广东省揭阳市揭西县2023-2024学年高二年级上册期末数学试题（解析版）

广东省揭阳市揭西县2023-2024学年高二上学期

期末数学试题

一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.）

1.已知集合4={口42%—3|<5},6={-4,1,3,5},则4B=（）

A.{-4,1}B.{1,5}C.{3,5}D.{1,3}

【答案】D

【解析】对A,—5<2x—3<5n—l<x<4,则4={0,1,2,3},所以AB={1,3}.

故选：D.

2.若直线/经过A（l,0）,3（4,6）两点，则直线/的倾斜角为（）

71717127r

A.—B.—C.—D.—

6433

【答案】A

【解析】斜率左=3=^=tan，，•••倾斜角8=

4-136

故选：A.

3.图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）会徽图案，会徽的主体图案是由如图

2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中。4=44=443=_=44=1,如果把

图2中的直角三角形继续作下去,记。vOA,的长度构成的数列为{4},由此

数列的通项公式为4=（)

品D.y/n+1

【答案】B

【解析】由题意知，—4^2—^2A—•••—4A=1，且OA^044

都是直角三角形，所以q=1,且〃/=〃3+1，

所以数列｛。,2｝是以1为首项，1为公差的等差数列，所以%2=1+(〃—1)x1=〃,

由＞o.

故选：B.

4.若点P(0,1)在椭圆C：［+J=1上，则该椭圆的离心率为().

A.1B.也C.巫D.B

2422

【答案】C

22

【解析】因点尸(仓1)在椭圆C:则逑匚+二=1,解得/=2,而椭圆长

-%j4b2

半轴长4=2,

所以椭圆离心率e=-="2=交.

aa2

故选：C

5.已知A(l,4),3(8,3),点尸在无轴上，则使|AP|+忸P|取得最小值的点尸的坐标是

()

A.(4,0)B.(5,0)C.(-5,0)D,(-4,0)

【答案】B

【解析】因为A(l,4)关于x轴的对称点为4(1,-4),

-4-3

所以所在的直线方程为y—3=--(x-8),

1—8

即y=x—5,

令y=0得x=5,所以P(5,0).

故选：B

6.已知圆/+丁+2》—2y—4=0截直线x+y+a=0(a>0)所得弦的长度为4,则实

数。的值是()

A.V2B.2C.2A/2D.4

【答案】B

【解析】圆的方程(x+l)2+(y-l)2=6,

圆心(—1,1),半径r=,

圆心到直线x+y+a=0的距离d=也，

根据弦长公式可知2,6—；=4,解得：a=2.

故选：B

7.以下四个命题中，正确的是()

A.向量2=(1,—1,3)与向量，=(3,-3,6)平行

B.为直角三角形的充要条件是AC=0

C|R州H那卡|

D.若｛a,6,c｝为空间的一个基底，则a+b，b+c>c+a构成空间的另一基底

【答案】D

【解析】因为｛。,dc｝为空间的一个基底，设a+Z?=4仅+c)+〃(c+a),

2=1

即<〃=1,无解，

〃+X=0

所以a+b，b+c>c+a不共面，贝!Ja+b，b+c>c+a构成空间的另一基底，故D正

确；

3-36

因为］=与彳§,所以.=(1,-1,3)和/?=(3,-3,6)不平行，故A错误；

.ABC为直角三角形只需一个角为直角即可，不一定是/A,所以无法推出

ABAC=0'故B错误；

\a-by=|<7|-|/?|-|c|-|cosd,Z?|,当gsa同wl时，ya-bjc|tz|-|Z?|-|c|,故C错误.

故选：D.

8.过点P(—1,—2)的直线/可表示为m(x+l)+〃(y+2)=0,若直线/与两坐标轴围成三

角形的面积为6,则这样的直线有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

【答案】D

【解析】〃z(x+l)+〃(y+2)=0可化为mr+〃y+/w'+2”=。①，

要使/与两坐标轴能围成三角形，贝！|/7加w0且加+2〃w0,

由①令％=0得y=

n

A八,曰m+2n

令y=0得%=-------,

m

m+2ri\(m+2n1m+2nm+2n1m2+4Hm+4n2

依题意,二一x------x------二一x

r|(-2nm2mn

1m4na,,m4〃，r—m4〃，y-

=­x—+——+4=6,所以—I----\-4=12或—I----\-4=-12,

2nmnmnm

,m4n仆4n

所以—I---=8或—I---=-16

nmnm

rri44

设.=贝u+—=8或1+—=—16,

ntt

则产―8/+4=0或产+16/+4=0

-16±0256-16

解得"或"

2

即"4±2若或/=-8±2而

即生=4±2&或生=一8土2行，

nn

所以这样的直线有4条.

故选：D

二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）

9.已知等比数列｛/｝是递增数列，夕是其公比，下列说法正确的是（）

A.q〉0B.q>Q

C.a｝q>0D.%（4-1）〉0

【答案】BD

【解析】由题意知，

递增的等比数列包括两种情况：%>0时4>1或q<0时0<q<l.

故q>0,q（q—l）〉0,

故选：BD

io.已知实数苍y满足圆c的方程f+V—2x=o,则下列说法正确的是（）

A.圆心（—1,0）,半径为1

B.过点（2,0）作圆C的切线，则切线方程为x=2

C.上的最大值是否

X+1

D.f+y2的最大值是4

【答案】BD

【解析】对选项A：%2+y2-2x=0,即（％-1）2+寸=1,圆心为（1,0）,半径为厂=1，

错误；

对选项B：（2,0）在圆上，则（2,0）和圆心均在x轴上，故切线与x轴垂直，为x=2,

正确；

对选项C：上表示圆上的点（x,y）到点4（-1,0）的斜率，如图所示：

X+1

当AB与圆相切时，斜率最大，止匕时|4。=2,忸。|=1,故

故此时斜率最大为tan30。=迫，错误；

3

对选项D：V+y2表示圆上的点（龙,村到原点距离的平方，故最大值为（1+厂『=4,

正确；故选：BD

（、[a（a<b\/、、2）

11.定义min{a,8}=1,/（,设=min{（x-l）,x+l,则下列结论正确的是

>b）（）

（）

A.〃力有最大值，无最小值B.当尤<0,八力的最大值为1

C.不等式的解集为（口,2]D./（%）的单调递减区间为（0,1）

【答案】BCD

-2

【解析】由题意得/（X）=<，；]；[3+“）’作出函数/（“）的图象，如图所示'

根据图象，可得了（九）无最大值，无最小值，所以A错误；

根据图象得，当xWO,/（尤）的最大值为1,所以B正确；

由/（x）＜l得，（％—解得：0WxW2,结合图象，得不等式/（x）＜l的解集为

（—8,2],所以C正确；

由图象得，/（尤）的单调递减区间为（0』），所以D正确.

故选：BCD.

12.已知棱长为2的正方体ABC。-A4GR的中心为。，用过点。的平面去截正方体,

则（）

A.所得的截面可以是五边形B.所得的截面可以是六边形

C,该截面的面积可以为3GD.所得的截面可以是菱形

【答案】BCD

【解析】一个平面去截正方体，考虑从正方体的上底面4月。12开始截入，

不妨设上底面4片。12与截面的交线为线段PQ,截取有两种情况，

第一种情况是RQ两点分别在两对边上或两相邻边上，如图，

直线PO与8c相交于点直线。。与相交于点N,

由正方体性质及面面平行性质定理知截面为平行四边形PQMN.

第二种情况，如图，

直线PO与相交于点直线。。与相交于点N,直线尸。与A耳相交于点E,

NE与AAj相交于点F,直线MN马CD相交于点G,GQ与CC,相交于点H,

易知所得截面为六边形PQKMNF,A错误，B正确.

当截面为正六边形时，正六边形的边长为后，它的面积为6x』x(、5)2x立=3百，C

22

正确.

当截面为平行四边形时，由对称性可知\P=MC,PD,=BM，GQ=AN,B[Q=DN,

若四边形PQMN为菱形，则尸N=MN,

可得JM+IATV—APJZAB?+(BM-AN#,可得

(AN-MC)1=(BM-AN)2,

可得AN—同。=5河—AN或AN—MC=AN—,可得2AN=AD或

MC=BM,D正确.

故选：BCD.

三、填空题(共4小题，满分20分，每小题5分)

13.已知圆。1：/+/=户，圆。2：必+/-8x—6y+16=0,若圆与圆C2相外

切，贝1Jr=.

【答案】2

22

【解析】由题意知,C2:(x-4)+(y-3)=9,

所以£(0,0)/=匕。2(4,3)，4=3,

因为两圆外切，所以r+3=|。02|=5,解得r=2.

故答案为：2.

14.《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、

春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬

至、小寒、大寒的日影子长的和是43.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立春的日影子长

为尺.

【答案】12.5

【解析】从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、

芒种这12个节气的日影长依次成等差数列｛%｝,

由题意知，｛北渭比1y43.5,解得｛*.5,

所以立春的日影长为%=囚+3d=12.5尺

故答案为：12.5

15.函数/（x）=2sinox,切＞0的部分图象如图所示，则/⑴+/（2）+〃3）++/（2024）=

【解析】由图象可知，函数/（九）的周期7=8,

所以0=生=工，故〃x）=2sin工x,

因为/⑴+/（2）+/（3）++/（8）=0,2024=8x253,

所以/⑴+/（2）+/（3）++/（2024）=0.

故答案为：0.

16.双曲线的光学性质为①：如图，从双曲线右焦点工发出的光线经双曲线镜面反射，反

射光线的反向延长线经过左焦点耳.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲

X2

线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分,如图②，其方程为\

二1,

a"一记

耳，工为其左右焦点，若从右焦点工发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足

3

Za4D=90°,tanZABC=——,则该双曲线的离心率为.

4

【解析】由题可知耳,共线，耳,5,C共线,

设二根"A司=〃，则m—〃=2Q,

33

由tanNABC=——得，tanZABF

44

又NGAB=NBAO=90°,

m_34

所以tanZABF1西="M=

所以忸闾=|45|—仙闾=：加_〃，

所以忸制=2a+\BF^=2a+^m-n=4a+^m,

由|AF；「+|AB「=\BF^得m+[g=14a+；相

因为》t〉0,故解得根=3a,

则〃=3a-2a=a,

在△然巴中，疗+〃2=（2C）2,即9a2+1=402,

四、解答题（共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.在一ABC中，内角A5C所对的边分别为。，"c.已知sin2C=J§sinC.

⑴求C；

（2）若6=4,且ABC的面积为2月，求，ABC的周长.

解：（1）由sin2C=J§sinC，得2sinCcosC=J§sinC,

在_ABC中，sinCw0,r.cosC=，

jr

在.ABC中，Ce(O,7i),.-.C=-.

6

(2)S钻。=absinC=；XQX4X：=2^3,/.a=2g,

由余弦定理得片=〃2+/—21/^050=12+16—2x28x4x3=4,

2

。=2,.,.〃+/?+(?=2y/3+4+2=6+2y/3,

A5C的周长为6+2石.

2

Yy

18.已知椭圆u—十l（a〉6〉0）的长轴长为10，焦距为6.

ab2

（1）求C的方程;

㈢

（2）若直线/与C交于A,8两点，且线段的中点坐标为求/的方程.

解：⑴设C的焦距为2c（c>0）,长轴长为2a,

则2a—10,2c=6,

所以a=5,c=3,所以人2=〃2_/=16,

22

所以C的方程为J+当=1.

⑵设人师立川心必「代入椭圆方程得广;

%%T

-----1------1

〔2516

两式相减可得（斗+”）（当一马）(%+%)(%-%)

2516

即（％+%）（%-%）：16

（%+九2）（西一次2）25

由点为线段A5的中点，

后12

得%+%=5,%+%=不

7y—必16x+x?1654

则I的斜率左=-=--X-~~-------X-=-----

七一%225%+y22545

所以I的方程为=,

即4x+5y-2=0.

19.如图，在直三棱柱ABC—中,ACIBC,E为8瓦的中点，AB=CC、=2BC=2.

(1)证明：AC±qE.

(2)求二面角A—EQ—§的余弦值.

解：(1)在直三棱柱A3C—中，CCi1平面ABC,ACu平面ABC,

所以CCilAC,

又由题可知，AC1BC,

CG，BCu平面BCC4

且CCicBC=C,

所以AC工平面5CC4,

又因为C,£u平面BCC&1，所以AC工3E.

(2)以C为坐标原点，CA,CB，CC1分别为xj,z轴建系如图，

由ACIBC,AB=2BC=2,可得AC=6,

则有A(^,O,O),E(0,1,l),q(0,0,2),

设平面AEC］的一个方向量为m=(x,y,z),

AE=(-"1,1),AC1=(-上,0,2),

AE-m=0-A/3X+V+Z=0LL

所以《,即《，令z=A/3,则％=2,y=A/3,

ACX-m=0-，3x+2z=0

所以冽二(2,6,百)，

因为AC1平面耳，所以C4=(A0,0)为平面EQB的一个法向量,

m-C42GV10

所以，cos<m,CA>=______=______=____

|m|p|V10xV35，

即二面角A—EG—3的余弦值等于半.

2

20.已知各项均不为零的数列｛4｝满足的=不，且2a”—2a“+i=3a,4+i，〃eN”.

(1)证明：■，为等差数列，并求｛4｝的通项公式;

2〃

（2）令g=—,7；为数列｛c,｝的前九项和，求

an

解：（1）^2an-2an+l=3anan+1,

22*

得---------3,neN,

4+1an

又2=5,

%

2(是首项为5,公差为3的等差数列.

27

-e•一=5+3（〃-1）=3〃+2,故Q=-----,nGN*.

3n+2

2

（2）由（1）知a“=-------，：C=—=（3n.+2）­2"-1,

3n+2-----"an

所以<=5+8x2+11x2?++（3〃—1）.2或2+（3〃+2）-2"T①

27；=5X2+8X22+11X23++（3〃-1>2"T+（3〃+2）2②,

①-②得：

-7；,=5+3X2+3X22++3X2“T—（3"+2"=5+'（1j）—（3〃+2）2

=（l-3n）-2,!-l,

.-.7；=（3ra-l）-2n+l.

21.某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了100名学生进行调

查，获得了每人的周末“阅读时间”（单位：小时），按照［0,0.5）,［0.5,1）,…,［4,4.5］分成9

组，制成样本的频率分布直方图如图所示.

频率

小组距

0.50-----------------

0.30

146

0.08

0.04

00.511.522.533.544.5阅读时间(小时)

（1）求图中。的值；

（2）估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；

（3）采用分层抽样的方法从［1,1.5）,［1.5,2）这两组中抽取7人，再从7人中随机抽取2

人，求抽取的2人恰好在同一组的概率.

解：⑴由题意，高一学生周末“阅读时间”在［0,0.5）,［0.5,1）,、［4,4.5］的频率分别为

0.04,0.08,0.15,0.5a,0.25,0.15,0.07,0.04,0.02.

由1—(0.04+0.08+0.15+0.25+0.15+0.07+0.04+0.02)=0.5a,得a=0.40

（2）设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为加小时.

因为前5组频率和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.25=0.72>0.5,前4组频率和为

0.47<0.5,所以2（机<2.5

由0.50（/“,一2）=0.5—0.47,得利=2.06.

故可估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为2.06小时.

（3）由题意得，周末阅读时间在［1,1.5）,［1.5,2）中的人分别有15人、20人，按分层抽样的

方法应分别抽取3人、4人，分别记作A5c及a,4Gd.

从7人中随机抽取2人，这个试验的样本空间

Q={AB,AC,Aa,Ab,Ac,Ad,BC,Ba,Bb,Be,Bd,Ca,Cb,Cc,

Cd,ab,ac,ad,be,bd,cd},共包含21个样本点，且这21个样本点出现的可能性相等，

抽取的