几何压轴突破之几何最值问题之将军饮马模型与逆等线模型-2025年中考数学一轮复习

第四章三角形

重难点15几何压轴突破三几何最值问题之

将军饮马模型与逆等线模型

（2种模型讲解+14种题型汇总+专题训练+真题训练）

【题型汇总】

❶两定一动型

❷驿殳

❷两定一动癖定动型0

❹垂线段最短型

❺造桥选址型

附真题训练

将军饮马模型O与将军饮马有关的角度探究问题

❼与将军饮马有关的作图问题

❽相对运动平移型将军饮马

通过瓜豆得出轨迹后将军饮马

几何压轴突破三几何最值问题之❾拔高

将军饮马模型与逆等线模型三动点问题

构造SAS型全部接线段

平移，对称或构造平行四边形

逆等线模型加权逆等线

取到最小值时对其它量进行计算

类型一将军饮马模型

场景总结：当题目中构图满足“求点到直线上动点距离和的最小值”的条件时,则一定存在将军饮马模型.

解题大招：（1）最值问题基本原理:①两点之间线段最短;②点到直线,垂线段最短.

（2）将军饮马解题步骤:第一步，明确动点、定点；

第二步，明确问题属于哪种将军饮马模型,要求哪些线段和的最小值（注

意去掉长度固定的线段）；

第三步,利用平移、对称等方法，将问题转化为基本原理①或②.

模型详解：

类型一两定一动型（四种）

图形

A

/B

mD"1

B，

B

条件如图，A,B两定点分布在直线m两侧，点D为直如图，A,B两定点分布在直线m同侧，点D为直

线上一动点，求AD+BD的最小值.线上一动点，求AD+BD的最小值.

结论当A,D,B三点共线时，AD+BD取得最小值，最当A,D,B'三点共线时，AD+BD取得最小值，最

小值为AB的长.小值为AB'的长.

解题1）连:连接AB；1）找:找一个定点关于直线m的对称点B'；

方法2）求:AB长度即为AD+BD的最小值;2）连:连接对称点B'和另外一个定点A；

3）求:AB'长度即为AD+BD的最小值.

图AA

形

""•・・・・.一・•

bm0为、、J7m

B

条如图，A,B两点分布在直线m同侧，点D为直线如图，A,B两点分布在直线m两侧，点D为直线

件m上一动点,求|AD-BD|的最大值.m上一动点,求|AD-BD|的最大值.

结当A,B,D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最当A、B'、D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，

论大值为AB的长最大值为AB'的长

解1）连:连接AB并延长交直线m于D'；1）找:找一个定点关于直线的对称点；

题2）求：当点D和点D'重合时，|AD-BD|的值最大,2）连:连接另外一个定点和对称点，并延长交直

方AB的长度即为|AD-BD|的最大值.线于一点；

法3）求:另外一个定点和对称点间的距离即为所求.

【补充】

图形A

9B/

飞：・・•・・・・..

••••../・・・・

•二-•・・・...晨

p\mIA

条件如图，点A,B为定点，点P为直线m上一动点，求|AP-BP1取得最小值.

结论当PA=PB时，|AP-BP|取得最小值,最小值为0.

类型二：一定两动型（三种）

图形卡P；nti

N\mi

•pn

条件如图，点M,N分别为ml,m2上的动点，点P为定点，求PM+PN+MN的最小值.

结论做点P关于ml,m2的对称点P',P'',那么当P',M,N,P''四点共线时，PM+PN+MN取得最小值，最小值

为P'P"的距离.

类型三：两动两定型（两种）

图形B'

/2\\M

1

NUD\\\1B

\•1

0^r\\1

\•

AB'\M

4，

条件如图，点C,D分别为0M,ON上的动点，点A,B为如图，点C,D分别为0M,0N上的动点，点A,B分别

NM0N内的两个定点，求AC+CD+BD+AB的最小值.为0M,0N上的定点，求AD+CD+BC的最小值.

结论做A点关于0M的对称点A',做B点关于0N的对称做A点关于0N的对称点A',做B点关于0M的对称点

点B',当A',C,D,B'四点共线时，AC+CD+BD取得B',当A',C,D,B'四点共线时，AD+CD+BC取得最小

最小值，最小值为A'B'的长.所以，AC+CD+BD+AB的值，最小值为A'B'的长.所以，AD+CD+BC的最小值就是

最小值就是A'B'+AB.A'B'的长.

类型四:平移线段型（两种）

图形AA'

Va

—k---、m

A'y____”

---------~：-----------m

MN\：

Bf

条件如图，A,B为定点，M,N分别为m,n上的动点，如图，A,B为定点，M,N分别为m上的动点，且

MN±n,m//n,且MN为定值，求AM+MN+NB的最MN为定值，求AM+MN+NB最小值.

小值.

结论如图，将点A向下平移MN的单位长度得到点A',如图，将点A向右平移MN个单位长度得点A',作

连接A'B,交n于点N,过点N作MNLm,垂足为B关于直线m的对称点B，,连接A'B',交直线m

点M,点M和点N即为所求，当A',N,B三点共于点N,将点N向左平移MN个单位长度得点M,

线时AM+MN+NB取得最小值，最小值为A'B+MN.点M和点N即为所求，当A',N,B'三点共线时

AM+MN+NB取得最小值，最小值为A'B'+MN.

题型01两定一动型

1.（2024・四川成都・中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知4（3,0）,B（0,2）,过点B作y轴的垂线

P为直线I上一动点，连接P。，PA,则PO+P4的最小值为.

2.（2024・四川广安•中考真题）如图，在回A8CD中，4B=4,AD=5,乙4BC=30。，点M为直线BC上一动

点，则MA+MD的最小值为.

3.（2023・广东广州•中考真题）如图，正方形ABC。的边长为4,点E在边BC上，且BE=1,尸为对角线8。上

一动点，连接CF,EF,贝ICF+EF的最小值为.

4.（2024•甘肃・中考真题）如图1,抛物线y=a（x-八尸+k交工轴于O,2（4,0）两点，顶点为B（2,2旧）.点

C为。8的中点.

（1）求抛物线y=a（%一H）2+k的表达式；

（2）过点C作CH1垂足为H,交抛物线于点£.求线段CE的长.

（3）点。为线段。4上一动点（。点除外），在。C右侧作平行四边形。CFD.

①如图2,当点尸落在抛物线上时，求点尸的坐标；

②如图3,连接BD,BF,求BD+BF的最小值.

5.(2022•广东深圳•三模)某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：

直线I同旁有两个定点4、B,在直线，上存在点P,使得24+P8的值最小.解法：作点4关于直线/的对称点

4,连接AB,贝必'B与直线/的交点即为P,且P4+PB的最小值为AB.

图1图2

请利用上述模型解决下列问题：

(1)几何应用：如图1,等腰直角三角形ABC的直角边长为2,E是斜边4B的中点，P是4C边上的一动点，

则PB+PE的最小值为；

(2)几何拓展：如图2,AABC中，AB=2,ABAC=30。，若在AC、48上各取一点M、N使BM+MN的

值最小，求这个最小值_________;

(3)代数应用：求代数式石=1+7(4-%)2+4(0<x<4)的最小值_________.

题型02线段差最值

6.(2023•陕西西安・模拟预测)如图，在菱形4BCD中，AABC=120°,对角线力C、BD交于点0,BD=8,

点E为。。的中点，点F为48上一点，且4F=3BF,点P为4C上一动点，连接PE、PF,则|PF—PE|的最大

值为.

7.(21-22八年级上•河北承德・期末)如图，点A,8在直线MN的同侧，点A到MN的距离力C=8,点8到MN

的距离80=5,己知CD=4,尸是直线MN上的一个动点，记24+PB的最小值为a,|PA—P8|的最大值为

b.

(Da=；

(2)a2—b2=

8.(2023•山东荷泽•二模)如图，直线%=依+2与反比例函数为=|的图象交于点4(爪,3),与坐标轴分别

交于2,C两点.

(1)若为＞%＞。，求自变量尤的取值范围；

(2)动点P5,0)在无轴上运动.当〃为何值时，IPA-PCI的值最大？并求最大值.

9.(2024•西藏・中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3(a丰0)与无轴交于2(-1,0),5(3,0)

两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线/.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图(甲)，设点C关于直线/的对称点为点。，在直线/上是否存在一点P,使PA-PD有最大值？若存

在，求出P4-PD的最大值；若不存在，请说明理由；

(3)如图(乙)，设点M为抛物线上一点，连接MC,过点M作MN1CM交直线/于点N.若tan乙MCN=|,

求点M的坐标.

题型03垂线段最短型

10.（2024・四川凉山•中考真题）如图，0M的圆心为M（4,0）,半径为2,P是直线y=x+4上的一个动点,

过点P作OM的切线，切点为Q,贝”Q的最小值为

11.（2022・山东荷泽・中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=2,^ABC=60°,M是对角线8。上的一个动

点，CF=BF,则MA+MF的最小值为（）

A.1B.V2C.V3D.2

12.（20-21七年级下•福建漳州•期末）如图，在Rt△力BC中，N4CB=90°,AC=6,BC=8,AB=10,4D平

分乙CAB交BC于点D,点£、尸分另IJ是4。、AC边上的动点，贝UCE+EF的最小值为

13.（2020•四川内江•中考真题）如图，在矩形ABC。中，BC=10,^ABD=30°,若点M、N分别是线段

DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为.

题型04两定一动/两定动型

14.（22-23八年级下•江苏连云港•期中）如图，在边长为8的正方形中，点G是边的中点，E、歹分别是和

边上的点，则四边形周长的最小值为.

15.（2022・山东枣庄.二模）如图，点尸是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长

的最小值是.

16.（2023•陕西西安•二模）如图，在四边形中，，，，，、分别是边、上的动点，连接，，,则周长的最小值为

17.（20-21九年级上•广东广州•阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线相交于点。，点£、尸分别是边

上的点，连接，若，，，则周长的最小值是.

18.（2020九年级•全国•专题练习）如图，抛物线与轴交于、，与轴交于点，点为的中点，点、分别为轴正半

轴和抛物线对称轴上的动点，连接、、，求四边形周长最小时点、的坐标.

19.（2022•天津・中考真题）已知抛物线（a,b,c是常数，）的顶点为P,与x轴相交于点和点艮

⑴若，

①求点P的坐标；

②直线（机是常数，）与抛物线相交于点M,与相交于点G,当取得最大值时，求点G的坐标；

（2）若，直线与抛物线相交于点N,E是x轴的正半轴上的动点，下是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为

5时，求点E,尸的坐标.

题型05造桥选址型

20.（2020九年级•全国.专题练习）如图，四边形4BCD是平行四边形，AB=4,BC=12,41BC=60。，

点E、尸是4。边上的动点，且EF=2,则四边形BEFC周长的最小值为.

21.（2023•陕西咸阳•一模）【问题提出】（1）如图1,点在直线/的同侧，点A到直线/的距离47=2,点

B到直线/的距离BD=4,A、B两点的水平距离C。=8,点尸是直线/上的一个动点，则AP+BP的最小值

是;

【问题探究】（2）如图2,在矩形4BCD中，AB=4,BC=2,G是4。的中点，线段EF在边4B上左右滑动，

若EF=1,求GE+CF的最小值；

【问题解决】（3）如图3,某公园有一块形状为四边形4BCD的空地，管理人员规划修两条小路AC和BD（小

路的宽度忽略不计，两条小路交于点尸），并在4。和BC上分别选取点M、N,沿PM、PN和MN修建地下水

管，为了节约成本，要使得线段PM、PN与MN之和最小.

已测出乙4cB=45。，乙4DB=60。，4CPD=75°,PD=40m,PC=50V2m,管理人员的想法能否实现,

若能，请求出PM+PN+MN的最小值，若不能，请说明理由.

图1图2图3

22.（2024.重庆・中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+6%+纵口大0）经过点（—1,6）,与

y轴交于点C,与x轴交于力，B两点（4在B的左侧），连接力C,BC,tanzCBX=4.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P是射线C4上方抛物线上的一动点，过点P作PElx轴，垂足为E,交4C于点D.点M是线段DE上一动

点，MN1y轴，垂足为N,点尸为线段BC的中点，连接4M,NF.当线段P0长度取得最大值时，求AM+MN+

NF的最小值；

(3)将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经过(2)中线段PD长度取得最大值时的点D,且与直线AC

相交于另一点K.点Q为新抛物线上的一个动点，当“DK=乙4cB时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标.

23.(2021・广西・中考真题)如图，已知点4(3,0),5(1,0),两点C(一3,9),。(2,4)在抛物线y=/上，向左或

向右平移抛物线后，C,。的对应点分别为C',。'，当四边形4BCD的周长最小时，抛物线的解析式为

题型06与将军饮马有关的角度探究问题

24.(2022•河北石家庄•模拟预测)如图，在五边形ABCDE中，ABAE=aQBAE为钝角)，NB=NE=90°,

在BC,上分别找一点N,当△力MN周长最小时，NM4N的度数为()

C.2a-180°D.a—45°

25.（2023•山东淄博•一模）如图，在四边形2BCD中，NB=ND=90°,^DAB=140°,M,N分别是边。C,

BC上的动点，当ATIMN的周长最小时，4MAN=°.

26.（2021鼓楼区二模）如图，在四边形48CD中，Z.BAD=130°,N8==90。，在BC、CD上分别取一

点M、N,使△力MN的周长最小，贝I］乙4MN+N4NM=

27.（21-22八年级上.贵州黔南・期中）如图，NAOB=a,点P是NAOB内的一定点，点M,N分别在04,

08上移动，当△PMN的周长最小时，/MPN的度数为

题型07与将军饮马有关的作图问题

28.（21-22八年级上•河南新乡・期末）如图，在方格中，水平方向的数轴我们叫久轴，竖直方向的数轴我们

叫y轴，AABC的三个顶点我们可以分别表示为4（-3,4）,B（-4,1）,C（-l,2）.并称之为它们的坐标

4

5x

⑴画出与AABC关于y轴对称的AaiBiCi（点a,B,c的对应点分别为点儿,当，c1；）,并仿照上面表示方

法写出点儿,B1，G三点的坐标；

（2）点D在久轴上，使得BD=CD,尺规作出点D；（不写作法，保留作图痕迹）

（3）点P在y轴上，使得A4CP的周长最小，作出点P.（不写作法，保留作图痕迹）

29.（2022•吉林长春.一模）图①、图②、图③均是6x6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,每个

小正方形的顶点称为格点，AA8C的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列

要求画图，保留适当的画图痕迹.

A

C

B

图①图②图③

⑴在图①中画出AC边上的中线BD.

（2）在图②中画出AC边上的高线BE.

（3）在图③中，若点P、Q分别为线段AB,AC,连结PC、PQ,当PC+PQ取得最小值时，画

出点P、点Q的位置.

30.（2023•河南南阳•二模）综合与实践

问题提出

（1）如图①，请你在直线/上找一点P,使点1,即P4+PB的和最小

（保留作图痕迹，不写作法）；

B

A

图①

思维转换

(2)如图②，已知点E是直线/外一定点，且到直线/的距离为4,MN是直线/上的动线段，MN=6,连

接ME,NE,求ME+NE的最小值.小敏在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将线段MN

看作静线段，则点E在平行于直线/的直线上运动”，请你参考小敏的思路求ME+NE的最小值；

拓展应用

(3)如图③，在矩形ABCD中，2。=2AB=2遮，连接BD,点E、E分别是边BC、4D上的动点，且BE=AF,

分别过点E、F作EM1B。,FNLBD,垂足分别为Af、N,连接2M、AN,请直接写出AAMN周长的最小

值.

31.(2021.江苏常州.二模)阅读并解答下列问题：老师给出了以下思考题：如图1,在平面直角坐标系xOy

中，已知点A(0,3),B(5,1),C(a,0),D(a+2,0),连接AC、CD、DB,求AC+CD+OB的最小值.

【思考交流】

小明：如图2,先将点A向右平移2个单位长度到点4，作点2关于x轴的对称点3，连接A道/交x轴于

点。，将点。向左平移2个单位长度得到点C,连接AC、BD.此时AC+CD+DB的最小值等于A/B+CD

小颖：如图3,先将点A向右平移2个单位长度到点4,作点4关于x轴的点A2,连接A23可以求解.

小亮：对称和平移还可以有不同的组合…

【尝试解决】

在图2中AC+CD+DB的最小值是

【灵活运用】

如图4,在平面直角坐标系尤Oy中，已知点4（0,3）,B（5,1）,C(a,1),D(。+2,0),连接AC、CD.

DB,则AC+CD+DB的最小值是.,此时a-.并请在图5中用直尺和圆规作出

AC+CO+O8最小时。的位置（不写作法，保留作图痕迹）.

【拓展提升】

如图6,在平面直角坐标系尤Oy中，己知点4（0,3）,C是一次函数y=x图像上一点，CZ）与y轴垂直且CD=2

（点。在点C右侧），连接AC、CD、AD,直接写出AC+C0+D4的最小值是,此时点C

的坐标是.

题型08相对运动平移型将军饮马

32.（2023•山东泰安・三模）如图，在菱形4BCD中，BC=4,^ABC=60",在BC边上有一线段EF由B向C运

动，点尸到达点C后停止运动，E在尸的左侧，EF=1,连接4E,AF,则A/IEF周长的最小值为（）

AD

A.4V3+1B.4V3+2C.7D.8

33.(2023•河南周口•三模)如图，在矩形中，AB=15,BC=20,把边48沿对角线BD平移，点4,B'

分别对应点4B,AC+B'C的最小值为.

34.(23-24九年级下•广东深圳・开学考试)如图，在菱形2BCD中，AB=2<3,^BCD=120°,M为对角线

BD上一点(M不与点3、。重合)，过点MN||CD,使得MN=CD,连接CM、AM,BN、AN,贝llAM+AN的

最小值是.

35.(2023九年级•全国•专题练习)如图，抛物线y=—/+.+c上的点4,C坐标分别为(0,2),(4,0),抛

物线与x轴负半轴交于点B,点M为y轴负半轴上一点，且。M=2,连接AC,CM.

(1)求点M的坐标及抛物线的解析式；

(2)点P是抛物线位于第一象限图像上的动点，连接AP,CP,当SAPAC=SAACM时，求点P的坐标;

（3）点D是线段BC（包含点B,C）上的动点，过点。作无轴的垂线，交抛物线于点Q,交直线CM于点N,若以

点Q,N,C为顶点的三角形与△COM相似，请直接写出点Q的坐标；

（4）将抛物线沿方轴的负方向平移得到新抛物线，点4的对应点为点A,点C的对应点为点L,在抛物线平移过

程中，当M4+ML的值最小时，新抛物线的顶点坐标为,M4+MC，的最小值为.

题型09通过瓜豆得出轨迹后将军饮马

36.（2023・湖北鄂州•模拟预测）如图1,对于平面内的点A、P,如果将线段PA绕点P逆时针旋转90。得到

线段PB,就称点B是点A关于点尸的“放垂点”.如图2,已知点4（4,0）,点尸是y轴上一点，点2是点A

关于点P的“放垂点”，连接4B、OB,则。B+4B的最小值是（）

图1图2

A.4B.4V5C.8D.8V5

37.（2022・四川成都•二模）在RtAABC中，斜边4B=2,〃=30。，点。是AC边上的一个动点，连接2D

将线段BD绕点B顺时针旋转60。得到BE,连接CE,则BE+CE的最小值为.

38.（2023•江苏徐州•模拟预测）等边△力BC边长为6,。是BC中点，E在2。上运动，连接8E,在8E下方作

等边4BEF,则△BDF周长的最小值为

39.（2021・陕西榆林・二模）如图，在矩形A8C。中，AB=4,BC=9,M为BCk一点、,连接MA,将线段

绕点M顺时针90°得到线段MN,连接CN、DN,则CN+QN的最小值为.

题型10三动点问题

40.（23-24九年级上•山东济南・期末）如图，菱形4BCD中，4B=2,乙BAD=45°,E,F,尸分别是AB,BC,

AC上的动点，PE+PF的最小值等于（）

A.1B.V2C.V3D.V5

41.（2021•江苏苏州•二模）如图，在RtAABC中,4A=90°,AB=4,AC=3,M、N、尸分别是边A3、

AC、8C上的动点，连接PM、PN和MN,则PM+PN+MN的最小值是.

42.（2019•陕西西安•模拟预测）如图,已知力。〃BC,Z5=90°,ZC=60°,BC=24。=4,点M为边BC中

点，点E、F在线段48、CD上运动，点P在线段MC上运动，连接EF、EP、PF,贝必EPF周长的最小值为.

43.（23-24八年级上.广东深圳•期中）如图，已知正比例函数丫=kx（k>0）的图象与x轴相交所成的锐角为

70°,定点4的坐标为（0,4）,P为y轴上的一个动点，M,N为函数y=kx（k>0）的图象上的两个动点，则4M+

MP+PN的最小值为.

44.（2021・湖北武汉模拟预测）已知如图，48=4,AC=2,ABAC=60。,BC所在圆的圆心是点O/BOC=60°,

分别在肥、线段2B和4C上选取点P、E、F,贝UPE+EF+FP的最小值为.

【真题训练】

45.（2021•西藏・中考真题）如图，在RdABC中，ZA=30°,ZC=90°,AB=6,点尸是线段AC上一动点,

点M在线段AB上，当时，P8+PM'的最小值为（）

A.3V3B.2V7C.2V3+2D.3V3+3

46.（2023・安徽・一模）如图，在矩形力BCD中,4B=8,AD=4,点E是矩形力BCD内部一动点，且NBEC=90°,

点尸是4B边上一动点，连接PD、PE,贝炉。+PE的最小值为（）

DC

A.8B.4V5C.10D.4V5-2

47.（22-23八年级下•湖北武汉•期末）探究式子不1+—4尸+\年＞0）的最小值.小胖同学运用“数

形结合”的思想：如图，取4B=4,作AC1AB^A.BD14B于B,且4c=1,BD=1,点E在4B上，设AE=x,

则BE=4—%,于是，Vx2+1=CE,J（x-41+1=DE,因此，可求得CE+DE的最小值为,已

知y=J(x+5<+52-Vx2+32(x>0),则y的最大值是

48.（2022・湖北黄石•中考真题）如图，等边A/IBC中，AB=10,点E为高4D上的一动点，以BE为边作等

边ABEF,连接DF,CF,则NBCF=,FB+FD的最小值为

49.（2024•黑龙江绥化•中考真题）如图，已知乙4OB=50。，点P为N40B内部一点，点M为射线。4、点N为

射线。B上的两个动点，当APMN的周长最小时，贝UNMPN=

50.（2023•黑龙江绥化•中考真题）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高8。上的动点.连接CE,

将CE绕点C顺时针旋转60。得到CF.连接4F,EF,DF,则△CDF周长的最小值是.

A

F

//^D\\

\\

BC

51.（2021.湖北恩施•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形28CD为正方形，点4,B在x轴上，抛

（2）尸为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q,F,E,B为顶点的四边形

是以BE为边的菱形.若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M,连接ME,BP.探究EM+MP+PB是否存

在最小值.若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由.

52.（2020.江苏南京・中考真题）如图①，要在一条笔直的路边I上建一个燃气站，向I同侧的A、B两个城镇

分别发铺设管道输送燃气，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短.

•B

（1）如图②，作出点A关于I的对称点4,线48与直线Z的交点C的位置即为所求，即在点C处建气站,

所得路线ACB是最短的，为了让明点C的位置即为所求，不妨在Z直线上另外任取一点连接AL,BC,

证明4C+CB<AC，+LB,请完成这个证明.

②

（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域请分别始出下列两种情形

的铺设管道的方案（不需说明理由），

①生市保护区是正方形区域，位置如图③所示

②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示.

类型二逆等线模型

逆等线模型的介绍：两个动点分别在直线上运动，且它们各自到某一定点的距离始终相等，那么这两条始

终相等的线段称为逆等线段.

解题方法：

1）找三角形.找一条逆等线段，一条动线段构成的三角形.（图中本身就有的三角形不要添加辅助线以后构

成的三角形）

2.确定该三角形的不变量.在动点移动过程中，该三角形有一个边长度不变，有一个角的大小不变.

3.从另一逆等线段的定点引一条线.使得线段长度等于第二步中的那个不变的边长,与这个逆等线段的夹角

等于第二步中那个不变的角.

4.问题转化为将军饮马问题求最值.

【模型解读】

△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE,即逆向相等，则称AD和CE为逆等线，就是怎么

别扭怎么来。观察图形，我们很容易发现，AD和CE没有首尾相连，所以，一般通过平移或者作平行等方法

构造全等三角形来实现线段转移，从而使逆等线段产生关系，最终解决问题。

备注：一般情况下，题目中有两个没有首尾相连的线段相等，即两定两动，也归为逆等线问题。

例：如上图，在AABC中，ZABC=60°,BC=8,AC=10,点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE,求CD+BE

的最小值。

解题策略：①AD在4ADC中，那么我们就以CD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角

造全等.

②即过点C作CF〃AB,且CF=AC.（构造一边一角，得全等）

③构造出△ADC会ZXCEF（SAS）,证出EF=CD.

④CD+BE=EF+BE,根据两点之间，线段最短，连接BF,则BF即为所求.此时，B、E、F三点共线，本题中，

也可以利用三角形三边关系去求最值.

⑤求BF

题型01构造SAS型全等拼接线段

53.（21-22九年级上•陕西宝鸡•期中）如图，在边长为4的正方形4BCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动

点.且BE=CF,连接BF、DE,贝IBF+DE的最小值为

AD

54.（22-23八年级上•浙江宁波・期中）如图，等腰RtAABC的直角边长为4,D、E分别为边4B、AC上两个

动点，S.AE=BD,贝UCD+BE的最小值____________

55.（2024•陕西西安.模拟预测）如图，在边长为5的菱形48CD中，Z.BAD=120°,E,F分另1J是AD,BD上

的动点，DE=BF,连接4尸，CE,贝U2F+CE的最小值为.

56.（2024・贵州黔南•模拟预测）如图，在AABC中，AC=BC=V3,过点力作直线力D1BC于点D,E,F分

别是直线4D,边AC上的动点，且=则BF+CE的最小值为