函数零点问题七大题型（学生版）-2024年高考数学重难点题型突破

重难点专题06函数零点问题七大题型汇总

题型1分段函数的零点............................................................1

题型2唯一零点问题..............................................................2

题型3指对幕函数零点............................................................3

题型4含有绝对值函数的零点.....................................................4

题型5复合函数零点..............................................................5

题型6函数中的整数问题..........................................................6

题型7三角函数的零点............................................................6

题型1分段函数的零点

【例题1】(2023•贵州贵阳•校联考三模)已知函数/(")={/,居其中

aeR,若/(x)在区间(0,+8)内恰好有4个零点，则a的取值范围是()

A[I，|]C.(|.|]D,[|,|]

【变式1-1】1.(2023•海南海口・海南华侨中学校考一模)关于函数，/(%)=

{log2(x+jy-^x<3.5其中口力eR,给出下列四个结论：

甲：5是该函数的零点.

乙：4是该函数的零点.

丙：该函数的所有零点之积为0.

T：方程汽吗=1有两个不等的实根.

若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是()

A.甲B.乙C.丙D.T

【变式1-1]2.(2023・天津滨海新•天津市滨海新区塘沽第一中学校考三模)设f(吗是定义

在R上的函数,若尸(%)=f(x)+>是奇函数.G(x)=f(x)T是偶函数,函数g(x)=

ff(x),xe[0,1]

I2g(x-l),xG(1,+oo),则下列说法正确的个数有)

(1)当％e[2,3]时，g(x)=-2(x-2)(x-3)

⑵g(甲)=2J(k6N*)

(3)若g(a)22,则实数m的最小值为:

(4)若h(久)=g(久)—k(x—2)有三个零点，则实数k=—：

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式1-1】3.（2023•天津武清•天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）设a€R,函

数/⑺=｛三芯】犷鲁屋段笈与函数9。）=以在区间[。，+⑹内恰有3个零点，

则a的取值范围是.

【变式Ml4.（2023福建厦门统考模拟预测）函数f（久）=[X2^4axi8,x>a，当。=1

时，/（久）的零点个数为；若久久）恰有4个零点，贝Ua的取值范围

是•

题型2唯一零点问题

【例题2]（2023秋・重庆•高三统考阶段练习）在数列｛an｝中，％=1,且函数/⑶=必+an+1

sinx—（2c1n+3）%+3的导函数有唯一零点，则ag的值为（）.

A.1021B.1022C.1023D.1024

【变式2-1】1.（2023•全国•高三专题练习）已知函数g（x）,以久）分别是定义在R上的偶

函数和奇函数，且g（x）+h（x）=ex+x,若函数/（x）=fAil+4g（x-1）-2/12有唯一零点,

则正实数4的值为（）

A.IB.IC.1D.2

【变式2-1】2.（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（久）=如2+85久—196/?）,若

函数f（x）有唯一零点，则a的取值范围为（）

A.(—8,0)B.(—OO,0)U[1,+00)

C.（—oo/O]U[L+8）D.（—00,—1]U[1,+00）

22

【变式2-1]3.（2023•全国•高三专题练习）已知函豺（久）=2e『l—家2A2+2-）-a

有唯一零点，则负实数2三—

A.-2B.C.-1D.-域-1

【变式2-1]4.（2021春谄阳期末）存在实数a使得函数f（久）=2工+2^-ma2+a-3有

唯一零点，则实数小的取值范围是（）.

A.（-8,4B.（-oo,0]C.[o,i]D.{o,：}

题型3指对幕函数零点

【例题3】（2023秋•重庆万州•高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）定义在R上的

偶函数满足/'（2-x）=f（x+2）,当xe[0,2]时,/（%）=（Ve）x,若在区间％e[0,10]内,

函数。（久）=/（%）-mx-l,（m>0）有5个零点，则实数机的取值范围是（）

A.目阴B.（0宙）

C（詈，钓D.（o.*]

【变式3-1】1.（2021秋•绍兴期末）已知a,hceR,a+b+c=O,若3a/

+2kv+c=0（a力0）的两个实根是盯，x2,则QJ-II+的最小值是（）

A.噌6B.坐3C.V3D.2V3

【变式3-1]2.（2023•陕西•西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知4>0,若关于x

的方程丫-&+加（版）=0存在正零点，则实数4的取值范围为（）

A.（—00,1]B.[1,4-00）C.（—00,3]D.[3,+00）

【变式3-1】3.（2023•吉林通化・梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数了（x）=e，-a

Inx有两个大于1的零点，则a的取值范围可以是（）

A.(0,1]B.(I,ee]

c.(ete]D.[ee+%2e)

【变式3-1]4.(多选)(2023广东广州•华南师大附中校考三模)已知/Xx)=萼+前=

-k(keR)有三个不相等的零点X1,%2,%3,且%1<久2<%3,则下列命题正确的是()

A.存在实数k,使得久1=1

B.x3>e

C.ke(i,|)

D.(詈+2[詈+3(詈+0为定值

题型4含有绝对值函数的零点

【例题4】(2023•全国•高三专题练习)若函数f(x)=ax2-2x-出一3+1|有且仅有两个

零点，贝M的取值范围为.

【变式4-1】1.(2021春•宁夏校级月考)已知函数八%)=出+3用，xER.若方程f(x)-a

|%-1|=。恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为.

【变式4-1]2.(2021秋•浦东新区校级月考)已知函数f(x)={7-g潢xjo

9>0且。41)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|=2-x恰有两个不相等的实数解，

贝！la的取值范围是.

【变式4-1】3.(2021秋•瑶海区校级期末)已知函数/'(x),g(x)分别是定义在R上的偶函

数和奇函数，且满足f(x)+g(x)=2-x,贝炉(0)的值为；若关于x的方程

2|x-202i|_2021)—242=0有唯一的实数解，则实数4的值为.

【变式4-114.(2023•青海西宁•统考二模)函数/⑺=4sin次-|x-1|的所有零点之和

为()

A.4B.5C.6D.7

【变式4-1】5.(2021•义乌市月考)已知f(x)=(|%|+a2-l)-ln|x+a|,满足f(x)>0

在定义域上恒成立，则a的值为.

题型5复合函数零点

【例题5】（2023秋•河南•高三校联考开学考试）已知函数g（x）=（e为自然对

数的底数），则函数人切=9也。）]—凝。）—1的零点个数为（）

A.1B.3C.5D.7

【变式5-1】1.（2023•江苏镇江•扬中市第二高级中学校考模拟预测）函数-久）=（》凶+1,

若9（久）=2产（久）—（2。+3）/（久）+3。有4个零点，则a的取值范围是（）

A.（1,2）B.[|,2）

C（。4H|,2）D.（1,|）呜2）

【变式5-1]2.（2023•陕西商洛传真安中学校考模拟预测）已知函数/（%）=匐;梵,孙）

=x2-2x,记函数F（K）=5（/（x））-m,若函数F（x）恰有三个不同的零点％1，冷两，且当<久2

<x3,则打一2冷+4右的最大值为（）

A.1-In3B.1+In3C.3-In3D.3+In3

【变式5-1】3.（2023•江苏南京・南京市第一中学校考模拟预测）已知函数/（久）=

f—x2+x+2,x<02

空,xN0，若函数。（吗=26产（无）-好。）+:恰有6个零点，则实数a的取值范

le—一

围为.

【变式5-1】4.（2023•江苏镇江扬中市第二高级中学校考模拟预测）已知函数/0）=

（2x3-3?+i,x<i-贝1,司时，/（久）的最小值为，设g（x）=[f（x）]2—/（>）

+a,若函数g（x）有6个零点，则实数a的取值范围是.

题型6函数中的整数问题

【例题6】（2023・陕西西安・陕西师大附中校考模拟预测）已知函数-x）=Inx+1-小/有

两个零点a力，且存在唯一的整数与6口句，则实数小的取值范围为（）

A.（0,f）B.隋aA号,1）D,（喑1]

【变式6-1】1.（多选）（2023•全国•高三专题练习）关于x的函数/（“）=

]一+:二炉”…有4个零点则整数k的可能取值为（）

（/（I—X）+k—6,x<0

A.5B.6C.7D.9

【变式6-1】2.侈选）（2023•全国•高三专题练习）若（34）（%2+6户0对任意xW（.8,0]

恒成立，其中a,。是整数，贝必+6的可能取值为（）

A.-7B.-5C.*6D.-17

【变式6-1]3.（2023・河南•校联考模拟预测）已知函娄好（%）=（2x-3）e2-（ax+l）ez+2a

e、（a>0,aeR）,若存在唯一的整数码使得f（X）>0,则实数a的取值范围是.

【变式6-1】4.（2023・全国•高三专题练习）函数/'（久）=—asin久（a<—1）.若三沏

6R,使得久久0）+a3>3历（自）成立，则整数a的最大值为.（参考数据：In

2=0.7,ln3=l.lzln5=1.6）

【变式6-1】5.（202式中卫二模）已知函数尸<（%—1）+胪一12,若函数/Xx）的单

调递减区间（理解为闭区间）中包含且仅包含两个正整数，则实数k的取值范围为（）

题型7三角函数的零点

【例题7】（多选）（2023秋•福建厦门•高三福建省厦门第二中学校考开学考试）设函数f（x）

=sin（3x+£）（3>0）,已知/'（x）在[0,2亩有且仅有5个零点，贝（]（）

A.f（x）在（0,2#有且仅有3个极大值点

B.f（久）在（0,2汨有且仅有2个极小值点

C./⑴在(0端)单调递增

D.3的取值范围是他,(1)

【变式7-1】1.(多选)(2023秋•黑龙江鹤岗•高三鹤岗一中校考开学考试)函数

f(x)=for-|sinx|在(0,+8)上有两个零点(a<£),下列说法正确的是()

A.8«苧,当B.tan"a=^^

C.tan(0+9=^1D.f(x)在(0,2TT)上有2个极值点X1H2O1(久2)且％2-巧=兀

【变式7-1】2.(2023・上海虹口•华东师范大学第一附属中学校考三模)若存在实数a及正

整数即使得/⑴=cos2x-asinx在区间(0,m)内恰有2022个零点，则所有满足条件的正整

数九的值共有个.

【变式7-1]3.(2023•宁夏银川•校考模拟预测)已知函数/(%)=cos2(ox+V3sinwxcos

a)x+m(a)>0,mGR).

再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数/(%)的解析式的两个作为已知.

条件①：函数;'(X)的最小正周期为TC；

条件②：函数“X)的图象经过点(of；

条件③：函数的最大值为|.

(1)求八%)的解析式及最小值；

(2)若函数”久)在区间[0,t](t>0)上有且仅有1个零点，求珀勺取值范围.

1.(2023•山西阳泉•阳泉市第一中学校校考模拟预测)已知函数f(x)=e，+x-2的零点为

%i,函数。(无)=2—％-Inx的零点为久2,给出以下三个结论：①e%+e"2>2e；②X62>

O_

4；③%2比x1+%ilnx2<0.其中所有正确结论的序号为.

2.(2023•吉林通化梅河口市第五中学校考模拟预测)已知函数-x)=m(|nx-2)+(n+1)久

在区间在224］上存在零点，则m2+话的最小值为.

3.（2023•辽宁沈阳・东北育才学校校考模拟预测）已知函数/（吗=久-十-minx有三个零点，

则实数m的取值范围是.

4.（2023•广东韶关•统考模拟预测）定义||MI（久eR）为与x距离最近的整数（当%为两相邻整

数算术平均数时，|因|取较大整数），令函数/（久）=||刈，如：/g）=l,/g）=2,/g）

=2,於）=2,则点+焉+…+焉丽=（）

A.17B.嘿C.19D.皆

5.（2023•全国统考高考真题）函数/（久）=炉+（1久+2存在3个零点，则a的取值范围是

（）

A.（-oo,-2）B.（-00,-3）C.（-4,-l）D.（-3,0）

6.（2021•天津统考高考真题）设aeR,函数/㈤={2「穿屋：0%*.:第，若外幻