江苏省2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟测试卷（无锡专用）解析版

2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟测试卷

（无锡专用）

（考试时间：100分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓

名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用25铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第H卷时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，用25铅笔作图画出必要的线

条与图形（包括辅助线），请将解答过程书写在试卷中中对应的位置上，将答案写在答题卡

上.写在本试卷上无效.

4.测试范围：苏科版九年级上册第1章-第6章.

5.难度系数：0.65.

第I卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.抛物线丁=必-2x的对称轴为（）

A.x=—lB.x=lC.x=-2D.x=2

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练运用对称轴公式.也可以运用配方法写成顶点式求对称轴.先根

据抛物线的解析式得出。、6的值，再根据其对称轴方程即可得出结论.

【详解】解：：抛物线丁=必一2%中a=l,。=-2,

b

・•・对称轴是直线x=——=1.

2a

故选：B.

2.将方程x2+4x+3=0配方后，原方程变形为（）

A.（x+2）2=1B.（x+4）2=1C.（x+2）2=-3D.（x+2）2=-1

【答案】A

【解析】

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【分析】把常数项3移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方.

【详解】移项得X2+4X=-3,

酉己方得,X?+4X+4=-3+4,

即（x+2）2=l.

故答案选A.

【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是根据配方法解一元二次方程.

3.如图，。。的半径为5,弦AB=8,P是弦A3上的一个动点（不与A,2重合），下列符合条件的。尸的

值是（）

A.6.5B.5.5C.3.5D.2.5

【答案】C

【解析】

【分析】连接08,作与根据垂径定理和勾股定理，求出OP的取值范围即可判断.

【详解】解：连接03,作。与

'JOMLAB,

1

：.AM=BM=-AB=4,

2

在直角中，'：0B=5,BM=4,

OM=4OB2-BM2=A/52-42=3-

：.3<OP<5,

故选：c.

【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形

中，然后通过直角三角形予以求解.

4.将抛物线y=（x-1）2+2向左平移1个单位，再向下平移5个单位后所得抛物线的解析式为（）

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A.丁=（》-2）一+7B.>=(%-2)一+3

C.y=x2-3D.y=x2+1

【答案】C

【解析】

【分析】根据抛物线平行的规律解答.

【详解】•••抛物线y=（x-1）?+2向左平移1个单位，再向下平移5个单位，

...得到抛物线的解析式为y=（x—1+1）?+2—5=/一3,

故选：C.

【点睛】此题考查抛物线平移的规律：抛物线左右平移时，自变量左加右减，上下平移时，函数值上加下

减，掌握规律即可解答此类问题.

5.2023年杭州亚运会有三种吉祥物，分别是“宸宸”“琮琮”和“莲莲”，这三种吉祥物各自代表着杭州

的一处世界文化遗产.现甲、乙两名同学从三种吉祥物中挑选一个作为纪念品，则两人挑选的吉祥物相同

的概率是（）

1111

A.—B.—C.—D.—■

5432

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查的列表法与树状补法利用列表或树状图法展示所有或树状图法展示所有可能的结果，求

出％再从中选出符合事件。或。的结果数目内然后根据概率公式计算事件a或事件6的概率，画树状

图展示所有9种等可能的情况数.找出符合条件的情况数，然后根据概率公式求解即可.

【详解】解：画树状图为：

开匕

席U**Sfl

共有9种等可能的情况数.其中甲和乙拿到同一种吉祥物的有3种情况，

31

则甲和乙拿到同一种吉祥物的概率是一=

93

故选：C.

6.如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上,DF=2BF,连接ER并延长，与C5的延长线相交于

点若BC=8,则线段CM的长为（）

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A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角形中中位线定理证得。石〃BC,求出。E,进而证得口。所/，根据相似三角

形的性质求出即可求出结论.本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌

握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键.

【详解】解：•••DE是△ABC的中位线，

/.DE//BC,DE=-BC=-x8=4,

22

:UDEF—BMF,

DEDF2BF。

•____=____=_____=2

"BMBFBF'

BM=2,

：.CM=BC+BM=10.

故选：D.

7.如图，A3是口。的直径，点C,D,E在口。上，若NA瓦>=15。，则NBCD的度数为（

A.125°B.120°C.105°D.75°

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于90度，圆的内接四边形，连接AD,BD,

得出NABO=NAEr>=15°,ZADB=90°,进而可得出答案.

【详解】解：连接AD,BD,

第4页/共31页

:同弧所对的圆周角相等，

ZABD=ZAED=15°,

:AB是口。的直径，

ZADB=90°,

ZBAD=90°-15°=75°,

ZBCD=180°-75°=105°,

故选：C.

8.如图，在中，AB=5,AC=6,点。在边A5上，且4。=2,在AC上找一点E,使得△ADE

"335

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质.分类讨论是解题的关键.

由题意知，分△ADESAABC,两种情况求解即可.

【详解】解：由题意知，分△ADES^ABC,△AEDs/kABC两种情况求解;

AEADAE2

当△ADESZ\ABC时，—=——，即nn——=—,

ACAB65

解得，AE=2.4；

AEADAE2

当时，—=—,a即n——=—，

ABAC56

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解得，AE=-；

3

综上所述，AE的长是2.4或*,

3

故选：C.

9.如图，在正方形A3CD中，点E是CD上一点，延长CB至点R使8尸=。£，连接AE,AF,EF,EF

交A5于点K,过点A作AGLET"垂足为点H,交于点G,连接HD,HC.下列四个结论：①

FH=HC；②NDCH=675°；③NDAE=NDHE；@AK-HD=42AH2.其中正确结论的个数为

C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

【分析】①证明是等腰直角三角形，得FH=EH」EF,再根据直角三角形斜边中线可得

2

CH=-EF,可得①正确；②证明ZDAH与NAHQ不一定相等，则AD与。”不一定相等，可知②不正

2

确；③证明口4。“竺CDH,则NADH=NCDH=45。,再由等腰直角三角形的性质可得结论正确；④

证明口AKFsoHED,列比例式可得结论正确.

【详解】解：①•••四边形A3CD是正方形，

AD=AB=BC=CD,ZADE=ZABC=ZBCD=ZBAD=90°,

ZADE=ZABF=90°,

;DE=BF,

AADEABF(SAS),

AE=AF,NDAE=NBAF,

•：ZDAE+ZEAB=90°,

：.ZBAF+ZEAB=90°,即NE4E=90。，

AAEF是等腰直角三角形，

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AG1EF,

：.EH=FH=AH=-EF,

2

Rt口ECT中，=

CH=-EF,

2

FH=CH；故①正确；

③•.•AH=CH,AD=CD,DH=DH,

：.DADH^OCDH(SSS),

ZADH=ZCDH=45°,

•/AAEF为等腰直角三角形，

ZAFE=45°,

ZAFK=NEDH=45°,

•.•四边形A5CD为正方形，

Z.AB//CD,

：.ZBKF=ACEH,

；•ZAKF=ZDEH,

ZFAB=ZDHE,

:ZDAE=ZBAF,

ZDAE=ZDHE,故③正确；

@'：ZADH=ZAEF,

：.ZDAE=ZDHE,

/BAD=ZAHE=90°,

ZBAE=ZAHD,

,：ZDAE与NBAG不一定相等，

/.ZDAH与ZAHD不一定相等，

则AD与DH不一定相等，即DH与CD不一定相等,

NCDH=45°,

所以，NDCH不一定等于67.5°,故②不正确；

④：ZFAB=ZDHE,NAFK=ZEDH,

,PAKFSUHED,

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AKAF

EH—DH

，AK•DH=AF-EH,

在等腰直角三角形AE口中，AF=6FH=®EH，

又EH=AH,

：.AF=s[2EH=6AH,

AKHD=42AH2­故④正确；

本题正确的结论有①③④，共3个.

故选：C.

【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形“三线合一”的性质，直角三角

形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形

“三线合一”的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质是解题的关键.

10.如图，抛物线丁=奴2+笈+。与*轴正半轴交于人，B两点，与y轴负半轴交于点C.若点5（4,0）,

则下列结论中：①abc>0；②4a+0>0；③"（%，%）与N（%,%）是抛物线上两点，若0<再<%,

则%>为；④若抛物线的对称轴是直线x=3,m为任意实数，则。（加一3）（m+3）<仅3-m）；⑤若

AB>3,则46+3c〉0,正确的个数是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根据图像得出a<0,c<0,b>0,可判断①；再由图像可得对称轴在直线x=2右侧，可得

b

———>2,可判断②；再根据二次函数在y轴右侧时的增减性，判断③；根据抛物线对称轴为直线x=3,

2a

得出人=-6a,再利用作差法判断④；最后根据ABN3,则点A的横坐标大于。且小于等于1,得出

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4b+c

a+b+c>0,再由当x=4时，得出16a+4b+c=0,变形为a=---------，代入，可得4b+5cK),结合c的符号可判

-16

断⑤.

【详解】解：如图，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧,

.b八

•'•aVO,cVO,------>0,

2a

Ab>0,

Aabc>0,故①正确；

如图，•・,抛物线过点B(4,0),点A在x轴正半轴，

b

・・・对称轴在直线x=2右侧，即——>2,

2a

.•・2+2=3<0,又a<0,

lala

A4a+b>0,故②正确；

•.•MOL%)与N(%2，y2)是抛物线上两点，。<玉<%2，

b

可得：抛物线丁=改20+区+。在0<%<——上，y随X的增大而增大，

2a

b

在丁上，y随x的增大而减小，

2a

・•・%>%不一定成立，故③错误；

b

若抛物线对称轴为直线x=3,则——=3,即6=—6a,

2a

则a(m-3)(m+3)-b(3-m)

=o(m-3)(m+3)+6a(3—加)

=(z(m-3)(/n+3-6)

。(加一3)(m+3)<6(3-加)，故④正确；

VAB>3,则点A的横坐标大于0且小于等于1,

当x=l时，代入，y=a+b+c>0,

当x=4时，16a+4b+c=0,

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4/7+c

4/7+c

则------+b+c>0,整理得：4b+5c>0,

-16

则4b+3c>-2c,又c<0,

-2c>0,

.*.4b+3c>0,故⑤正确，

故正确的有4个.

故选B.

【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是能根据图像得出二次函数表达式各系数的符号.

第n卷

二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)

11.方程(尤+1)2=3(了+1)的解为.

【答案】石=一1,%=2

【解析】

【分析】利用因式分解法即可求解.

【详解】解：(X+1)2-3(X+1)=0

(x+l)(x+l-3)=0,BP(x+l)(x-2)=0

再=-l,x2=2

故答案为：x；=-1,%2=2

【点睛】本题考查因式分解法求解一元二次方程.掌握相关方法即可.

12.甲乙丙三组各有7名成员，测得三组成员体重数据的平均数都是58,方差分别为标=36,

S1=25,5^=16,则数据波动最小的一组是

【答案】丙组##丙

【解析】

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【分析】本题考查方差的意义.方差越大，说明数据越离散，波动越大；方差越小，说明数据越集中，波动

越小.由此可得答案.

【详解】解：•.・编=36,Si=25,5^=16,

S]<S|1Vs看,

,数据波动最小的一组是丙组.

故答案为：丙组.

13.因为物价上涨，某商品连续两次提价，每件由100元提高到121元.则平均每次提高的百分率为

【答案】10%

【解析】

【分析】设平均每次提高的百分率为x,根据题意得100(1+x)2=121,进行计算即可得.

【详解】解：设平均每次提高的百分率为工,

100(1+%)2=121,

(1+x)2=1.21,

l+x=l.l或l+x=-Ll,

%1=0.1=10%,x2=—2.1,

故答案为：10%.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程.

14.如图，ZSABC与口。所是位似图形，点。是位似中心，OB-.BE^l,若S^ABC=2,SADEF=

【解析】

【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是

解题的关键.根据位似图形的概念得到△ABCSADM,BC//EF,证明口8。0«£0尸，求出些，

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根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.

【详解】解：•.•0。：鲂=1,

OB:OE=1:2,

1,•□A5C与ODEF是位似图形，

.DABC^ODEF,BC//EF,

:.△BOCSXEOF,

•BCOB_1

"EF~OE~2)

•••产=/即

^DEF0QDEF

解得：S^DEF=81

故答案为：8.

15.如图，正方形ABC。的边长为4,分别以正方形的三边为直径在正方形的内部作半圆，则阴影部分的

【解析】

【分析】先判断出两半圆交点为正方形的中心，连接OA,OD,则可得出所产生的四个小弓形的面积相

等，先得出2个小弓形的面积，即可求阴影部分面积.

【详解】解：易知：两半圆的交点即为正方形的中心，设此点为O,连接AO,DO,

则图中的四个小弓形的面积相等,

:两个小弓形面积=；X?IX22-SAAOD,

两个小弓形面积=2兀-4,

，S阴影=2xS半圆-4个小弓形面积=71x22-2（2兀-4）=8,

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故答案为：8.

【点睛】本题考查了扇形的面积计算，正方形的性质，解答本题的关键是得出两半圆的交点是正方形的中

心，求出小弓形的面积，有一定难度，注意仔细观察图形.

16.如图，正方形A5CD的边长为10,内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、，分别落

在边A。、AB,BC、CD上，则的长为—.

【答案】j

【解析】

【分析】本题主要考查了利用相似三角形的判定和相似三角形对应边成比例的性质和勾股定理，综合性较

强；过点G作GP_LAD,可以得到口36/80尸6£,再根据相似三角形对应边成比例的性质列式求解即

可得到DE=2,根据勾股定理可求£G=Ji。？+6?=2J可，即可求解.

【详解正方形A3CD的边长为10,

/A=/B=90°,4B=10

过点G作GPLAD,则N4=N5=90°

四边形APG3是矩形，

/2+/3=90°,PG=AB=10

V六个大小完全一样的小正方形如图放置在大正方形中

Zl+Z2=90°

Zl=Z3

;,tiBGF⑻PGE

BGFGBG1

..---=----,即n-n----=一

PGEG105

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GB=2

：.AP=2

同理£>E=2

，PE=AD—AP—DE=6

•*-EG=V102+62=2734

小正方形的边长为独4

5

DH=」EH?—DE?=.

故答案为：—.

17.如图，已知点D,E是半圆。上的三等分点，C是弧DE上的一个动点，连结AC和BC,点/是

的内心，若。。的半径为3,当点C从点。运动到点E时，点/随之运动形成的路径长是.

【答案】—7T.

2

【解析】

【分析】连接作OTLAB交。O于7,连接AT,TB,以T为圆心，窗为半径作。T,在优弧AB上取一点G,

连接AG,2G.证明/A/B+/G=180°,推出A,/,B,G四点共圆，

【详解】如图，连接A/,BI,作OTLAB交。。于T,连接AT,TB,以T为圆心，窗为半径作。T,在优

弧A3上取一点G,连接AG,BG.推出点/的运动轨迹是麻即可解决问题.

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,：AB是直径，

.../ACB=90°,

是△ABC的内心，

.\ZAIB—135°,

*/OT±AB,OA=OB,

：.TA=TB,ZA7B=90°,

ZAGB=4ZATB=45°,

.,.ZAZB+ZG=180°,

AA,I,B,G四点共圆，

点/的运动轨迹是肋V，

由题意以D=0E=丽＞

.•.NM7M=30。，易知窗=7M=30,

点I随之运动形成的路径长是3＞女3拒=旦兀,

1802

故答案为万.

2

【点睛】本题考查了轨迹，垂径定理、圆周角定理、三角形的内心和等边三角形的性质等知识，解题的关键

是正确寻找点的运动轨迹.

18.如图，RtZ\0A8的顶点A(-2,4)在抛物线＞="2上，将Rt/kOAB向右平移得到△0小山1,平移后

的QA1与抛物线交于点尸，若点P将线段401分成1：3两部分，则点P的坐标为.

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【答案】（1,1）或（百，3）

【解析】

【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式，作PQLx轴于Q,得到尸。〃4囱，通过数据线系数从

而求得尸的纵坐标为2,代入求得的解析式即可求得P的坐标.

【详解】解：•.,RtZ\OAB的顶点A（-2,4）在抛物线>=以2上，

.*.4=4a,解得a=l,

二抛物线为y=K,

:点A（-2,4）,

/.AB=4,OB—2,

•・•将RtAOAB向右平移得到△OiAiBi,

.*.AiBi=AB=4,O\B\=OB—2,

作PQ_Lx轴于Q,

：.PQ//AxBi,

：.△POiQs/vhBiOi,

・尸Q_尸a

••丽=丽’

•••点P将线段401分成1：3两部分，

PO,13

‘丽丁“

.•.尸。=1或3,

尸的纵坐标为1或3,

当>=1时，代入y=N,解得a=1,x2=-1,

：.P（-1,1）（不合题意舍去）或（1,1）；

当y=3时，代入>=（，解得制=6，X2=-也,

第16页/共31页

：.P(-6,3)(不合题意舍去)或(班，3)；

综上，尸点的坐标为(1,1)或(6，3)；

【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性

质，根据题意求得P点坐标是解题的关键

二、解答题(本大题共10小题，共66分)

19.用适当的方法解下列方程：

(1)x(x+4)=3(x+4)；

⑵4x2-4x+1=x2+6x+9

【答案】(1)X]=3,x2=-4

2

(2)xl=4,X2=--

【解析】

【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法：因式分解法解方程，熟练掌握是解题的关键.

(1)先把方程移项，再利用因式分解法求解即可.

(2)先把方程移项，再利用因式分解法求解即可.

【小问1详解】

解:x(x+4)=3(x+4)

x(x+4)-3(x+4)=0

(x-3)(x+4)=0

x-3=0,x+4=0

xx=3,x2=—4；

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【小问2详解】

解：4x2-4x+1=x2+6x+9

3x2—lOx-8=0

.•.(x-4)(3x+2)=0

x-4=0,3x+2=0

,2

xi=4,%=•

20.由中宣部建设的“学习强国”学习平台正式上线，这是推动习近平新时代中国特色社会主义思想，推

进马克思主义学习型政党和学习型社会建设的创新举措.某基层党组织对党员的某天学习成绩进行了整

理，分成5个小组(x表示成绩，单位：分，且203<70),根据学习积分绘制出部分频数分布表，其中第

2、第5两组测试成绩人数之比为4：1,请结合下表中相关数据回答问题：

学习积分频数分布表

组别成绩X分频数频率

第1组203V305

第2组30<x<40

第3组40<x<50150.30

第4组50<x<6010

第5组60<x<70ab

(1)填空：a=,b=；

(2)已知该基层党组织中甲、乙两位党员的学习积分分别为63分、67分，现在从这组中随机选取2人介

绍经验，请用列表、画树状图等方法，求出甲、乙两人同时被选中的概率.

【答案】(1)。=4、6=0.08；(2)见解析，-

6

【解析】

【分析】(1)由第3组的频数和频率计算样本容量，即可解决问题.

(2)画树状图，共有12种等可能的结果.甲、乙两人同时被选中的结果有2种，再由概率公式求解即可.

【详解】解：(1)样本容量为：15+0.30=50,

第2、第5两组测试成绩人数之和为50-5-15-10=20,

第18页/共31页

因为第2、第5两组测试成绩人数之比为4:1

第2、第5两组测试成绩人数分别为16人、4人，

a=4,6=4+50=0.08

故答案为:4,0.08.

(2)•••甲、乙两位党员的学习积分分别为63分、67分，

甲、乙两人在第5组，第5组共有4人，把其余2人记为丙、丁

画树状图如图：

共有12种等可能的结果，甲、乙两人同时被选中的结果有2种

2]

甲、乙两人同时被选中的概率为二=：.

12o

【点睛】本题考查了列表法和树状图法求概率，公式：概率=所求情况数：总情况数，及频数分布表.解

题的关键是注意放回试验还是不放回试验.

21.如图，等腰4ABC中，AB=AC,。是3c中点，NEDF=NB.

(1)求证：△BDE's△£)/?£■；

(2)已知3E=2,EF=3,求DE的长.

【答案】(1)见解析(2)DE=a.

【解析】

【分析】本题考查相似三角形判定与性质.

BEDEBEBD

(1)先证明ABDEs△CFD得到比例式一=—,等量代换得到一=—，由NEDF=NB,从而

CDDFDEDF

证明出^BDEsADFE：

BEDE

(2)由ABDEsADFE,推出——=—,代入数据计算即可求解.

DEEF

【小问1详解】

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证明：AB=AC,NEDF=NB,

：.NB=NC=NEDF.

-：NEDC=ZEDF+ZFDC=NB+ABED,

Z.ABED=NFDC,

：.LBDEsLCFD,

.BEDE

"~CD~~DF'

又•：BD=CD,

BEDEBEBD

.•----=------，即nn----=----,

BDDFDEDF

,/NEDF=ZB，

4BDEsADFE；

【小问2详解】

解：,:ABDEsADFE,

.BEDE

,;BE=2,EF=3,

•2DE

••一,

DE3

；•DE=sf6■

22.如图，以点。为圆心，4B长为直径作圆，在口。上取一点C,延长4B至点连接OC,

NDCB=ADAC,过点A作AE，交DC的延长线于点E.

(1)求证：CD是口。的切线

(2)若CD=4,DB=2,则AE的长

【答案】(1)见解析(2)6

【解析】

【分析】本题考查了切线的判定和性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定

理的推论，全等三角形的性质和判定，正确的作出辅助线是解题的关键.

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(1)连接。C,如图，根据圆周角定理得到NAC5=90°,即NBCO+Z1=90。，求得NOC4=NDC8,

得到ZDCO=90°,根据切线的判定定理得到答案；

(2)根据勾股定理得到08=3,求得A3=6,根据切线的性质得到AE=CE根据勾股定理即可得出结论.

【小问1详解】

证明：连接。C,如图，

1.•AB为直径，

:.ZACB=90°,即NBCO+NOC4=90°,

又,:NDCB=NCAD,

•••ZCAD=ZOCA,

ZOCA=ZDCB,

ZDCB+ZBCO=90°,

即ZDCO=90°,

-：OC是□。的半径，

.•.CD是口。的切线；

【小问2详解】

解：连接OE,

/)

VZDCO=90°,OC=OB,

OC2+CD2=OD2,

032+42=3+2)2,

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/.OB=3,

AB-6,

・・・AELAD,

ZOAE=/OCE,OC=OC,OE=OE,

:DECO先EAO（HL）,

AE=CE,

”:AD2+AE2=DE2，

（6+2）2+AE2=（4+AE）2,

解得：AE=6.

23.随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富.为增加该村村民收入，计划定价销售某土

特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y（袋）和每袋售价x（元）记录如下:

时间第一天第二天第三天第四天

力元15202530

y/袋25201510

若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题：

（1）求日销量y关于每袋售价x的函数关系式；

（2）请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润.

（利润=销售额-成本）

【答案】（1）日销量y关于每袋售价x的函数关系式为y=-x+40

（2）每袋售价定为25元时，这种土特产日销售的利润最大，最大利润为225元

【解析】

【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系.

（1）设日销售量y（袋）和每袋售价尤（元）的函数关系式为丁=履+人（左H0）代入数据，利用待定系

数法即可求解；

（2）设每袋土特产的售价定为x元，则日销量为（40-力袋，成本为10（40-力，总利润为W元，根据销

售利润=销售每袋土特产的利润x每日的销售量，得到W与尤的函数关系式，再根据二次函数的性质求解

即可.

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【小问1详解】

解：i^y=kx+b(kHO)

将(15,25),(20,20)代入y=日+。，

[25=15k+6

得《

20=20左+6

解得上=—1,匕=40

y=-x+40

•••日销量y关于每袋售价尤的函数关系式为y=-x+40；

【小问2详解】

解：设每袋土特产的售价定为x元，则日销量为(40-0袋，成本为10(40-%)，总利润为印元，

W=x(40-x)-10(40-%)(0<x<40)

=-x?+50x—400

=-(x-25『+225,

当x=25时，W最大，最大值为225

答：每袋售价定为25元时，这种土特产日销售的利润最大，最大利润为225元.

24.【阅读理解】利用完全平方公式，可以将多项式4必+6%+*4/0)变形为水工+机)2+〃的形式，我

们把这样的变形方法叫做多项式加+bx+c的配方法.

例如：利用配方法将x2+4x-3变形为a(x+机y+n的形式.

x2+4x-3=x2+4x+22-22-3=(x+2)2-7.

【解决问题】根据以上材料，解答下列问题：

(1)利用配方法将多项式12-6x+2化成a(x+m)2+〃的形式.

(2)求证：不论x,y取任何实数，多项式％2+丁+6尸2丁+15的值总为正数.

【答案】⑴(x—3『一7；(2)见解析

【解析】

【分析】(1)根据配方法配方，即可得出答案

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(2)根据配方法把1+y2+6%-2丁+15变形成6+3)2+(广1)2+5,再根据平方的非负性，可得答案.

【详解】⑴解：X2-6X+2

=x2-6x+9-9+2

=(x-3)—7；

(2)证明：尤2+/+6x-2y+15

=(X2+6x+9)+(y2-2y+l)+5

=(x+3)~+(y-1)~+525,

故不论x,y取任何实数，多项式尤2+,2+6尸2丁+15的值总为正数.

【点睛】本题考查了配方法的应用、因式分解以及平方差公式，利用完全平方公式:

a2+2ab+b2=(。±力2配方是解题关键.

25.在△ABC中，ZAC5=90°,CD1AB,垂足是。点，点E在线段CD上，联结3E,过点。作BE

的垂线，交AC的延长线于忆交3c于G,交BE于H.

爵用图

(1)求证：口4。/口口。匹；

(2)求证：AFCE=ACCD-

(3)已知：CD=4,BD=3,当口BOG是等腰三角形时，求DE的长(直接写出计算结果)

【答案】(1)见解析；

937

(2)见解析；(3)DE的长为一或一或(.

428

【解析】

【分析】(1)只要证明NA=ZBCD,ZADF=ZCEB,即可解决问题；

477AD

(2)由推出——=—,^AF-CE=ADBC,由△AC£)s^C8。，可得

BCCE

ArAT)

—=—,推出ACCO=4Z>BC,即可解决问题；

BCCD

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(3)分三种情形：①如图1中，当GD=G3时，作GMLBD于利用相似三角形的性质求出DE即

可；②如图2中，当=时，连接EG.由DBOE乌JBGE,推出ZBOE=NBGE=90°,

8。=BG=3,设DE=EG=x,,在Rt口ECG中构建方程即可解决问题；③如图3中，当。G=DB时，

作GM上DB于M,DN上BC于N.利用相似三角形的性质解决问题即可，

【小问1详解】

解：'：CD1AB,

：.ZADC=ZBDC=90°,

•：ZACB^90°,

：.ZA+ZACD=ZACD+ZBCD=90°,

ZA=NBCD,

同理NCDE=NDBE,

•；ZADF=Z90°+ZCDF=90°+NDBE=NCEB,

：.UADF^OCEB；

【小问2详解】

-：UADF^nCEB,

.AFAD

,,BC—CE'

：.AFCE=ADBC,

,:NA=/BCD,ZADC=ZCDB,

：.AACDs^CBD,

.AC_AD

''BC~CD'

：.ACCD=ADBC,

：.AFCE=ACCD；

【小问3详解】

①如图1中，当GD=G5时，作GMLBD于

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CD上BD,

：.GM//CD,

*：DM=BM,

：.CG=GB,

：.GM=-CD=2,

2

BE±GD,

：.NDHB=NGMD=90。,

：.ZDGM+ZMDG=90°,NBDH+NDBE=90°,

：.ZDGM=ZDBE,

:EBDE阻GMD,

.DEBD

,•DM-GM'

DE_3

.•.丁=5,

2

9

DE=-.

4

②如图2中，当=时，连接EG.

图2

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；BD=BG,BEIDG,

:.EB平分NDBC,

；BE=BE，NEBG=NEBD,BD=BG,

:EBDE芬BGE,

：.ZBDE=ZBGE=90°,BD=BG=3,

•：CD=4,

•**BC=y/CD2+BD2=5，

CG=BC—BG=5—3=2,

设DE=EG=x,

在RtOECG中，：EC?=EG2+CG2，

,*.（4-x）2=X2+22,

,3

••x——，

2

3

DE=-.

2

③如图3中，当。G=D8时，作GMLDB于M,DNLBC于N.

图3

ZDBN=NCBD,ZDNB=NCDB=90°,

C^BND^BDC,

.BDBN

••茄一茄’

9

BN=-,

5

•:DG=DB,DNLBG,

1Q

BG=2BN=—,

5

-：GM//CD,

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.GM_BG

'~CD~~BC

18

GM,

丁一！"

：.GM=—,

25

BM=^BG1-GM-=—

…II25

r）EBD

由口6四048。£可得：——

DMGM

3DE

72=,

2525

7

DE=-

8

综上：DE的长为一9或'3或7

428

【点睛】本题属于相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知

识，解题的关键是用分类讨论的思想思考问题，利用参数解决问题，属于中考压轴题.

26.抛物线y=ax?