高考数学一轮复习单元检测（八）立体几何

单元检测（八）立体几何

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的）

1.设a,£是两个不同的平面，贝卜，口的充要条件是（）

A.平面a内任意一条直线与平面.垂直

B.平面a,夕都垂直于同一条直线

C.平面a,/都垂直于同一平面

D.平面a内存在一条直线与平面.垂直

2.经过一个圆柱体上底面圆的一条直径作两个平面分别与下底面圆相切，则圆柱体在

这两个平面以下的部分就构成一个正劈锥体（如图），现将此几何体水平放置，从如图所示的

方向观察该几何体（正视方向所在的直线平行于所作两个平面的交线），则其正视图、侧视图、

俯视图的形状分别为（）

A.梯形、长方形、圆

B.三角形、长方形、圆

C.梯形、梯形、圆

D.三角形、梯形、圆

3.[2023•四川省成都市阳安中学月考]设a,6为两条直线，a、£为两个平面，下列说法

正确的是（）

A.若a_L6,a_La,贝U6J_a

B.若a_L6,bua,贝Ua〃a

C.若。〃6,a//a,贝!|6〃a

D.若aua,aC\/3—b,则a.L/3

4.[2023•河北唐山模拟]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长度为

A.2/B.3C.\ToD.23

5.[2023•安徽省九师联盟高三质量检测]用一个平面去截正方体，如果截面是三角形，

则截面三角形的形状不可能是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.锐角三角形D.等边三角形

6.[2023•江西省“红色十校”联考]在长方体/BCD-//iCbDi中，40=2/2=2441，则异

面直线ZG与ABi所成角的余弦值为（）

7.[2023•云南昆明模拟]如图①，已知E42C是直角梯形，AB//PC,ABLBC,。在线

段尸C上，4D_LPC.如图②，将△BID沿4D折起，使平面平面/2C。，连接尸2,PC,

设总的中点为N.对于图②，下列选项错误的是（）

图①图②

A.平面R13_L平面P2C

B.平面PDC

C.PD1.AC

D.PB=2AN

8.[2023•怀仁市一模]在矩形/BCD中，BC=4,M为3C的中点，将AIW和△DC"

分别沿/M,DW翻折，使点3与点C重合于点P若//尸。=150。，则三棱锥M一玄。的

外接球的表面积为（）

A.127CB.34无C.687tD.126兀

9.[2023•甘肃省张掖市某重点校检测]已知一四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的

较长侧棱与底面所成角的正切值为（）

B-f

10.[2023•广西贵港市百校联考]正三棱柱/8C-NbBCi的底面边长是4,侧棱长是6,

M,N分别为BBi,CG的中点，若点尸是三棱柱内（含棱柱的表面）的动点，VP〃平面A81N,

则动点尸的轨迹面积为（）

A.53B.5C.亚D.^26

11.[2023•江门市模拟]如图，在四边形/BCD中，4B=BC=2,N/2C=90。，D4=DC

=«,现沿对角线/C折起,使得平面NC_L平面/8C,此时点/,B,C,。在同一个球

面上，则该球的体积是（)

B

兀B.蝮兀

A.9C.

232

12.

[2023•四川省蓉城名校联考]如图，点4B,C在球心为。的球面上，已知，

BC=\,ZACB=60°,球。的表面积为32兀，下列说法正确的是（）

A.ABLOC

B.平面CU8_L平面OBC

C.03与平面/2C所成角的正弦值为工I,

4

D.平面OAB与平面48c所成角的余弦值为也

8

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）

13.

[2023・四川绵阳检测]如图，正八面体的棱长为2,则该正八面体的体积为.

14.如图，四棱台的底面是正方形，£>Di_L底面/5CD,D»=AB

2/19，则直线ADi与8cl所成角的余弦值为________.

15.[2023•黑龙江齐齐哈尔市模拟]三棱锥尸-/8C中，底面N3C,24=3,在底面

/BC中，4B=2,ZC=60°,则三棱锥P—42C的外接球的体积等于.

16.[2021•陕西高三二模]将正方形/BCD沿对角线折成直二面角，给出下列四个结

论：①/瓦所成的角为60。；②△/DC为等边三角形；®AC±BD；④48与平面8CD

所成角为60。.其中真命题是..（请将你认为是真命题的序号都填上）

三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

如图，在四棱锥尸-N8CD中，底面为正方形，且B4_L底面4SCD

（1）求证：平面aCJ_平面P3D；

（2）若E为棱3c的中点，在棱刃上求一点尸，使8尸〃平面PDE.

18.(本小题满分12分)

S

也\

[2023•四川省成都市月考]如图，在三棱锥S-48。中，4g=/C=2,S/=S8=SC=3g,

8c=2也，。为BC的中点.

(1)证明：SD_L平面48C；

(2)若点E在棱NC上，S.EC=2EA,求点C到平面SDE的距离.

°】

(本小题满分12分)

如图，已知圆台50的下底面半径为2,上底面半径为1,母线与底面所成的角为5,

3

44i，ABi为母线，平面44QiO_L平面AB。。，M为23的中点，P为上的任意一点.

⑴证明：BBJOP；

(2)当点尸为线段的中点时，求平面。尸2与平面所成锐二面角的余弦值.

20.(本小题满分12分)

[2023•湖南省部分校检测]如图，在直角△P。/中，POLOA,PO=2CU=4,将△P。/

绕边尸。旋转到△P08的位置，使//。8=90。，得到圆锥的一部分，点C为4s上的点，

且AC=1AB

3

(1)求点。到平面PAB的距离；

(2)设直线尸。与平面所成的角为夕，求sin夕的值.

21.(本小题满分12分)

如图，梯形48CD中，AB//CD,矩形瓦石。所在的平面与平面A8CZ)垂直，且

DC=CB=BF=-AB=2.

2

(1)求证：平面4D£_L平面BFED

(2)若P为线段封上一点，直线/。与平面为8所成的角为0,求。的最大值.

22.(本小题满分12分)

[2023•沈阳市质量监测]如图，矩形45cA和梯形所在平面互相垂直，BE//CF,

ZBCF=9Q°,AD=\[i,BE=3,CF=4,EF=2.

⑴求证：AE〃平面。CK

(2)当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°?

单元检测（八）立体几何

1.答案：D

解析：若a_L或，则平面a内存在直线与平面或不垂直，选项A不正确；若平面a,尸都垂

直于同一条直线，则平面a与夕平行，选项B不正确；若平面a,£都垂直于同一平面，则平

面a,乃可以平行，也可以相交，选项C不正确；若平面a内存在一条直线与平面£垂直，则

根据南面垂直的判定定理，可知a_L£,若a_L或，则由面面垂直的性质定理知，平面a内垂直

于两个平面的交线的直线一定垂直于平面小故选项D正确.

2.

正视方向

答案：B

解析：由题意知，正劈锥体的模型如图所示，按照题图的视角观察，其正视图的形状为

三角形，侧视图的形状为长方形，俯视图的形状为圆.

3.答案：D

解析：由a、6为两条直线，a、£为两个平面，在A中，若a_L6,a_La,则可能存在

6ua的情况，故A错误；在B中，若a_L6,b//a,则可能存在a_La的情况，故B错误；在

C中，若.〃6,a//a,则可能存在6ua情况，故C错误；在D中，若a_L£,aua,aC\fi=b,

a_L6,则a_L/，故D正确.故选D.

4.答案：B

解析：在棱长为2的正方体中，根据三视图，截取四棱锥尸一/BCD如图所示.

根据三视图可得，48=1,PD=2,AD=2.

根据立体图形可知，最长边为PA

连接。8,在RtA4£>8中，根据勾股定理得

DB2=AD2+AB2^22+12=5,

在RSPDB中，根据勾股定理得尸炉=尸。2+。32=4+5=9,

所以尸8=3.

故该几何体的最长棱的长度为3.

5.答案：A

解析：如图1,易知A4/G为正三角形，于是B,C,D都有可能，

对A,如图2,

若△EFG为直角三角形，根据正方体的对称性，不妨假设斯J_FG,由正方体的性质可

知：GB」EF,GB^FG=G,所以E7LL平面N38A,而£Bi_L平面/8修4,于是过同一

点作出了一个平面的两条垂线，显然不成立，A错误.

故选A.

6.答案：A

解析：如图，

因为CCi/ZBBi,所以NCGN即为异面直线NG与381所成角，

设40=2,贝！J4B=44i=1,________

在长方体中/。="岳+402+44：=#,

在RtA4CG中，cosZCCiA^—=5=«,故选A.

ACi~\)66

7.答案：A

解析：由N5〃尸C,ABLBC,ADLPC,

得4D〃BC.

'：AD±PD,AD±DC,PDC\DC=D,二/。_1平面尸£>。.

y.AD//BC,：.BC±^PDC,；.B正确.

•.•平面刃D_L平面4BC。，平面刃。Cl平面4BCD=4D,PDVAD,ABLAD,：.PD1.

平面48CD,4B_L平面为D；/Cu平面48cx>,C.PDLAC,；.C正确.

由/2_L平面及0,得.♦.△/MB是直角三角形.又依的中点为N,；.网=2/乂

.".D正确.

8.答案：C

解析：由题意可知，MPLPA,MPLPD.

且我(1尸£)=尸，为U平面为D,PDu平面所以平面我D

设的外接圆的半径为r,则由正弦定理可得一——=2r,

sinZAPD

4

即-------=2r,所以r=4.

sin150°

设三棱锥M—刃。的外接球的半径为凡贝U(27?)2=尸》+(2r)2,

即(2R)占4+64=68,所以尺2=17,

所以外接球的表面积为4兀尺2=68兀.

9.答案：C

解析:

设该四棱锥为尸-48CD,则由题意可知四棱锥P-/BCD的底面48CD为矩形，平面

P£>C_L平面4BCD,且PC=PD=3,48=4,AD=2,如图，过点尸作P£_LCD交CD于点

E,贝1]尸£L平面N8CD,连接4E,可知乙以E为直线以与平面45。所成的角，则尸£=

yjPD2-DE2=3，AE^AD^+DE2=2^2,

PF^5V10

所以tanAPAE=-=

AE2也4

故选C.

10.答案：c

解析：取48的中点。，连接M。，CQ,MC,由M,N,。分别为ABi,CCi,AB的中

点可得A/C〃8iN,VCC平面4BiN,BiNu平面48iN,

所以〃平面4BiN,同理"得M0〃平面4BiN,MC^MQ^M,MC,MQu

平面MCQ,则平面M0C〃平面4BiN,

所以动点P的轨迹为△MQC及其内部(挖去点M).

在正三棱柱/8C-N山C中，△N3C为等边三角形，0为N3的中点，则C0L/8,平面

4BC_L平面/幽/1,平面4BCTI平面ABBA=4B,贝I]CQ_L平面ABB1A1，QMu平面ABBiAi，

所以C。，。"

因为/3=4,所以。。=23，因为侧棱长是6,所以/51=2413.

所以M°=A/13,则的面积S=gx2^3xy/13=^39,

故动点P的轨迹面积为标.故选C.

11.答案：A

解析：如图，取NC的中点£,连接。E,BE,

因为AD=CD,所以。£_L/C,

因为平面£MC_L平面4BC,平面D4Cn平面48C=/C,DEu平面D4C,

所以。E_L平面/2C,

因为N48C=90。，所以棱锥外接球的球心O在直线上，

因为AB=3C=2,ZABC^9Q°,DA=DC=«,

所以BE=AE=CE=；女=也,DE=^AD2~AE7=2,

设OE=x,贝UOD=2-x,OB=\jBE2+OE序=W+2,

所以2—x=\]x2-\-2,解得x=g,

所以外接球的半径为r=2—x=2—1=3,

22

外接球的体积为「=也3=犯x(3)3=宜.

3322

12.答案：C

解析：如图1,,；4B=6,3C=1,N/C5=60。，由余弦定理得/C=2,：.AB±BC,

三角形/BC为RtA42C,取NC中点为Q,连接。。，贝平面A8C,又S球=32兀,

：.R=OA=OB=OC=2^2,：.OO尸由.

据此，绘制出图2,则

图1图2

对A选项，如图2,ABLOC,而/B〃CD,：.CDLOC,而OD=OC=2\{i,AB

=3,显然C。，。。不成立，故A错误；

对B选项，如图2,假设平面。平面O3C,过点C作。2垂线交08于。点，即

CQLOB,，CQ_L平面。48,：.CQLAB,又CBUB,；.C。与C3重合，即三角形。BC

为RtAOBC,而在三角形O3C中，。8=。。=2/，8c=1,08090。，三角形OBC

不是Rt^OBC,故矛盾，因此B不成立；

对C选项，如图1,OO1_L平面48C,03与平面/2C所成角为NO3O1，.,.在RdOBOi

中，。。1=由，0B=R=2也,Z.sin=g=①,故C成立；

OB2也4

对D选项，如图2,取中点为E,连接£。1,EO,则0EL4B,OyELAB,ZOEOi

为平面CUB与平面/8C所成角的平面角，.•.在RtAOEOi中，EOi=-BC=-,EO=

22

1

业0：+。。：=-，AcosZOEO1=-=3=迤，故D不成立.故选C.

2OE^2929

2

13.答案：蜉

3

解析：正八面体可看成由上、下两个相同的正四棱锥组成的，由棱长为2,可得每个正

四棱锥的斜高为隹=1,高为=也，则该正八面体的体积为言也x2=

14.答案：言

3

解析：设A3的中点为E,连接EA,则易知8E〃CiDi，...四边形质GA

是平行四边形，，8。1〃£△，，//。1石为直线/功与3。1所成的角.：四边形/3。是正

方形，：ADi_L底面/BCD,又ADnaDi=。，平面N/LDLD,

：.BA±ADI,△/££>］是直角三角形.设。Di=/5=2/山i=2a,则/£>1=山/"力汨=

(2a)2+(2a)2=2/a,ED^AD\+AE2=4(2也a)2+/=3。，AcosZAD^E

=ADi=2^2

~ED\~3'

15.答案：43、而兀

54

解析：设G为A4HC外接圆圆心，。为三棱锥尸-Z5C外接球球心，

则。G，平面A8C,作(W_LB4,垂足为M

由正弦定理可知A42C外接圆直径:

2,：.AG=^

2r=2AG=——

sinNBCAsin-33

3

平面45C,OG_L平面45C,

J.AP//OG

又(W_LB4,AG.LPA,：.OM//AG

・•・四边形为矩形，AOG=AM

设OG=x,OP=OA=R

3

x=~

2

在RtAOMP和Rt2\OGN中，由勾股定理可得:,解得:

(3-x)2+R2

r6

9

...三棱锥尸-N8C外接球体积：/=4成3=43巫71.

354

16.答案：①②③

解析：在①中：：将正方形48CD沿对角线AD折成直二面角，得到四面体/-BCD,

设AB=BC=CD=AD=2,

取中点。，/C中点E,BC中点尸，连结/。，CO,OF,OE,EF,

贝I|CM=OC=仍，且CM_LOC,：.OE=-AC^l,

2

由三角形中位线定理得。9=LCO=1,EF=-AB=\,且。b〃CO,EF//AB,

22

:.NEFO是AB,CD所成的角，

：.OF=EF=OE=l,.♦.△EFO是等边三角形，:.NEFO=60。,

.'.AB,CO所成的角为60。，故①正确；

在②中：•；OA=OC=芯,且。/_LOC,；.AC=、l2^2=2,

：.AC=CD=AD=2,

.•.△/OC为等边三角形，故②正确；

在③中：,；AB=BC=CD=AD,。是助中点，

：.AO±BD,CO±BD,又/OnCO=。，：.BD±^\SAOC,

；/Cu平面/OC,：.AC±BD,故③正确；

在④中：是直二面角，AOLBD,

平面BDC,：.NABO是AB与平面BCD所成角，

•：AO=BO,：.ZABO=45°,

.../8与平面BCD所成角为45。，故④错误.

17.解析：（1）证明：因为底面/BCD,3£>u平面48CD,所以又底面

/BCD为正方形，所以8OJ_NC,ACHPA=A,所以平面为C,又5Du平面P8D,所

以平面aCLL平面尸以3得证.

（2）如图所示，取我的中点0,的中点打，连接8。、QH、HE,

所以会有QH=^AD,XBE//AD,BE=^AD,

所以QH//BE且QH=BE,

所以四边形为平行四边形，

所以BQ〃EH,BQC平面尸DE,£〃u平面尸£>£,

所以8。〃平面尸DE,

所以。点，即为我们要找的下点.

18.解析：（1）因为S3=SC=3也,又。为BC的中点，

所以SD_L3C,且SD=NSB2—BD2=4,

连接4D,AB=AC=KBC,所以A42C为等腰直角三角形，且4DL3C,

2

AD=-,由AD2+SD2=S/2,可知

2

由SD_L/。，SDLBC,ADCBC=D,可知SD_L平面NBC

(2)作CH_LDE,垂足为X,又由(1)可得SO_LCH,所以S_L平面ME

故CH的长为点C到平面SDE的距离.

1/-74

由题设可知。C=，BC=42,CE=，C=",ZACD=45°.

233

所以由余弦定理得DE^DC^+C^-IDC-CEcos45°=遮

-DCC£sin45°

所以CH=Z------

-DE

2

所以点C到平面SDE的距离为4四

19.解析：(1)证明：过点Bi作平面4。8的垂线，垂足为C,如图，则。是08的中

点，所以2C=1.又/。23=匹，所以231=2.连接。坊,因为321=03=2,所以△。2与

3

为等边三角形.因为点M为ABi的中点，所以ABi，。"因为平面44101。，平面

平面441。10rl平面231。1。=。。1，且/0_L00i，/0u平面44。。,所以NO_L平面BBOO.

因为8SU平面38101。，所以N0_L38i.又因为/。0。河=。，/Ou平面。OAfu平面

OAM,所以38i_L平面CUV.因为OPu平面OAM,所以BByVOP.

(2)以。为坐标原点，04OB,。。1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所

示的空间直角坐标系，则/(2,0,0),B(0,2,0),Bi(0,1,3)，M(0,-，巨),

22

P(1,-，/)，所以办=(1,-，也)，仍=(0,2,0).

4444

Op-n=0,x+|y+¥z=0,

设平面OP8的法向量〃=(x,y,z),贝小即144取Z=4A/3,

叫n=0,29=0,

得》=—3,y=0.所以〃=(—3,0,4\/3).

因为88i_L平面OAM,

所以平面的一个法向量班尸(0,一1,3),

BB「n122^57

所以cos〈BBi,n)

\BBi\\n\一2'屈19

所以平面。尸8与平面所成锐二面角的余弦值为2历.

19

20.解析：(1)由题意知：POLOA,POLOB,OA^OB=O,

O/u平面O3u平面：.POL^^AOB,

又尸。=2。/=4,所以R4=PB=2、B,/2=2也，

所以x2也x~\](2、旧2—)2=6,

2

设点0到平面PAB的距离为d,由Vo-PAB=Vp.OAB,

1114

得一x[x6=—x4x—x2x2,解得d——.

3323

(2)以O为原点，川,Oh,OP的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的

空间直角坐标系，则加2，0,0),8(0,2,0),p[0,0,4),

由题意知//oc=&，则。(韵，1,。)，

6

所以范=(-2,2,0),#=(—2,0,4),pj=(#,1,-4).

设平面刃5的法向量为〃=(。，b,c),

n'A^=—2a~\~2b=Q

则1•叁=一2Q+4c=0，取c=l,则。=6=2,

可得平面刃B的一个法向量为〃;⑵2,1),

I”加_|2^3-2|_V15-^5

所以sin9=1cos〈n,钝〉

|〃|反I—6^5—1^

21.

解析：(1)如图，取48的中点G,连接。G,

则CD//BG,又CD=~AB,所以CD=BG,

2

从而四边形BCDG为平行四边形，

所以。G=3C=士AB=AG=BG,