基本不等式及其应用【21类题型全归纳】（原卷版）

热点题型追踪：1-1基本不等式及其应用

近4年考情(2020-2024)

考题统计考点分析考点要求

2020年天津卷：第14题，5分基本不等式及其应用是是高考

的热点，主要考查利用基本不等

2021年乙卷：第8题，5分

式求最值、求参数的取值范围(1)了解基本不等式的推导

2022年I卷：第12题，5分等，常与函数结合命题，题型以过程

选择题、填空题为主，也可作为(2)会用基本不等式解决最

工具出现在解答题中，应适当关值问题

注利用基本不等式大小判断、求(3)理解基本不等式在实际

2023年I卷：第22题，12分

最值和求取值范围的问题；同时问题中的应用

要注意基本不等式在立体几何、

平面解析几何等内容中的运用.

题型总览、1热点题型解读(目录)

\模块一:核心题型•举一叔“

【题型1】基本不等式的直接使用..........................................................2

【题型2】常规凑配法求最值.............................................................2

【题型3】“1”的妙用(1):乘“1”法.......................................................3

【题型4】“1”的妙用(2):“1”的代换......................................................4

【题型5］二次比一次型..................................................................5

【题型6】分离常数型....................................................................5

【题型7】与指数对数结合的基本不等式问题...............................................6

【题型8】利用对勾函数..................................................................7

【题型9】判断不等式是否能成立.........................................................7

【题型10］换元法(整体思想)...........................................................8

【题型11］基本不等式的实际应用问题.....................................................9

【题型12】与a+b、平方和、面有关问题的最值(和，积，平方和互相转化)..............11

【题型13］基本不等式恒成立与能成立问题...............................................12

\模块二：学有余力•拓展提升

【题型14］消元法.......................................................................13

【题型15】因式分解型..................................................................14

【题型16】同除型(构造齐次式)........................................................14

【题型17］万能””法.......................................................................15

【题型18】三角换元法（利用三角函数）....................................................15

【题型19］基本不等式与其他知识交汇的最值问题...........................................16

【题型20】含有根式的配凑（根式平方和为定值型）.........................................17

【题型21】多次运用基本不等式.............................................................17

模块一、核心题型•举一反三

【题型1］基本不等式的直接使用

基础知识

如果。>0,b>0,那么施〈丝2,当且仅当q=b时，等号成立.其中，生也叫作a,万的算

22

术平均数，“叫作。的几何平均数.即正数。的算术平均数不小于它们的几何平均数.

常用不等式：若a,beR,贝4片+/之？"，当且仅当。二/7时取等号；

基本不等式：若a,b£R+,则2（或〃+）,当且仅当〃二。时取等号.

,一,,一...一..—.•—,—■—,,一,,一,,一

1.若a>0,b>0,且a+4b=l,则/+1662的最小值是

25

2.若X>O，y>o,盯=10,则一+一的最小值为______.

xy

14

【巩固练习1】若x>0,y>Q,-+-=10,则W的最小值为.

xv

【巩固练习2］已知x>0,y>0,且x+2y=l,则2工+4，的最小值是

【题型2】常规凑配法求最值

基础知识1

配凑法：加上一个数或减去一个数使和（积）为定值，然后利用基本不等式求解.

1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式.

2、注意验证取得条件.

常见的配凑法求最值模型

(1)模型一：mx+—>2yfmn(m>0,n>0),当且仅当x=A—时等号成立;

xVm

(2)模型二：mx-\——=m(x-a)-\——-——Fma>2y[mn+ma(m>0,n>0)

x-ax-a

3.若…，则…士的最小值为-------

4.已知a>2,贝U2a+T的最小值是()

a—2

A.6B.8C.10D.12

4

【巩固练习1]函数/(x)=3x+2+—(x>0)的最小值为

13

【巩固练习2】已知正数％6满足，+3人=4,则一；+一的最小值为_____

a+1Z?+l

【巩固练习3】已知/>0,则出士+r的最小值为

2/+1

【题型3】“1”的妙用(1):乘“1”法

基础知识

方法总结：乘“1”法就是指凑出1,利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形出来后达到运

用基本不等式的条件，即积为定值.

主要解决形如“已知x+y=f«为常数)，求三+-的最值''的问题，先将三+“转化为+-)■w岁，

xyy\xyji

再用基本不等式求最值

注意：验证取得条件.

12

5.(2023•广东广雅中学校考)若正实数e6满足。+»=1,则±+：的最小值是______

ab

6.（2024•江苏南通•二模）设x>0,y>0,-+2y=2f则x+'的最小值为（）

%y

3L3F-

A.—B.2A/2C.—Fy/2D.3

22

【巩固练习1］已知％>0,y>0且％+2y=孙，贝!jx+2y的最小值是.

92

【巩固练习2］若x>0,y>0,且％+2y=5,则一+一的最小值为.

1y

121

【巩固练习3】已知%>0,丁>。，且x+2y=7,则一+一的最小值为_______.

2尤y

【题型4】“1”的妙用（2）:“1”的代换

基础知识

方法总结：通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题目的.

7.已知〃>0,b>0,a+b=X,则的最小值为___.

ab

21

8.已知实数n,y>。满足1+y=l,则一+一的最小值为（）

xxy

A.6B.4+2&C.4+273D.8

【巩固练习1】若a>0,b>0,且a+4Z?=l,则—有最小是________

ab

1+y1

【巩固练习2】正实数x,y满足x+y=l,则―+一的最小值是（）

A.3+20B.2+20C.5D.y

2

【巩固练习3】（2024.安徽•三模）已知x>0,>>0,且2x+y=l,则匚土的最小值为（）

孙

A.4B.4四C.4夜+1D.272+1

【题型5】二次比一次型

基础知识

基本模型：湛+加,2疝+小"°">°）,当且仅当尤=j£时等号成立

ax十。r——▼VCL

9.已知x>0,则过土的最小值为（）

X

A.5B.3C.-5D.-5或3

10.函数产厂+苫+3（尤立）的最小值为.

【巩固练习1】已知x>-1,则函数y=『+"+4的最小值是_____.

X+1

【巩固练习2】已知正数z,/满足x+2y=3,则一^的最大值为.

x+8y

【巩固练习3】已知尤，y为正实数，且x+y=l,则上空的最小值为（）

A.24B.25C.6+4迎D.6A/2-3

【题型6】分离常数型

基础知识

方法总结：对于分子分母中含有相同单一字母时，可以考虑分离常数

例1：y=x+x+—+—=x+—+2>4(x>0)

XXXX

例2：y=2x+者=2(1)+安+涓=2(x+l)+2+高

11.若x>l,则函数y=x+盆牛的最小值为（）

X—1

A.4B.5C.7D.9

x+2y+27

【巩固练习1】已知1>-2,>>0,2x+y=3,则--------+—的最小值为（）

x+2y

A.4B.6C.8D.10

2x?+3x+8

【巩固练习2］函数f（x）=在xeR上的值域是

x2+%+4

【题型7】与指数对数结合的基本不等式问题

基础知识

方法总结：结合指数对数的计算公式变形得出积为定值或和为定值的形式，再利用基本不等式求解

12.（多选）已知1。"=2，1。"=5则下列结论正确的是（）

A.a+2b=\B.ab<-

8

C.ab>lg22D.a>b

13.（2020・山东・高考真题）（多选）已知〃>0,Z?>0,且a+Z?=l,贝lj（）

A.a2+b2>-B.2a-b>-

22

C.log2«+log2Z?>-2D.4a+4b<y/2

【巩固练习1X2023广东广雅中学校考）若正实数〃"满足，+力=1,则2。+型的最小值是

【巩固练习2】已知实数H>满足x+3y=2,贝1」2=3"+27》+1的最小值是.

【巩固练习3】（多选）已知3尤=4>=12,则实数不，,满足（）

A.B.%+y<4

111

C.-+—D.xy>44

xy2

【题型8】利用对勾函数

基础知识

当无法取等时需要结合对勾函数图像，利用单调性来得出最值

4

14.当了22时，%+一^的最小值为_______.

x+2

15.已知函数/(犬)=|电光|.若Ovavb,且〃a)=/S),则Q+4b的取值范围是()

A.(4,+oo)B.[4,+00)C.(5,+oo)D.[5,+oo)

【巩固练习1】函数>=工+三(x>2)取得最小值时的x值为

X+1

【巩固练习2】已知函数/(x)=|lgx|+2,若实数a,b满足b>a>0,且/(“)=/(〃)，则“+26

的取值范围是.

【巩固练习3]若对任意了目1,2],mx2-(m+l)x-140恒成立，求实数加的取值范围

【题型9】判断不等式是否能成立

■■■■1MM.___________________

(1)基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为

定值，"三相等''指满足等号成立的条件.

(2)连续使用不等式要注意取得一致.

16.(多选)下列函数中，最小值为2的是()

A.y=—+—+1B.y=^x+4+----

4x&+4

C.y=^r[-+(0<x<1)D.

,y=y/2-x+-2+x

2\x1-xJ

【巩固练习1】下列不等式证明过程正确的是(

A.若。,6eR,则2+42、反=2

ab\ab

B.若x>0,y>0,则1g%+1gyN2,1g%.1gy

C.若xVO,贝2」x-±=—4

%Vx

D.若xVO,则2、+2一龙〉2也”.2r=2

【巩固练习2］（多选）下列命题中，真命题的是（）

A.VxeR,者R有％2一%之工一1

B.3xG（1,+oo）,使得xH-------=6

x—1

C.任意非零实数都有2

ab

D.若xe（2,-Ko）,则&2+1+^y==的最小值为4

【巩固练习3】（多选）下面结论正确的是（）

A.若尤＜（，则2x+.的最大值是T

22尤一1

3+5

B.函数〉=诘=7的最小值是2

川+4

C.函数y=«5x—（口

X

JQ3

D.x>0,y>0且x+y=2,贝！|;+一的最小值是3

y+1x

【题型10］换元法（整体思想）

基础知识

对于两个分式的最值问题可以考虑整体法或换元法配凑

整体配凑法原理是把目标当作一个整体，然后利用基本不等式求最值.

单分母换元：当2个分母的和为定值，可以把其中一个分母进行换元

双分母换元：当2个分母均为字母加减常数时，可以把2个分母都换元

114

17.（单分母换元）已知0<〃<—,贝|丁+——的最小值是________

2lal-2a

A.6B.8C.4D.9

a4/?

18.（双分母换元）已知正数小人满足a+b=2,则」L+，的最大值是（）

a+1b+1

19.已知一为正实数，则卜之的最小值为（）

A.6B.5C.4D.3

19

【巩固练习1］已知a+b+c=l,其中〃，b,c〉0,则上+占的最小值为.

ab+c

121

【巩固练习2】已知实数。>。/>2,且--+则2〃+b的最小值是______

a+1b-23

4a+h

【巩固练习3】若〃>0,b>0,c>0,a+b+c=2,则告的最小值为

a+bc

【巩固练习4］若正实数"/满足7=1,则为+J最小值为——

292

【巩固练习5】已知〃，b,c均为正实数，ab+ac=4,则一+；---+的最小值是_____

ab+ca+b+c

【题型11］基本不等式的实际应用问题

基础知识J

不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及

不等式的解法、基本不等式求最值，构建数学模型是关键，重点培养数学建模、数学运算素养.

调和平均数W几何平均数W算术平均数W平方平均数：

2r-ra+bla2+Z?2

若q,b&R+,则—尸—:—（当且仅当。时取"=”）

ab

20.数学命题的证明方式有很多种.利用图形证明就是一种方式.现有如图所示图形，在等腰直角

三角形AABC中，点。为斜边的中点，点。为斜边A8上异于顶点的一个动点，设4。=。，

BD=b,用该图形能证明的不等式为（）.

O7____

B.-^-<4ab(a>0,b>0]

。+Z?

c*Ff。力>。）D.a2+b2>2\[ab(^a>0,b>0^

21.小李从甲地到乙地的平均速度为从乙地到甲地的平均速度为b（a>b>0）,他往返甲乙两地

的平均速度为"，则（）

.a+b

A.v=------B.v=4ab

2

D.b<v<\[ab

【巩固练习1】原油作为“工业血液”、“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经

济.小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种

方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是（）

A.第一种方案更划算

B.第二种方案更划算

C.两种方案一样

D.无法确定

【巩固练习2】《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问

题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，因此这种方法也被

称之为“无字证明如图所示，是半圆。的直径，点C是相上一点（不同于4B,。），点D

在半圆。上，且CDL”,CELOD于点E,设/C=〃，BC=b,则该图形可以完成的“无字证明”

为（）

L)

A..廊三回一回(a>0,6>0)

B.<^-(a>0,b>Q,存6)

2日独

2国/==

c.--V^(«>o,6>0)

Ld7-IZ1

D.型■<V丽V町色(a>0,6>0,存G)

团王02

【巩固练习3】（多选）给出下面四个结论，其中不正确的是（）

A.两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种

物品所花的钱数一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定.则若〃次

（〃三2）购买同一物品，用第一种策略比较经济

B.若二次函数7Cz）=24a/+4z—1（存0）在区间（-1,1）内恰有一个零点，则由零点存在定理知，实

数〃的取值范围是15

C.已知函数/z）=|lgz|,若则36+2a的取值范围是［2斯+8）

D.设矩形"CD（/B>4D）的周长为24,把ZUBC沿4C向△4DC折叠，4B折过去后交DC于点P,

设AB^x,则的面积是关于z的函数且最大值为108-70A/2

【题型12］与a+b.平方和、时有关问题的最值（和，积，平方和互相转化）

基础知识1

利用基本不等式变形求解

+b2

常用不等式链：ab<^L<^^（主要用于和积转换）

42

22.（2024•辽宁葫芦岛•二模）若“>0,6>0,2而+。+如=3,贝ija+2b的最小值是（）

A.—B.1

2

C.2D.还

2

23.（2024•重庆渝中•模拟预测）（多选）已知实数为y满足/+4/-2孙=1,则（）

A.x+2y<lB.x+2y>-2

C.x2+4y2<2D.x2+4/>1

【巩固练习1】已知实数b满足4+4Z/一必=1,则储+4/的最大值为

3

【巩固练习2】（多选题）（2024•高三•海南•期末）已知。>0力>0,^a+b-ab=-,则（）

4

1、9

A.a-\-b>3B.0<ab<—^ab>—

44

C.（a-l）2+（Z?-l）2<-D.l<-+-<-^4-+->4

2ab3ab

【巩固练习3］（多选题）已知正数羽丁满足/+移+y2=9,贝U（）

A.xy<2B.x2+j2>6

C.x+y<2道D.x+y>6

【题型13］基本不等式恒成立与能成立问题

基础知识

\/x&M,使得/（x）..a,等价于/（x）1nhi..a,\fx&M,使得/'（x）,,。，等价于/（无）1n。

HxeM,使得/（x）..a,等价于/（x）1mLa,,使得a,等价于a

112

24.已知x>0,y>0,且--+-=若》+了>祖2+3加恒成立，则实数加的取值范围是（）

x+2y3

A.(-4,6)B.(-3,0)c.H-i)D.(1,3)

112

【巩固练习1】已知1>。,丁>0,且---+—=~,若x+2+y>/+5机恒成立，则实数机的取值范

x+2y7

围是()

A.(-4,7)B.(-2,7)C.(-4,2)D.(-7,2)

【巩固练习2】已知]>0,y>。，且1+9丁=*，若不等式“Vx+y恒成立，则。的取值范围是()

A.(-oo,6]B.(田,16]C.(一8,8]D.(-oo,9]

【巩固练习3】若两个正实数无丁满足％+2y=v,且存在这样的使不等式2x+y</+8加有解，

则实数机的取值范围是()

A.(-1,9)B.(-9,1)

C.(-8,-9)。(1,+8)D.(e,—l)U(9,+oo)

【巩固练习4】若存在XE[1,3],使不等式％2—2改+4+2K0成立，则Q的取值范围为.

模块二学有余力•拓展提升

【题型14]消元法

基础知识

消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和

为常数”或“积为常数''的形式，最后利用基本不等式求最值.

25.已知尤>0,y>0,xy+2x—y—贝!U+y的最小值为.

【巩固练习1】若a>0”>0,ab=2,则匕婴空的最小值为

b2+l

【巩固练习2】(2024•浙江嘉兴•二模)若正数居y满足％2一2%y+2=0,则％+y的最小值是()

A.V6B.苧C.2A/2D.2

【巩固练习3】(2024・重庆•模拟预测)(多选)已知x>0,y>0,且x+y+孙-3=0,贝lj()

A.移的取值范围是［1,9］

B.%+'的取值范围是［2,3）

C.尤+4》的最小值是3

D.尤+2》的最小值是4&一3E.尤+4y>3

【题型15】因式分解型

基础知识

含有ar+勿+ab孙这类结构的式子，可以考虑因式分解配凑成（ta+1）（勿+1）的结构，再结

合整体思想来求最值

26.（重庆巴蜀中学校考）已知无>。，V>°,且肛+》-2丫=4,则2尤+y的最小值是

【巩固练习1】设X,>为正实数，若2无+y+2孙=*,则2x+y的最小值是（）

4

A.4B.3C.2D.1

【巩固练习2］若x>0,y>0且％+>=孙，则—-+—^7的最小值为________

x-1y-1

【巩固练习3】（2024•江苏南京•三模）若实数%》满足2d+D-y2=i,则：2.v的最大值

JX—2j^y+2y

为.

【题型16】同除型（构造齐次式）

基础知识

齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式

进行求解.

27.设正实数X、y、Z满足4尤2一3孙+y2-z=0,则且的最大值为

Z

A.0B.2C.1D.3

【巩固练习1】已知正实数n,?满足5/+40一炉=1,12/+8个一J/的最小值为

1T2

【巩固练习2】已知］>0,y>0,d+.二元―,，则_l的最小值是（）

A.2B.2+73C.6+2D.272+2

【题型17］万能“心法

基础知识

求啥设啥，利用一元二次方程有实数根时△NO.

28.（2024•湖南衡阳•模拟预测）已知实数无,满足f+盯+3/=3,则x+y的最大值为（）

A3VHR6^170V3+1n>/3+3

A.----D.------U.------D.-----

111133

【巩固练习1】若正数〃，b,。满足a?+/+/-々匕―〃c=l,则。的最大值是.

【巩固练习2】（重庆巴蜀中学校考）已知实数。，b满足〃2+4/_曲=1,则的最小值为

24

【巩固练习3】已知正实数小？满足x+—+3y+—=10则刁的取值范围是

%y

【题型18】三角换元法（利用三角函数）

基础知识

出现平方和结构（松42）形式，引入三角函数表示〃和Z?

29.若X,y满足%2+y2=i,则0x+y的最大值为

30.（多选题）若羽y满足/+/+孙=1,则（）.

A.x+y<^H.B.x+y>-\

3

223222

C.x+/<-D.x+/>-

23

2

【巩固练习1】若无，y满足］+9=1,则&x+y的最大值为

【巩固练习2】已知实数满足/