函数的概念与性质（4大考向解读）-2025年高考数学专项复习（新高考卷）

专题05函数的概念与性质

考情概览

命题解读考向考查统计

1.高考对函数的考查，重点是函数的单2023•新高考I卷，4

调性、奇偶性、对称性、周期性，需要氟、指、对函数的图像与性质2023•新高考I卷,10

关注周期性、对称性、奇偶性结合在一2023•新高考H卷，4

起，与函数图像、函数零点和不等式相2022•新高考I卷，12

结合进行考查。2023•新高考I卷,11

抽象函数的性质

2.高考对函数的考查重点关注以基本初2024•新高考I卷，8

等函数组成的复合函数以及抽象函数2022•新高考H卷，8

为载体，对函数内容和性质进行考查，函数与不等式结合2024•新高考H卷，8

考查函数的定义域、值域，函数的表示2024•新高考I卷，6

方法及性质（单调性、奇偶性、对称性、分段函数、三次函数的图像与性质2024•新高考I卷，10

周期性）、图像等。2024•新高考H卷，11

|2024年真题研析

命题分析

2024年高考新高考I卷考查了分段函数、抽象函数、三次函数的性质的应用，难度处于适中及较难。

II卷考查了三次函数的性质及将函数与不等式结合考查，难度是较难的。总体来说函数主要以课程学习情

景为主，备考应以常见的选择题和填空题为主进行训练，难度跨度大，既有容易题，也有中档题，更有困

难题，而且常考常新。函数考查应关注：（1）指数函数、对数函数、号函数及一次函数、二次函数的图像

和性质是基础，要求考生要在理解的基础上熟练掌握这些函数的图像和性质，准确把握函数概念和性质的

本质，会处理分段函数与抽象函数的相关问题，会识别函数图像的变化。同时，指对运算也是常考查的知

识点，考生应加强对公式的理解及应用的训练。

（2）函数性质、零点、图像等问题是函数专题的重点考察内容，注意函数的奇偶性、单调性的综合应用，

注重数形结合，转化与化归思想以及构造新函数的训练，为突破难点作好准备工作。

试题精讲

一、单选题

-x?—2cix—axv0

,，’C,在R上单调递增，则。取值的范围是（）

{6*+111（元+1）,尤20

A.SO]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+⑹

2.（2024新高考I卷-8）已知函数为了（尤）的定义域为R,/（x）>/（.r-l）+/（x-2）,且当x<3时f（x）=x,

则下列结论中一定正确的是（）

A./（10）>100B./（20）>1000

C.『（10）<1000D./（20）<10000

3.12024新高考II卷.8）设函数函x）=（x+a）ln（x+b）,若〃幻20,则』+从的最小值为（）

A.-B.—C.gD.1

842

二、多选题

1.（2024新高考1卷-10）设函数/。）=（》-1）2（犬-4）,则（）

A.x=3是/（无）的极小值点B.当0<x<l时，/（x）</（x2）

C.当l<x<2时，-4</（2x-l）<0D.当—l<x<0时，f（2-x）>f{x}

2.（2024新高考H卷•II）设函数f（x）=2x3-3加+1,则（）

A.当时，Ax）有三个零点

B.当。<0时，x=0是AM的极大值点

C.存在a,6,使得x=b为曲线y=/（x）的对称轴

D.存在a,使得点。，/⑴）为曲线y=/（x）的对称中心

近年真题精选

一、单选题

1.（2023新高考I卷4）设函数/（力=2小同在区间（0,1）上单调递减，贝ija的取值范围是（）

A.（-co,-2]B.[-2,0）

C.（0,2]D.[2收）

22

2.（2022新高考II卷・8）已知函数/*）的定义域为R,且/'（X+y）+/（尤-y）=/（x）/（^）,/（D=1,则£/W=

k=\

A.-3B.-2C.0D.1

0y—1

3.(2023新高考H卷4)若/(x)=(尤+a)ln在1为偶函数，贝1］。=().

A.-1B.0C.1D.1

二、多选题

1.(2022新高考I卷J2)已知函数〃x)及其导函数/'(x)的定义域均为R,记g(x)=/'(无)，若/g一2》

g(2+x)均为偶函数，则()

A./(0)=0B.=°C./(-I)=/(4)D.g(-l)=g(2)

2.(2023新高考I卷J0)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级

4=20xlg且，其中常数为(为＞0)是听觉下限阈值，〃是实际声压.下表为不同声源的声压级:

Po

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽车105060

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为P”P2，P3,则().

A.P；P2B.p2>Wp3

C.P3=lOOpoD.“〈loop2

3.(2023新高考I卷JD已知函数3(无)的定义域为R,〃孙)=y2/(x)+x2〃y),则().

A./(0)=0B.f(l)=0

C.是偶函数D.x=0为/(x)的极小值点

必备知识速记

一、函数定义域限制

求解函数的定义域应注意：

(1)分式的分母不为零；

(2)偶次方根的被开方数大于或等于零：

(3)对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；

(4)零次幕或负指数次幕的底数不为零；

(5)三角函数中的正切y=tan%的定义域是｛R%£R^x^kx+—,keZ

(6)已知/("的定义域求解/的定义域，或已知/的定义域求/("的定义域，遵循两

点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则〕下，括号内式子的范围相同；

(7)对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.

二、基本初等函数的值域

(1)y=kx+b(k¥Q)的值域是R.

(2)y=♦+法+c(awo)的值域是：当〃>0时,值域为色g｝;当〃<0时,值域为｛y|4号卢｝.

(3)y=—(k^O)的值域是｛y\yN0).

(4)y=0”(a>0且a/1)的值域是(0,+oo).

(5)y=log。x(°>0且aH1)的值域是尺.

三、函数的单调性

(1)单调函数的定义

一般地，设函数/(x)的定义域为4,区间。qA：

如果对于。内的任意两个自变量的值为，9当占<当时，都有/(百)</5),那么就说/(x)在区间。上是

增函数.

如果对于。内的任意两个自变量的值不，七,当不<三时，都有/(王)</(当)，那么就说/(x)在区间。上

是减函数.

①属于定义域A内某个区间上；

②任意两个自变量不，X?且不<工2；

③都有了(占)<f(x2)或/&)>/(X2)；

④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的.

(2)复合函数的单调性

复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增(减)函数，内层函数是增(减)

函数，复合函数是增函数；外层函数是增(减)函数，内层函数是减(增)函数，复合函数是减函数.

四、函数的奇偶性

函数奇偶性的定义及图象特点

奇偶性定义图象特点

如果对于函数/(X)的定义域内任意一个X,都有/(_x)=/(x),那

偶函数关于y轴对称

么函数/(X)就叫做偶函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个X,都有/(-%)=-/(%),

奇函数关于原点对称

那么函数/(X)就叫做奇函数

判断/(-%)与f｛x｝的关系时，也可以使用如下结论：如果/(-%)-/(x)=0或上D=1(/(^)W0),则函数于(x)

f(x)

为偶函数；如果/■(—x)+y(x)=o或正立=-1(/0)W0),则函数y(x)为奇函数.

/(X)

注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x,f也

在定义域内(即定义域关于原点对称).

五、函数的对称性

(1)若函数y=/(x+a)为偶函数，则函数y=f(x)关于*=a对称.

⑵若函数y=为奇函数，则函数y=/(x)关于点(a,0)对称.

(3)若/(x)=f(2a-x),则函数f(x)关于x=a对称.

(4)若/(x)+/(2a-元)=26，则函数/(x)关于点(a,切对称.

六、函数的周期性

(1)周期函数：

对于函数y=/(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有/(x+T)=/(x),那

么就称函数y="x)为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：

如果在周期函数/(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做/(x)的最小正周期.

七、常见的幕函数图像及性质

函数y=xy-x2y=x-1

y

VVk

图象十(1/

7T0x

定义域RRR{x|x>0}{%|%wO}

值域R{yly>0)R{yly>0)3"。}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

在(YO,0)上单调递在(-w,0)和

在R上单在R上单调递在［0,+00)上单调

单调性减，在(0,+8)上单(0,+00)上单调递

调递增增递增

调递增减

公共点(1，1)

八、指数及指数运算

1、指数

(1)根式的定义：

一般地，如果尤,=a,那么x叫做。的〃次方根，其中(〃>1,weN*),记为标，〃称为根指数，。称为

根底数.

(2)根式的性质:

当〃为奇数时，正数的〃次方根是一个正数，负数的“次方根是一个负数.

当〃为偶数时，正数的〃次方根有两个，它们互为相反数.

(3)指数的概念：指数是基运算/(aw0)中的一个参数，。为底数，〃为指数，指数位于底数的右上角，塞

运算表示指数个底数相乘.

(4)有理数指数塞的分类

九个

①正整数指数累4=小a°,a(〃**)；②零指数幕'=1("°)；

③负整数指数累，"=5(4*0,〃eN*)；④0的正分数指数易等于0,0的负分数指数累没有意义.

(5)有理数指数幕的性质

①a"Z"=a"""(a>0,m,n&Q).②(a"')"=a'""(a>0,m,〃e。)；

③=a"7/"(a>0,b>0,m^Q)-④府=/g〉Q，m,MQ).

2、指数函数

y=ax

0<a<la>l

图

象

<L

o\~，o]17

性①定义域R,值域(0，+8)

质②a0=l,即时x=0,y=l,图象都经过(。，1)点

③优=a，即x=l时，，等于底数。

④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数

⑤％<。时，ax>1;尤>。时，X<。时，0<a”vl;犬>0时，ax>1

⑥既不是奇函数，也不是偶函数

九、对数及对数运算

1、对数式的运算

(1)对数的定义：一般地，如果优=N(a>0且。*1),那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=bg“N,读

作以。为底N的对数，其中。叫做对数的底数，N叫做真数.

(2)常见对数：

①一般对数：以。(。>0且。*1)为底，记为log〉读作以。为底N的对数；

②常用对数：以10为底，记为IgN；

③自然对数：以e为底，记为InN；

(3)对数的性质和运算法则：

①log：=0；log：=1；其中a>0且awl；

②=N(其中口>0且a，N>0)；

③对数换底公式：log/=^

log,a

④log.(ACV)=logaM+logaN；

M

⑤loga—=logaM-log/；

⑥logb"=—logb(m，雕eR)；

ama

⑦户*=6和log.4=6;

2、对数函数的定义及图像

(1)对数函数的定义：函数y=log“x(。>。且。片1)叫做对数函数.

对数函数的图象

a>\0<a<l

图象\(to)

0/i(1,0)

定义域：(0,+8)

值域：R

性质过定点(1,0),即X=1时，y=0

在(。，+8)上增函数在(0,+s)上是减函数

当Ovxvl时，y<。，当1之1时，丁之。当0<工<1时，y>0,当％之1时，y<0

十、函数与方程

1、函数的零点

对于函数y=,我们把使=0的实数无叫做函数〉=/(%)的零点.

2、方程的根与函数零点的关系

方程“X）=0有实数根o函数y="X）的图像与X轴有公共点o函数y="X）有零点.

3、零点存在性定理

如果函数y=〃尤）在区间［。回上的图像是连续不断的一条曲线，并且有〃0）"伍）＜0,那么函数＞=/（x）

在区间（a,6）内有零点，即存在ce（a,6）,使得f（c）=O,c也就是方程〃x）=0的根.

4、二分法

对于区间目上连续不断且"（b）＜0的函数〃x）,通过不断地把函数的零点

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程

〃x）=0的近似解就是求函数零点的近似值.

5、用二分法求函数/（x）零点近似值的步骤

（1）确定区间［a,可，验证/'（a＞f（6）＜0,给定精度£.

（2）求区间（a,6）的中点玉.

（3）计算/（再）.若〃可）=0,则芯就是函数/（力的零点;若〃。/（占）＜0,则令6=玉（此时零点

%）.若〃6）"（占）＜0,则令〃=演（此时零点及e（占,6））

（4）判断是否达到精确度€,即若心-W＜£,则函数零点的近似值为。（或匕）；否则重复第（2）—⑷

步.

用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.

【函数性质常用结论】

1、单调性技巧

（1）证明函数单调性的步骤

①取值：设三，X2是/（X）定义域内一个区间上的任意两个量，且不＜%；

②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；

③定号：判断差的正负或商与1的大小关系；

④得出结论.

（2）函数单调性的判断方法

①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值一变形一判断符号一下结论”进行判断.

②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性.

③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间.

（3）记住几条常用的结论：

①若/（x）是增函数，则-/（x）为减函数；若/（尤）是减函数，则-/。）为增函数；

②若f{x}和g（x）均为增（或减）函数，则在/（x）和g（x）的公共定义域上/（x）+g（x）为增（或减）函数；

③若/（x）＞0且/（x）为增函数，则函数J而为增函数，」—为减函数；

/（X）

④若〃x)>0且/(尤)为减函数，则函数J而为减函数，,为增函数.

/(X)

2、奇偶性技巧

(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.

(2)奇偶函数的图象特征.

函数/(X)是偶函数o函数/(》)的图象关于y轴对称；

函数/(x)是奇函数O函数/(x)的图象关于原点中心对称.

⑶若奇函数y="x)在x=0处有意义，则有/(0)=0；

偶函数y=f(x)必满足f(x)=/(|x|).

(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个

区间上单调性相同.

(5)若函数以X)的定义域关于原点对称，则函数f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记

g(x)=+/(-x)］，/?(x)=1［/(x)-/(-x)］，则f(x)=g(x)+h(x).

(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，

如/(x)+g(x),/(x)-g(x),f(x)Xg(尤),/(x)-i-g(x).

对于运算函数有如下结论：奇土奇=奇；偶士偶=偶;奇士偶=非奇非偶；

奇乂(十)奇=偶；奇、(+)偶=奇；偶x(十)偶=偶.

(7)复合函数y=/［g(x)］的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.

(8)常见奇偶性函数模型

奇函数：①函数f(x)=根(4)&*0)或函数f(x)=m(^l).

a'-1ax+\

②函数=.

③函数f(X)=log”吐色=loga(1+且-)或函数/(X)=log”2二^=log”(1一-—)

x-mx-mx+mx+m

2

④函数/(X)=log.(y/x+\+x)或函数/(x)=loga(G+1-x).

注意：关于①式，可以写成函数/(x)=〃2+W上(xwO)或函数/(无)=(〃zeR).

a-1a+1

偶函数：①函数/(%)=土S+L).

，KY

②函数/(x)=logfl(a+l)-™.

③函数/(|尤|)类型的一切函数.

④常数函数

3、周期性技巧

函数式满足关系(尤eR)周期

/(x+T)=/(x)T

/(x+T)=-/(x)2T

/(X+T)=I"(尤+T)=_I

2T

/(x)fM

/(x+r)=/(x-r)2T

/U+r)=-/(x-r)4T

1f(a+x)=f(a-x)

2(b-a)

[f(b+x)=f(b-x)

\f{a+x)=f{a-x)

[/■(尤)为偶函数la

{f(a+x)=-/(a-x)

2(b-a)

f(b+x)=-/(6-x)

/(a+x)=-/(a-%)

la

/(x)为奇函数

I/(a+x)=/(a-尤)

4s-〃)

f(Jy+x)=-f(b-x)

1/(a+尤)=/(a-尤)

[/(尤)为奇函数4a

f(a+x)=-/(a-x)

4〃

/(x)为偶函数

4、函数的的对称性与周期性的关系

(1)若函数y=/(x)有两条对称轴x=a,x=b(a<b),则函数/(x)是周期函数，且T=2(6—a);

(2)若函数y=/(x)的图象有两个对称中心(a,c),(4c)(a<6),则函数y=/(x)是周期函数，且T=2(6-。)；

(3)若函数y=/(x)有一条对称轴*="和一个对称中心(仇0)(0<力，则函数y=/(x)是周期函数，且

T=4(6—a).

5、对称性技巧

(1)若函数y=了。)关于直线x=a对称，则/("+%)=f{a-x).

(2)若函数y=/(%)关于点(a,。)对称，贝!J/(〃+X)+/(〃—％)=25.

(3)函数y=f(a+x)与y=/(a-x)关于)轴对称，函数y=f(a+x)与y=关于原点对称.

一、单选题

1—/lpx

1.(2024•黑龙江齐齐哈尔・三模)若/(x)=------sinx为偶函数，贝lj〃=()

l+ex

A.1B.0C.-1D.2

2.（2024・湖南邵阳•三模）是“函数〃力="-。（a>0且awl）在R上单调递减”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2024・湖南长沙•三模）地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔斯•

里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为IgA-1乳，其中M表示某地地震的里氏震级，A

表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅，4表示这次地震中的标准地震振幅.假设在一次地震中，

某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为5000,且这次地震的标准地震振幅为0.002,则该地这次地震

的里氏震级约为（）（参考数据：坨2合0.3）

A.6.3级B.6.4级C.7.4级D.7.6级

4.（2024・河北•二模）已知函数y=〃x-l）为奇函数，则函数y=〃x）+l的图象（）

A.关于点。,1）对称B.关于点（1,-1）对称

C.关于点（-1,1）对称D.关于点对称

x2-2ax,x>\

5.（2024•陕西渭南.二模）已知函数/（尤）=°是R上的增函数，则实数。的取值范围是（）

—X—l,x<1

12

A.（0,1）B.（0,1]C.（0,1）D.（0,1]

6.（2024・湖北•二模）已知函数"x）=log5（，-2）在[1,+a））上单调递增，则0的取值范围是（）

A.B.[ln2,-H»）C.（2,+oo）D.[2,+oo）

7.（2024•宁夏银川•三模）己知函数=则下列说法不正确的是（）

A.函数〃尤）单调递增B.函数〃尤）值域为（0,2）

C.函数的图象关于（0』）对称D.函数的图象关于（L1）对称

8.（2023•辽宁葫芦岛•二模）已知函数〃尤）=/-》+1,则（）

A./⑴有一个极值点

B.〃尤）有两个零点

C.点（0,1）是曲线>=/（无）的对称中心

D.直线y=2x是曲线y=/（x）的切线

9.（2024•宁夏银川•三模）已知函数/（x）=V-7炉+14%一。有3个零点小巧，毛（玉<马<毛），有以下

四种说法：

①'>0

②W<4

③存在实数。，使得毛，巧，％成等差数列

④存在实数。，使得4,巧，斗成等比数列

则其中正确的说法有（）种.

A.1B.2C.3D.4

("1)*一；"411

10.（2024・河北保定•三模）已知/（%）=<a（。>1）的值域为。，。=',+8）,贝I。的取值范

XH-----1,X>1

围是()

35537

A.t-,2]B.C.[-,2)D.[-,2]

24

11.（2024.河南.三模）设函数/（尤）的定义域为R,y=/（x-1）+1为奇函数，,=/卜-2）为偶函数，若

“2024）=1,则〃-2）=（）

A.1B.-1C.0D.-3

12.（2024・四川.三模）已知定义在R上的函数“X）在区间［TO］上单调递增，且满足〃4-x）=〃x）,

/（2-x）=-/（x）,则（）

A.Xf(k)=QB.f(0.9)+/(1.2)>0C.f(2.5)>/(log280)D./(sinl)</fln!

2=1I4

13.（2024.四川.三模）定义在R上的函数丁=〃M与，=8（司的图象关于直线x=l对称，且函数

y=g（2x—1）+1为奇函数，则函数y=/（x）图象的对称中心是（）

A.（―1,—1）B.（—1,1）C.（3,1）D.（3,-1）

二、多选题

14.（2024•全国•模拟预测）已知函数/（x）=V+依2+&X+C下列结论中正确的是（）

A.若/（%）=0,则为是/⑴的极值点

B.HXoeR,使得/（%）=。

C.若看是Ax）的极小值点，则/（x）在区间（-8,x0）上单调递减

D.函数y=/（x）的图象是中心对称图形

15.（2024•湖南长沙•模拟预测）瓶，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子

组成，并带有放射性，会发生月衰变，其半衰期是12.43年.样本中旅的质量N随时间r（单位:年）的衰变规律

满足N=N°-2一品，其中或表示旅原有的质量，贝IJ（）（参考数据:1g2Q0.301）

N

A.r=12.431og2—

B.经过24.86年后，样本中的瓶元素会全部消失

C.经过62.15年后，样本中的瓶元素变为原来的《

D.若尤年后，样本中旅元素的含量为0.4N。，贝丘>16

16.(2024.福建厦门•模拟预测)已知函数“X)的定义域为R,〃%+〉)=工学+/3,且/⑴=1,则()

eye

A./(O)=OB./(-l)=e2

C.e"(x)为奇函数D.在(0,+s)上具有单调性

17.(2024.江西南昌.三模)已知函数/'(x)=a/+6尤?+cx+d(a*0),若y=1f(x)-2|的图象关于直线x=l对

称，则下列说法正确的是()

A.y="(x)l的图象也关于直线尤=1对称B.y