矩形正方形的性质与判定（解析版）-中考数学二轮复习难点题型专项突破

专题22矩形（正方形）的性质与判定

1.（2021•宁波中考）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形/5CD相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两

张等腰直角三角形纸片的面积都为Si，另两张直角三角形纸片的面积都为§2，中间一张矩形纸片的面积

为与GE相交于点。当AAEO,ABFO,ACGO,的面积相等时，下列结论一定成立的是（）

A.Sr=S2B.Sx=S3C.AB=ADD.EH=GH

解：如图，连接。G,AH,过点。作"，。片于/

・・•四边形EFG〃是矩形，

；・OH=OF,EF=GH,ZHEF=90°,

•；OJ_LDE,

：.ZOJH=ZHEF=90°,

：.OJ//EF,

,:HO=OF,

:・HJ=JE,

:・EF=GH=2OJ,

■:SADHO=LDH，OJ,S丛DHG=LDH/GH,

22

S〉DGH=2S^DHO，

同法可证SMEH=2S"EO,

■:SADHO=S“EO,

:・SADGH=S^AEH'

・；S4DGC=LCG・DH,SAADH=L・DH・AE,CG=AE,

22

SADGC=S“DH，

:丛DHC=SAADE，

=$2，

故/选项符合题意；

S3=HE，EFWS\,

故8选项不符合题意；

AB^AD,EH=GH均不成立,

故C选项，。选项不符合题意，

答案：A.

2.（2021•眉山中考）如图，在矩形/BCD中，对角线/C,8。相交于点O,AB=6,N£UC=60°,点尸在线段

AO上从点A至点。运动，连接DF,以DF为边作等边三角形。如点E和点A分别位于。尸两侧，下列结论①

ZBDE=ZEFC；②ED=EC；③NADF=NECF；④点E运动的路程是2«,其中正确结论的序号为（）

A.①④B.①②③C.②③④D.①②③④

解：(l)VZDAC=60°,OD=OA,

:.AOAD为等边三角形，

AZDOA=ZDAO=ZODA=60°,AD=OD,

也为等边三角形，

：./EDF=/EFD=/DEF=60°,DF=DE,

VZBDE+ZFDO=ZADF+ZFDO=60°,

ZBDE=ZADF,

VZADF+ZAFD+ZDAF=180°,

AZADF+ZAFD=1SO°-ZDAF=120°,

VZEFC+ZAFD+ZDFE=180°,

；・/EFC+/4FD=180°-/DFE=120°,

・•・ZADF=ZEFC,

：./BDE=/EFC,

故结论①正确；

②如图，连接OE,

在△D4F和△£)(?£■中，

fAD=OD

<ZADF=ZODE>

LDF=DE

ADAF会/\DOE(SAS),

：.ZDOE=ZDAF=60°,

VZCOD=180°-ZAOD^120°,

：.ZCOE=ZCOD-ZDOE=120°-60°=60°,

：.ZCOE=ZDOE,

在△OZ)£和△OC£中，

r0D=0C

<ZD0E=ZC0E>

LOE=OE

△ODE经△OCE{SAS),

：.ED=EC,ZOCE=ZODE,

故结论②正确；

③•?NODE=ZADF,

：.ZADF=ZOCE,即NADF=ZECF,

故结论③正确；

④如图，延长•至〃，使OE'=OD,连接DE',

■:4DAF咨4DOE,ZDOE=60°,

点厂在线段49上从点/至点。运动时，点E从点。沿线段运动到歹，

'JOE'=OD=AD=AB,tanZABD=6,tan30°

，点E运动的路程是2«,

故结论④正确；

3.（2021•河池中考）如图，在边长为4的正方形/BCD中，点E,尸分别在CD,NC上，BFLEF,CE=i,贝U//

的长是（

・・・4BCZ)是正方形，

:・/ABC=/BCD=/BNM=90°,AB=BC=CD=4,

・•・四边形QVM为矩形，

；・MN=BC=4,CM=BN,

■:BF2EF,

：./EFB=/FNB=9G°,

ZFBN+ZNFB=NNFB+NEFM,

：.ZFBN=/EFM,

・・•四边形4BCD是正方形，

ZACD=45°,

AZMFC=ZMCF=45°,

：.MF=MC=NB,

在LMEF与ANFB中，

<ZEFM=ZFBN

<MF=NB，

ZEMF=ZFNB

:•丛MFE”丛NBFCASA),

:・ME=FN,

没ME=FN=x,贝ijMC=A/F=BN=1+x,

■:MN=MF+FN=4,

..]+x+x=4,

.・•人x=3,

2

.•.bN=3,

2

:四边形/BCD为正方形，MNLAB,

：.ZNAF=ZNFA=45°，

：.FN=AN,

AF=VFN2+AN2=^FN=邛

答案：B.

4.（2021•重庆中考）如图，正方形/BCD的对角线/C,AD交于点。，M是边4D上一点，连接OM,过点。作

ONA.OM,交CD于点N.若四边形MONO的面积是1,则的长为（）

A.1B.V2C.2D.2圾

解：：四边形/8CD是正方形，

:./MDO=ZNCO=45°,OD=OC,〃。。=90°,

AZDON+ZCON=90°,

'：ONLOM,

:./MON=90°,

:.NDON+NDOM=90°,

ZDOM=ACON,

在和△CON中，

，ZD0M=ZC0N

<OD=OC，

LZMDO=ZNCO

△OOAfg△CON(ASA),

:四边形MOND的面积是1,四边形MOND的面积=Z\D(W的面积+/ADON的面积,

/.四边形MOND的面积=△CON的面积+ZXOON的面积=ZiZ)OC的面积，

...△DOC的面积是1,

二正方形ABCD的面积是4,

：.AB2^4,

.\AB=2f

答案：c.

5.（2021•绍兴中考）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形48。的对角线2。上,

时钟中心在矩形4BCD对角线的交点。上.若4B=30c〃?，则2C长为_3Ch/^_c加（结果保留根号）.

解：过。点作OELCD,OFLAD,垂足分别为E,F,

由题意知

:./DOE=30°,/尸00=60°,

在矩形N5CD中，/C=90°,CD=AB=30cm,

J.OE//BC,

：.ZDBC=ZDOE=30°,

：.BC=^/3CD=3O/3cw-

答案：3073.

6.（2021•铜仁中考）如图，将边长为1的正方形48co绕点N顺时针旋转30°到/以小）的位置，则阴影部分的

面积是2-也.

解：如图,

连接4E1,根据题意可知4Bi=4D=l,N切81=30°,

在RtA4BiE和RtAADE中，

，AE=AE

<ABi=AD'

RtAAB^RtAADE（HL）,

,?ZBrAE=ZDAE=XzBiAD=30°,

2_

ADE=1解得。£=返，

AD733

返

:・S四边影4DEBI=2S“DE=2X工XADXDE=

23_

2X（1-返）

；・S阴影部分=2（S正方形4BCD-S四边形4DE81）=

3

答案：2-

3

7.（2021•南充中考）如图，点£是矩形N8CD边上一点，点尸，G,〃分别是BE,BC,CE的中点，AF=3,

则GH的长为3.

：厂为3E的中点，4F=3,

:.BE=2AF=6.

：G,H分别为BC,EC的中点,

:.GH=LE=3,

2

答案：3.

8.（2021•扬州中考）如图，在△4BC中，AC=BC,矩形DEFG的顶点。、E在4B上，点F、G分别在2C、AC

上，若CF=4,BF=3,且DE=2EF,则斯的长为

•.•四边形DEPG是矩形,

C.GF//AB,

:.△CGFsMAB,

•GFCF44pn2x4

AB-CB_4+3"7AB"7

;.4B=包,

2

；.AD+BE=AB-DE=-y-2x=yr

•：AC=BC,

/A=/B,

在△4DG和△5EF中，

2A=NB

-/ADG=/BEF，

DG=EF

:.AADG<LBEF(AAS),

.'.AD=BE=—V,

4

在RtZXAEF中，BE1+EF1=BF1,

即(-1X)2+X2=32-

解得:彳=也或-丝(舍)，

55

；衣=丝，

5

答案：

5

9.(2021•威海中考)如图，在正方形/BCD中，AB=2,£为边上一点，尸为边8C上一点.连接。E和/尸交

于点G,连接3G.若AE=BF,则8G的最小值为、芯-1

解：如图，取4D的中点T,连接37,GT,

•.•四边形/8CD是正方形，

；.4D=4B=2,NDAE=NABF=9Q°,

在和尸中，

，DA=AB

-ZDAE=ZABF-

,AE=BF

:ADAE咨AABF(SAS),

：.ZADE=ZBAF,

,：ZBAF+ZDAF=90°,

:./EDA+/DAF=9Q°,

AZAGD^90°,

'：DT=AT,

;.G7=y=l,BT=在再新用的=近,

C.BG^BT-GT,

:.BG，娓-1,

的最小值为迷-1.

答案：Vs-1.

10.（2021•哈尔滨中考）如图，矩形4BCD的对角线NC,AD相交于点。，过点。作0EL2C,垂足为点£,过点

/作/尸，。3,垂足为点?若BC=2AF,OD=6,则5E的长为.

BC

解：•・,四边形/BCD是矩形,

：.OA=OB=OC=OD,

•；OE2BC,

:.BE=CE,ZBOE=ZCOE,

又・.,BC=2AF,

•：AF=BE,

在RtAAFO和RtA^O中，

[AF=BE,

lA0=B0,

ARtA^FO^RtA5EO(HL),

：.ZAOF=/BOE,

：.ZAOF=ZBOE=/COE,

又..・N4。方+N5OE+NCO£=180°,

AZBOE=60°,

•：OB=OD=6,

••・5E=OB・sin60°=6X

答案：35/3.

11.（2021•深圳中考）如图，矩形。15c的边0c在y轴上，边。/在x轴上，C点坐标为（0,3）,点。是线段

CM上的一个动点，连接CD以CD为边作矩形CDEF,使边£尸过点8.连接OF当点。与点/重合时，所

作矩形CD即的面积为12.在点。的运动过程中，当线段。尸有最大值时，则点尸的坐标为（里亘+2,

—一13

6a^+3）.

13

0DAX

解：当点。与点/重合时，如图：

■:S坦彩CDEF=2SACBD=12，S矩形O/BC=2SACBD，

•'•S矩形CMBC=12，

：C点坐标为（0,3）,

：.OC=3,

.".OA=4,

VZCFB=90°,C,2均为定点，

尸可以看作是在以8C为直径的圆上，取8C的中点”，

则A/F=_^SC=2,（W=1oc2mM

厂的最大值=（WK^BC=JH2,即。、M、尸三点共线,

设点尸的横坐标为2x,则纵坐标为3x,

（2x）2+（3x）2=（71^-2）2,

解得：x=^（V13+2）（负值舍去）

_13_

.,.2x=生口1+2,3x=.gy13+3

1313

，点F坐标（隹+2,遂+3）

1313

12.（2021•福建中考）如图，在矩形4BCD中，48=4,AD=5,点、E,尸分别是边/及3c上的动点，点E不与

A,8重合，且所=48,G是五边形NEFCD内满足G£=Gk且NEG尸=90°的点.现给出以下结论：

①/GEB与NGFB一定互补；

②点G到边N8,BC的距离一定相等；

③点G到边/D,DC的距离可能相等；

④点G到边48的距离的最大值为2血.

其中正确的是①②⑷.（写出所有正确结论的序号）

解：：四边形48co是矩形，

AZ5=90°,

又,：/EGF=90°,四边形内角和是360°,

:.NGEB+NGFB=180°,

故①正确；

过G作GMLAB,GN1BC,分别交于交.BC于N,

：.ZGEF=ZGFE=45°,

又，

:./BEF+NEFB=9Q°,即N3EF=90°-ZEFB,

\'ZGEM=1^0°-ZBEF-ZGEF=18O°-45°-(90°-ZEFB)=45°+ZEFB,

NGFN=NEFB+/GFE=NEFB+45。,

ZGEM=ZGFN,

在△GEM■和△GKV中，

'NGME=NGNF=9O°

-ZGEM=ZGFN，

,GE=GF

:.丛GEM94GFNCAAS),

：.GM=GN,

故②正确；

'：AB=4,AD=5,并由②知,

点G到边ND,DC的距离不相等，

故③错误：

在直角三角形EMG中，MGWEG,当点E、“重合时EG最大,

；EF=AB=4,

夸=2料,

GE=EB=BF=FG=4X

故④正确.

答案：①②④.

13.(2021•贵阳中考)如图，在矩形/BCD中，点”在DC上，AM^AB,5.BNLAM,垂足为N.

(1)求证：aABN经八MAD；

(2)若40=2,AN=4,求四边形2cMy的面积.

(1)证明：在矩形/BCD中，ZZ)=90°,DC//AB,

：.ZBAN=AAMD,

:BNLAM,

：./BNA=9Q°,

在△/氐¥和中，

，ZBAN=ZAMD

-ZBNA=ZD=90°，

LAB=AM

:.AABN%AMAD(AAS)；

(2)解：•:AABN沿AMAD,

：.BN=AD,

•.10=2,

:.BN=2,

又,：AN=4,

在RtZi/BN中，”=〃N2+BM="2+22=2泥,

1・S矩形Z5CQ=2义2^/"^=4>/^，△牯。=/义2X4=4,

・'・S四边形BCMN=S矩形/BCD-S“BN~S/^MAD=^^[5-8.

14.(2021•荆门中考)如图，点E是正方形/5CD的边2C上的动点，/AEF=90°,且斯=/E,FHLBH.

(1)求证：BE=CH；

(2)连接DR若/8=3,BE=x,用含x的代数式表示。尸的长.

(1)证明：•.•正方形/8cO,

AZS=90°,AB=BC,

'：FHLBH,

：.Z/7=90°=/B,ZEFH=90°-ZFEH,

VZAEF=90°,

；.N4EB=90°-ZFEH,

：./AEB=ZF,

在△/AE•和△EHF中，

2B=NH

-NAEB=/F，

,AE=EF

:.△ABEQ△EHF(AAS),

：.EH=AB=BC,BE=FH,

：.EH-EC=BC-EC,即CH=BE-,

(2)过尸作BP_LCD于尸，如图，

：/H=NDCH=/FPC=90°,

四边形尸CA尸是矩形，

由(1)知：BE=FH=CH,

四边形尸SF是正方形，

PF=CP=CH=BE=x,

,：DC=AB=3,

：.DP=DC-CP=3-x,

/中，£>F=JDp2+pF2,

：DF=

'V（3-X）2+X2=V2X2-6X+9-

15.（2021•西宁中考）如图，四边形/BCD是菱形，对角线/C,2。相交于点O,△BOC"ACEB.

（1）求证：四边形OBEC是矩形；

（2）若N/2C=120°,48=6,求矩形03EC的周长.

(1)证明：,:丛BOCmACEB,

：.OB=EC,OC=EB,

四边形O8EC是平行四边形，

,四边形N5CD是菱形，

：.AC±BD,

:.NBOC=90°,

,平行四边形O8EC是矩形；

(2)解::四边形/BCD是菱形，AB=6,ZABC=nO°,

：.AC±BD,BC=AB=6,ZDBC=^-ZABC=60Q,

2

AZ5OC=90°,

.-.Z0C5=30°,

:.OB=^LBC=3,

2

m=VBC2-0B2=VS2-32=3«'

矩形。3£C的周长=2(3后3)=6后6.

16.(2021•梧州中考)如图，在正方形48co中，点E,厂分别为边2C,CD上的点，且于点尸，G为4D

的中点，连接GP,过点尸作P7/LG尸交于点凡连接G4.

(1)求证：BE=CF；

(2)若4B=6,BE=LBC,求G〃的长.

3

:.NEAB+/ABF=90°,NABF+NCBF=90°,

：.NEAB=NCBF,

在△/BE•与△8CF中，

，ZEAB=ZCBF

'AB=BC，

kZABC=ZC

:.AABE咨ABCF(ASA),

：.BE=CF；

(2)VZEAB=ZCBF,

：.ZGAE=ZPBH,

■:PHLGP,

：.ZGPH=9Q°,

；NAPB=9T,

ZGPA+ZAPH=ZAPH+ZHPB,

：.ZGPA=ZHPB,

：./\GPA^AHPB,

•••-G-A-~-A-P-,

HBBP

,.'tanZEAB=^-=^-,

ABAP

;BE=LBC,

3

.•.空=3,

HB

：G为/£＞的中点,

：.AG=3,

.\AH=5,

•••GH=VAG2+AH2=^34-

17.(2021•雅安中考