江苏省南京市某中学2023-2024学年高三年级下册数学热身卷（解析版）

南京五中高三热身测

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中只有一项是符

合题目要求的.

1.设集合人卜厅―51+6>0},8={x[x-l<0},则()

A,{%|x<1}B.{x|-2<x<l}C.{x|-3<x<-l}D.{x|x>3}

【答案】A

【解析】

【分析】化简集合4={x|x>3或x<2},B={x\x<l}f即可利用集合的交运算定义求解.

【详解】由4={x|一51+6>0}得/={x|x>3或x<2},

5={x|x_1<0}={x|x<1},

故/。8={刈》<1},

故选：A

2.若复数z满足(l+i)z=3-i(其中i为虚数单位)，则复数z的共轨复数1=()

A.l-2iB.l+2iC.2-2iD.2+2i

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数的除法化简复数z,利用共辗复数的定义可得结果.

【详解】因为(l+i)z=3—i,则2===匚芈?=『=1一2i,因此，==i+2i.

故选：B.

___________12

3.已知在△048中，动点。满足NC=25C，其中力<0，且加。4+〃。5，则一+一的最小值为

mn

()

A.3+2百B.2+273C.3+2亚D.2+2V2

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可得力,B,C三点共线，且C点在线段4B上，于是m+〃=l,且应〃>0,然后利用均

值不等式即可求解.

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【详解】解：由题意可得B,。三点共线，且C点在线段45上，于是加+〃=1,且九〃>0,

^,12fl2\,2m___/z-

所以——1--=——1-—(加+〃)=1+——I----1-2>3+2V2,

mn\mn)mn

当且仅当幺=也，即掰=亚-1，〃=2-后时取等号，

mn

故选：C.

4.若正四棱台的上，下底面边长分别为I,2,高为2,则该正四棱台的体积为()

10714

A.—B.—C.—D.14

333

【答案】C

【解析】

【分析】根据棱台的体积公式即可直接求出答案.

【详解】4=1(S+S,+^7)/z=1(l+4+VbM)x2=y.

故选：C.

5.从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一

名男生、星期日安排一名女生的概率为()

I5I7

A.-B.—C.—D.—

312212

【答案】A

【解析】

【详解】设2名男生记为AI,A2,2名女生记为Bi,B"任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有

(AI,A2),(AI,BI),(AI,B2),(A2,BI),(A2,B2),(BI,B2),(A2,AI),(BI,AI),(B2,AI),(BI,A2),(B2,A2),(B2,BI)12种情况，而星期

六安排一名男生、星期日安排一名女生共有(AI,BI),(AI,B2),(A2,BI),(A2,B2)4种情况，则发生的概率为

4I

p=—二—,

123

故选：A.

6.设函数/(x)=2cos[a>x-(p+mg>o,-m。<o的图象关于原点对称，且相邻对称轴之间的距离

为2兀,则函数g(x)=sin(0-4°x)的单调增区间为()

兀72兀7/7t-f\

A.-+kji,-+kn(keZ)B.一+左兀,-----F左兀(左€

36V763

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兀77

C.-§+左兀,兀+ATI（左eZ）D.—1++E[keZ）

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的对称性求出。，根据最小正周期求出。，即可求出g(x)解析式，再根据正弦函数的性

质计算可得.

【详解】因为函数/(x)=2cos[x—°+鼻的图象关于原点对称，则—e+]=]+

'11JI'iI

解得(P-....kit,keZ,又—<夕<0,所以0=—，

626

又相邻对称轴之间的距离为2兀，则二二2兀，又①〉0,

2

2兀1

所以一二4兀，解得g二一，

CD2

所以g(x)=sin(0—4Gx)=sin(一・一2x]=-sin[2x+e],

TTTT311

令2析+—V2x+—V2左兀+一,k€Z,

262

兀2兀

解得kn+-<x<kn-\---，左£Z,

63

所以g(x)的单调增区间为E++g,keZ.

故选：B

7.已知max{凡瓦c}表示a,b,c中的最大值，例如max{1,2,3}=3,若函数

/(x)=max|-x2+4,-x+2,x+3},则/(x)的最小值为()

A.2.5B,3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】在同一平面直角坐标系中作出函数y=-x2+4,>=—x+2,y=x+3的图象，根据函数的新定

义可得/(x)的图象，由图象即可得最小值.

【详解】如图：在同一平面直角坐标系中作出函数y=+4,y=-x+2,y=x+3的图象，

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因为/(x)=max{-，+4,-x+2,x+3},所以/(x)的图象如图实线所示:

\y--x2+4\y=-x2+4(V5-1行+5)

由<可得4(—1,3),由।可得B

y=-x+2(x<0)y=x+3(x>0)

由图知/(x)在(-%-1)上单调递减，在(TO)上单调递增，在0，丫=上单调递减，在工=，+8

上单调递增,

所以当x=—1时，J=-(-1)2+4=3,

当＞浮时'蚱口+3=—>3,

22

所以/(x)的最小值为3,

故选：B.

8.已知四棱锥尸一/BC。中，底面N8CD是矩形，且尸2=/8=2,侧棱尸2,底面Z8CD,若四棱锥

尸-48CZ)外接球的表面积为12兀，则该四棱锥的表面积为()

A.8+473B.8+673C.6+473D.8+4收

【答案】D

【解析】

【分析】由长方体模型得出尺=G，PC=25再由线面关系结合面积公式得四棱锥的表面积.

【详解】由题可将四棱锥P-28CD的外接球看作是一个长方体的外接球，PC是长方体的体对角线，

则球心是尸。的中点，设外接球的半径R,则4乃氏2=12"，解得R=百，则尸。=2百，

如图，连接ZC,由尸2,底面48CD可知，PALAC.

在RtZVMC中，APAC=90°,PA=2,PC=273,所以ZC=2A/L

在RtZk/BC中，ZABC=90°,AB=2,AC=26，所以8C=2,

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所以S△刃B=S.o=gx2x2=2.

因为尸2,底面Z8C£),所以24LBC,又BC工4B,P4c4B=4,PA,4Bu平面R4B,

所以3C_L平面尸48,因为PBu平面尸48,所以BCPB,

同理可证，CD1PD,

所以S^PBC=SAFDC='X2X2J5=2J^，又矩形/BCD的面积S=2X2=4,

所以该四棱锥的表面积为Spec。=2+2+4+2后+2应=8+4近.

故选：D

二、多项选择题：本题共36小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合

题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的给部分分.

9.设函数/(x)=xln2x+x的导函数为/，(x),则()

X=」是/(》)的极值点

A.r(-)=0B.

ee

/(x)在［j+s)单调递增

C./(x)存在零点D.

【答案】AD

【解析】

【分析】

求出定义域，再求导，计算即可判断A,由导函数/'(x)=ln2x+21nx+l=(lnx+l)220,即可判断选项

B、D,由/(x)〉0,即可判断选项C,从而可得结论.

【详解】由题可知/(x)=xln2x+x的定义域为(0,+8),

对于A,f(x)=ln2x+21nx+l,则/'(工)=d2+2出工+1=1—2+1=0,故A正确;

eee

对于B、D,/,(x)=ln2x+21nx+l=(lnx+l)2>0,所以函数/(x)单调递增，故无极值点，故B错误,

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D正确；

对于C,/(x)=xln2x+x=x(ln2x+l)>0,故函数/(x)不存在零点，故C错误.

故选：AD.

io.如图，正五棱柱中，AB=272>，4=4,尸为2C的中点，M,N分别为cq

上两动点，且上W=1(5N<BN),贝I()

£»i

A.EF±BN

B.三棱锥M-BEN的体积随M的位置的变化而变化

C.当N为cq的中点时，平面片所

^2

D.直线BN与平面BME所成角的正切值最大为旺

4

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用线面垂直的判定性质推理判断AC；利用等体积法求三棱锥的体积判断B；确定出线面角并求

出正切值的最大值判断D.

【详解】在正五棱柱ABCDE-4与。12片中,

对于A,由_L平面/2C0E,E尸u平面/2C0E,得班―EF,

由尸为3C的中点，得EF工BC,而BB\cBC=u平面BCCB，

因此斯，平面8CC£，又8Nu平面5。。田1，所以EFLBN,A正确；

对于B,由选项A知，点E到平面斜W的距离ER为定值，而的底边跖V=l,

高BC=2C，则△瓦WN的面积是定值，三棱锥ASV的体积G_BEN=/-BMN为定值，B错误;

CM1BF

对于C,当N为CG的中点时，CA/=1,在矩形BCCNi中，tanZMBC=--=—=—=tanABB(F,

nC2A/2

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则ZMBC=NBB[F,ABBXF+ZMBBX=ZMBC+ZMBB}=90°,即，BXF,

由选项A知，EE_L平面BCCpS1,5A/u平面BCC/i，于是BMLEF，

而打户口及尸二己万尸石尸匚平面片后尸，因此2"_|_平面gE/7,C正确；

对于D,由CN_L平面/8CD£,得BN,BM与平面/8CDE所成的角分别为NNBC,N〃BC,

则NN5M是直线BN与平面BAffi1所成的角，令CM=t,0<t<3,

且tanNNBC=三1,ZMBC=,因此tanZNBM=tan(NNBC-ZMBC)

2A/22V2

t+lt__

2、52、62cC

竺竺[,、<一,当且仅当t=0,即点M与点。重合时取等号，D正确.

117+1t8+r(r+1)4

2V22V2

故选：ACD

Px>2

11.定义域为R的奇函数/(x),当x〉0时，/(x)=jx—1'，下列结论正确的有()

x2-2x+2,0<x<2

A,对VX],々e(-1,1)且X1W%,恒有‘")'(")<0

X]一/

B.对\?\户2e[2,4W),恒有/[项；1])/(%)；、(%2)

C.函数y=x与/(x)的图象共有4个交点

D.若xe[a,0)时,/(X)的最大值为—1,则ae[-3,-l]

【答案】BD

【解析】

【分析】画出函数的y=/(x)的图象，结合函数的图象与性质，利用函数的单调性、图象的“凹凸”性，

以及函数的值域，逐项判定，即可求解.

\〉2

【详解】由题意，定义域为R的奇函数/(x),当x〉0时，/(%)=x-f",

x2-2x+2,0<x<2

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作出函数/(X)的图象，如图所示，

则函数“X)在(0』]上为单调递减函数，

又由函数/(x)为奇函数，所以函数/(x)在上单调递减，

不妨设-1£西结合图象可得/(须)<0,/(%)>0，

此时/(*)—/(々)<0,此时/(：)：；(“)〉o,所以A不正确；

当xe[2,+s)时，函数/(x)为“凹函数”，所以满足/[七成立,

所以B正确；

结合图象，可得函数y=/(x)与y=x的图象，共有4个交点，所以C正确；

若xe[a,0)时，当x=—l时，可得/(T)=T；

2

当x22时，令——=1,解得x=3,因为函数/(x)为奇函数，可得/(—3)=—1,

x-1

要使得当xe[a,0)时，/⑴的最大值为一1,可得一即ae[-3,-1],

所以D正确.

12.若(/+4、+工]的展开式中f的系数为％则0的值为

【答案】1

【解析】

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【分析】由题得(丁+。)[+:]+。・1+口，再借助二项式展开式的通项分两种情况讨论得

解.

x+—=x2^x+—+a(x+L),且[x+4]展开式的通项

【详解】解：(x2+a

当8-2r=6时，r=\,此时/的系数为C；.

当8-2r=8时，r=0,此时炉的系数为C；.

展开式中f的系数为C；+aC；=8+。=9,:.a=\.

故答案为：1

13.过直线/：x+y+l=O上一点P为作圆。：/+/一4》—2y+4=0的两条切线，切点分别为A,B,

若四边形PACB的面积为3,则点P的横坐标为.

【答案】-1或1

【解析】

【分析】由PA,PB是圆的切线，可知四边形PACB的面积为两个全等的直角三角形面积之和，由此得到

切线长，再设P点坐标，利用直角三角形PCA可得.

【详解】圆C的方程可化为(x-2)2+(y-厅=1,所以圆心C的坐标为(2,1)，半径为1.因为四边形PACB

的面积为3,所以|24“=3,在直角三角形P/C中，由勾股定理可得，

|PC|=^\PAf+\ACf=V10,设aT),则J("2)2+(_q—2『=回,解得a=-1或a=l

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，能够充分利用圆的性质，考查运算求解能力，属于中档题.

22

14.已知耳，g是椭圆£：尢+巳_=1的左、右焦点，〃点是在第一象限椭圆£上一动点，若/片儿里是

锐角，则椭圆E在河点处的切线的斜率的取值范围是.

r⑶

【答案】-0°,——

【解析】

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22

【详解】片(一2,0),月(2,0),设M(x/),(x>0/>0),满足土+匕=1①，

62

当时，可得：(x—2)(x+2)+y?=0②，

①②联立x-V3,y=1，

所以当N片儿应是锐角时，0<x<G,

再由。+；=1,得到了2=2—：,开方得第一象限曲线解析式：J=^2-y，

求导可得：y=—二、2-上当X=百时，V=-->即此点处的切线斜率为-立;

“3V333

结合图象可知：圆£在M点处的切线的斜率的取值范围是7,-七

故答案为：-8,----

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.

15.已知函数/(x)=xlnx+%3.

(1)求曲线y=/(x)在点(1,/。))处的切线方程；

(2)若/(x)21对任意的加恒成立，求实数加的取值范围.

【答案】⑴4x-歹-3=0

(2)[1,+co)

【解析】

【分析】(1)根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程进行求解即可；

(2)构造新函数，利用导数判断新函数的单调性，结合函数的单调性进行求解即可.

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【小问1详解】

/⑺=lnx+3/+1/⑴=4,〃1)=1.

则曲线y=/(%)在点(1,/。))处的切线方程为y—1=4(x-l),

即41_尸3=0.

【小问2详解】

f(x)>1,BPlux+x2——>0.

x

令/z(x)=lnx+x2—J_,由条件可知，20对任意的x2加恒成立.

X

因为"'(》)=』+2'+二之0,所以"x)在(0,+司上单调递增.

XX

因为"1)=0,所以当X21时，h(x)>0,所以加21.

故实数加的取值范围为［1,+s).

B+c

16.已知△48C的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且asinC=Jycsin------.

2

(1)求角A的大小；

兀

(2)若点。在边上，且。。=3AD=3,ZBAD=-,求△48C的面积.

6

【答案】⑴A=^2兀.

⑵”

19

【解析】

LA

【分析】(1)由正弦定理的边角关系、三角形内角的性质可得sinZ=gcos—,再应用二倍角正弦公式化

2

简可得sin4=走，即可求N的大小.

22

兀2BDc

(2)由题设可得ND4C=—,法一：由正弦定理及//。5+//。。=兀可得——=—,再由余弦定理

2CDb

得到加2=3,最后根据三角形面积公式求△4SC面积；法二：根据三角形面积公式有言皿=三，由

19S-DC2b

△A4D的边8。与△4DC的边。C上的高相等及已知条件可得£=1，再由余弦定理得到加2=竺，最

2b319

后根据三角形面积公式求△45C面积；

【小问1详解】

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/?+r

由已知及正弦定理得：sin4sinC=V3sinCsin----又---B+C=R—A,

.B+C/

又sinCw0，

2

.匚A.AAFTAA兀

/.sinA=-^3cos—,贝U2sm—cos—=cos—,而0<一<一,

222222

/.COS-^0,贝IJsinW=由，故且=4,得/=§.

222233

【小问2详解】

27rJIjr

由N8ZC=—,ZBAD=-,则NZ14C=—.

362

BDc

法一：在△45。中，.兀-sin/BCU，①

sin—

6

CDb

在△4DC中，.兀-sinNZDC，②

sm—

2

•/AADB+ZADC=7i,

AsinZBDA=sinZADC,③

由①②③得：----二—，又CD-3BD=3,得BD-1,

CDb

c2、、

，一二一，不妨设c=2加，b=3m,

b3

2716

在△48。中，由余弦定理可得，42=（2m）+（3mY-2x2mx3mcos——，得加？=一，

'''"319

所以=—bxcsinZBAC=—x2mx3mx——=-------

22219

jr

s-c-ADsinZBADcsin-

法二.、ABAD_2_6_C

S^ADC^-b-ADsinZCADZ?sin—%

22

•/△BAD的边8。与△4DC的边DC上的高相等,

SABADBD1clc2

=-=由此得：一二一，即—二—，不妨设。=2加，b=3m,

S.ADCDC32b3b3

,?2兀16

在△48C中，由余弦定理可得，42=(2mY+(3m}-2x2mx3mcos——，得疗=一，

''''319

246

所以SA，BC=—bxcsinZBAC=—x2mx3mx——二

22219

17.如图，在平面五边形4BC0E中V4DE是边长为2的等边三角形，四边形A8CD是直角梯形，其中

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AD/IBC,AD±DC,8c=1,CD=G.将VADE沿AD折起,使得点E到达点M的位置，且使BA/=Jd.

(1)求证：平面平面48CD；

(2)设点尸为棱。0上靠近点C的三等分点，求平面与平面M4D所成的二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)正弦值为2且

5

【解析】

【分析】(1)取的中点N,连接MN,BN.通过证明BNL4D,BNLMN,得平面M4D再

根据面面垂直的判定可得平面K4D，平面/BCD；

(2)以N为坐标原点，直线为x轴、A®为y轴、2W为z轴建立空间直角坐标系，求出两个平面的法

向量，利用法向量求出二面角的余弦值，再根据同角公式求出其正弦值.

【小问1详解】

如图，取/£＞的中点N,连接MN,BN.

因为是等边三角形，所以上W7.4D,且凹¥=/〃^1160。=6，

在直角梯形中，因为DN=BC=1,DN//BC,ADLDC,

所以四边形2CDN是矩形，所以BN_L4D,旦BN=CD=6，

所以BN?+MN2=6=BM°,即BN_L3W,

又ADcMN=N,4Du平面M4D上Wu平面所以BN_L平面M4D.

因为BNu平面/BCD,

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所以平面，平面/BCD

【小问2详解】

由(1)知NB,MW■两两互相垂直，

以N为坐标原点，直线N4为x轴、为y轴、NM为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

根据题意，N(0,0,0),A(l,0,0),5(0,G,0),C(-l,瓜0),M(0,0,后),£>(-1,0,0),=(1,拒,0),

由P是棱CM的靠近点C的三等分点得，

utram1uuuri(2^3⑻

5P=J8C+-CM=(-l,0,0)+-(l,-V3,V3)=^--,-y,y

设平面PBD的一个法向量为万=(x,y,z),

n-B~DP~D=0n—2x---V--s-y-\--V--S--z=0

则《一，即〈333,

【心切=0]x+岛=0

令y=l，则X=-G,z=-1,故平面的一个法向量为以=(-G,l,-l).

SUU-

而平面MAD的一个法向量为NB=(0,j3,0),

设平面尸与平面所成的二面角的平面角为0,

ruun广r-

则cos0—cos<n,NB〉|———uur——产—产——,

\n\\NB\V5-V35

____9R

所以sin9=，l—cos2。=----，

5

所以平面PBD与平面MAD所成的二面角的正弦值为2叵.

5

18.已知数列｛%｝的前1项和为Sn,Sn=%—4a“+i,%=-1.

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（1）证明：数列｛2an+l-a„）为等比数列；

（2）设％=，求数列｛〃｝的前n项和；

n（n+1）

（3）是否存在正整数0,g（夕<6<q）,使得跖,，演，邑成等差数列？若存在，求p，q；若不存在,

说明理由.

【答案】（1）证明见解析；

11

（2）--------------------•

82n+3（n+l）,

（3）存在，p=5,q=8.

【解析】

【分析】（1）利用给定的递推公式，结合%=S“-SR,〃22及等比数列定义推理即得.

（2）由（1）求出％,〃，再利用裂项相消法求和即可.

（3）由（1）求出S“，由已知建立等式，验证计算出夕，再分析求解4即可.

【小问1详解】

〃eN*，S“=%—4a“+i，当〃22时，=an_x-4an,

两式相减得a”=an—an_x—4<zn+1+4an,即4an+1=4an-an_x,

则有2（2a“+]—a“）=2a“,当“=1时，8]=%-4%,则4=。，即2%-q=1彳0,

所以数列｛2a“+1-%｝是以1为首项，g为公比的等比数列.

【小问2详解】

由（1）得，万，则2%用一=1,数列｛21%｝是等差数列，

n-272+21r11

于是2an=n-2,解得％=宁’则a=2用〃（〃+1）'

所以｛g｝的前〃项和

T——1「（八]----1--）、_|_（/--1-------1-）、+…+（-Z---1---------1----、■.---1--------1----

”82x22x222X32f2"（〃+1）82"+3（n+l）'

【小问3详解】

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,,、L

「n-24n-1n

由（1）知，Sn=^r-4x^r=-^-r,

由邑,£）,邑成等差数列，得一||=一4r一券，整理得枭+誉=［，

22P2"2P2’16

,pq3_o3.1,r、T*12343二十号一小一

由+左=77,/F倚瓦（77'又1<夕<6,peN,-=^>^>^>—>夕=5不等式成乂，

2'2"162’16222216

因此<-+&=1-,即2=工，令d"=上,则Z+1—4==<0,

从而4=%>4>