2024-2025学年广东省深圳实验学校高中部高一上学期期末数学试题及答案

试题PAGE1试题深圳实验学校2024-2025学年第一学期期末考试高一数学时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.是第四象限角，，则（）．A. B. C. D.2.化简结果是（）A. B. C. D.3.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）．A.的图象关于直线对称B.将图象向右平移个单位长度得到的图象关于原点对称C.方程在区间有5个不等实根D.在上单调递增4.声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.音有四要素：音调，响度，音长和音色，它们都与函数中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到声音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是，结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中不正确的是（）.A.函数具有奇偶性B.函数在区间上单调递增C.若声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度不一定比纯音的响度大D.若某声音乙对应函数近似为，则声音乙一定比纯音更低沉5.欢乐港湾摩天轮——“湾区之光”是深圳的一处标志性景点．已知某摩天轮最高点距离地面高度为128米，转盘直径为120米，等距设置有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周大约需要30min，若甲、乙两人的座舱之间有4个座舱，则甲、乙两人座舱高度差的最大值为（）．A.米 B.米 C.米 D.米6.已知函数，正实数满足，则的最小值为（）．A.1 B.2 C.3 D.47.函数在区间上所有零点之和为（）．A. B. C. D.8.已知函数在区间上是增函数，且在上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（）．A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.关于，下列说法正确的是（）．A.若，则是等腰三角形B.C.若为锐角三角形，则恒成立D.若，则为钝角三角形10.已知函数，若存在，满足，，则的值可以为（）．A20 B.24 C.28 D.3211.若，则（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则______．13.化简：______．14.设与图象的相邻3个公共点自左向右依次为，若，则的值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，，且.（1）求的值；（2）求的值.16.中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水口感与水的温度有关，如果刚泡好的茶水温度是，环境温度是，那么分钟后茶水的温度（单位：）可由公式求得，其中是常数，现有刚泡好的茶水温度是，放在室温25℃的环境中自然冷却，5分钟以后茶水的温度是50℃．（1）求的值（计算结果精确到0.01）；（2）经验表明，当室温是时，刚泡好的茶水温度是，自然冷却至时引用口感最佳，刚刚泡好的茶水大约要放置几分钟才能达到最佳饮用口感？（计算结果精确到0．1）参考数据：17.已知．（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）求在上的值域；（3）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意的恒成立，求的取值范围．18.意大利画家列奥纳多•达•芬奇曾经提出，固定项链两段，使其在重力的作用下自然下垂，项链所成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，历史上，莱布尼兹等人曾研究并得出了悬链线的方程，其中双曲余弦函数尤为特殊，与此类似的还有双曲正弦函数（是自然对数的底数，）．（1）计算的值；（2）类比两角差的余弦公式，写出两角差的双曲余弦公式______，并加以证明；（3）判断函数的零点个数，并求出零点．19.若对于实数，关于的方程在函数的定义域上有实数解，则称为函数的“可消点”，若存在实数，对任意实数均为函数的“可消点”，则称函数为“可消函数”，此时，有序数对称为函数的“可消数对”．（1）若是“可消函数”，求函数的“可消数对”；（2）若为函数的“可消数对”，求的值；（3）若函数的定义域为，存在实数同时为的“可消点”与“可消点”，求的最小值．深圳实验学校2024-2025学年第一学期期末考试高一数学时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.是第四象限角，，则（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求出，再由诱导公式计算可得.【详解】由为第四象限角，，由诱导公式，，故选：B．2.化简的结果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化根式为分数指数.【详解】由题意得.故选:B.【点睛】本题考查根式与分数指数的转化，属于基础题.3.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）．A.的图象关于直线对称B.将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于原点对称C.方程在区间有5个不等实根D.在上单调递增【答案】C【解析】【分析】根据函数图象对称轴间的距离得出周期，再代入点得出，代入验证对称轴判断A，根据平移后的解析式得出函数不关于原点对称判断B，解方程求出根判断C，应用周期得出单调区间长度为周期一半判断D.【详解】由题意相邻对称轴间的距离为，可得，因此，当时，，故．由可得，由函数最大值为2可得，因此．A选项，，非最值，故不是的对称轴，A错误．B选项，图象向右平移个单位长度后的解析式为，不关于原点对称，B错误．C选项，令，可得或，解得或，在上，实根为，共5个，C正确．D选项，的单调区间长度为，不可能在长为的区间上单调递增，D错误．故选：C．4.声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.音有四要素：音调，响度，音长和音色，它们都与函数中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到声音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是，结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中不正确的是（）.A.函数具有奇偶性B.函数在区间上单调递增C.若声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度不一定比纯音的响度大D.若某声音乙对应函数近似为，则声音乙一定比纯音更低沉【答案】C【解析】【分析】根据定义法证明即可判断A；根据验证法计算即可判断B；根据即可判断C；判断的最小正周期为，即可判断D.【详解】A选项，易知的定义域为，又，故是奇函数，A正确；B选项，时，，故，在上都是增函数，在上单调递增，B正确；C选项，由，得的最大值，故的振幅必然大于的振幅，即声音甲的响度一定大于纯音的响度，C错误；D选项，对于，因为的最小正周期为，的最小正周期为，所以最小正周期为，其频率，纯音的最小正周期为，其频率，声音乙的频率更低，比低沉，D正确.故选：C.5.欢乐港湾摩天轮——“湾区之光”是深圳一处标志性景点．已知某摩天轮最高点距离地面高度为128米，转盘直径为120米，等距设置有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周大约需要30min，若甲、乙两人的座舱之间有4个座舱，则甲、乙两人座舱高度差的最大值为（）．A.米 B.米 C.米 D.米【答案】B【解析】【分析】先求出甲乙两人的座舱所连的弧所对应的圆心角，建立平面直角坐标系，则两人高度差，结合，得到答案.【详解】甲乙两人的座舱所连的弧所对应的圆心角为，则，以摩天轮中心原点建立坐标系，设某一时刻甲座舱位于处，乙座舱位于处，则两人高度差，其中，故米.故选：B．6.已知函数，正实数满足，则的最小值为（）．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由已知得到函数的图象关于点对称，类比奇偶性，得到函数的单调性、进而求得，再利用基本不等式求解即得.【详解】，这说明的图象关于点对称，类似奇函数，在原点两侧单调性相同，由于时在上单调递增且函数值恒正，可推出在上单调递减，因此是减函数．，即，因此，当即时取得，故选：B．7.函数在区间上所有零点之和为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据零点概念，变形为，作出和在区间上的图象，再证明的图象关于直线对称，运用对称性得解.【详解】，作出和在区间上的图象如图，可知两个图象共有4个交点，因此在区间上共有4个零点，由小到大记为．同时，，，可得，故的图象关于直线对称，因此，故所有零点之和为，故选：B．8.已知函数在区间上是增函数，且在上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由二倍角公式，诱导公式化简函数，通过范围求得范围，由函数单调递增建立不等式，解出的取值范围，通过范围求得范围，由函数在对应区间取一次最大值建立不等式，解出的取值范围，【详解】，当时，由在区间上单调递增可得，，解得．当时，，由恰好在区间上取得一次最大值可得，解得，综上所述，，故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.关于，下列说法正确的是（）．A.若，则是等腰三角形B.C.若为锐角三角形，则恒成立D.若，则为钝角三角形【答案】BCD【解析】【分析】对于A选项，运用二倍角公式和三角函数得解；对于B选项，运用两角和的正切公式推导得解；对于C选项，若为锐角三角形，则有，结合在上单调递增可解；对于D选项，，判定，得解.【详解】对于A选项，由于，且至多有一个大于，因此若，则有或，得或，因此为等腰三角形或直角三角形，A错误．对于B选项，在中，，整理得，B正确．对于C选项，若为锐角三角形，则有，故，且，由在上单调递增可得，C正确．对于D选项，，由可得，故，因此，为钝角三角形，D正确．故选：BCD．10.已知函数，若存在，满足，，则的值可以为（）．A.20 B.24 C.28 D.32【答案】BC【解析】【分析】如图，由可得关于直线对称，结合图形即可求解.【详解】作出草图，如图，由得，故（舍去）或，得关于直线对称，由图可得，，记，则，所以故选：BC．11.若，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】先由条件推得，对于A，利用指数函数的单调性，即可判断；对于B，根据条件，可得，再利用三角函数的单调性，可得，即可判断；对于C，利用在区间上单调递减，可得，再利用和的单调性，即可推得；对于D，利用和的单调性，可得，再利用对数函数的单调性，即可推得.【详解】由，可得，则，对于A，由是增函数，是减函数，可得，故，故A正确；对于B，因为，所以，又在区间上单调递增，则在区间上单调递增，所以，则有，故B错误；对于C，由，又在区间上单调递减，可得，故有是减函数，则，又由是增函数可得，，因此，故C正确；对于D，因为是增函数，所以，又是减函数，得，因此，两边取对数可得，故D正确.故选：ACD．【点睛】方法点晴，比较函数值的大小，常用的方法：（1）利用基本函数的单调性，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等；（2）借助中间值进行比较，常用和.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则______．【答案】【解析】【分析】两边平方得，故，从而求出，利用余弦二倍角公式，正弦和角公式计算出答案【详解】，两边平方得，可得，又，，故，因此，所以，故，.故答案为：13.化简：______．【答案】1【解析】【分析】化切为弦，通分后利用两角和的余弦变形，再由倍角公式化简得答案．【详解】解：．故答案为1．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及两角和的余弦，是基础题．14.设与图象的相邻3个公共点自左向右依次为，若，则的值为______．【答案】【解析】【分析】根据三角函数图象的伸缩平移变换的过程可知长度之比保持不变，推出推出关于某条对称轴对称，得出，即可求解.【详解】将图象经平移和伸缩变换后变回的图象，具体操作为：①所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的；②所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍；③向右平移个单位．此时水平直线的方程变为.设变为，易知在伸缩变换过程中，虽然线段长度发生改变，但长度之比保持不变，即．又，所以，设，则，关于某条对称轴对称，得，解得，又可得，故可取，又，所以，得.故答案为：【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是在伸缩变换过程中长度之比保持不变，推出关于某条对称轴对称，得出即可求解.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，，且.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化成关于的齐次式即可求解；（2）根据平方关系、商数关系以及角的范围可得，由两角和的正切公式以及角的范围即可得解.【小问1详解】因为，所以.【小问2详解】因为，所以，又因为，所以，，所以，又，所以由，解得，所以，又，，故，所以.16.中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与水的温度有关，如果刚泡好的茶水温度是，环境温度是，那么分钟后茶水的温度（单位：）可由公式求得，其中是常数，现有刚泡好的茶水温度是，放在室温25℃的环境中自然冷却，5分钟以后茶水的温度是50℃．（1）求的值（计算结果精确到0.01）；（2）经验表明，当室温是时，刚泡好的茶水温度是，自然冷却至时引用口感最佳，刚刚泡好的茶水大约要放置几分钟才能达到最佳饮用口感？（计算结果精确到0．1）参考数据：【答案】（1）0.22（2）2.6分钟【解析】【分析】（1）由所给函数模型结合已知条件列方程得，由指对互换即可求解.（2）由所给函数模型结合已知条件列方程得，由指对互换以及对数的运算性质即可求解.【小问1详解】由题意得，代入可得整理得，取对数得．【小问2详解】由题意得令，可得解得分钟．17.已知．（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）求在上值域；（3）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意的恒成立，求的取值范围．【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）先利用三角函数的两角和公式、二倍角公式等对f(x)进行化简，得到形的形式，再根据正弦函数的性质求最小正周期和单调递增区间.（2）在已知x的取值范围的情况下，通过分析的范围，进而得出函数的值域.（3）根据三角函数图象的伸缩变换得到，再将进行化简，参变分离，转化为对任意的恒成立且，通过换元构造函数，利用函数在给定区间上的单调性求a的取值范围.【小问1详解】．最小正周期．令，解得．故的增区间为.【小问2详解】时，故．即在上的值域为．【小问3详解】，原不等式可化为对任意的恒成立对任意的恒成立，对任意的恒成立且，记，条件可化为对任意的成立，设，则，设，则，由在上递减，上递增可得，在上递减，在上递增，即时，，即时，，因此的最大值为，由题意得，故．18.意大利画家列奥纳多•达•芬奇曾经提出，固定项链的两段，使其在重力的作用下自然下垂，项链所成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，历史上，莱布尼兹等人曾研究并得出了悬链线的方程，其中双曲余弦函数尤为特殊，与此类似的还有双曲正弦函数（是自然对数的底数，）．（1）计算值；（2）类比两角差的余弦公式，写出两角差的双曲余弦公式______，并加以证明；（3）判断函数的零点个数，并求出零点．【答案】（1）（2），证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）结合新定义，由指数的运算即可求解；（2）类比即可，结合，即可求证；（3）令，得到，得到其零点，或