机械能守恒中的杆连接模型、绳连接模型和非质点类模型（解析版）

2023年高三物理二轮常见模型与方法强化专训专练

专题13机械能守恒中的杆连接模型、绳连接模型和非质点类模型

特训目标特训内容

目标1高考真题(IT—2T)

目标2杆连接模型(3T—7T)

目标3绳连接模型(8T—12T)

目标4非质点类模型(13T—17T)

【特训典例】

一、高考真题

1.如图所示，鼓形轮的半径为R,可绕固定的光滑水平轴。转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根

直杆，杆上分别固定有质量为，”的小球，球与。的距离均为2R。在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为〃

的重物。重物由静止下落，带动鼓形轮转动。重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为。。绳与轮之

间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求：

(1)重物落地后，小球线速度的大小也

(2)重物落地后一小球转到水平位置A,此时该球受到杆的作用力的大小F；

⑶重物下落的高度h.

【详解】(1)由题意可知当重物落地后鼓形轮转动的角速度为①，则根据线速度与角速度的关系可知小球的

线速度为i，=2Ra)

(2)小球匀速转动，当在水平位置时设杆对球的作用力为R合力提供向心力，则有护丁嬴T=根乙

2R

结合(1)可解得杆对球的作用力大小为P=mj4R204+g2

（3）设重物下落高度为H,重物下落过程中对重物、鼓形轮和小球组成的系统，根据系统机械能守恒可知

MgH=［旃；+!?4加廿而重物的速度等于鼓形轮的线速度，有匕=R。联立各式解得5=（"+皿*〃

222Mg

2.打桩机是基建常用工具。某种简易打桩机模型如图所示，重物A、B和C通过不可伸长的轻质长绳跨过

两个光滑的等高小定滑轮连接，C与滑轮等高（图中实线位置）时，C到两定滑轮的距离均为心重物A和

B的质量均为系统可以在如图虚线位置保持静止，此时连接C的绳与水平方向的夹角为60。。某次打桩

时，用外力将C拉到图中实线位置，然后由静止释放。设C的下落速度为旧工时，与正下方质量为2m的

静止桩D正碰，碰撞时间极短，碰撞后C的速度为零，D竖直向下运动木距离后静止（不考虑C、D再次

相碰）。A、B、C、D均可视为质点。

（1）求C的质量；

（2）若D在运动过程中受到的阻力尸可视为恒力，求尸的大小；

（3）撤掉桩D,将C再次拉到图中实线位置，然后由静止释放，求A、B、C的总动能最大时C的动能。

【答案】(1)G相；(2)65mg；(3)(4-2V3)mg£

【详解】（1）系统在如图虚线位置保持静止，以C为研究对象，根据平衡条件可知叫g=2〃zgcos30°

解得mc=y/3m

（2）CO碰后C的速度为零，设碰撞后。的速度v,根据动量守恒定律可知6加/|£=出m*0+2根丫解得

v=，怪,CD碰撞后。向下运动刍距离后停止，根据动能定理可知0-叁2加=2/上一斤与

2V51021010

解得F=6.5mg

（3）设某时刻C向下运动的速度为匕向上运动的速度为v,图中虚线与竖直方向的夹角为a,根据机

22

械能守恒定律可知二mcv+2x-m(vcosa)=mcg----2mg---L)^y=mcg------2机g('-----L)

22tanasinatanasina

1CS

对上式求导数可得手•=^mgL+2mgL°^2当半=0时解得cosa=无即a=30°此时

da(sma)(sina)da2

LL]]v'2=gL

y=mcg------2mg(------=于是有不“v2+2x7"(v'cosa)2=，力gL解得3若此时C的最大

tanasina22—H-----

42

2

动能为Ehn=^mcv'=(4-2后mgL

二、杆连接模型

3.如图所示，一长直轻杆两端分别固定着质量均为根的小球A和B,两小球的半径忽略不计，杆的长度为

I,竖直放置，由于微小的扰动，小球A沿竖直光滑槽向下运动，小球B沿水平光滑槽向右运动。已知重力

加速度为g,下列说法正确的是()

A.当小球A沿竖直滑槽下滑距离为:时，小球A的速度为g国

B.小球A到达水平滑槽前瞬间的速度大小为风

C.在小球A到达水平滑槽前，轻杆对小球B一直做负功

D.对小球B施加一个水平向左的恒定推力，可使小球A缓慢向下移动

【答案】A

【详解】A.设当小球A沿竖直滑槽下滑距离为;时，小球A的速度为匕，小球B的速度为V?，根据机械

能守恒定律得根g=两小球沿杆方向上的速度相等，则有v,cos60°=v2cos30。联立两式解得

匕故A正确；

B.小球A到达水平滑槽前瞬间小球B的速度为0,根据机械能守恒定律得mgl=^mvl解得以=向

故B错误；

C.小球A、B组成的系统机械能守恒，小球B的动能开始是0,小球A撞击水平滑槽前瞬间小球B的动能

还是0,所以轻杆对小球B先做正功后做负功，故C错误；

D.对整体进行受力分析，缓慢移动两小球，受力平衡，水平向左的推力与竖直槽对A的弹力平衡尸=入

再隔离小球A进行受力分析，竖直滑槽对小球A的弹力为FA=mgtan。小球A向下移动，夹角。增大,用

增大，P增大，故D错误。

故选A。

4.如图，一长为乙的轻杆两端分别用钱链与质量均为机的小球A、B连接，A套在固定竖直杆上，B放在

倾角0=30。的斜面上。开始时，轻杆AB与竖直杆的夹角1=30。。现将轻杆由静止释放，A沿竖直杆向下

运动,B沿斜面下滑。小球均可视为质点，不计一切摩擦，已知重力加速度大小为g。下列判断正确的是（）

A.A碰到斜面前瞬间，B重力的功率为零

B.A碰到斜面前瞬间，B的速度大小为

C.A碰到斜面前瞬间，A的速度大小为

D.B下滑过程中，A重力势能的减少量等于A、B动能增加量之和

【答案】C

【详解】A.设A碰到斜面前瞬间的速度大小为“，速度分解如图所示

A

因杆不能伸长，则有VB=vAsin0,A碰到斜面前瞬间B重力的功率为加8%$皿。=；»?8匕故A错误；

BC.两球下滑过程中，A、B组成的系统机械能守恒，则有“叶短匕+“成L_2cos（£_a产破+3叫

解得匕=+，]；%=J。1[+故B错误,C正确；

D.由系统机械能守恒，可知B球下滑过程中，A、B两球重力势能减少量之和等于A、B动能增加量之和，

故D错误。故选C。

5.如图所示，水平面内固定两根足够长的光滑细杆P、Q,两杆不接触，且两杆间的距离忽略不计。可视

为质点的小球。、b质量均为“3。球套在水平杆P上，6球套在水平杆。上，a、6两小球通过钱链用轻杆

连接。在图示位置（轻杆与细杆。的夹角为45。）给系统一瞬时冲量，使。、b球分别获得大小均为V、沿

杆方向的初速度。在此后的运动过程中，下列说法正确的是（）

A.b球能达的最大速度大小为2v

B.b球能达的最大速度大小为

C.当轻杆与细杆。的夹角为30。时，a、b两球的速度大小比为,：1

D.当轻杆与细杆。的夹角为30。时，a、b两球的速度大小比为班：3

【答案】BC

【详解】AB.当匕球运动到两杆交点处时，速度达到最大，此时。球速度为零，根据系统机械能守恒，有

之—相声二:根用解得Vm=J5v故A错误，B正确；

CD.当轻杆与细杆的夹角为30。时，根据速度关联，小球6沿轻杆方向的速度分量与小球。沿轻杆方向的

速度分量相等，即以cos30。=匕cos60。解得b=立故C正确，D错误。故选BC。

V"1

6.如图所示，左侧竖直墙面上固定半径为0.3m的光滑半圆环，右侧竖直墙面上与圆环的圆心。等高处固

定一水平光滑直杆。质量为2kg的小球a套在半圆环上，质量为1kg的小球b套在直杆上，两者之间用长

为L=0.4m的轻杆通过两钱链连接。现将a从圆环的最高处静止释放，让其沿圆环自由下滑，不计一切摩擦，

a、b均视为质点，g取10m/s2,则以下说法中正确的是（）

A.小球。滑到与圆心。等高的P点时，a、6两球的速度大小相等

B.小球。滑到与圆心。等高的尸点时，。的速度大小为"m/s

C.小球。从尸点下滑至杆与圆环相切的。点（图中未画出）过程中，a、b两球组成的系统机械能守恒

90

D.小球。从P点下滑至杆与圆环相切的。点（图中未画出）的过程中，杆对小球6做的功为

【答案】BCD

【详解】A.当。滑到与。同高度尸点时，a的速度v沿圆环切向向下，。沿杆方向速度为零，所以6的速

度为零，故A错误；

B.由机械能守恒定律可得但方尺=；色炉解得丫=7^^=611次故B正确；

C.小球。从P点下滑至杆与圆环相切的。点（图中未画出）过程中，a、b两球组成的系统除了两球的机

械能在变化，系统没有其他形式能量在变化，所以系统机械能守恒。故C正确；

D.杆与圆相切时，如图所示。

。的速度沿杆方向，设此时6的速度为与，根据杆不可伸长和缩短，有匕=^cos。由几何关系可得

c°sO=/^=0-8在图中,球a下降的高度/z=Rcos，，a、6系统机械能守恒，则有

叫^//=31+：*-：加/2对6,由动能定理得W=故D正确。故选BCD。

乙乙乙乙X7

7.意大利物理学家乔治•帕里西荣获2021年诺贝尔物理学奖，他发现了从原子到行星尺度的物理系统中无

序和涨落间的相互影响，深刻揭示了无序体系中的隐藏对称性。如图为一个简单无序系统模型，两个质量

均为机的小球〃、N用两根长度均为/的轻质细杆a、6连接，细杆a的一端可绕固定点。自由转动，细杆

b可绕小球M自由转动。开始时两球与。点在同一高度，。=0时刻由静止释放两球，两球在竖直面内做无

序运动；，=4时刻，细杆。与竖直方向的夹用。=30°,小球N恰好到达与。点等高处且速度方向水平向右。

重力加速度为g，不计摩擦和空气阻力，下列说法正确的是（）

NvOMN

-------~U>O•---------O

\/:a------b

\/e\

M*

A.%时刻，小球M的速度方向竖直向下

B.%时刻，M、N两球的速度关系

m

C.。到。过程中，a、b两杆对M球做功之和为一3Mgl

8

D.。到％过程中，细杆b对N球的冲量大小为三标而

【答案】BC

【详解】A.细杆a的一端可绕固定点0自由转动，则M的速度方向始终与杆a垂直，。时刻小球M的速

度方向不是竖直向下，选项A错误；

BC.设力时刻小球M、N的速度大小分别为VM,VN,如图所示

二者沿杆b方向的分速度相等，有

2

%sind=vMcos(90°-20)可得％=V3vM由系统机械能守恒，有mglcos6=；mv^+1/nvN解得％

2

方向向右下方，与水平方向的夹角为30。；%=4Tgi方向水平向右。

2

0到。过程中，对M球根据动能定理有mglcos。+喔=；mvM解得叫=一也也选项C正确；

28

D.。到「过程中，对N球根据动量定理有（矢量运算）〃物1+4=嬴N解得.=仙&1_丽选项D错误。

故选BC。

三、绳连接模型

8.如图所示，水平光滑长杆上套有一个质量为m4的小物块A,细线跨过。点的轻小光滑定滑轮一端连接

A,另一端悬挂质量为，加的小物块B,C为。点正下方杆上一点，滑轮到杆的距离OC=鼠开始时A位于

尸点，PO与水平方向的夹角为30。，现将A、B同时由静止释放，则下列分析正确的是（）

A.物块A在运动过程中最大速度为幽

VmA

B.物块A过C点后，向右运动最远距离为2/Z

C.尸。与水平方向的夹角为45。时，物块A、B速度大小关系丫人=夜力

D.物块A由尸点出发第一次到达C点的过程中，物块B的机械能先增大后减小

【答案】C

【详解】A.当物块A运动到。点正下方C时，物块A的速度达到最大，B速度为零，根据系统机械能守

恒有-无）=〈g用解得%=、也逆故A错误；

sin30°2\mA

B.根据系统机械能守恒及对称性，物块A过C点后，向右运动的最大距离与初始PC间的距离相等，即

CP=—^=耳故8错误；

tan30°

C.当尸。与水平方向的夹角为45。时，有匕馍$45。=蚱解得以=3%故©正确；

D.物块A由尸点出发第一次到达C点的过程中，物块B在竖直方向先向下加速后向下减速，细线对物块

B的拉力一直做负功，所以物块B的机械能一直减小，故D错误。故选C。

9.如图所示，把光滑细铁丝制成半径H=0.6m的半圆形轨道并竖直固定在地面上，圆心。正上方/z=0.8m

处有轻质定滑轮，质量机=2kg的小球A套在细铁丝上，一根不可伸长的轻绳绕过处于同一水平线上的两个

定滑轮，一端连接小球A,另一端连接质量”=4kg的小球B,两小球均可看作质点。现托住小球B,使小

球A与地面恰好无挤压，然后由静止释放小球B。小球B始终没有落地，不计滑轮的大小和一切阻力，重

力加速度取g=10m/s2。下列说法正确的是（）

A.释放瞬间，小球A和小球B的加速度大小满足5aA+8«B=30m/s2

B.两球刚开始运动时，小球A和小球B的速度大小满足。

C.小球A运动的最大速度为4万n/s

D.由释放到小球A的速度最大的过程中，细绳对小球B做的功为-32J

【答案】AD

0.84

【详解】A.有几何关系可知，连接小球A的绳与竖直方向夹角的余弦值为cos6==不设释放

VO.82+O.62

4

瞬间绳的拉力为T,对小球A,在竖直方向上17-/卷=加4对小球B,在竖直方向上图-T=

解得5aA+8每=30m/s2故A正确;

B.两球刚开始运动时，由速度分解可得VA=；K故B错误；

C.小球A和小球B组成的系统机械能守恒，当小球A运动到轨道最高点时速度最大，此时小球B的速度

为0,由系统机械能守恒定律得寿-侬?=》成1ax解得%=2&m/s故C错误；

D.由动能定理得W+寿-（〃-尺）］=。解得卬=-32J故D正确。故选AD。

io.如图所示，一轻绳绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮a、。2和质量为机的小球连接，另一端与套在光滑

直杆上质量也为，"的小物块连接，已知直杆两端固定，与两定滑轮在同一竖直平面内，直杆与水平面的夹

角。=60。，直杆上C点与两定滑轮均在同一高度，C点到定滑轮。।的距离为3重力加速度为g,设直杆

足够长，小球运动过程中不会与其他物体相碰。现将小物块从C点由静止释放，当小物块沿杆下滑距离也

为L时（图中。处），下列说法不正确的是（）

A.小物块刚释放时，轻绳对小球的拉力大于

B.小球下降最大距离为

C.小物块在。处的速度与小球速度大小之比为2：1

D.小物块在。处的速度v=捶巫

5

【答案】AC

【详解】A.物块从C点由静止释放时，小球将向下运动，瞬时加速度竖直向下，故轻绳对小球的拉力一定

小于小球的重力比g,故A错误；

B.当连接物块的绳子与杆垂直时，小球下降的距离最大，根据几何知识得A%=乙-八m60。=乙（1-#）

故B正确；

CD.小物块沿杆下滑距离4时，由几何知识，可知三角形AO|DC为等边三角形，将小物块的速度分解为沿

绳子方向和垂直绳子方向，如图所示

物块沿绳子方向的分速度等于小球的速度，则有％=ocos60。可得。:。球=2:1对物块和小球组成的系统，由机

械能守恒定律可得mgLsin6（T=gnw2+gm*解得v=v球=JgJJgZ故C正确,D错误。

本题选择错误的，故选AC。

11.如图所示，一倾角为。=30。的光滑斜面与半径为R的光滑J圆弧在最高点对接，斜面固定在水平地面

上，圆弧最低点与水平地面相切。质量分别为，"和M的物块A与2（可视为质点）通过跨过斜面顶端光滑

定滑轮的轻绳（长为1.5R）连接。初始时轻绳伸直，将物块8由圆弧的最高点静止释放，当物块8到达圆

弧最低点时，物块A的速度为%,重力加速度为g,则以下说法正确的是（）

A.物块B到达圆弧最低点时速度大小也为％

B.当物块2到达圆弧最低点时，物块A的机械能最大

C.轻绳对物块A做的功为说+］趣机gR

2

D.物块B经过圆弧最低点时受到的支持力小于Mg+2M蓝

【答案】BCD

A.如图1所示，设物块8滑至圆弧最低点时的速度为v,将其分解为沿绳方向的速度匕和垂直绳方向的速

度v2,其中分速度匕=%由几何关系可得v=a%故A错误；

B.在物块8沿圆弧向下运动时，减小的机械能转化为物块A的机械能，则物块8到达圆弧最低点时，物

块A的机械能最大，故B正确；

C.轻绳对物块A做的功等于其机械能的增加量W=；相片+mg扬?sin30。=g相片+手mgR故C正确；

2

D.对滑至圆弧最低点的物块8进行受力分析如图2所示，由牛顿第二定律可得尸+图=知会

解得F=Mg+2MA■-7；故D正确。故选BCD。

12.如图所示，倾角为6=30。的斜面体固定在足够高的水平桌面上，AP与桌边缘平齐，在斜面上固定放置

半径为厂、内壁光滑的半圆管轨道AE2（管内径远小于r），。为圆心，E为圆心等高处，最低点A、最高点

8的切线水平，A8是半圆管轨道的直径。在管口8点处有光滑轻质小定滑轮（图中未画出），一轻绳跨过

滑轮，一端与管内的小球连接，另一端与小物块连接，小物块竖直悬挂，小球位于最低点A,开始时整个装

置被锁定，绳刚好拉直，某时刻解锁，整个装置由静止开始运动，已知小球质量为机，小物块质量为羡，

两者均可视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（）

A.解锁瞬间，小物块加速度大小为g

B.小球无法通过B点

C.小球运动到E点时速度大小为」如二笑

D.从解锁至小球运动到E点的过程中，绳子对物块做功为-生尹mgr

O

【答案】CD

【详解】A.解锁瞬间绳子拉力突变，则此时小球加速度大小不为g,故A错误;

B.从A到2,由系统机械能守恒有詈•ir-mg-2rsine=gm2（"；2）gr＞。则小球可以

m-\——V解得=

2

通过5点，故B错误;

C.从A到E,由系统机械能守恒有等x5-mg/sin。=gm

m-\——VE解得=（乃一；）gr故C正确;

2

D.从解锁到小球运动至E点过程中，设绳对小物块做功为W,对小物块由动能定理有W+等x/=gx£片

解得卬=一与雪咫厂故D正确。故选CD。

四、非质点类模型

13.如图，容量足够大的圆筒竖直放置，水面高度为心在圆筒侧壁开一个小孔P,筒内的水从小孔水平射

出，设水到达地面时的落点距小孔的水平距离为无，小孔P到水面的距离为户短时间内可认为筒内水位不

变，重力加速度为g,不计空气阻力，在这段时间内下列说法正确的是（）

A.水从小孔P射出的速度大小为向

B.y越小，则x越大

C.尤与小孔的位置无关

h

D.当>=时，x最大，最大值为//

【答案】D

【详解】A.取水面上质量为根的水滴，从小孔喷出时由机械能守恒定律可知加gy=：加丫2解得丫=8点

选项A错误;

BCD.水从小孔尸射出时做平抛运动，则尸片By=ggC解得x=v=2Jy①一y）可知x与小孔的位

置有关，由数学知识可知，当产即产://时x最大，最大值为刀，并不是y越小x越大，选项D正确,

BC错误。故选D。

14.全长为c且质量分布均匀的长铁链由若干节组成，已知圆形管状轨道半径为R,L>2兀R,R远大于一

节铁链的高度和长度，整个管道内壁光滑。如图所示，铁链具有初速度且靠自身惯性能通过圆形管状管道

继续前进，下列判断正确的是（

R

>

A.铁链的每一节通过最高点的速度大小都相等

B.在铁链的第一节完成圆周运动的过程中，第一节铁链机械能不守恒

C.铁链的第一节与最后一节到达最高点时的速度大小不相等

D.铁链的第一节回到最低点至最后一节刚进入圆状轨道的过程中铁链的重力势能保持不变

【答案】BD

【详解】AD.从第一节铁链进入圆轨道到第一节铁链回到最低点的过程中，铁链整体的重力势能不断增加，

则整体的速度逐渐减小，此段过程中通过最高点的铁链速度在减小；当最后一节进入轨道后，整体的重力

势能会逐渐减小，则速度逐渐增大；在第一节回到最低点至最后一节进入轨道的过程中铁链整体的重力势

能不变，速度保持不变，A错误，D正确；

B.铁链各部分之间有弹力作用，若选一节研究，在完成圆周运动过程中有除重力或弹簧弹力的其他外力做

功，机械能不守恒，B正确；

C.第一节到达最高点和最后一节到最高点时系统的重心位置相同，由++可知铁链的第一

节与最后一节到达最高点时的速度大小不相等，C错误；故选BD。

15.如图所示，在竖直平面内半径为R的四分之一圆弧轨道AB、水平轨道BC与斜面CD平滑连接在一起，

斜面足够长.在圆弧轨道上静止着N个半径为厂（「4R）的光滑刚性小球，小球恰好将圆弧轨道铺满，从最

高点A到最低点B依次标记为1、2、3……N.现将圆弧轨道末端B处的阻挡物拿走，N个小球由静止开

始沿轨道运动，不计摩擦与空气阻力，下列说法正确的是

A.N个小球在运动过程中始终不会散开

B.第1个小球到达最低点的速度？=阚

C.第N个小球在斜面上向上运动时机械能增大

D.N个小球构成的系统在运动过程中机械能守恒，且总机械能E=

【答案】AC

【详解】在下滑的过程中，水平面上的小球要做匀速运动，而曲面上的小球要做加速运动，则后面的小球

对前面的小球要向前压力的作用，所以小球之间始终相互挤压，冲上斜面后后面的小球把前面的小球往上

压，所以小球之间始终相互挤压，故N个小球在运动过程中始终不会散开，故A正确；把N个小球看成整

体，若把弧AB的长度上的小球全部放在高度为R的斜面上，通过比较可知，放在斜面上的N个小球的整

体的重心位置比较高.而放在斜面上时，整体的重心的高度为：yR,选择B点为0势能点，则整体的重力