解三角形的图形归类（含中线、角平分线、高）学生版-2024年高考数学一轮复习突破卷（新高考）

专题突破卷13解三角形的图形归类（含中线、角平分线、高）

孱题型预策

四边形问题

四边形的最值问题

外接圆问题

内切圆问题

垂线问题

角平分线问题

中线问题

其余等分点问题

1.四边形问题

I.如图，在四边形N8CD中，已知443c的面积为E=立（/。2一452-3。2卜记的面积为邑.

⑴求//BC的大小;

Q）若CD<BC,设/C4D=30。，/BCD=120。，问是否存在常数2,使得岳=2邑成立，若存在，求九

的值；若不存在，请说明理由.

2.如图所示，在平面四边形48CD中，ZABC=150。，ZACD=60°,AB=BBC=1,CD=出.

⑴求的长；

⑵若NC与AD交于点O,求△Z。。的面积.

3.（2023・北京大兴•统考三模）如图，平面四边形"BCD中，对角线/C与3。相交于点E,

ZABD=ZCBD,ACLAD,AE=EB=3,DE=5.

⑴求的面积;

(2)求sinABAC的值及EC的长度.

4.如图，四边形N8CD的内角3+。=兀，AB=3,DA=1,BC=CD,且/C=J7.

(2)若点P是线段上的一点，PC=C,求尸/的值.

5.如图，四边形48CD是由A/8C与正ANCO拼接而成，设/3=1,smZBAC-^mZACB.

(1)当/NBC=90。时，^BD=xBA+yBC,求x,V的值;

(2)当/4BC=150°时，求线段8。的长.

6.某市准备规划一条平面示意图如图所示的五边形赛道，ED,DC,CB,BA,AE为赛道(不考虑宽度)，BE

2冗

为赛道内的一条服务通道/BCD=NCDE=/BAE=—,DE=4km,BC=CD=6km.

D

(1)求服务通道BE的长度;

(2)若/£=3km,求赛道48的长度.

2.四边形的最值问题

7.如图，在梯形/8CD中，ABHCD,AD=BC=AB=2,CD=AC.

(1)求CD；

(2)平面内点尸在直线CD的上方，且满足2/£＞尸。=5乙4CB,求DP+CP的最大值.

8.为了丰富同学们的课外实践活动，石室中学拟对生物实践基地(05C区域)进行分区改造.ABNC区域

为蔬菜种植区，区域规划为水果种植区，蔬菜和水果种植区由专人统一管理，区域规划为学

生自主栽培区.AMNC的周围将筑起护栏.已知NC=20m,AB=40m,ABAC=60°,NMCN=30°.

⑴若NM=10m,求护栏的长度(△儿WC的周长)；

(2)学生自主栽培区AMNC的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由.

9.在平面四边形/BCD中；AB=BC=CD-2；AD=273,

⑴若四边形/BCD为圆内接四边形；求/C；

(2)求四边形面积最大值.

TT

10.在圆。的内接四边形48CD中，48=2,CD=1,=示意如图.

C

⑴若/C是圆。的直径，求的长；

(2)若圆。的直径为石，求四边形Z8CD的面积.

11.(2023•云南保山・统考二模)如图，在平面四边形48CD中，48=1,BC=3,AD=CD=2.

C

(1)当四边形/BCD内接于圆。时，求角C；

(2)当四边形/BCD面积最大时，求对角线8。的长.

12.如图，在平面四边形/5CD中，AC=4,BCLCD.

A

(1)若45=3,BC=2,CD=5,求△/CD的面积；

(2)若==求[g+1]4D-3C的最大值.

3662

3.外接圆问题

13.在圆。的内接四边形48C。中，AB=册,BC=3,CD=2后，D4=l.则下列说法正确的是（）

A.四边形/BCD的面积为务B.圆。的半径为质

C.AO-BD=-^D.若DH1BC于点H,则丽・丽=4

14.如图，己知圆。内接四边形/BCD中，AB=2,BC=6,AD=CD=4,则下列说法正确的是

B.四边形ABCD的面积为8g

C.该外接圆的直径为厚

D.BO-CD^-4

15.平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质.如图所示，四边形"BCD的顶点在同

一平面上，己知48=3C=CD=2,/。=2班.

B

C

A

D

(1)当长度变化时，、Qcos/-cosC是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由.

(2)记4ABD与ABCD的面积分别为H和SZ,请求出+s；的最大值.

16.已知平面四边形48CD中，AB=2y/3,BC=2-43,CD=3,AD=4,且四边形/BCD有外接圆及

(1)求角。的大小;

⑵求tan/CUC的值.

17.如图，已知8C为。。的直径，点A、尸在。。上，AD1BC,垂足为。，BF交AD于E,且

AE=BE.

F

DO

(1)求证：AB=AF；

3

(2)如果sinN斤=AB=4y[5,求4D的长.

18.如图所示，四边形/BCD的外接圆为圆O,8C=2,/C=3,tan5=-2VL

(1)求sin//C3；

(2)若NCOD=44OD,求力。的长.

4.内切圆问题

IT

19.在“5C中，已知/8=2,/C=4,^BAC=-.

⑴求“8C面积；

⑵求AA8C内切圆半径.

20.如图，某景区有一块圆形水域，水域边上有三处景点4,B,C,景点之间有观景桥相连，已知48,

BC,4c长度分别为30m,50m,70m.

D

(1)求圆形水域面积；

(2)为了充分利用水域，现进行景区改造，准备在优弧北上新建景点。，修桥。C,以与景点4,C相连,

并准备在ANCD修建一块圆形观赏鱼饲养区，使其分别与桥NC,DC,D4相切，求圆形观赏鱼饲养区半径

的最大值.

21.锐角中，内角4民C所对的边分别为6,c,6=2且6wc,bccosB=4(c-l)cosC.

(1)求证：A=2C；

(2)将NC延长至。，使得3而=就，记的内切圆与边相切于点T,4T是否为定值？若是，求

出该定值，若不是，请说明理由.

22.如图，平面四边形/BCD中，/D=5,CD=3,//DC=120。.05c的内角N,B,C的对边分别为

7口、井口。+bsin4—sinC

a,b,c,且满足----=-...---；—-

csm/—sinB

(1)求四边形ABCD的外接圆半径尺；

(2)求△48C内切圆半径r的取值范围.

5.垂线问题

23.在。5c中，内角/、B、C的对边分别为a、b、c,其面积为S,且满足6荔.衣+2S=石瓦.

(1)求角A的大小；

⑵设3c边上的高40=1,求S的最小值.

24.在中，角4,B,C的对边分别为。，b,c,m=(sin5,sinC+cosC),H=(cosC-sinC,cos5),

—,—1

m-n=—.

2

⑴求sin24；

⑵若〃=3,5。边上的高线长77—1,求sinBsinC.

25.已知的内角4民。的对边分别为见必。，已知〃+c=2bcos4.

(1)证明：B=2A；

(2)设D为边5c上的中点，点E在42边上，满足且/=g,四边形/CUE的面积为"且，求

68

线段CE的长.

26.“3C中NB/C=120°,/8=NC=4,。在边8c上，且OC=38。.

(1)求的长；

⑵若OHJL/C于/求cosNADH.

6.角平分线问题

2兀

27.中，。的角平分线8。父NC于。点，若BO=2且/4BC=3~,则邑,”的最小值为

28.在“8C中，AB=2,NBAC=60。,BC=&,D为BC上一点、,40为N8/C的平分线，则40=

29.在AA8C中，角4瓦。所对的边分别为见4c,且.bsin'；0=asiaB,边BC上有一动点Z).

(1)当。为边2C中点时，若AD=百,6=2,求。的长度；

(2)当40为/34C的平分线时，若。=4,求/O的最大值.

30.在“8C中，内角4B,C所对的边分别为a,b.c.若力=5，角/的平分线40交8C于点D,

AD=2,b=6,则以下结论正确的是()

A.c=3B.BD=2CDC.A?13C的面积为D.a=3也

2

31.(2023•江苏盐城•统考三模)在A/8C中,/。为春3C的角平分线，且40=2.

2兀

⑴若NBAC==3,求“BC的面积；

(2)若BD=3，求边AC的取值范围.

S2

32.在“3C中，点。是2c上一点，AD平分/BAC,NB=2NC,芳幽=金，求:

超/CD3

(l)cosC的值；

(2)若/C=行，求CD的长.

7.中线问题

33.在“8C中，内角42,C的对边分别为a/,c.已知""m0=3,cos/=%3.

入sin2c412

(1)求cosB；

(2)若AABC的面积为后，且。为/C的中点，求线段3。的长.

34.已知AA8C中，c=2bcosB,C=—.

3

(1)求2的大小；

(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使。3c存在且唯一确定，并求出2C边上的中线的长度.①

c=41b\②周长为4+26；③面积为工4。=学.

35.在A48c中，ZC=1,AC=2,M为28边上的中点，且。0的长度为⑺，则48=()

A.273B.4C.277D.6

36.在①(sin/—sinC)a=[b-c)(sin5+sinC),②=③sin(8+C)=[cos"g]这三个条件

cosC2a-cb16)

中选一个，补充在下面问题中，并解答.

已知AA8C中，内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且.

⑴求角2;

⑵若a+c=G，点。是NC的中点，求线段区0的取值范围.

37.已知在A/IBC中，b3=a2b+be2-ac2,C=y.

(1)求/的大小；

(2)在下列四个条件中选择一个作为已知，使“BC存在且唯一确定，并求出3C边上的中线的长度.

①“3C周长为2+6；②。=1；③A/BC面积为也；@c=41a

38.在“8C中，48=9,点。在边3c上，AD=1.

A

2

(1)若cosB=],求5。的值，

2

(2)若cosNB/C=-且点。是边5C的中点，求4。的值.

8.其余等分点问题

39.在中，角A、B、。的对边分别为。、b、c,若A=2B.

(1)求证：a2-b2=bc;

23

(2)若cos8=§,点。为边上一点，AD=-DB,CD=2瓜,求边长b.

40.已知三角形NBC,AB=4,AC=2

A7~)

⑴若/=37r且4D为/A4c的平分线，。为2C上点，求差的值.

3nC

(2)若5c=3,BD=2DC，求40的长

41.在①ccos/=V§asinC；®(a-Z))(sinA+sinB)-(c->/3b)sinC；③36cos4+acos2=e6+c这三个条

件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.

问题：在中，角/,B,C的对边分别为a,b,c,且满足.

(1)求角/的大小；

(2)若。为线段C3延长线上的一点，艮CB=2BD,AD=C,AC=26,求的面积.

42.如图，在△NSC中，点。在边8C上，且4D_L/C,sinND48=g,AB=6.

BD

(1)若BC=2,求sinC的值;

(2)若8C边上点E满足砺=2或，ZADE=^,求网

43.某农户有一个三角形地块/8C,如图所示.该农户想要围出一块三角形区域(点。在2C上)用来

养一些家禽，经专业测量得到N3=3,cos3=g

5

⑴若cos//3C=-g,求/。的长；

(2)若BD=2DC,sm：??=4拒,求的周长.

sm/CAD

44.记』_8C的内角A、B、C的对边分别为。、b>c,已知6cos4-〃cos3=b—c.

(1)求A；

(2)若点。在边上，且CQ=25Q,cos5=y-,求tan/BAD.

圆限时训炼1

1.在“8C中，BC=2,AB=2AC,。为8C的中点，则tan//OC的最大值为.

2.在锐角A/BC中，角4瓦。的对边分别是。，b,c,若生心=以

acosA

⑴求角A的大小；

(2)若。=2,求中线40长的范围(点。是边2c中点).

3.已知。是“3C的边上一点，且数=3而，AD=2,tan/B4C=屈，则4C+248的最大值为

4.如图，平面四边形Z3CQ中，AB1AD,AB=AD,BC=。,CD=\,则四边形/BCD的面积的最大

值为.

5.在△48c中，点。在2c上，满足4D=3C,40sin/A4c=48sin8.

(1)求证：AB,AD,/C成等比数列;

⑵若BD=2DC,求cos2.

6.如图，AA8C中，AB=2AC,/R4C的平分线ND交BC于。.

(1)若=求/A4c的余弦值;

(2)若4C=3,求4D的取值范围.

7.某市为提升城市形象，打造城市品牌，拟规划建设一批富有地方特色、彰显独特个性的城市主题公园,

某主题公园为五边形区域N3CDE(如图所示)，其中三角形区域N3E为健身休闲区，四边形区域为

文娱活动区，AB、BC、CD、DE、EA、BE为主题公园的主要道路(不考虑宽度)，已知NB/E=60。，

ZEBC=90°,Z5CD=120°,=38C=3CD=6km.

(1)求道路BE的长度；

(2)求道路/3、/£长度之和的最大值.

8.在A48C中，/4/8,/。对应的边分别为。,6,。,/=7,6=5,。=3。48。的外接圆0面积为S.

⑴求S的值；

(2)若点。在/C上，且直线8。平分角//3C,求线段8。的长度.

9.在A48C中，内角4民。的对边分别为仇c,btanA+btanB=---.

(1)求角8；

(2)。是月8边上的点，若4D=1,CD=BD=3,求sinN4C。的值.

10.在平面四边形4