高考数学二轮复习专练：幂函数与指、对数函数【九大题型】

专题2.3幕函数与指、对数函数【九大题型】

【新高考专用】

►热点题型梳理

【题型1指数幕与对数式的化简求值】..........................................................13

【题型2指对募函数的定义与解析式】..........................................................14

【题型3指对幕函数的定义域与值域】..........................................................15

【题型4指对幕函数的图象的识别与应用】......................................................16

【题型5指对募函数的单调性问题】...........................................................18

【题型6指对累比较大小】....................................................................20

【题型7利用募函数、指数函数与对数函数的单调性解不等式】..................................22

【题型8反函数及其应用】....................................................................25

【题型9指数函数与对数函数的综合应用】.....................................................26

►命题规律

1、塞函数与指、对数函数

幕函数、指数函数与对数函数是三类常见的重要函数，在历年的高考中都占据着重要的地位，是高考

常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，对募函数、指数函数与对数函数的考查，主要以基本函数的

性质为依托，结合指、对数运算性质，运用暴函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比

较指对暴的大小、解不等式等题型.考生在复习过程中要熟练掌握指数、对数运算法则，能对常见的指数型

函数、对数型函数进行变形处理.

►知识梳理

【知识点1事函数的解题技巧】

L塞函数的解析式

幕函数的形式是了=/(。6即，其中只有一个参数a,因此只需一个条件即可确定其解析式.

2.幕函数的图象与性质

在区间(0,1)上，幕函数中指数越大，函数图象越靠近无轴(简记为“指大图低”)，在区间(1,+8)上，幕函

数中指数越大，函数图象越远离X轴.

3.比较塞值的大小

在比较哥值的大小时，必须结合累值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各

个事函数的图象和性质是解题的关键.

【知识点2指数、对数运算的解题策略】

1.指数塞运算的一般原则

(1)指数幕的运算首先将根式、分数指数幕统一为分数指数暴，以便利用法则计算，还应注意：①必须

同底数累相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.

(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.

(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

2.对数运算的常用技巧

(1)在对数运算中，先利用幕的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幕的形式，使幕的底数最简,

然后用对数运算法则化简合并.

(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数

的积、商、哥再运算.

(3)指对互化：d=N—6=log.N(a>0,且存1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应

注意互化.

【知识点3指数函数与对数函数的常见问题及解题思路】

1.指数函数的常见问题及解题思路

(1)比较指数式的大小

比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数累，再利用单调性比较大小；

②不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.

(2)指数方程(不等式)的求解思路

指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.

(3)指数型函数的解题策略

涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、

单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.

2.对数函数的常见问题及解题思路

(1)对数函数图象的识别及应用

①在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、

最低点等)排除不符合要求的选项.

②一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

(2)对数(型)函数的值域和单调性问题的解题策略

利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问

题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即

它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.

►举一反三

【题型1指数幕与对数式的化简求值】

【例1】(2023・山东•校联考模拟预测)若—=4,贝南―2+小的值为()

A.8B.16C.2D.18

【变式1-1］（2023•天津河西•统考一模）已知3a=#=科工+2=2,则根的值为（）

a2b

A.36B.6C.V6D.Mb

【变式1-2］（2023•江苏连云港•校考模拟预测）计算：

+0.L+(2-3-rt0+~

1O

(2)log23-log34+(lg5)2+lg5lg20+|lgl6-2^3.

________1

【变式1-3］（2023•吉林长春・长春校考模拟预测）⑴求值：（冠xb）6+（后方-4x得厂-次x

8。-25_(-2023)0；

(2)已知1g比+Igy=21gQ-2y),求log金(：)的值•

【题型2指对幕函数的定义与解析式】

【例2】（2022上.云南曲靖.高一校考阶段练习）下列函数是对数函数的是（）

2

A.y=InxB.y=log2xC.y=loga^D.y=log2x-2022

【变式2-1］（2023・四川成都・校联考一模）已知哥函数/（乃="的图象过点P（3,9）,则a=（）

1

A.-B.1C.2D.3

2

【变式2-2］（2023上•吉林长春•高一校考期中）函数〃=（十一5。+7）/+6-2。是指数函数，则有（）

A.a=2或a=3B.a=3

C.a=2D.a>2,且aH3

【变式2-3］（2023上•高一课时练习）若函数/（%）=（a2-3a+3）loga%是对数函数，则a的值是（）

A.1或2B.1

C.2D.a>0且a。1

【题型3指对幕函数的定义域与值域】

【例3】(2023上•四川成都•高一校考期中)函数“久)=空的定义域为()

X—5

A.(—8,2]B.(—8,5)U(5,+oo)

C.[2,+oo]D.[2,5)U(5,+oo)

【变式3-1](2022上•安徽•高一校联考阶段练习)已知幕函数f(x)的图像过点则()

A.f(久)为减函数B.f(x)的值域为(0,+oo)

C./(%)为奇函数D./(%)的定义域为R

【变式3-2](2022•北京东城・统考一模)下列函数中，定义域与值域均为R的是()

A.y=InxB.y=exC.y=x3D.y=-

138—2x<1

【变式3-3](2023上•江西吉安•高一校考阶段练习)己知函数/(x)=1'、'则函数/(x)值域是()

1<x<4,

A.(-oo,2]B.(-2,2]

C.(1,4]D.(-oo,4]

【题型4指对募函数的图象的识别与应用】

[例4](2023上•全国•高三专题练习)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数，其中a>0,aH1)的图象如图，

则下列结论成立的是()

C.0<a<l,c>lD.0<a<1,0<c<1

m

【变式4-1](2022上•全国•高一专题练习)如图所示是函数y=x元(处neN*且互质)的图象，贝|()

A.加〃是奇数且竺<1B.根是偶数，”是奇数，且竺<1

nn

C•机是偶数,"是奇数'且:>1D.m,〃是偶数，且‘>1

n

【变式4-2]（2023・四川成都・校联考一模）已知函数f（x）=5三，则函数“行的图象的可能是（）

④丫=d%的图象如图所示，a,b,

b,c,d的值分别是（）

11

3’2

c??四?D.rrA

【题型5指对募函数的单调性问题】

【例5】（2022上•北京朝阳•高三统考期中）下列函数中，在区间（0,+8）上单调递减的是（）

x3

A.y=log2xB.y=2~C.y=Vx+1D.y=x

【变式5-1]（2023・河南•校联考模拟预测）若嘉函数/（%）=（2m2-3m-1）%皿在（（）,十8）上单调递减，则m=

()

A.2B-1c--1D.-2

【变式5-2]（2023•广东韶关•统考一模）函数/（行=1082（久2-4）在（-8,£1）上单调递减，则实数a取值范围

是（）

A.(—8,-2]B.[2,+8)C.SO]D.[0,+co)

2X,

【变式5-3]（2023•北京东城•统考二模）设函数/（%）=:若/（久）为增函数，则实数a的取值范

X2,

围是（）

A.(0,4]B.[2,4]

c.[2,+8)D.[4,+oo)

【题型6指对幕比较大小】

b=610^3-6,c=Qlog3°'3,则()

【例6】（2023•陕西宝鸡•校联考模拟预测）已知。=61"234,

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b

、--

【变式6-1]（2023•江西•统考模拟预测）设a=e",b=ln3,c=3-1+1°g3,贝I]()

A.c<a<bB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

22

【变式6-2]（2023・四川南充・模拟预测）已知a=(I)',6=(I)，,c=log/,则()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

【变式6-3]（2023・河南•校联考模拟预测）已知a=In/r,b=logs%c=S?ln2,贝！|a,6,c的大小关系是（）

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【题型7利用塞函数、指数函数与对数函数的单调性解不等式】

【例7】（2023•全国•高三专题练习）已知幕函数“X）=（2爪2+爪一2）/加+1在（o,+8）上是增函数.

（1）求/（X）的解析式；

⑵若/（e=H）</（代二工），求实数a的取值范围.

【变式7-1]（2023上•陕西西安•高三校考阶段练习）解不等式:

（l）logi（x2—%—2）>logi（x—1）—1.

22

(2)1<4%-3-2X+3<7.

【变式7-2](2023上•浙江•高一校联考阶段练习)已知函数/(X)=(x-2)(2X-a),aeR.

(1)当a=l时，解关于x的方程/(x)=0；

(2)当x23时，恒有求实数a的取值范围；

(3)解关于x的不等式/(X)>0.

2

【变式7-3)(2023上•贵州六盘水•高一统考阶段练习)己知函数/(无)=loga(x+bx-1),其中a>0且a*1.

(1)若a〉l,b=0,求不等式/(x+1)W/(久+4)的解集；

(2)若Vm6[1,+8),/(2m+1)>/(2m+2),求6的取值范围.

【题型8反函数及其应用】

【例81(2023上•辽宁沈阳•高一校考阶段练习)设函数y=/(x)存在反函数y=/一1(>),且函数y=x2-/(x)

的图象过点(2,3),则函数y=«-7'T(x)的图象一定过点()

A.(1,-1)B.(3,2)C.(1,0)D.(2,1)

【变式8-1](2023・河南•校联考模拟预测)己知函数y=/(*)的图象与y=log2(%+a)的图象关于直线y=x

对称，且满足/(I)+/(2)=2,则。=()

A.4B.2C.1D.-1

【变式8-2](2022上•广东惠州.高一惠州一中校考期中)已知函数/函数y=g(x)的图象与丫=

f0)的图象关于直线y=久对称，则函数y=g(-x2+2x)的单调递减区间为()

A.(0,1)B.(1,+oo)C.(—8,1)D.(1,2)

【变式8-31(2023上•上海浦东新•高三校考阶段练习)若点POofo)(久0小丰0)在函数y=f(x)的图像上,

y=/TQ)为函数y=/(%)的反函数,设PiOo,Ko)、。2(-%,%0)、P3(yo,—*o)、「式一y。尸沏)，则有()

A.点R,P2，P3,电有可能都在函数y=/T(X)的图像上

B,只有点P2不可能在函数y=fTQ)的图像上

C.只有点不可能在函数y=/T(X)的图像上

D.点「2"3都不可能在函数y=/T(X)的图像上

【题型9指数函数与对数函数的综合应用】

【例9】(2023上•福建厦门•高一校考阶段练习)函数/(x)=log4(4*+1)-是偶函数，g(x)=

(1)求m的值；

(2)设%(久)=f(x)+|x,若g[h(x)]>h[log4(2a+1)]对任意%>log43恒成立，求实数a的取值范围.

【变式9-1](2023上•河北邢台•高三校联考阶段练习)已知函数/(久)=logi^,gM=m-4X-2X+2+3.

(1)若y=lg[g(x)]的值域为R,求满足条件的整数小的值；

(2)若非常数函数/(久)是定义域为(一2,2)的奇函数，且V/e[l,2),3X2e[-1,1],f(x1)-5(x2)>-|,求相

的取值范围.

【变式9-2](2023上•湖北咸宁•高一校考阶段练习)已知函数f(久)=产为奇函数.

44+a

(1)求实数a的值；

(2)判断函数/(%)的单调性并证明；

(3)设函数。(久)=log29Iog2：+M，若对任意的久1e[2,8],总存在乂2e(0,1],使得gOi)=/'(久2)成立，求

24

实数机的取值范围.

【变式9-3](2023上•辽宁大连•高一期末)已知函数/(%)=log3(a%2—%+M-3),^(%)=xa+x~a

⑴直接写出%>0时，g(%)的最小值.

(2)a=2时，尸(%)=/(%)-log43在第€(1卷)是否存在零点？给出结论并证明.

(3)若g(2)=£〃9(K))存在两个零点，求a的取值范围.

►直击真题

1.(2023•全国•统考高考真题)己知/(x)=含是偶函数，则a=(

A.-2B.-1C.1D.2

2.(2023•全国•统考高考真题)设函数/O)=2%(>a)在区间(0,1)上单调递减，贝b的取值范围是()

A.(—co,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+oo)

3.(2022.天津.统考高考真题)化简(21og43+log83)(log32+logg2)的值为()

A.1B.2C.4D.6

4.(2023・天津•统考高考真题)若a=1.O105,b=l.Ol06,c=O.605,则a,6,c的大小关系为()

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>b>cD.b>a>c

5.(2023・北京・统考高考真题)下列函数中，在区间(0,+8)上单调递增的是()

A./(%)=—In%B.f(x)=*

C./(x)TD./(x)=3囚7

6.(2023•全国•统考高考真题)已知函数f(x)=e-(xR.记a=f住),b=fg),c=/(分则()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

7.（2022•浙江・统考高考真题）已知2a=5,log83=6,贝喝加3b=（）

255

A.25B.5C.—D.-

93

8.（2022•全国•统考高考真题）已知9m=10,0=106—11/=8M—9,则（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

9.（2023•全国•统考高考真题）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级

%=20x1g3，其中常数p°（po>0）是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级：

Po

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽车1050〜60

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为pi，p2，P3,则（）.

A.pi>p2B.p2>10p3

C.p3=100p0D.pi<100p2

10.（2023・北京•统考高考真题）己知函数/（x）=4"+log2x,则/@.

专题2.3幕函数与指、对数函数【九大题型】

【新高考专用】

►热点题型梳理

【题型1指数塞与对数式的化简求值】..........................................................13

【题型2指对幕函数的定义与解析式】..........................................................14

【题型3指对募函数的定义域与值域】..........................................................15

【题型4指对累函数的图象的识别与应用】......................................................16

【题型5指对幕函数的单调性问题】...........................................................18

【题型6指对幕比较大小】....................................................................20

【题型7利用幕函数、指数函数与对数函数的单调性解不等式】..................................22

【题型8反函数及其应用】....................................................................25

【题型9指数函数与对数函数的综合应用】.....................................................26

►命题规律

1、塞函数与指、对数函数

募函数、指数函数与对数函数是三类常见的重要函数，在历年的高考中都占据着重要的地位，是高考

常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，对幕函数、指数函数与对数函数的考查，主要以基本函数的

性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幕函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比

较指对赛的大小、解不等式等题型.考生在复习过程中要熟练掌握指数、对数运算法则，能对常见的指数型

函数、对数型函数进行变形处理.

►知识梳理

【知识点1塞函数的解题技巧】

1.毒函数的解析式

累函数的形式是y=x”(aGR),其中只有一个参数a,因此只需一个条件即可确定其解析式.

2.幕函数的图象与性质

在区间(0,1)上，哥函数中指数越大，函数图象越靠近无轴(简记为“指大图低”)，在区间(1,+8)上，塞函

数中指数越大，函数图象越远离x轴.

3.比较塞值的大小

在比较幕值的大小时，必须结合幕值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各

个累函数的图象和性质是解题的关键.

【知识点2指数、对数运算的解题策略】

1.指数塞运算的一般原则

(1)指数塞的运算首先将根式、分数指数塞统一为分数指数募，以便利用法则计算，还应注意：①必须

同底数嘉相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.

(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.

(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

2.对数运算的常用技巧

(1)在对数运算中，先利用幕的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幕的形式，使幕的底数最简,

然后用对数运算法则化简合并.

(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数

的积、商、幕再运算.

(3)指对互化：/=双-6=1080"(心0,且存1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应

注意互化.

【知识点3指数函数与对数函数的常见问题及解题思路】

1.指数函数的常见问题及解题思路

(1)比较指数式的大小

比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数累，再利用单调性比较大小；

②不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.

(2)指数方程(不等式)的求解思路

指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.

(3)指数型函数的解题策略

涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、

单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.

2.对数函数的常见问题及解题思路

(1)对数函数图象的识别及应用

①在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、

最低点等)排除不符合要求的选项.

②一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

(2)对数(型)函数的值域和单调性问题的解题策略

利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问

题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即

它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.

►举一反三

【题型1指数塞与对数式的化简求值】

【例1】（2023・山东•校联考模拟预测）若er1—a1=4,贝必菖+a?的值为（）

A.8B.16C.2D.18

【解题思路】利用完全平方公式结合指数幕的运算性质计算即可.

【解答过程】解：因为a-1—小=4,

所以ar?+a2=（a-1—a1）2+2=42+2=18.

故选：D.

【变式1-1］（2023•天津河西•统考一模）已知3a=4〃=科三+三=2,则小的值为（）

a2b

A.36B.6C.V6D.V6

【解题思路】两边取对数，根据对数的运算性质、法则化简即可得解.

【解答过程】3a=4b=m>0,

•••a=log3m/b=log4m,

•,•（+/=logm3+|logm4=logm6=2,

m2=6,即m=&或m=-V6（舍去）

故选：C.

【变式1-2］（2023•江苏连云港•校考模拟预测）计算：

⑴卜，'5+。『+（2学1-3b。+奈

2

（2）log23-log34+（lg5）+lg5lg20+|lgl6-210gz3.

【解题思路】（1）根据指数哥的运算法则直接化简求解即可；

（2）根据对数运算法则直接化简求解即可.

nr_21£

【解答过程】⑴（27+0.L+（2'）=37：。+*传）-102+（舒_3+1=|+100+卷-3+

37

—=3+97=100.

2103

（2）log23-log34+（lg5）+lg5-lg20+Mgl6-2^=需•/+lg5.Qg5+lg20）+21g2-3=2+lg5-

IglOO+21g2-3=2+2（lg5+lg2）-3=2+2-3=l.

____1

【变式1-3］（2023.吉林长春.长春校考模拟预测）⑴求值：（遮x百）6+（收卷-4x（装p-次x

8。-25_（-2023）0；

(2)已知Igx+Igy=21g(x-2y),求log调(：)的值.

【解题思路】(1)化简即可求出该式子的值；

(2)解对数方程求出5即可得出log迎6)的值.

【解答过程】(1)由题意，

______1

(V2XV3)6+(J2V2)5-4X(，)2-V2X8025-(-2023)°

=22x33+(Jzl)1-4x1-25x23X5-1

=108+2-7-2-1

=100

(2)由题意，

在Igx+Igy=21g(x-2y)中，

%>0

y>0

x-2y>0fxy=(x-2y/化简得/-5xy+4y2=0,

{xy=(x—2y¥

两边同除y2得6)2一5弓)+4=0,解得：：=4或1(舍)，

,log调C)=l°g谑4=4.

【题型2指对塞函数的定义与解析式】

【例2】(2022上•云南曲靖•高一校考阶段练习)下列函数是对数函数的是()

2

A.y—\nxB.y=log2xC.y=loga^D.y=log2x—2022

【解题思路】根据对数函数定义直接判断即可.

【解答过程】形如y=loga%(a>0,aH1)的函数叫作对数函数，它的定义域是(0,+8),

对于A,y=In%=loge%满足，故A正确；

对于B,C,D,形式均不正确，均错误.

故选：A.

【变式2-1](2023・四川成都・校联考一模)已知嘉函数/(%)=%〃的图象过点尸(3,9),则a=(

A.-B.1C.2D.3

2

【解题思路】根据题意可得3a=9,求解即可.

【解答过程】因为嘉函数八%)=小的图象过点p(3,9),所以3a=9,解得a=2.

故选：c.

【变式2-2](2023上•吉林长春•高一校考期中)函数y=(a2-5a+7)ax+6-2a是指数函数，则有()

A.a—2或a-3B.a=3

C.a=2D.a>2,且aH3

【解题思路】根据指数函数的知识求得正确答案.

【解答过程】由指数函数的概念，得。2一5。+7=1且6-2。=0,解得a=3.

故选：B.

【变式2-3](2023上・高一课时练习)若函数〃久)=52-3。+3)108鹏是对数函数，则。的值是()

A.1或2B.1

C.2D.a>。且aK1

【解题思路】根据对数函数的定义即可得到方程，解出即可.

【解答过程】：函数f0)=(a2-3a+3)loga*是对数函数,

.'.a2—3a+3=1,a>0且a*1,

解得a—1或a-2,.'.ct-2,

故选：C.

【题型3指对幕函数的定义域与值域】

【例3】(2023上•四川成都•高一校考期中)函数/(久)=驾的定义域为()

A.(—8,2]B.(—8,5)U(5,+oo)

C.[2,+oo]D.[2,5)U(5,+oo)

【解题思路】函数/(*)=誓的定义域满足解得答案.

【解答过程】函数f(%)=音的定义域满足,解得x>2且x丰5.

故选：D.

【变式3-1](2022上•安徽•高一校联考阶段练习)已知幕函数f(x)的图像过点卜,1),则()

A./(久)为减函数B.f(x)的值域为(0,+8)

C./(%)为奇函数D./(x)的定义域为R

【解题思路】先求出事函数的解析式，再根据事函数的性质判断即可.

【解答过程】解：设f(x)=x。，将Q3代入，得2。=%解得a=-2,

故f(x)=x-2,易知f(x)在(_8,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，且值域为(0,+8),故A选项错误,

B选项正确；

/(X)=%f的定义域为(_8,0)u(0,+oo),且/(-X)=(-%)-2=%-2=/(%),为偶函数，

C,D选项错误；

故选：B.

【变式3-2](2022•北京东城・统考一模)下列函数中，定义域与值域均为R的是()

A.y=InxB.y=exC.y=x3D.y=-

【解题思路】利用指数函数，对数函数，幕函数和反比例函数的性质判断.

【解答过程】A.函数y=Inx的定义域为(0,+8),值域为R；

B.函数y=e*的定义域为R,值域为(0,+8)；

C.函数y=炉的定义域为R,值域为R；

D.函数y=(的定义域为{x|x丰0},值域为{y|y*0},

故选：C.

【变式3-3](2023上•江西吉安•高一校考阶段练习)已知函数〃久)=1'、'则函数/(久)值域是()

l%2,1<%<4,

A.(—oo,2]B.(—2,2]

C.(1,4]D.(-co,4]

[解题思路】结合分段函数的单调性来求得/(*)的值域.

1

【解答过程】当x41时，y=3,-2单调递增，值域为(-2,1]；当1<x44时，y=蓊单调递增，值域为(1,2],

故函数值域为(-2,2].

故选：B.

【题型4指对幕函数的图象的识别与应用】

【例4】(2023上■全国•高三专题练习)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数，其中a>0,aH1)的图象如图，

则下列结论成立的是()

A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1

C.0<a<l,c>lD.0<a<l,0<c<l

【解题思路】根据函数图象可根据函数的单调性以及经过的点求解.

【解答过程】由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以0<a<l；

因为图象与y轴的交点在y轴上方，所以y=loga(0+c)>0=logal，所以0<c<1.

故选：D.

m

【变式4-1](2022上•全国•高一专题练习)如图所示是函数丫=无元(办neN*且互质)的图象，贝”()

B.机是偶数，w是奇数，且更<1

n

C.根是偶数，〃是奇数，且二>1D.相，"是偶数，且二>1

nn

【解题思路】根据图象得到函数的奇偶性及(o,+8)上单调递增，结合办zieN*且互质，从而得到答案.

m

【解答过程】由图象可看出y=x装为偶函数，且在(0,+8)上单调递增，

故2e(0,1)且m为偶数，又根、J16N*且互质，故〃是奇数.

n

故选：B.

【变式4-2](2023・四川成都•校联考一模)已知函数f(x)=点]，则函数f(x)的图象的可能是()

【解题思路】分析函数“%)的定义域、奇偶性及其在x>0时，f(久)的符号，结合排除法可得出合适的选项.

2㈤

【解答过程】对于函数“X)=，有eX—e-x丰0,解得x丰0,

ex_Q-x

所以，函数/（%）的定义域为{%|%H0},

n\-x\j\x\

因为f（—）=£/=一二二=一八及），即函数八X）为奇函数，排除BD选项，

\x\

当%>0时，ex>e-x,则/（%）=/7与>0，排除c选项.

故选：A.

【变式4-3］（2022•高一课时练习）函数①y=Q,②y=力，③丫=c%；④>=d%的图象如图所示，a,b,

b,c,d的值分别是（）

一1，一1

32

c??百，?D.r??后

【解题思路】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.

【解答过程】由题图，直线％=1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c,d,a,b,TOV3>->i>i.

423

故选：c.

【题型5指对幕函数的单调性问题】

【例5】（2022上.北京朝阳•高三统考期中）下列函数中，在区间（0,+8）上单调递减的是（）

x3

A.y—log2xB.y=2~C.y=Vx+1D.y=x

【解题思路】根据函数解析式直接判断单调性.

【解答过程】A选项：函数y=log2X的定义域为（0,+8）,且在（0,+8）上单调递增，A选项错误;

B选项：函数丫=2-=（3"的定义域为R,且在R上单调递减，B选项正确；

C选项：函数y=V7不I的定义域为［-1,+8）,且在［-1,+8）上单调递增，C选项错误；

D选项：函数y=/的定义域为R,且在R上单调递增，D选项错误；

故选：B.

【变式5-1](2023・河南•校联考模拟预测)若幕函数/(久)=(2m2-3m-I)/1在(0,+刃)上单调递减，则机=

()

A.2B.-C.--D.-2

22

【解题思路】由累函数的定义和性质求解即可.

【解答过程】由累函数的定义可知，2巾2一3爪一1=1,1P2m2-3m-2=0,解得?n=2或爪=一右

当m=2时，/(x)=x2,在(0,+8)上单调递增，不合题意；

当加=-机寸，/(x)=x~,在(0,+8)上单调递减，符合题意，故?n=-*

故选：C.

【变式5-2](2023•广东韶关•统考一模)函数/(乃=1082(久2—4)在(-8,£1)上单调递减，则实数a取值范围

是()

A.(-oo,-2]B.[2,+oo)C.(-00,0]D.[0,+oo)

【解题思路】求出函数的定义域，结合复合函数单调性得到答案.

【解答过程】/0)的定义域是(—8,-2)U(2,+8),

令y=log2t,其在定义域上单调递增，

t=x2-4,在(-8,-2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，

由复合函数的单调性可知，ae(-00,-2].

故选：A.

【变式5-3](2023•北京东城・统考二模)设函数"X)=弓；'：；：，若f(x)为增函数，则实数a的取值范

围是()

A.(0,4]B.[2,4]

C.[2,+8)D.[4,+oo)

【解题思路】首先分析函数在各段函数的单调性，依题意可得a>0且标>2%结合y=/与y=2%的函数

图象及增长趋势求出参数的取值范围.

【解答过程】因为/(久)=匕；’；；：，当比Wa时/(X)=2,函数单调递增，

又y=%2在(0,+8)上单调递增，在(-8,0)上单调递减，

要使函数/(%)为增函数，贝b>0且@2>2。，

又函数)/=%2与旷=2工在(0,+8)上有两个交点(2,4)和(4,16),

且y=2工的增长趋势比y=/快得多，

所以当x>4时2*>/,当2<x<4时/>23当。<x<2时2*>产，

所以2WaW4,即实数a的取值范围是[2,4].

故选：B.

【题型6指对幕比较大小】

,,/dXlogoO.3

【例6】(2023•陕西宝鸡•校联考模拟预测)已知。=61呜3.4,b=6log43.6,c=Q),则()

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b

【解题思路】利用对数函数的单调性、中间值法以及指数函数的单调性可得出Q、b、C的大小关系.

-1>lo3

【解答过程】因为k)g23.4>log22=1=log44>log43.6,log30.3=log3m§3=1，

又因为log23.4>log22V2=|=log332=log33V3>log3y=-log30.3,

所以，log23.4>—log30.3>log43.6,

所以，61°gz3-4>6T°g3°-3=(J>61og，3-6,即a>c>b.

故选：c.

4

【变式6-1](2023•江西•统考模拟预测)设。=53,b=ln3,c=3-1+10^9,则()

A.c<a<bB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【解题思路】利用指数的运算性质、对数恒等式、指数函数和对数函数的单调性结合中间值法可得出a