机械振动-2025高考物理热点题型讲义

专题18机械振动

目录

题型一简谐运动的基本特征及应用.................................................1

类型1简谐运动基本物理量的分析.............................................1

类型2简谐运动的周期性与对称性.............................................5

类型3弹簧振子的动力学、能量特征分析.......................................8

题型二简谐运动的表达式和图像的理解和应用.....................................15

题型三单摆及其周期公式........................................................21

类型1单摆的受力特征及周期公式的应用......................................22

类型2单摆的振动图像及运动学特征..........................................27

题型四受迫振动和共振..........................................................31

类型1受迫振动概念及规律的理解应用........................................31

类型2共振曲线的应用......................................................33

类型3“驱动摆”的分析.......................................................35

题型一简谐运动的基本特征及应用

对简谐运动的理解

受力特点回复力尸=—6，F(或。)的大小与x的大小成正比，方向相反

靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，

运动特点

V减小

振幅越大，能量越大.在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守

能量

恒

做简谐运动的物体的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变

化周期就是简谐运动的周期7;动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周

周期性

期为।

2

(1)如图所示，做简谐运动的物体经过关于平衡位置。对称的两点尸、P'(OP=

OP)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等

P'0P

(2)物体由尸到O所用的时间等于由。到P所用时间,即tpo^top'

对称性

(3)物体往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOp=tPo

(4)相隔,或2"7%为正整数)的两个时刻，物体位置关于平衡位置对称，

位移、速度、加速度大小相等，方向相反

类型1简谐运动基本物理量的分析

【例1】如图所示，质量为加的物块放置在质量为M的木板上，木板与弹簧相连，它们一

起在光滑水平面上做简谐运动，周期为T,振动过程中加、M之间无相对运动，设弹簧的劲

度系数为左，物块和木板之间的动摩擦因数为〃，则下列说法正确的是（）

A.若t时刻和。+母）时刻物块受到的摩擦力大小相等，方向相反，则人一定等于4的

整数倍

B.若加=工，则在f时刻和（f+Af）时刻弹簧的长度一定相同

2

C.研究木板的运动，弹簧弹力充当了木板做简谐运动的回复力

D.当整体离开平衡位置的位移为x时，物块与木板间的摩擦力大小等于二

m+M

【答案】D

【详解】A.设位移为X,对整体受力分析，受重力、支持力和弹簧的弹力，根据牛顿第二

定律，有

kx=[m+M^a

对物块受力分析，受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力提供回复力，根据牛顿第二律，有

耳=ma

解得

M+m

若％时刻和。+发）时刻物块受到的摩擦力大小相等，方向相反，则两个时刻物块的位移大

小相等，方向相反，位于相对平衡位置对称的位置上，但4不一定等于二的整数倍，故A

错误；

B.若仪=4,则在t时刻和（/+△/）时刻物块的位移大小相等，方向相反，位于相对平衡

2

位置对称的位置上，弹簧的长度不一定相同，故B错误；

C.由开始时的分析可知，研究木板的运动，弹簧弹力与物块对木板的摩擦力的合力提供回

复力，故C错误；

D.整体离开平衡位置的位移为x时，物块与木板间摩擦力的大小等于Vy右，故D正确。

故选D。

【例2】.一根用绝缘材料制成的轻弹簧，劲度系数为上一端固定，另一端与质量为〃?、带

电量为+0的小球相连，静止在光滑绝缘的水平面上，当施加一水平向右的匀强电场E后（如

图所示），小球开始作简谐运动，关于小球运动有如下说法中正确的是（）

A.球的速度为零时，弹簧伸长隼

B.球做简谐运动的振幅为军

K

C.运动过程中，小球的机械能守恒

D.运动过程中，小球动能的改变量、弹性势能的改变量、电势能的改变量的代数和为零

【答案】D

【详解】AB.小球做简谐运动，在平衡位置，有

kA=qE

解得

k

小球到达最右端时，速度为零，此时弹簧的形变量为2倍a即

k

故AB错误；

C.由于电场力和弹力对小球做功，则小球的机械能不守恒，故C错误；

D.小球运动过程中有电场力和弹簧弹力做功，则对于弹簧和小球系统，电势能和重力势能

以及动能总量守恒，即小球动能的改变量、弹性势能的改变量、电势能的改变量的代数和为

零，故D正确。

故选D。

【例3】.（2023春•北京大兴•高三统考期中）如图所示，弹簧振子的平衡位置为。点，在B、

C两点之间做简谐运动。B、。相距10cm。小球经过O点开始计时并向右运动，经过0.5s

首次到达3点，下列说法正确的是（）

IwwwwwwO——-----1

COBX

A.弹簧振子的振幅是10cm

B.当振子运动到B时，位移大小是10cm

C.弹簧振子的周期是Is

D.振子由O运动到B的过程中速度减小

【答案】D

【详解】A.弹簧振子的振幅是。8的距离，即5cm,故A错误；

B.当振子运动到B时，位移大小是5cm,故B错误；

C.小球经过。点开始计时并向右运动，经过0.5s首次到达2点，则

-T=0.5s

4

所以弹簧振子的周期是2s,故C错误；

D.振子由O运动到8的过程中位移增大，速度减小，故D正确；

故选D。

【例4】对于下面甲、乙、丙、丁四种情况，可认为是简谐运动的是()

①甲：倾角为e的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开，空气阻力可忽略不计

②乙：粗细均匀的木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中。把木筷往上提起

一段距离后放手，木筷就在水中上下振动

③丙：小球在半径为R的光滑球面上的/、B(AB=R)之间来回运动

④丁：小球在光滑固定斜面上来回运动

A.只有①B.只有①②C.只有①②③D.都可以

【答案】C

【详解】甲图小球沿斜面方向受到的合力时弹力与重力的分力，当小球在平衡位置上方时，

合力方向沿斜面向下，当在平衡位置下方时合力沿斜面向上，弹力与重力的分力的合力与位

移成正比，其特点符合简谐振动物体的动力学特征，小球做简谐振动；乙图木筷在水中受浮

力和重力作用，当木筷在平衡位置上方时，合力向下，当木筷在平衡位置下方时，合力向上,

重力和浮力的合力与位移成正比,其特点符合简谐振动物体的动力学特征,木筷做简谐振动;

丙图小球离开最低点受到重力沿切线方向的分力与位移成正比，方向与小球位移方向相反,

为小球提供回复力，小球在最低点附近左右振动属于简谐振动；丙图斜面光滑，重力沿斜面

的分力提供小球做机械振动的回复力，但该力大小不变，不与位移成正比，故小球的运动为

机械振动，不是简谐振动，则可知①②③为简谐振动。

故选Co

类型2简谐运动的周期性与对称性

【例1】弹簧振子以。点为平衡位置做简谐振动。从O点起振开始计时，振子第一次到达

M点用了0.3秒，又经过0.2秒第二次通过M点，则振子第三次通过M点还要经过的时间

可能是（）

A.』秒B.；秒C.1.4秒D.1.6秒

32

【答案】AC

【详解】由题意，共有以下两种情况：

①如图所示

43s:G.Q

------------1--------->—>

QoMPX

假设振子从。点向x正方向起振，P点为正向最大位移处，M位于。、尸之间，则振子从。

运动到“所用时间为

&=S3s

根据简谐运动的对称性可知,振子从M到尸和尸到M的时间相同，均为

tMP=；x0.2s=0.1s

设简谐运动的周期为7,则

^T=tOM+tMP^0As

解得

7=1.6s

易知振子第二次通过M点再经过一个周期T刚好第四次通过加点，而第三次通过M点之

后需要再经过2/才能再次（即第四次）通过“点，因此振子第三次通过M点还要经过的时

间为

t=T-2tMp=L4s

②如图所示

0.2s

<---—--\---------------------------------\

80.3s)

!---------------»/

1।■>

x

QM。p

假设振子从O点向x正方向起振，。点为负向最大位移处，M位于。、。之间，则振子从

M运动到。所用时间为

tMO=T—（0.3+0.2）s=7—0.5s

根据简谐运动的对称性可知，振子从M到。和。到M的时间相同，均为

t.=—x0.2s=0.1s

QmM2

所以

T

~4+1MO=丁—0.4s

解得

15

易知振子第二次通过M点再经过一个周期7刚好第四次通过河点，而第三次通过M点之

后需要再经过2f才能再次（即第四次）通过〃点，因此振子第三次通过M点还要经过的时

间为

故选ACo

【例2】.（2023春・甘肃武威・高三武威第六中学校考期中）一质点做简谐运动，先后以相同

的速度依次通过/、8两点，历时1s；质点通过8点后再经过Is又第二次通过3点。在这2s

内质点通过的总路程为12cm,则质点的振动周期和振幅分别是（）

A.3s,6cmB.4s,6cmC.4s,9cmD.2s,8cm

【答案】B

【详解】质点运动的过程如图：

?=ls%=lsL=ls

✓--2--------------------->---------------------->\

<---------------•------------•------------•---------------->>

、---------------y-----------------e------------------y------------------------/

4%'=lsB

其中红色实线为由4到B,绿色实线为第二次经过B,红色、绿色虚线为补出的对称运动，

从图像中可以观察到

红色实线+绿色实线=2x振幅

则振幅为6cm。

红色部分与绿色部分的运动时间之和为一个周期，故周期为4so

故选B。

【例3】如图所示，倾角9=30。的光滑斜面固定在水平地面上，斜面底端有一垂直于斜面的

固定挡板，A、B两物体固定于轻弹簧两端，其中B的质量为机=2kg。对物体B施加一沿

斜面向下大小为20N的压力厂，使B静止于尸点。撤掉力尸，当B运动至最高点时，A恰好

要离开挡板。重力加速度g=10m/s2,弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（）

A.弹簧恢复原长时B的速度达到最大B.物块B运动过程中最大加速度为Sm/s?

C.物块A的质量为2kgD.物块A受挡板支持力的最大值为30N

【答案】C

【详解】A.当弹簧弹力等于B重力沿斜面向下的分力时，B的速度达到最大，此时弹簧处

于压缩状态，故A错误；

B.撤去力/后，物块B做简谐振动，处于尸点时振幅最大，加速度最大，最大加速度为

22

amax=-^―=—m/s=10m/s

mB2

故B错误；

C.物块B处于尸点时回复力大小

%士=20N

根据做简谐振动的对称性，运动至最高点时回复力大小

/叫=20N

又

4H=冽Bgsin。+左•Ax

mAgsin。=左•Ax

代入数据联立得

叫=2kg

故C正确；

D.B处于尸点时物块A受挡板支持力最大。对B受力分析

F+mBgsin6=4

得此时弹簧弹力大小

心=3ON

对A受力分析，物块A受挡板支持力

N=F^+mAgsin0=40N

故D错误。

故选Co

【例4].如图所示。将质量为优的小球悬挂在一轻质弹簧下端，静止后小球所在的位置为

。点（图中未标出）。现将小球从。点向下拉至弹簧对小球的弹力大小为2"7g（g为重力加

速度），然后释放，已知小球在运动过程中弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力。则小球

位于最高1点时弹簧的弹力大小为（）

1

6

1

A.2mgB.0C.mgD.~mg

【答案】B

【详解】小球处于最低点时弹簧的伸长量为为，则有

kx、=2mg

释放瞬间对小球由牛顿第二定律可得

kX[-mg=ma、

解得

%=g

小球运动到最高点时弹簧的形变量的大小马,加速度大小为出，根据对称性可得

a2=%

在最高点对小球由牛顿第二定律可得

kx2+mg=ma2

解得

x2=0

故小球位于最高点时弹簧的弹力大小为0。

故选Bo

类型3弹簧振子的动力学、能量特征分析

【例动量P随位移X变化的图像称作相轨，它在理论物理、近代数学分析的发展中扮

演了重要的角色。如图甲所示，光滑水平面上有一弹簧振子。现以弹簧原长时物块的位置为

坐标原点。，取向右为正方向，建立Ox坐标系。当物块偏离。点的位移为x时，弹簧振子

的弹性势能为1依2,其中左为弹簧的劲度系数。当弹簧振子的机械能为£时，该弹簧振子

的部分P-x图像如图乙中曲线所示，”和N分别为曲线与x轴和〃轴的交点。下列说法正

确的是（）

A.曲线儿W是抛物线的一部分

B.曲线MN对应物块从。点向最左侧运动的过程

C.该弹簧振子的振幅为、但

V2k

D.当物块运动到振幅的e处，其动量大小为其动量最大值的e

22

【答案】D

【详解】A.对弹簧和振子组成的系统机械能守恒，设振子速度为V,则满足

整理可得

2Ek2

p=mv=-----—-X

VV

若将。视为因变量，X视为自变量，该表达式符合抛物线要求，但式子中V为变量，故曲线

儿W不是抛物线的一部分，故A错误；

B.图中曲线c动量为正，则振子速度方向为正方向，向右运动，速度由零变为最大，可知

曲线血W对应物块从最左侧向O点运动的过程，故B错误；

C.振子在最大振幅处时，速度为零，根据

E=-kx2

2

可得

即振幅为栏，故C错误；

D.当物块运动到振幅的g处时

当动量最大时，即振子速度最大时，振幅为零，有

七二冽41ax二H

22

其中

V了x

联立可得

2

族=丝吟

2

所以

即

故D正确。

故选Do

【例2】.轻弹簧上端连接在箱子顶部中点，下端固定一小球，整个装置静止在水平地面上

方。现将箱子和小球由静止释放，箱子竖直下落〃后落地，箱子落地后瞬间速度减为零且不

会反弹。此后小球运动过程中，箱子对地面的压力最小值恰好为零。整个过程小球未碰到箱

底，弹簧劲度系数为后，箱子和小球的质量均为相，重力加速度为g。忽略空气阻力，弹簧

的形变始终在弹性限度内。下列说法正确的是（）

A.箱子下落过程中，箱子机械能守恒

B.箱子落地后，弹簧弹力的最大值为3%g

C.箱子落地后，小球运动的最大速度为2gr

D.箱子与地面碰撞损失的机械能为'工

k

【答案】BCD

【详解】A.箱子静止时，对小球分析有

对箱子分析有

mg+F^=T

当箱子由静止释放瞬间，弹簧弹力不发生突变，小球在这瞬间仍然平衡，加速度为0,而箱

子释放瞬间固定箱子的力T消失，箱子所受合力为

F=mg+与=2mg=ma

可得该瞬间箱子的加速度

a=2g

此后弹簧会恢复原长，在弹簧恢复原长的过程中，弹簧弹力对箱子做正功，若此过程中箱子

落地，则此过程中箱子的机械能增加；若在弹簧恢复原长时箱子还未落地，由于箱子的速度

大于小球的速度，弹簧将被压缩，弹簧弹力将对箱子做负功，箱子的机械能又会减小，但无

论何种情况，箱子在运动过程中除了重力做功外，弹簧弹力也在做功，因此箱子下落过程中，

箱子机械能不守恒，故A错误；

B.根据题意，此后小球运动过程中，箱子对地面的压力最小值恰好为零，则对箱子有

%=mg

弹簧处于压缩状态，且为压缩最短位置处，可知小球做简谐振动，此时弹簧的压缩量与小球

合力为零时弹簧的伸长量之和即为小球做简谐振动的振幅，根据简谐振动的对称性可知，在

最低点

F合=Fk-mS

在最高点

F^=F^+mg=2mg

联立解得

琮=3mg

而当小球运动至最低点时弹簧弹力有最大值，即为3"g,故B正确；

C.小球做简谐振动，在平衡位置时有

F弊=kx=nig

解得

里

A-

k

即弹簧被拉伸X时小球受力平衡，处于简谐振动的平衡位置，此处小球的速度有最大值，而

根据以上分析可知，小球在最高点时弹簧的弹力和在平衡位置时弹簧的弹力大小相同，只不

过在最高位置时弹簧处于被压缩状态，在平衡位置时弹簧处于被拉伸状态，显然压缩量和伸

长量相同，则小球从最高点到达平衡位置下落的高度

k

而弹簧压缩量和伸长量相同时所具有的弹性势能相同，即小球zai最高点和在平衡位置时弹

簧的弹性势能相同，则对小球由最高点到平衡位置根据动能定理可得

mg-2x=-m^x

故C正确；

D.箱子损失的机械能即为箱子、弹簧、小球所构成的系统损失的机械能，小球在平衡位置

时弹簧所具有的弹性势能和在箱子未落下时弹簧所具有的弹性势能相同，由能量守恒可得

2mg力=—mv^+NE

解得箱子损失的机械能

AE=2mgh------殳

故D正确。

故选BCD„

【例3】.如图，一倾角为45。的光滑斜面固定在水平地面上，其底端固定一劲度系数为人的

轻质弹簧，自然状态下弹簧上端距斜面顶端距离为将质量为机的物块（可视为质点）从

斜面顶端由静止释放，经时间:弹簧的最大压缩量为誓。已知弹簧弹性势能表达式为

2k

丸=；履2,其中X是弹簧形变量，左为弹簧劲度系数，则下列说法正确的是（）

A.物块速度为零时的压缩量为走空

（昌\22

B.物块的最大动能为机g与+等-三

、22kJ4K

C.物块运动过程中的最大加速度为亚g

D.物块自开始压缩弹簧到分离前，做简谐振动

【答案】BCD

【详解】A.根据题意可知物块速度为零时的压缩量为迤追，故A错误;

B.物块速度最大时，根据平衡条件

mgsin45°=Ax

从静止释放到物块的动能最大过程，根据系统机械能守恒可得

mg^l+x)sin45°=^-ki+凰

解得物块的最大动能为

22

1+gm

£阵=mg，旦回

\22k/4k

故B正确;

C.弹簧压缩量最大时，根据牛顿第二定律可得

h3"咫一加gsin45。=心。

2k

解得物块的最大加速度为

故c正确;

D.根据简谐运动的定义可知物块开始压缩弹簧后，到分离前做简谐振动，故D正确。

故选BCD。

【例4］如图甲，"笑脸弹簧小人”由头部、弹簧及底部组成，将弹簧小人静置于桌面上,

轻压头部后静止释放，小人不停上下振动，非常有趣.可将其抽象成如图乙所示的模型，头

部的质量为加,弹簧质量不计,劲度系数为上，底部的质量为已知当弹簧形变量为x时,

其弹性势能丸=；丘,不计一切摩擦和空气阻力，重力加速度大小为g,弹簧始终在弹性

限度内，下列说法中正确的是（)

头部

弹簧

底部

甲

A.将弹簧小人静置于桌面上,轻压头部后由静止释放，底部不离开桌面，下压的最大

距离为登

B.将弹簧小人静置于桌面上,轻压头部后由静止释放，底部不离开桌面，压力做功的

最大值为管

C.若弹簧小人在振动过程中底部恰好不离开桌面，则弹簧的最大弹性势能为平

D.若刚释放时头部的加速度大小为g,则小人在运动过程中头部的最大速度为

【答案】ABC

【详解】A.静置于桌面的弹簧小人，弹簧压缩量为％,则

kx0=mg

轻压头部后做简谐运动，底部不离开桌面，弹簧的最大伸长量为毛，则

kxi

最大振幅为

4=%+再

则

/二返

2k

故下压的最大距离为矍，故A正确；

B.从平衡位置缓慢下压/时最大压力为R有

F+mg=左（X。+4）

解得

「3

F=~mg

压力做功的最大值为

.=叱/=9加2g2

28左

故B正确;

C.弹簧的最大压缩量为

Ax=/+4

则弹簧的最大弹性势能为

3*3=25肾

故C正确；

D.若刚释放时头部的加速度大小为g,设弹簧的压缩量为工，则

kx；-mg=mg

解得

，—2mg

xo~~

k

头部往上运动至弹簧压缩量为％时头部速度最大，则

2

|A；（X；-X0）="用

解得

故D错误。

故选ABC„

题型二简谐运动的表达式和图像的理解和应用

1.由图像可获取的信息

(1)振幅/、周期7(或频率力和初相位班(如图所示)。

(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。

(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质

点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。

(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方

向相同。

(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。

2.简谐运动的对称性(如图)

(1)相隔。=〃7(〃=1,2,3...)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同。

(2)相隔加=(〃+g)7(〃=0,1,2...)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等

大反向(或都为零)，速度也等大反向(或都为零)。

【例1】如图所示，是一个质点的振动图像，根据图像回答下列问题：

⑴振动的振幅；

⑵振动的频率；

(3)在1=0.1s、0.3s、0.5s、0.7s时质点的振动方向;

(4)质点速度首次具有负方向最大值的时刻和位置；

(5)质点运动的加速度首次具有负方向最大值的时刻和位置；

(6)在0.6s至0.8s这段时间内质点的运动情况。

(7)振动质点离开平衡位置的最大距离；

(8)写出此振动质点的运动表达式；

(9)振动质点在0~0.6s的时间内通过的路程；

(10)振动质点在，=0.1s、0.3s、0.5s、0.7s时的振动方向;

(11)振动质点在0.6〜0.8s这段时间内速度和加速度是怎样变化的？

(12)振动质点在0.4〜0.8s这段时间内的动能变化是多少？

【答案】见解析

【解析】(1)振幅为最大位移的绝对值，从图像可知振幅

A=5cm。

(2)从图像可知周期T=0.8s,则振动的频率

Hz=1.25Hz。

T0.8

(3)由各时刻的位移变化过程可判断7=0.1s、0.7s时，质点的振动方向沿x轴正方向；f=0.3

s、0.5s时，质点的振动方向沿x轴负方向。

(4)质点在0.4s通过平衡位置时，首次具有负方向的速度最大值。

(5)质点在0.2s时处于正向最大位移处时，首次加速度具有负方向的最大值。

(6)在0.6s至0.8s这段时间内，从图像上可以看出，质点沿负方向的位移不断减小，说明质

点正沿着正方向由负向最大位移处向着平衡位置运动，所以质点做加速度减小的加速运动。

(7)由振动图像可以看出，质点振动的振幅为5cm,即为质点离开平衡位置的最大距离。

(8)由此质点的振动图像可知N=5cm,7=0.8s,(p=0,所以x=/sin(0f+9)=/sin(71=

5sin10.8Jcm=5sin(2.57r/)cmo

(9)由振动图像可以看出，质点振动的周期为7=0.8s,0.6s=3x?,振动质点是从平衡位置

4

开始振动的，故在0~0.6s的时间内质点通过的路程为s=3x/=3x5cm=15cm。

(10)在?=0,1s时，振动质点处在位移为正值的某一位置上，但若从t=QAs起取一段极短的

时间间隔-0)的话，从图像中可以看出振动质点的正方向的位移将会越来越大，由此可

以判断得出质点在f=0.1s时的振动方向是沿题中所设的正方向。同理可以判断得出质点在

f=0.3s、0.5s、0.7s时的振动方向分别是沿题中所设的负方向、负方向和正方向。

(11)由振动图像可以看出，在0.6〜0.8s这段时间内，振动质点从最大位移处向平衡位置运

动，故其速度是越来越大的；而质点所受的回复力是指向平衡位置的，并且逐渐减小的，故

其加速度的方向指向平衡位置且越来越小。

(12)由图像可看出，在0.4〜0.8s这段时间内质点从平衡位置经过半个周期又回到了平衡位

置，尽管初、末两个时刻的速度方向相反，但大小是相等的，故这段时间内质点的动能变化

为零。

【例2】"五一"的大明湖波光粼粼，吸引了很多游客。湖面上一点O以0.1m振幅上下振动,

形成圆形水波（不考虑水波传播过程中的振幅衰减），如图所示，同一直线上/、。、8三点,

OA间距离为2.1m,OB间距离为1.5m。某时亥|。点处在波峰位置，观察发现1.4s后此波

峰传到/点，此时。点正通过平衡位置向上运动，04间还有一个波峰。将水波近似为简谐

波。

（1）求此水波的传播速度、周期和波长。

（2）以。点处在平衡位置向下振动为0时刻（此时各点已经起振），请画出3点的振动图

像。并判断此时刻之后8.1s时B点的位移。

A0B

【答案】（1）v=1.5m/s,T=0.8s,2=1.2m；(2)y=­m

220

【详解】（1）由题意可知

t()A=1・4s

x0A=2.Im

此水波的传播速度为

V=^-

tOA

得

v=1.5m/s

此时OA间波形如图所示

可得

XOA

得

2=1.2m

7-

V

得

7=0.8s

（2）可得

%8=：力

y=0.1cos—%(m)

得此时B点位移

［例3】一弹簧振子A的位移尤随时间t变化的关系式为尤=0.1sin2.5/rt,位移x的单位为m,

时间，的单位为s,则（）

A.弹簧振子的振幅为0.2m

B.弹簧振子的周期为1.25s

C.在r=0.2s时，振子的运动速度为0

D.若另一弹簧振子B的位移x随时间变化的关系式为x=0.2sin（2.5加+生），则B的振幅和

4

周期分别是A的振幅和周期的2倍

【答案】C

【详解】AB.根据

x=0.1sin2.5^?

可知弹簧振子A的振幅为0.1m,周期为

则AB错误；

C.在/=0.2s时，振子的位移为

x=0.1sin2.5^-x0.2(m)=0.1m

可知此时振子处于最大位移位置，振子的运动速度为0,故C正确;

D.若另一弹簧振子B的位移x随时间变化的关系式为x=°.2sm(2.5R+力’则B的振幅为

0.2m,周期为

则B的振幅是A的振幅的2倍，B的周期等于A的周期，故D错误。

故选Co

【例4】一个在x轴方向做简谐运动的质点其部分振动图像如图所示，振动周期为7,则该

A.3AB.^2+V?jAC.(4-D.3----A

\7

【答案】c

【详解】设质点振动方程为

x=4sin(d+eo)

当％=0时

V2...

—A=Asm(p0

解得

，时

、/y3

%=4sin(@三+。0)=—40~的路程

24+A--Ax2=4A—也A

<2?

故选Co

【例5】.一个小球与轻弹簧连接套在光滑水平细杆上，在4、5间做简谐运动，0点为4B

的中点。以。点为坐标原点，水平向右为正方向建立坐标系，得到小球振动图像如图所示。

下列结论正确的是()

wwwv®—

III

III

III

III

AOB

A.小球振动的频率是2HzB./=0.5s时，小球在/位置

C.f=1s时，小球经过O点向右运动D.小球的振动方程是x=10sin/rt(cm)

【答案】D

【详解】A.小球的振动周期为2s,频率

/=-Hz=0.5Hz

2

故A错误；

B.因为水平向右为正方向，f=0.5s时，小球在3位置。故B错误；

C.f=ls时，小球经过。点向负方向运动，即向左运动。故C错误；

D.由图可得小球的振动方程

27r

x=lOsin-^-t(cm)=10sin(cm)

故D正确。

故选D。

【例6】.如图甲所示质量为优的B木板放在水平面上，质量为2根的物块A通过一轻弹簧

与其连接。给A一竖直方向上的初速度，当A运动到最高点时，B与水平面间的作用力刚好

为零。从某时刻开始计时，A的位移随时间变化规律如图乙，已知重力加速度为g,空气阻

力不计，下列说法正确的是()

A.物块A做简谐运动，回复力由弹簧提供

B.物体B在4时刻对地面的压力大小为mg

C.物体A在运动过程中机械能守恒

D.物体A的振动方程为＞=01sin|2兀/+

【答案】D

【详解】A.物块A做简谐运动，回复力由弹簧的弹力和重力的合力来提供，A错误；

B.匕时刻物块A在平衡位置，此时弹簧处于压缩状态，弹力为

F=2mg

对物体B受力分析有

然=F+mg

则可得外=3"g,由牛顿第三定律得物体B在4时刻对地面的压力大小为3mg,B错误；

C.物体A在运动过程中除了受重力外，还受弹簧的弹力，弹力对物体A做功，故机械能不

守恒，C错误；

D.由图乙可知振幅为

Z=10cm

周期为

T=1.0s

角速度为

0=牛=2〃rad/s

规定向上为正方向，打0时刻位移为0.05m,表示振子由平衡位置上方0.05m处开始运动，

所以初相为

n

%="o7

则振子的振动方程为

y=0.1sin(2^^+—)m

故D正确。

故选D。

题型三单摆及其周期公式

1.单摆的受力特征

7

(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，T0=—mgsin9=-^x=~kx,负号表示

回复力尸回与位移x的方向相反。

(2)向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力提供向心力，

尸向=尸1-冽geos仇

⑶两点说明

2

①当摆球在最高点时，方向=如==0，FT=mgcosdo

②当摆球在最低点时，尸向=加学，尸向最大，尸r=mg+油彳。

2.周期公式7=2兀，的两点说明

(1)/为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。

(2)g为当地重力加速度。

类型1单摆的受力特征及周期公式的应用

【例1】图甲是用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器

连接的计算机屏幕所显示的尸一图像，其中歹的最大值「axnLOZN,已知摆球质量

m=10Qg,重力加速度取9.8m/s2,兀2取9.8,不计摆线质量及空气阻力。下列说法正确的

是()

0.91.7t/s

O

甲乙

A.单摆周期为0.8s

B.单摆摆长为1.0m

C.尸的最小值%M=0-96N

D.若仅将摆球质量变为200g,单摆周期不变

【答案】CD

【详解】A.由图可知，单摆周期为T=L6s,选项A错误;

B.根据

T=2兀

g

可得

——7=0.64m

4/

单摆摆长为0.64m,选项B错误;

C.摆到最低点时

12

mgl(l-cos0)=—mv

可得

192

cose=—

1.96

则F最小值

Fmin=mgcos6=0.96N

选项C正确；

D.单摆周期与摆球的质量无关，若仅将摆球质量变为200g,单摆周期不变，选项D正确。

故选CDo

【例2】如图，半径为R光滑圆弧面上有一个质量为？小球，把它从最低点移开一小段距

离，放手后，小球以最低点为平衡位置左右摆动，且可近似认为其运动为简谐振动。

（1）求小球做简谐振动的周期T;

（2）已知做简谐振动的物体，所受的回复力与其偏离平衡位置的位移存在正比例关系。求

小球做简谐振动时回复力与偏离平衡位置位移的比例系数人是多少。（空气阻力可忽略，

重力加速度为g,当偏离角度。很小时，可认为sinO=tand%,且可认为小球偏离平衡位置的

位移与小球到圆弧圆心的连线垂直）

【详解】（1）小球做类单摆简谐运动，则周期为

（2）对小球进行受力分析，如图所示

重力沿切线方向的分力提供回复力

Fs=-/Mgsine

用X表示小球偏离平衡位置的位移，因。很小，所以

sin0«—

R

即

X

L^=-mg-

FK

回复力与其偏离平衡位置的位移存在正比例关系，所以小球做简谐振动时回复力与偏离平衡

位置位移的比例系数为

R

【例3].如图所示，已知该单摆的摆长为2.0m,摆球的质量为0.10