=半，

当且仅当/,C,。三点共线时等号成立，

由于|/。区|/&|+1,|/尸闺/GI-；,

则MQI-M尸国/C2|+1-|/CJ+；W七手•

故选A.

【变式7-2］在定圆C：/+y2=4内过点P（-1,1）作两条互相垂直的直线与。分别交于/,8和M,N,则

\AB\\MN\.

+

\ITMTNAT\IT\A7B»T\的范围是（）

【答案】D

【解析】设当48=2厂=4,MN=2^22-(V2)2=2V2,i，交换型MN位置可得广告

故叱丰，后\AB\\MN\11、显然能取到，故•+；］由对勾函数性质可

■;-----r+----r=t+—,又E+一22f=l=2,

\MN\\AB\ttV')tnin

知，当公走或正时，=平

2Vt人ax2

故选：D

【变式7-3］(2024•广西贵港•模拟预测)已知圆C：(x-2)2+(y-2)2=4,直线/：(加+2)%-叼-4=0,

若/与圆。交于4,3两点，设坐标原点为。，贝小。川+2|。8|的最大值为()

A.473B.6^/3C.4VHD.2屈

【答案】D

【解析】圆C：(x-2y+(y-2)2=4的圆心为C(2,2),半径为2,IOC|=2血

直线/的方程可化为："(x-y)+2x—4=0,于是/过定点(2,2),且|力切=4,

显然2折=9+砺，即4万2=+砺2+2力.砺，

又割丁西：+砺2一29.赤，因此|。/『+|。5『=；(4|。。/+|/例2)=24,

设|CU|=2CcosO,|OB|=276sin6,显然|CM08|e(20-2,20+2),

贝！］|0川+2||=2Asin(9+如V2例，其中tan°=g,当0时等号成立，止匕时tan®=2,

独^e(2e—2,20+2),符合条件,

所以|Q4|+2|O5|的最大值为2回.

故选：D

题型八：方程中的参数型

【典例8-1](2024•山东泰安・二模)已知在矩形N8CQ中，AB=\,AD=43,动点尸在以点C为圆心且

与2。相切的圆上，则下.而的最大值为；若1?=〃?48+〃Zr»(m,"eR),则加+"的最大值

为.

【答案】|93

【解析】如图：以B为原点,以543C所在的直线为y,x轴建立如图所示的坐标系，

则3(0,0),4(0,1),r»(V3,l),C(V3,0),AD=(73,0)

动点尸在以点C为圆心且与8。相切的圆上，

设圆的半径为「，

BC=y/3,CD=\,:.BD=|后+仔=2

：.-BCCD=-BD-r,

22

..F=,

2

「•圆的方程为(工-若)2+/=：,

设点尸的坐标为(qcos8+J5,4sin9),ee[0,2兀],贝ljZ尸=[曰cos夕+J^fsin夕一1

万•同=百]?cos6+6]=|cos9+3e,故万.石的最大值为

,/AP=mAB+几AD（m,nER）,AB=（0,-1）,

AP--^-cos^+V3,^-sin^-lj=m（0,-l）+,

1J3

••一cose+1=〃,——sine+1=加，

22

]

:.m+n=—cosO———sin^+2=cos（6+17r）+2,

TT

v-1<cos(夕+1)<1,

:A<m+n<3,

故加+〃的最大值为3,

9

故答案为：5,3

【典例8-2］如图，在直角梯形458中，Z=B=90°,M=4,/15=BC=2,点用■在以CO为直径的半圆

上，且满足N应=加方+”1万，则〃?+〃的最大值为()

V10+5

A.2B.3C.--D.

24

【答案】D

【解析】

如图，以A为原点建立直角坐标系，设C。中点为E,易得/(0,0),5(2,0),C(2,2),D(0,4),则中点

E（l,3）,CD=272，

故以CD为直径的圆的方程为(x-iy+(y-3)2=2,过E作x轴平行线交V轴于。，交半圆于尸，则

ZDEQ=ZPEC=45°,设ZPEM=0,

贝L+&cosa3+&sin6»)(-45°又

AM=(1+V2cos0,3+V2sin0)=mAB+nAD=(2m,0)+(0,4^)=(2加,4”),

±frc1工A“ar-amu1+VIcos6*3+^sin05Jo".,n.甘山

故2冽=I+A/2cos6,4〃=3+'2sin。，贝•］加+〃=---------+----------=—+---sm(9+0),其中

2444

.2#)45

sm(p=-^-,CQS(p=—^-,

显然当sin(e+e)=l时，/，取最大值5.

故选：D.

【变式8-1］已知0(0,0),尸(8,1),e(l+4cos0,V3-4sin0),0e［0,2句，则△OPQ面积的最大值为

()

I—8/T

A.4B.5C.573D.-V3

【答案】B

X—14-4cos0

【解析】设点0(%,%),因为］;：6_4sin8,所以0-1丫+(为-6『=16，

则△。尸。面积的最大值为S=gx2x5=5.

故选：B.