解三角形（七大题型+模拟练）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

专题17解三角形（七大题型+模拟精练）

01题型归纳

目录：

♦题型01余弦定理、正弦定理

♦题型02判断三角形的形状

♦题型03解三角形与平面向量

♦题型04解三角形几何的应用

♦题型05取值范围、最值问题

♦题型06解三角形的实际应用

♦题型07解三角形解答题

♦题型01余弦定理、正弦定理

1.（2024•浙江金华•三模）在“8C中，角的对边分别为。，b,c.若°=4，6=2,4=60。，贝心

为（）

A.1B.2C.3D.1或3

【答案】C

【分析】根据余弦定理直接求解即可.

Z.22_

【解析】由余弦定理得cos/="2,

2bc

即2"-（⑺_1,g|jc2_2c_3=0,解得c=3或c=-l（舍）.

2x2。2

故选：C.

2.（21-22高一下•江苏连云港•期中）A48C的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知。=3,c=l,

cos（/+C）=-；,贝同=（）

A.V7B.V13C.3D.V19

【答案】A

【分析】先求得B的余弦值，再根据余弦定理可求得b的值.

［解析］cos(A+C)=COS(TI—B)=—cosB=—,cosB=—=——+———=9>1~,

v'22lac6

：.b2=l,b=5.

故选：A.

3.(2022•河南•模拟预测)已知“BC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,面积为36，4=g，

b+c=4G，贝!Ja=()

A.2出B.5C.8D.2A/2

【答案】A

【分析】由三角形的面积和A计算出6c的值，再根据余弦定理求出力的值，即可得到答案

【解析】由题意可知，S"c=；6csin4=36,得6c=12

'：b+c=4A/3，be=12

由余弦定理可得：｛=b2+。2_2bccosA=(Jb+c)2-2bc-2bccosA

整理得：a2=12,「.a=2百

故选：A

4.(2022•山西晋城•三模)的内角力,B,C的对边分别为a,b,c,已知/=30。万+°?一/=小回,

则。5c的面积为()

A.yB.V3C.1D.2

【答案】C

【分析】根据余弦定理可求得6c=4,再根据三角形的面积公式［besin/,即可求出结果.

【解析】因为4=30。万+°2-/=4有，

所以26ccos/=百儿=4石，所以6c=4,

所以AABC的面积为^bcsin/=l.

故选：C.

5.(2023・四川南充•三模)在中，角4瓦。的对边分别是a/,c,^b2=a2+c2-ac,贝l」3=()

7c7c2兀57r

A.—B.—C.—D.—

3636

【答案】A

【分析】由余弦定理即可求解.

222222

【解析】^b=a+c-ac^ac=a+c-b,所以cos/=+。2一"=必=1

lac2ac2

TT

由于2e(O,7i),，6=§,

故选：A

♦题型02判断三角形的形状

6.（21-22高二上•广西桂林•期末）内角/,B,C的对边分别为a,b,c.若c=bcosN,则“8C一

定是（）

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】利用余弦定理角化边整理可得.

722_2

【解析】由余弦定理有c=bx一"，整理得〃=q2+c2,故“BC一定是直角三角形.

2bc

故选：C

7.（2023・上海嘉定•一模）已知“8C,那么就方就『＜0"是“小"为钝角三角形”的（）

A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件

C.充要条件D.以上皆非

【答案】A

【分析】利用余弦定理得到充分性成立，举出反例得到必要性不成立，得到答案.

【解析】园2+同2T网2＜0,即/+02一/＜0,

722_2

由余弦定理得：cos/，C乜＜0,

2bc

因为“40,兀），所以4（5,j，故A/BC为钝角三角形，充分性成立，

“3C为钝角三角形，若8为钝角，则A为锐角，则因'J阿-园、0,必要性不成立，

综上：就『+|方『就『＜0”是"O8C为钝角三角形”的充分条件但非必要条件.

故选:A

8.（2023・贵州•一模）在“BC中，6,c分别为角4民C的对边，且满足=26sii?—,则“3C的形状

2

为（）

A.直角三角形B.等边三角形

C.直角三角形或等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【分析】根据三角恒等变换得a=bcosC,再由余弦定理解决即可.

【解析】由题知，6-。=2加n二，

2

所以b-q=6-bcosC,得a=bcosC,

所以〃=>"一°，得/+°2=〃，

lab

所以^ABC的形状为直角三角形，

故选：A

♦题型03解三角形与平面向量

JTJT______

9.（2024•江苏盐城•模拟预测）/8C中，若AB=6,/B4C=1/ACB=i，则防.数+五无=（）

A.54B.27C.9D.376

【答案】A

【分析】利用正弦定理求出8C,再利用数量积的运算律求解即得.

^45sin—

【解析】在"BC中，若AB=6,NBAC=三，/ACB=三,由正弦定理得BC=---------=376,

34si.n兀—

4

所以BA・BC+CACB=BABC+ACBC=BC=54-

故选：A

10.（2024・安徽六安・模拟预测）己知平面向量。b,己满足同=1,W=百，

（5-c^-c）=30°,则同的最大值等于（）

A.2币B.布C.273D.3c

【答案】A

【分析】由//。2=150。,乙纥3=30。，即点40,5,C四点共圆，再利用余弦定理、正弦定理求解即可.

【解析】设夕=①砺=B,前=1,

由同=1,网=g,那否=-|，则cos4O8=-[,

所以403=150。,又R-碗一司=30。，所以乙4cB=30。，

即点40,8,C四点共圆，要使同最大，即口斗为圆的直径，

在“08中，由余弦定理可得/台？=O/2+OB2-2Q/XOBXCOS/NO5=7,

即/8=近，又由正弦定理可得27=.AB℃=2不，

sinZAOB

即同的最大值为2行，

故选：A

11.（2024•广东东莞•模拟预测圮知在同一平面内的三个点A,B,C满足\AB\=2,同一国21,则|%+因

的取值范围是（）

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,V3]D.

【答案】D

【分析】根据罂-昌21,利用向量数量积的运算性质可得//CBN60。，从而点C在度数为学的优弧

回回3

上运动，或点C在圆的内部，然后根据三角形中线性质和圆的性质可解.

CACB

【解析】设6=扃|

CB

则]是与而同方向的单位向量，I是与无同方向的单位向量,

对于21,即卜]-02卜1,

倒倒11

两边平方得怎-021,化简得

因此可以得到[与团的夹角乙4c8260。，在构成等边三角形时取等号,

冗

在如图所示的圆中，点42在圆上，其中劣弧蕊的度数为2与，

点C在度数为子的优弧上运动，或点C在圆的内部，

若点C在圆上，根据正弦定理，

\AB\_2_473r-

可得圆的半径及满足一耳一亍，即7?=生，

—3

2

设E为48的中点，则0+赤=2屋，

当CE//B时，CE长达到最大值，此时“BC为等边三角形,

可知|CO|=|R=百，即向+词=2有，

当点C在圆的内部时，则C、E重合时，|CO|=0,

此时取最小值P+词=0,又向+词=国+明，

综上所述，回+明的取值范围为［0,2日.

故选：D

C

♦题型04解三角形几何的应用

12.（2024•北京•三模）在四棱锥尸-4BCQ中，底面/BCD为正方形，48=4,PC=PD=3,ZPCA=45°,

则APBC的周长为（）

A.10B.IIC.7+V17D.12

【答案】C

【分析】根据给定条件，结合棱锥的结构特征，利用全等三角形性质及余弦定理求出尸3即得.

【解析】在四棱锥P-43CD中，连接交于。，连PO,则。为NC,AD的中点，如图,

()

B

正方形/BCD中，48=4,AC=BD=4五,

在△尸0c与△尸。D中，OC=OD,OP=OP,PC=PD,则△POC0APOD,

于是NPDB=ZPCA=45°,

由余弦定理得PB=JBO?+一23。・J。cosNPD8=132+9—2义4血义3义与二历，

所以小BC的周长为7+&V.

故选：C

13.（2024・广东广州•模拟预测）在。3C中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,若。=3,b=2,ZBAC

的平分线40的长为生色，则8c边上的中线/”的长等于（

）

5

A.叵B.逑「V17

V/•-----

234

【答案】A

【分析】由设/A4Z）=/C/Z）=a,S“BC=S“8D+S“cz＞可得cosa的值，进而可求得cos2a,sin2a的值，结

合余弦定理可得a,由万（在+%『可求得而2,即可求得结果.

【解析】由题意知，设NR4D=NC4D=a,则/A4c=2a,如图所示,

x2sin2a=Lx3x迪sina+」x2x坟sina,

2525

整理得3sin2a=2^/6sina,即sino（3cosa-&）=0,

又因为sinawO,所以85"=】何，

3

所以cos2a=2cos2a-1=』，所以sin2a=Jl-cos?2a=£2

33

在“3C中，由余弦定理得/=32+22—2x3x2cos2a=13—4=9,所以。=3,

由是BC边上的中线，得通=g（万+%）

AH2=^（AB+AC^

2

二；（赤+加羽二；仅2b2

%2+2+c2+2bccosla+c+-1z?c

221=（（4+9+4）=?

=-|2+3+2X2X3x—

4l3

所以，中线长由半

故选：A

2sin5sinC

14.（2023•四川南充•二模）在。5C中，a,b,c分别是角4B,。的对边，若〃+H=2023/,则

taiL4-siiL4

的值为（）

A.2021B.2022C.2023D.2024

【答案】B

【分析】利用正弦定理和余弦定理有2$出8sinC=2singsin0./=当•"+之一",再根据条件整体代

tanA-sinAsinAa2bc

换即可.

【解析】因为从+,2=20231,

则根据正弦定理和余弦定理有

2sinBsinC2sinBsinC.2bcb2+c2-«22022/

----------；-----=--------------cosA=---------------------=----------=2022.

tanA-sinAsinAa2bca

故选：B.

♦题型05取值范围、最值问题

15.（2024•江苏连云港•模拟预测）在“8C中,角/,B,C的对边分别为a,b,c,若a=l,

bcos/=l+cos3,则边b的取值范围为（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（0,2）D.（2,3）

【答案】B

【分析】利用正弦定理边化角，再利用和差角的正弦推理得2=24,又由正弦定理得6=2cos/,根据角/

的范围利用余弦函数性质求解值域即可求解.

【解析】由a=1,bcosA=l+cosB得,bcosA=a+acosB,

由正弦定理可得sinBcos力=sin/+sinAcosB,即sinBcosZ-sin/cos5=sinZ,

所以sin（8-4）=sin/,所以2-4=/或8-/+/=兀（舍去），所以3=24,

,asinBsin2^4〜,

由正弦理得,6=一――7=2COS/,

smAsinA

TV

而0＜4＜兀,0＜3=2/＜兀，0＜。=兀一34＜兀，所以0＜/＜一,

3

所以;<COS/<1,所以b=2cos/e(l,2),所以b的取值范围为(1,2).

故选：B

16.(2024・四川成都•模拟预测)设锐角AABC的三个内角48,C的对边分别为。也C，且c=2,3=2C,则.+6

的取值范围为()

A.（2,10）B.（2+20,10）C.（2+2后,4+2丁）D.（4+273,10）

【答案】C

【分析】根据正弦定理，转化为三角函数，化简后换元，根据二次函数的单调性求范围即可.

【解析】在入45。中，由5=2。可得Z=兀-3。,

bc

由正弦定理sin(Lc)-----=-----得.

sin2CsinC

b2（sin3C+sin2C）2（sinCcos2C+cosCsin2C+2sinCcosC）

2（4COS2C+2COSC-1）

sinCsinC

71

0<A=7t-3C<-

2

TT

又“BC为锐角三角形,所以0<8=2C<5解得?

o4

0<C<-

2

^■t=cosC6,贝ijtz+6=2（4/+2f-1）Je______

因为y=4r+21在te时单调递增,

所以1+<y<2+g，贝I]a+6e（2+2^/^,4+2道）.

故选：C

ah3c

17.（2024•河南•三模）在△Z5C中，角4,5，。所对的边分别为Q,be若——；+--=—则tan4+tanC

cosAcosBcosC

的最小值是（）

,48

A.—B.-C.2-\/r3D.4

【答案】B

【分析】由正弦定理得tanZ+tan5=3tanC,再通过两角和的正切公式得tan/tan5=4,最后使用基本不

等式求解即可.

ab3c

【解析】因为----1----=----

cosAcosBcosC

由正弦定理得里二+sin53sinC

cosAcosBcosC

所以tanA+tanB=3tanC,

又因为。=兀-（/+为，

tanA+tanB

所以tanA+tanB=—3

1-tan/tanB

3

所以1=

tanAtanB-1

即tanAtan5=4.

41\(4

所以tan5=-------,tanC=—(tan/+tan5)=—tan/H--------,

tanA33(tanA)

显然tan/必为正(否则tan/和tanC都为负，就两个钝角),

所以tanA+tanC=-tanAH------——>2./—=—,

33tan/V93

44

当且仅当:tan/=^_即tan/=l,/=:取等号.

33tan/4

Q

所以tanA+tanC>—.

故选：B.

18.（2023・陕西榆林•—■模）AA8C的内角4瓦。所对的边分别为仇c,若asiiL4+（6+Xa）sinB=csinC,则

4的取值范围为（）

A.(-2,2)B.(0,2)C.[-2,2]D,[0,2]

【答案】A

【分析】根据正弦、余弦定理可得/=-2cosC,结合Ce（0,乃）即可求解.

222

[解析】因为asinA+e+/La)sinB=csinC,由正弦定理得c=a+b+Aab.又c?=/+/-2abcosC,

所以2=-2cosC.因为Ce(0,7i),

所以cosCe(-l,l),故川(-2,2).

故选：A.

♦题型06解三角形的实际应用

19.（2024•陕西西安•模拟预测）在100m高的楼顶A处，测得正西方向地面上8、C两点（夙C与楼底在同

一水平面上）的俯角分别是75。和15。，则8、C两点之间的距离为（）.

A.200V2B.240V2C.180V3D.200V3

【答案】D

【分析】根据图形，利用直角三角形求解即可.

=U__雪_looxMl£\ioox空幽比空工咛

【解析】由题意,

tan15°tan75°tan15°tan75°tan15°tan75°

sin15。sin75。sin15°cos15°

而tan15°tan75°=

cos15°cos75°cos15°sin15°

所以8C=100x26=200A

故选：D

20.（2024•广东•二模）在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将

小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为

ax=1.00m,之后将小镜子前移。=6.00m,重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为电=0-60m,已

知人的眼睛距离地面的高度为〃=1.75m,则钟楼的高度大约是（）

A.27.75mB.27.25mC.26.75mD.26.25m

【答案】D

ah

【分析】设钟楼的高度为p。，根据相似得到尸。=-----，代入数据计算得到答案.

-a】

【解析】如下图，设钟楼的高度为P。，

由AMKE〜&QE,可得：EQ=PQKE=

MKh

由△NTFSPQF,可得：尸。=尸0.=至”

NTh

故£0_尸。=生丝4

hh

ah6x1.75

故尸。=—=26.25m

ax-a21-0.60.4

故选：D.

21.（2024・上海嘉定•二模）嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动.太阳高度角是指某时刻太阳

光线和地平面所成的角.测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面.如图，两竖直墙面所

成的二面角为120。，墙的高度均为3米.在时刻乙实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽

度分别为1米、1.5米.在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则

时刻/最可能为（）

太阳高度角时间太阳高度角时间

43.13°08:3068.53°10:30

49.53°09:0074.49°11:00

55.93°09:3079.60°11:30

62.29°10:0082.00°12:00

A.09:00B.10:00C.11:00D.12:00

【答案】B

【分析】作出示意图形，在四边形/BCD中利用正弦定理与余弦定理，算出四边形23CD的外接圆直径大

小，然后在中利用锐角三角函数定义，算出ND8E的大小，即可得到本题的答案.

【解析】如图所示，

E

设两竖直墙面的交线为。£，点K被太阳光照射在地面上的影子为点8,

点4c分别是点3在两条墙脚线上的射影，连接AC,BD,BE,

由题意可知ZDBE就是太阳高度角.

:四边形/BCD中，/BAD=NBCD=90°,ZADC=120°,

ZABC=360°-(ZBAD+ZBCD+ZADC)=60°,

：.“8C中，AC1=AB-+BC"-7.AB-BCcos6Q°=1,52+12-2xl.5xlx-=1.75,

2

可得NC=71^21.32,

•••四边形/BCD是圆内接四边形，是其外接圆直径，

AC

：.设^ABC的外接圆半径为R,则BD=2R=——。1.53,

sin60

ED3

在中，tanNDBE=---=----土1.96,

BD1.53

所以NDBE=arctan1.96x63.02°,

对照题中表格，可知时刻7=10:00时，太阳高度角为62.29°,与63.02°最接近.

故选：B.

22.(2024•云南昆明•一模)早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径.假设一种理想状态：地球£

和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示.地球在与位置时，测

27r37r

出行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了用位置，测出

若地球的轨道半径为R,则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是(参考数据：

艮1.7)()

【答案】A

【分析】连接耳，根据给定条件，在AME。耳中利用正弦定理求出"4,再在中利用余弦定理求解

即得.

【解析】连接/片,在ASE。」当中，SE『SE'=R,又“际。=个,贝UAS1&是正三角形，E国=R,

27tQ｝得NE品M=?"禺M=||,

由/SE(X=—，/SE、M=:

3,

E,ME.E.与RJ7

IT

在双叫片中，ZEME=-,由正弦定理得.兀一.兀，则=%=

Q1sinysin-V2v2

在中，由余弦定理得SM=JR2+4Ry一2R*R-(一斗=+拒史X阵Rk2.1R.

故选：A

♦题型07解三角形解答题

23.(2024•内蒙古•三模)在AABC中,内角48,C的对边分别为Ac,且

(a-V5/?)cosC=C(V5COSB-COS/).

(i)求2的值；

a

(2)若B=2C,证明：18C为直角三角形.

【答案】（1）亚

⑵证明见解析

【分析】（1）由正弦定理和逆用正弦和角公式得到6=收°,求出答案；

（2）由（1）得到sin8=V^sirU，结合8=2C,得到$也2。=逝5M2。（：05。+收（：002。0也。，化简得到

c°sC=旦，c=3,2=],得到答案.

242

【解析】（1）由（。一06卜050=c（0cosB-cos/）,

可得acosC+ccosA=41（ZJCOSC+ccosB）,

所以siiL4cosC+sinCcosZ=V2（siaScosC+sinCcos5）,

所以sin5=V2sinA，

则6=0a，即2=

a

（2）证明：由（1）可得sinS=V^sirU.

又B=2C,所以sin2C=血sin（B+C）=V^sin3C,

即sin2C=V2sin（2C+C）=A/2sin2CcosC+收cos2CsinC,

故2sinCcosC=2拒sinCcos2C+41cos2CsinC>

所以2cosc=2后cos2C+2V2cos2C-夜，

即4缶os2c-2cosC-V2=0，

因为B=2C,所以C为锐角，

解得cosC=Y2（负值舍去），即C=；,8=g,

242

所以“8C为直角三角形.

24.（2024•四川绵阳•模拟预测）三角形三内角A,B,C的对边分别为。，b,c.已知叵=匕小且.

asiib4

（1）求角B的大小；

（2）若的面积等于G，。为2c边的中点，当中线2。的长最短时，求4C边的长.

兀

【答案】（1）8=2?

(2)/C=VS.

【分析】（1）由正弦定理以及条件边化角得GsinS=l-cos8,再结合辅助角公式即可求解.

（2）先由面积公式S-Bc=gacsin3得ac=4,再在△/AD中，由余弦定理结合基本不等式即可得中线

的最小值，进而可得4C长.

【解析】（1）在“8c中，由正弦定理得，GsinSsiM=siM-sirb4cos3.

因为4e（O/）,siiL4wO,所以gsinB=1-cosB,

所以狙$1115+（：058=2511118+力=1,即sin（8+j=；,

又8e（O,兀），则2+5=学，

66

兀

所以8=2m.

（2）由（1）得52”=Lacsinl20°==6，所以QC=4,

△TIDC24

在△45。中，由余弦定理可得：

S22a1”。2/4丫QC、3。。,

AD=c+\—-2c—cosl20=c+\—H---->-----=6,

2Uj22

当且仅当C=（即"2亚c=亚时，等号成立，

C

人

_____/

4cB

止匕时/C?=/+c2-2accosl20°=8+2-2-2V^VL]-g）=14,

故4c=痴.

25.（2024・重庆渝中•模拟预测）已知A/BC的内角4瓦。的对边分别为且满足

VJc

-------sinB=taiL4-cosB.

a

（1）求角A的大小；

⑵若“BC为锐角三角形且a=2指,求上8。面积的取值范围.

【答案】（呜

⑵（46,66]

【分析】（1）根据条件由正弦定理边化角，结合三角恒等变换求得答案；

（2）由正弦定理得6=40sin8，c=4&sinC，代入三角形面积公式化简得

LBC=4瓜巾8-胃+26,结合角8的范围求出答案.

【解析】（1）由正弦定理得，回吆-sin2=tan/-cos3,

sin4

所以V3sinCsin5_sin力

sinAcosBcosBcosA

日口V3sinCsin/sin5sinAcosB+cosAsinBsin(4+5)sinC

sinAcosBcosAcos5cosAcosBcos力cos5cosAcosB

化简得：*=G,即tan，=VL

cosA

又/e(O,7i),所以/

a_b_c巫=4也

(2)由正弦定理得：sin/sin5sinC.71

sin—

3

所以6=4后sin8，c=4V2sinC，

所以S“BC=—6csin^4=8V3sin5sinC=8百sin5sin

2

/o1

=8A/3sinB——cos5+—sin5=6sin2B-2^3cos2B+2^3

97Tjr

因为。8C是锐角三角形，所以。*2，解得:<5<彳，

八271n兀62

0<------B<—

[32

所以2吟芝1，所以M2T

所以S,ABC=4石Sinjg41+26e（4/6百].

26.（2024•江西•模拟预测）在A/8C中，角A,B,C所对的边分别记为。，b,c,且

cosJ9-sinC

tan/=

cosC+sin5

（1）若B=（,求C的大小.

o

（2）若。=2,求6+c的取值范围.

【答案】（1）C=不

⑵(2,+co)

cos5-sinC

（分析】（1）由tan/=,sinAcosC+sinAsinB=cosAcosB-cos^4sinC,再利用两角和差的

cosC+sin5

正余弦公式化简，进而可求得48的关系，即可得解;

（2）利用正弦定理求出Ac,再根据45的关系结合三角函数的性质即可得解.

cos5-sinCsinAcosB-sinC

【解析】（1）因为tan/=,所以

cosC+sin5cosAcosC+sin5

即sinAcosC+sinAsinB=cosAcosB—cosAsinC,

即sinAcosC+cosAsinC=cosAcos3—sin4sinB,

所以sin(/+C)=cos(4+8),即sin5=cos(/+3),

jrIT

JfjjA,BG(0,7i),所以8+/+5=万或8—(Z+5)=万，

所以/+或/=£（舍去）,

又因为5=2,所以/=$,

66

所以c=2m,TT；

77

(2)由⑴得4+28=5,

因为嘉=熹sinC

7asinB2sin52sin52sin5

一一b=——7-

所以sin4sin4.(兀。力］cos2B,

sinu——2B)

2sin《+5

asinC2sinC2cos5

c=­；-----=­；------

sinAsinAsin信一28cos25

b2(sin8+cos8)2(sin8+cos5)2后

则cos25cos25-sin2Bcos5-sin5(兀、，

cosDB+—

I4j

0<B<TI

TTjr

又由0<万一23<兀，得0<3<；,

71

0<—+B<n

I2

所以+所以0<33+曾<《，

442I4j2

所以b+ce（2,+oo）.

27.（2023・全国•模拟预测）记足2。的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知

cos28-cos2/=4（cosC-cos3C）.

⑴若C=g,求/；

（2）若A42C为锐角三角形，求@+与的取值范围.

【答案】（1）/=^

【分析】(1)运用二倍角公式及和角公式代入化简解方程即可.

(2)根据锐角三角形得8的范围，运用正弦定理边化角，将所求式子转化为关于cos?3的对勾函数，研究

其值域即可.

【解析】(1);cos2g—cos24=4(cosC—cos3。)，

.*.1-2sin2B-(\-2sin2A)=4cosC(l-cos2C)=4cosCsin2C,

sin274-sin25=sin2CsinC,

又sin(/+B)sin—8)=sin24cos-sin28cos=sin24cos-sin25(l-sin?/)=sin?/-sin25,

sin(4+B)sin(4-8)=sin2CsinC,即sinCsin(Z-8)=sin2CsinC,

又「sinCw0,

sin(/-B)=sin2C,

sin（Z-B）=

2

2兀2兀2兀2兀

又0<4<,,0<8<,，即一~-<A-B<—,

3333

3

^-：A+B^TI-C=—,

3

：.A=-.

2

（2）由（1）知sin2C=sin（/-8）,

71r冗

①当2c=/-3时，因为/+B+C=TI,所以2/=TI+C,即/=,+E>5，与△/IBC为锐角三角形矛盾，所

以不成立；

②当2。+/—2=兀时，因为R+B+C=TI,所以C=28,

所以4=兀一。一8=无一38.

71

Q<B<-

2

由0<28〈匹，得殳<8〈殳.

264

71

0<n-3B<—

（2

所以siib4=sin（万一35）=sin35=sin（8+25）=sin5cos25+cosBsin25=sin5cos25+2sin5cos25,

,ab1siib4sin25siaScos25+2sin5cos25sin25

故L——I----=--------1---------=----------------------------------1----------

bc2sinBsin2CsinBsin225

=cos25+2COS25+——=2COS25-1+2cos25+——--4cos2B+-----------1.

4cos54cos54cos5

因为所以:.<cos5<立■,2<4COS25<3,

6422

^/（x）=x+--l（2<x<3）,则r（x）=T=（x+l）,T>0,

XXX

a7

所以/（X）在（2,3）上单调递增，所以

所以巴+1的取值范围为佶［1.

bc”

一、单选题

1.（2024・湖南•模拟预测）在A/3C中，c=l,a=2,C=30。，贝i」N=（）

A.60°B.90°C.45°D.120°

【答案】B

【分析】利用正弦定理，求出sin/,从而求出角A.

由A为三角形内角，所以4=90。，

故选：B.

2.（2024•吉林•模拟预测）在中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c,“acosB=6cosN”是

“A=B"（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据正弦定理和正切函数的性质以及充要条件的判定即可得到答案.

兀

【解析】当QCOS5=bcos/,根据正弦定理得sin/cos5=sin5cos/,显然4—,

则tan/=tanB,因为4,5为三角形内角，则力=5,则充分性成立；

TTTT

当4=8,因为45为三角形内角，则不会存在4=5=5的情况，则4,B手3,

则tan/=tanB,贝!Jsin4cos8=sinBcos/,根据正弦定理则ac