2025年必修四测试题数学及答案

必修四测试题数学及答案姓名：____________________

一、选择题（每题5分，共20分）

1.下列各数中，有理数是（）

A.$\sqrt{2}$

B.$\pi$

C.$\frac{3}{4}$

D.$-\sqrt{3}$

2.已知$a=-1$，则$|a|$的值为（）

A.1

B.-1

C.0

D.无法确定

3.若$a^2=4$，则$a$的值为（）

A.2

B.-2

C.2或-2

D.无法确定

4.下列函数中，是二次函数的是（）

A.$y=x^3+2x+1$

B.$y=x^2+2x+1$

C.$y=x^2+2x+3$

D.$y=x^2+2x+1$

5.已知一次函数$y=kx+b$的图象过点$(1,2)$，则$y$随$x$的增大而减小的条件是（）

A.$k>0$

B.$k<0$

C.$b>0$

D.$b<0$

二、填空题（每题5分，共20分）

6.若$|x-2|=3$，则$x$的值为______。

7.已知$y=2x-1$，当$x=3$时，$y$的值为______。

8.若$-3a>9$，则$a$的取值范围是______。

9.下列函数中，是反比例函数的是______。

10.若$a^2=25$，则$|a|$的值为______。

三、解答题（每题10分，共30分）

11.（1）求函数$y=x^2-2x+1$的顶点坐标。

（2）若函数$y=ax^2+bx+c$的图象开口向上，且顶点坐标为$(1,-3)$，求函数的解析式。

12.（1）已知一次函数$y=kx+b$的图象与$y$轴交于点$(0,2)$，且过点$(3,1)$，求函数的解析式。

（2）若函数$y=kx+b$的图象与$y$轴交于点$(0,-4)$，且过点$(2,6)$，求函数的解析式。

13.（1）已知函数$y=2x^2-3x+1$，求该函数的对称轴。

（2）若函数$y=ax^2+bx+c$的图象开口向下，且对称轴为$x=-1$，求函数的解析式。

四、解答题（每题10分，共30分）

14.（1）已知一元二次方程$x^2-5x+6=0$，求该方程的解。

（2）若一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的判别式$\Delta=b^2-4ac=0$，求该方程的解。

15.（1）已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=3n-2$，求该数列的前5项。

（2）已知数列$\{b_n\}$的通项公式为$b_n=2n+1$，求该数列的前5项。

16.（1）已知函数$y=x^2-4x+4$，求该函数的零点。

（2）若函数$y=ax^2+bx+c$的零点为$x=1$和$x=3$，求函数的解析式。

五、证明题（每题10分，共20分）

17.证明：若$a^2+b^2=1$，则$a\sinb+b\cosa=0$。

18.证明：若$\sin^2x+\cos^2x=1$，则$\tanx=\frac{\sinx}{\cosx}$。

六、综合题（每题10分，共20分）

19.已知函数$y=ax^2+bx+c$的图象开口向上，且顶点坐标为$(2,-3)$，且过点$(0,1)$，求函数的解析式。

20.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=\frac{1}{n(n+1)}$，求该数列的前$n$项和$S_n$。

试卷答案如下：

一、选择题（每题5分，共20分）

1.C

解析思路：$\sqrt{2}$和$\pi$是无理数，而$\frac{3}{4}$是有理数，$-\sqrt{3}$也是无理数。

2.A

解析思路：$|a|$表示$a$的绝对值，所以无论$a$是正数还是负数，$|a|$总是非负的，而$a=-1$时，$|a|=1$。

3.C

解析思路：$a^2=4$有两个解，$a=2$或$a=-2$。

4.B

解析思路：二次函数的一般形式是$y=ax^2+bx+c$，其中$a\neq0$。选项B符合这个条件。

5.B

解析思路：一次函数$y=kx+b$的斜率$k$决定了函数的增减性，当$k>0$时，$y$随$x$增大而增大；当$k<0$时，$y$随$x$增大而减小。

二、填空题（每题5分，共20分）

6.5或-1

解析思路：$|x-2|=3$有两个解，$x-2=3$或$x-2=-3$，所以$x=5$或$x=-1$。

7.5

解析思路：将$x=3$代入$y=2x-1$，得到$y=2(3)-1=5$。

8.$a<-3$

解析思路：$-3a>9$等价于$a<-3$。

9.$y=\frac{1}{x}$

解析思路：反比例函数的一般形式是$y=\frac{k}{x}$，其中$k\neq0$。选项中的函数符合这个条件。

10.5

解析思路：$|a|$表示$a$的绝对值，所以$|a|$的值等于$a$的绝对值。

三、解答题（每题10分，共30分）

11.（1）顶点坐标为$(1,0)$。

解析思路：二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，代入$a=1,b=-2,c=1$得到顶点坐标。

（2）解析式为$y=2x^2-3x-7$。

解析思路：开口向上，顶点坐标为$(1,-3)$，代入顶点坐标得到$y=a(x-1)^2-3$，再代入点$(0,-3)$解得$a=2$。

12.（1）解析式为$y=x+2$。

解析思路：通过点$(0,2)$得到$b=2$，再通过点$(3,1)$解得$k=-1$，所以$y=-x+2$。

（2）解析式为$y=3x-4$。

解析思路：通过点$(0,-4)$得到$b=-4$，再通过点$(2,6)$解得$k=3$，所以$y=3x-4$。

13.（1）对称轴为$x=1$。

解析思路：二次函数$y=ax^2+bx+c$的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=2,b=-3$得到对称轴。

（2）解析式为$y=-2x^2-2x-1$。

解析思路：开口向下，对称轴为$x=-1$，代入对称轴得到$y=a(x+1)^2+c$，再代入点$(0,0)$解得$a=-2$和$c=-1$。

四、解答题（每题10分，共30分）

14.（1）解为$x=2$或$x=3$。

解析思路：通过因式分解或配方法求解方程$x^2-5x+6=0$。

（2）解为$x=0$或$x=0$。

解析思路：当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数解，即$x=-\frac{b}{2a}$。

15.（1）前5项为1,4,7,10,13。

解析思路：代入$n=1,2,3,4,5$到通项公式$a_n=3n-2$。

（2）前5项为3,5,7,9,11。

解析思路：代入$n=1,2,3,4,5$到通项公式$b_n=2n+1$。

16.（1）零点为$x=2$。

解析思路：令$y=0$，解方程$x^2-4x+4=0$。

（2）解析式为$y=-(x-1)(x-3)$。

解析思路：根据零点信息，写出因式分解的形式，再展开得到解析式。

五、证明题（每题10分，共20分）

17.证明：$a\sinb+b\cosa=0$。

解析思路：使用三角恒等变换，将等式左边转化为$a(\sinb\cosa+\cosb\sina)$，再利用和差化积公式证明。

18.证明：$\tanx=\frac{\sinx}{\cosx}$。

解析思路：使用三角恒等变换，将等式左边转化为$