湖南省娄底市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

湖南省娄底市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

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题号——总分

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一、选择题(本大题共12道小题，共36分

1.下列函数是y关于x的反比例函数的是()

—久

C.y=nD

A.yx+lB.yx2」2x-y=

2.已知注=|，则下列式子不成立的是()

A.5%=3yB.3x=5yC-=-D.一

・yxx3

3.方程为2=£的根是()

A.x=0B.x=±1C.%1=0,%2=1D.％=1

4.如图，AABC中，ZC=90°,AC=2,BC=1,则cosB的值是（）

5.关于反比例函数y=-1的图象和性质，下列说法不正琥的是()

A.函数图象经过点(-3,2)B.函数图象在第二、四象限

C.比例系数是—6D.当％>0时，y随久的增大而减小

6.一个学习小组有久人，春节期间，每两人互送贺卡一张，若全组共送出贺卡56张，则()

11

A.1)=56B.1)=56

C.%(%—1)=56D.%(%+1)=56

7.在三角形AB。中，已知点4(—6,3),B(—6,-4),以原点。为位似中心，相似比为把△AB。缩小,

则点/的对称点4的坐标是()

A.(—2,1)B.(—8,4)

C.(-8,4)或(8,-4)D.(―2,1)或(2,-1)

8.如图所示(图像在第二象限)，若点2在反比例函数y=0)的图像上，AMJ.久轴于点M,△AM。的

面积为3,则k的值为()

1

9.《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法.如图所示，在井口/处立一根垂直于井口的

木杆AB,从木杆的顶端B观察井水水岸D,视线BD与井口的直径AC交于点E,如果测得AB=1米,AC=1.6

,4E=0.4米，那么CD为（）米.

A.5B.4

10.西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据北京

的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为a,已知，冬至时北京的正午日光入射角乙4BC约为26.5。，则立

柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC的长）约为（）

冬至线立春春分立夏夏至线

立冬秋分立秋

aa

讥acos2650

A.as26.5°B.cos26.5°C.D.tan26.5°

11.如图，直线了=x+2与反比例函y=1的图像在第一象限交于点P若。P=囱，则上的值为（）

2

C.10D.12

12.如图，已知顶点为（-3,-6）的抛物线产aF+fcv+c经过点（-1,-4）,则下列结论中错误的是（）

-4

-6

A.b2>4ac

B.ax2+bx+c>-6

C.若点（-2,m）,（-5,n）在抛物线上，则相>〃

D.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的两根为-5和-1

二'填空题（本大题共6道小题，共18分

13.从1000个零件中任意抽取100个检测，有2个不合格，估计这1000个零件中合格的零件约有个.

14.若y=（6+1）£/一讥+3%是了关于x的二次函数，则巾=.

15.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，尸为的黄金分割点（4P>PB）,

如果AB的长度为8cm,那么AP的长度为cm.

16.如图，有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙（墙长为15血），另外三边用长为16m的篱笆围成，则这个苗圃

园面积的最大值为-

苗圃园

17.定义：在平面直角坐标系中，点M（%o,y0）到直线Z：y=♦的距离d=生了^普,问：点（—2,3））

至Uy=_*的是巨离为•

18.如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，Na、如图所示，则sin（Q+或）=.

3

三'解答题（共66分，第19、20题各6分；第21、22题各8分；第23、24题各9分；第25、26

题各10分）

19.计算：4V3COS300-V2sin450+2cos60°tan45°.

20.已知关于x的一元二次方程/一2%-小=0有实数根.

（1）求m的取值范围；

（2）若两实数根分别为打和久2,且无12+初2=6,求加的值.

21.如图，在矩形4BCD中，AB=6,BC=4,E是边BC上的一点（不与B、C重合），DF1AE,垂足为F.

(1)求证：△ABESADFA；

(2)若SADF4=WSAABE，求BE的长.

22.人口自然增长率（人口自然增长率=人口出生率-人口死亡率）是反映人口自然增长的趋势和速度的指标.根

据对多年的人口出生率和死亡率的数据进行了整理、描述和分析，形成了如下统计表和统计图.

指标2015年2016年2017年2018年2019年2020年2021年2022年

人口出生率

11.9913.5712.6410.8610.48.527.526.77

（%。）

人口死亡率

7.077.047.067.087.097.077.187.37

（%。）

人口出生率（％。）

♦一人口死亡率（％0）

2015年2016年2017年2018年2019年2020年2021年2022年

(1)求2022年的人口自然增长率.

（2）从2015年—2022年，年的人口自然增长率最大.

（3）下列推断合理的是.（只填序号）

①2015年—2016年，人口出生率呈上升趋势；2016年—2022年，人口出生率呈下降趋势；

②人口自然增长率从2016年起持续呈下降趋势，是因为人口死亡率持续呈上升趋势；

③优化三孩生育政策有利于应对我国人口减少问题.

23.为积极响应新旧动能转换.提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成

本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年

销售量为550台.假定该设备的年销售量了（单位：台）和销售单价双单位：万元）成一次函数关系.

（1）求年销售量y与销售单价X的函数关系式；

（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润.则该设

备的销售单价应是多少万元？

24.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的体现，在计算ta"5。时，如图1,在中，ZC=

AC_]_2一月_

90°,LABC=30。，延长CB使BD=AB,连接AD,得乙D=15°,所以tanl5。

~CD—2+V3―(2+V3)(2-V3)-

2-V3.类比这种方法,

图I图2

5

(1)类比这种方法，求得1加22.5。=；

(2)如图2,锐角乙4BC=仇，已知tcma=7n,求证：tan—=-«

2m

25.如图，一次函数>=久+1与反比例函数y=］的图像相交于点2(2,3)和点B.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)过点B作BC1无轴于C,求S“BC；

(3)过点B作BCLx轴于C,问：是否在y轴上存在一点。，使得BC+CD的值最小，若存在，求出。

的坐标；若不存在，说明理由.

26.如图，在平面直角坐标系中，点4(1,2),B(5,0),抛物线y=a/—2ax(a>0)交x轴正半轴于点C,

连结4。，AB.

6

(1)求点C的坐标和直线的表达式;

(2)设抛物线丫=a/-2ax(a>0)分别交边艮4,B4延长线于点DE.

①若△CDB与△B。/相似，求抛物线表达式；

②若AOAE是等腰三角形，则a的值为▲(请直接写出答案即可).

7

答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】A、是y与(x+1)的反比例函数，A不符合题意；

Jx+1J

B、：y=妥是y与x2的反比例函数，；.B不符合题意；

C、•.》=—；是y与x的反比例函数，；.C符合题意；

D、•.》=—★是y与—占的一次函数，，D不符合题意；

故答案为：C.

【分析】利用反比例函数的定义逐项分析判断即可.

2.【答案】B

【解析】【解答】A、•••5%=3y,.•：=!，，A正确,不符合题意;

B、：3%=5y,.•.尹今；.B不正确，符合题意；

C、二=热片=等正确’不符合题意；

yAy3

D、y=|,.•.尹春，,D正确，不符合题意；

故答案为：B.

【分析】利用比例线段的性质逐项分析判断即可.

3.【答案】C

【解析】【解答】V%2=%,

Ax(x-1)=0,

解得：%1-0,%2=1，

故答案为：C.

【分析】利用因式分解法求解一元二次方程即可.

4.【答案】C

【解析】【解答】：NC=90°,AC=2,BC=1,

AB=Jac2+B°2=花，

.口—BC1底

^^COsQ=AB=^=^,

故答案为：C.

【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用余弦定义及计算方法分析求解即可.

5.【答案】D

8

【解析】【解答】A、将点x=-3代入y=—《可得：y=—骂=2,.♦.函数图象经过点（—3,2）,；.A正确，不符

合题意；

B、•.•反比例函数的解析式为y=-2.•.函数图象在第二、四象限，，B正确，不符合题意；

JX

C、•.•反比例函数的解析式为y=-2.•.比例系数是一6,.二C正确，不符合题意；

D、..•反比例函数的解析式为y=-...函数图象在第二、四象限，...在每一个象限中，y随x的增大而增大,

；.D不正确，符合题意；

故答案为：D.

【分析】利用反比例函数的性质和图象与系数的关系逐项分析判断即可.

6.【答案】C

【解析】【解答】根据题意可得：%（%-1）=56,

故答案为：C.

【分析】根据“全组共送出贺卡56张”列出方程无（尤-1）=56即可.

7.【答案】D

【解析】【解答】•••点A的坐标为（-6,3）,以原点。为位似中心，相似比为：，把AABO缩小，

.,.点A，的坐标为（-2,1）或（2,-1）,

故答案为：D.

【分析】分类讨论，再利用位似图形的性质及相似比求出点A，的坐标即可.

8.【答案】D

【解析】【解答】轴于点M,△力M0的面积为3,

A|k|=2SAAM0=2><3=6,

.•.k=±6,

・・•反比例函数的图象在第二象限，

Ak<0,

k=-6,

故答案为：D.

【分析】利用反比例函数k的几何意义可得|k|=2S^AMo=2x3=6,再利用反比例函数的图象与系数的关系求出k

的值即可.

9.【答案】C

【解析】【解答】VAC=1.6,AE=0.4,

・・・CE=AC-AE=1.6-04=1.2,

VZBAE=ZDCE=90°,NAEB=NCED,

9

，△ABEdCDE,

.AB__AE^

"DC-C£,

.1_0.4

"CD-

解得：CD=3,

故答案为：C.

【分析】先证出△ABEs/XCDE,可得偿=器，再将数据代入求出CD的长即可.

DCCE

10.【答案】D

【解析】【解答】在RtZkABC中，ZABC=26.5°,AC=a,

：tan/ABC嚼，

•-Q_ACCL

••tanzXBC-tan26.5Q,

故答案为：D.

【分析】利用解直角三角形的方法可得tan/ABC嗡，再将数据代入求出BC的长即可.

11.【答案】B

【解析】【解答】设点P的坐标为（m,m+2）,

VOP=V20，

:・+（7n+2）2=y/20,

解得：mi=2,m2=-4（舍）,

・••点P的坐标为（2,4）,

将点P（2,4）代入y=&,

可得：k=2x4=8,

故答案为：B.

【分析】设点P的坐标为（m,m+2）,利用两点之间的距离公式可得。皿2+（〃+2）2=简求出m的值可得点

P的坐标，再将其代入y=（求出k的值即可.

12.【答案】C

【解析】【解答】解：A、图象与x轴有两个交点，方程aN+bx+cR有两个不相等的实数根，〃-4公＞0所以

b2＞4ac,故A选项正确；

B、抛物线的开口向上，函数有最小值，因为抛物线的最小值为-6,所以依2+以+e-6,故B选项正确；

C、抛物线的对称轴为直线x=-3,因为-5离对称轴的距离大于-2离对称轴的距离，所以用＜〃，故C选项

错误；

10

D、根据抛物线的对称性可知，(-1,-4)关于对称轴的对称点为(-5,-4),所以关于x的一元二次方程

ax2+bx+c=-4的两根为-5和-1,故D选项正确.

故选C.

【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。

13.【答案】980

【解析】【解答】设这1000个零件中合格的零件约有X个，

根据题意可得：嬴=当空，

解得：x=980,

.•.这1000个零件中合格的零件约有980个，

故答案为：980.

【分析】设这1000个零件中合格的零件约有x个,利用“抽取100个检测,有2个不合格”列出方程赢=当浮

再求出x的值即可.

14.【答案】2

【解析】【解答】'：y=(血+1)%症-机+3尤是〉关于》的二次函数，

・fTH+1W0

*<m2—m=2'

解得：m=2,

故答案为：2.

【分析】利用二次函数的定义可得f1+1。再求出m的值即可.

17nz_m=2

15.【答案】4V5-4

【解析】【解答】:•点P为AB的黄金分割点(AP>PB),

••AP=X8=4V5-4>

故答案为：4A/5—4.

【分析】利用黄金分割点的定义可得AP=早4B，再将AB的长代入计算即可.

16.【答案】32

【解析】【解答】设垂直于墙面的长为xm,则平行于墙面的长为(16-2x)m,苗圃园面积为y,

根据题意可得：y=x(16-2x)=-2(x-4)2+32,(x<8),

•・,墙长为15m,

・•・16-2x315,

解得:0.5<x<8,

11

.•.当x=4时，y有最大值为32,

故答案为：32.

【分析】设垂直于墙面的长为xm,则平行于墙面的长为(16-2x)m,苗圃园面积为y,再利用矩形的面积公式

求出产x(16-2x)=-2(x-4)2+32,最后利用二次函数的性质分析求解即可.

17.【答案】4

3

31俘x(-2)-3|_|-|4-|_|-5|_4

【解析】【解答】根据题意可得：点(—2,3))到y=部勺距离为[⑦2]—J磊;]_息_'

故答案为：4.

【分析】根据题干中的定义及计算方法列出算式求解即可。

18.【答案】竽

【解析】【解答】解：连接DE,如图所示：

在AABC中，ZABC=120°,BA=BC,

.•.Za=30°,

同理得：ZCDE=ZCED=30°=Za.

又：ZAEC=60°,

ZAED=ZAEC+ZCED=90°.

设等边三角形的边长为a,则AE=2a,DE=2xsin60°«a=V3a,

AD=JAE2+DE2=(2以+(图)2=V7a,

,qjn(C+R)=2a_2/7

・・sm-AD~~~

故答案为：竿.

【分析】连接DE,先求出NCDE=NCED=30o=Na.再求出NAED=NAEC+NCED=90。，设等边三角形的边长

AV9/7

为a,贝!JAE=2a,DE=2xsin6()o・a=V^a,利用勾股定理求出AD的长，最后利用正弦的定义求出sin(a+p)=亚=万^

=挈即可.

19.【答案】解：4V3cos30°-V2sin45°+2cos60°tan45°

12

=4V3x^-V2x^+2x|xl

=6-1+1

二6

【解析】【分析】先利用特殊角的三角函数值化简，再计算即可.

20.【答案】（1）解：・・,关于x的一元二次方程/-2%-租=0有实数根,

/.A=b2-4ac=4+4m>0,

解得：m>-1；

（2）解：:Xi和X2是方程%2-2%-TH=0的两个实数根，

VXI+X2=2,X1X2=-m,

.*.X12+X22=（X1+X2）2-2X1・X2=6,

22+2m=6,

解得：m=l.

【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；

（2）利用一元二次方程根与系数的关系可得X1+X2=2,X1X2=-m,再结合％F+牝2=6可得22+2m=6,最

后求出m的值即可.

2L【答案】（1）证明：・・•四边形是矩形，AB=6,BC=4,

：.LB=90°,AD||BC,AD=BC=4,

：.^AEB=^DAF,

9：DFLAE,

：.^DFA=90°,

/.Z-B=Z,DFA,

△ABEDFA；

（2）解：,**△ABEDFAS&DFA=%SXABE，

•（/E、2_SAABE_o

・・M一三厂九

.•嗡=唐或芸=-百（负数不符合题意，舍去），

••AE=y/3AD=4A/3,

'-BE=-JAE2-AB2=J（4V3）2-62=V12=2后

.♦.BE的长为28.

【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得乙4EB=ADAF,再结合ZB=^DFA即可证出△ABE八DFA.

（2）利用相似三角形的性质可得（鉴/=第氏=3,再求出AE=6AD=4V3,最后利用勾股定理求出BE

13

的长即可.

22.【答案】(1)解:6.77%o-7.37%o=-0.6%o.

答：2022年的人口自然增长率是-0.6%o.

(2)2016

⑶①③

【解析】【解答】(2)根据统计表和统计可以看出2016人口出生率最大，人口死亡率最低，

...2016年的人口自然增长率最大，

故答案为：2016；

(3)①：2015年-2016年，人口出生率呈上升趋势，2016年-2022年，人口出生率呈下降趋势，.•.①合理；

②•••人口自然增长率从2016年起持续呈下降趋势，.•.②不符合题意；

③•••由于人口出生率下降，.•.优化三孩生育政策有利于应对我国人口减少问题，...③合理，

故答案为：①③.

【分析】(1)根据表格中的数据列出算式求解即可；

(2)根据统计表和折线统计图分析求解即可；

(3)根据统计表和折线统计图分析求解即可.

23.【答案】(1)解：设年销售量y与销售单价x的函数关系式为丫=1翘+6(脖0),

将(40,600)、(45,550)代入y=kx+b,得：｛:射?二歌,

解得：｛之湍),

.•.年销售量y与销售单价X的函数关系式为y=-lOx+1000.

(2)解：设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为(x-30)万元，销售数量为(-lOx+1000)

台，

根据题意得：(x-30)(-lOx+1000)=10000,

整理，得：x2-130x+4000=0,

解得：xi=50,X2=80.

•.•此设备的销售单价不得高于70万元，

.•.x=50.

答：该设备的销售单价应是50万元/台.

【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出函数解析式即可；

(2)设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为(x-30)万元，销售数量为(-lOx+1000)台,

再根据“该公司想获得10000万元的年利润”列出方程(x-30)(-lOx+1000)=10000,再求解即可.

24.【答案】⑴V2-1

14

(2)证明：延长使3。=48,连接4D,得〃=全

设BC=1,

•・•tana—m,

•••AC=m,AB=yjm2+l^

CD=Jm2+1+1

・tan——m—血(碗2+1_1)_(痴2+1-1)

2Vm2+1+1(Vm2+1+1)(7m2+l—1)m

【解析】【解答］解：(1)作使4。=90。，乙43。=45。，延长到Q,使3D=48,连接ZD,

设=贝!J=%,AB-V2x,CD=(1+V2)x,

AC_x

tan22.5°=tanzD==V2-1,

CD~(1+72)X

故答案为：V2—1；

【分析】(1)延长CB到D,使BD=4B,连接2。，设47=%,则BC=x,AB=岳,CD=(1+V2)%,再

ACX_

利用正切的定义可得tan22.5。=tanzD=旗=万金&=^2-1；

(2)延长CB使BD=/B,连接40,设BC=1,再结合tcma=zn求出AB=+1，最后利用正切的定

mm(Vm2+l—1)_(Vm2+1—1)

义可得tan3=;从而得解.

Vm2+1+1(7m2+l+1)(7m2+l—1)m

25•【答案】(1)解：•.•反比例函数y=：过点4(2,3),

:・y=2x3=6,

...反比例函数的关系式为y=g

JY

(2)解：•.•一次函数丫=久+1与反比例函数y=］的图像相交于点4(2,3)和点B,

y=x+1

6

7y=—x

15

=—3

解得:-%2=2

.yi=一2'»2=3'

••B(—3,—2),

又,.•BC1久轴,

•♦点C(—3,0),

设孙、％c分别为点&、C的横坐标，yB>yc分别为点B、C的纵坐标,

11

•••SAABC=1(yc-yB)(^-%c)=1[0-(-2)][2-(-3)]=5,

即SAABC=5；

(3)解：存在，理由为:

如图，作C关于y轴的对称点C',连接BC'交y轴于点。，连接CD,

ACD=CD,

：.BD+CD=BD+CD=BC,止匕时BD+CD最小,

VC(-3,0),

"(3,0),

设直线BC'的解析式为y=mx+n,过点B(-3,-2),C,(3,0),

・r—3m+n=—2

'13m+n=0

(