辽宁省大连市某中学2024-2025学年九年级上学期期末数学模拟试题（含答案解析）

辽宁省大连市汇文中学2024-2025学年九年级上学期期末数学

模拟试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若关于X的一元二次方程Y+x-相=0没有实数根，则优的值可以是（）

A.-2B.0C.2D.4

91

2.已知点A（2,%）、3（—1，%）、C。,%）在函数>=2（X+1）2-万上，则%、％、%的大小

关系是（）

A.必>%>则B.%>%>%C.%>%>必D.%>%>%

3.把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若

两个正面朝上的编号分别为m,n,则二次函数丁=/+如；+〃的图象与x轴有两个不同交点

的概率是（）•

A.—B.-C.—D.y

129362

4.如图，在半径为1的。中，有一条弦A3,直径CD_LAB,垂足为E,ZBAD=22.5°,

则弦AB的长为（）

A.垃B.2C.2cD.40

5.如图，每个小正方形的边长均为1,苦点A,8,C都在格点上，贝Utan/BAC的值为（）

A.2B.毡C.@D.1

552

6.经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转.如果这三种可能性大小相同,

那么经过这个十字路口的两辆汽车一辆左转、一辆右转的概率是（）

4r4八1

A.—B.—C.—D.一

7999

7.如图，A8是；。的直径，是弦，CD//AB,ZBCD=30°,AB=12,则AC的长为

A.45兀B.4兀C.2兀D.兀

8.如图，点A为/a边上的任意一点，作AC,5c于点C,COLAB于点。，下列用线段

BCABACAC

9.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1,连接AE交BD于点

F,则4DEF的面积与4BAF的面积之比为（）

A.3：4B.9：16C.9：1D.3：1

414

10.函数y=—和y=—在第一象限内的图象如图所示，点尸是丫=—的图象上一动点，作

XXX

PC_Lx轴于点C,交y=L的图象于点A,作PD_Ly轴于点D,交丫=’的图象于点8,给

XX

试卷第2页，共6页

出如下结论：①，ODB与OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积

大小不会发生变化；④PA=3AC,其中正确的结论序号是()

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

二、填空题

11.由于某品种葡萄的市场需求量不断增加，某葡萄种植基地连年扩大该品种葡萄的种植量,

2022年的产量为20万斤，2024年的产量为28.8万斤，若设每年的平均增长率为尤，则可以

列方程为—.

12.一个不透明的口袋中装有"个白球,妙妙为了估计白球的个数，向口袋中加入4个红球，

它们除颜色外其它完全相同.通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在10%附近，

则n的值为.

旋转得到△A'3'C,旋转角为a(00<a<180°),当点A的对应点4恰好落在VABC的边上

时，连接88',则88'的长为.

15.如图，为了测得电视塔的高度A8,在。处用高为1米的测角仪CD,测得电视塔顶端A

的仰角为30。，再向电视塔方向前进100米到达尸处，又测得电视塔顶端A的仰角为60。，

则这个电视塔的高度A8为・米(结果保留根号).

30°从60°

。右100mf|EB

16.(1)解方程：5x?-3x=x+l;

(2)计算：石sin60。+tan60。-2cos230。.

17.如图，在平面直角坐标系xOv中，一次函数＞="+6的图像与反比例函数y=—的图

像相交于点A(-l,〃)、8(2,1).

⑴求一次函数、反比例函数的表达式；

(2)连接。4、OB,求△OAB的面积.

18.某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y(单位：件)与销

售单价x(单位：元/件)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示.

(}idoi2o*

(1)求这段时间内y与x之间的函数解析式；

(2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，

当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？

19.图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”.某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞

试卷第4页，共6页

行高度AB=873m,如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角NE4c=37。，看塔底。的俯角

ZEAD=45°，求吉塔的高度CD（结果精确到0.1m）.（参考数据：sin37°=0.60,cos37°=0.80,

tan37°=0.75)

图①图②

20.如图，在VABC中，AB=AC,。是VABC的外接圆，连接20并延长交。于点，

连接AD,CD.在CO上取一点R使DF=AD＞连接BF,CF,BF与AC交于点G.

⑴试求ZAC£＞与—ABC的数量关系;

⑵求证：CF//AB；

21.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-3,2）和点3（2,7）,若抛物线y=-必+2代-』十4

与线段A5只有一个交点，结合函数图象，求出r的取值范围.

22.如图，平面直角坐标中，点A、B、C坐标分别是（0,12）、（24,0）、（0,-6）,点尸从点C

出发（不含点C）,沿y轴正半轴运动，点。从点B与点尸同时出发，当点。运动到原点。时，

尸、。停止运动，过点。作QD，龙轴交于。，连接尸£),设运动时间为f个单位/秒，尸、

。运动速度均为2个单位/秒.

⑴当"92=90。时,求才的值；

(2)求在运动过程中，如。与VAQB的重叠部分S与运动时间t的函数关系式.

23.(1)如图1,等边VABC中，AB=3,。是AC上的动点，连接8。，将网)绕着点。逆

时针旋转60。得到DE,连接CE,当点。从A运动到C时，求点E的运动路径长.

(2)如图2,等腰RtZkABC中，NB4c=90。，ADIBC于。，E是A£＞上的一点，连接8E,

将8E绕着点E逆时针旋转90。，得到EF,EF交BC于点G,连接CT,若EG=%G,求

AB

孑的直

图2

试卷第6页，共6页

参考答案:

题号12345678910

答案ABCADCCCBC

1.A

【分析】此题考查了根的判别式，先根据关于》的一元二次方程尤x7"=（）没有实数根求

出机的范围，再从选项里选择符合题意的即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程

依2+泳+。=0（。彳0）根的判另ij式A=当方程有两个不相等的实数根时，A>0；当

方程有两个相等的实数根时，△=（）;当方程没有实数根时，A<0.

【详解】解：：关于x的一元二次方程d+x=0没有实数根，

A=12-4x（—加）=1+4根<0,

解得：m<一；,

4

，选项A的数在此范围，

故选：A.

2.B

【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；由题意易

得开口向上，对称轴为直线x=-l,然后根据“开口向上离对称轴越近，其函数也就越小”可

进行求解.

【详解】解：由函数y=2（%+l）-5可知：。=2>0,开口向上，对称轴为直线％=—1,

•.•点A（2,%）、8（—1,%）、C（L%）在函数y=2（x+l『-g上，且点A、B、C离对称轴的距

离分别为3、0、2,

%>则>%;

故选B.

3.C

【分析】本题可先列出出现的点数的情况，因为二次图象开口向上，要使图象与x轴有两个

不同的交点，则最低点要小于0,即4n-m2<0,再把m、n的值一一代入检验，看是否满足.最

后把满足的个数除以掷骰子可能出现的点数的总个数即可.

【详解】解：掷骰子有6x6=36种情况.

根据题意有：4n-m2<0,

答案第1页，共18页

因此满足的点有：n=l,m=3,4,5,6,

n=2,m=3,4,5,6,

n=3,m=4,5,6,

n=4,m=5,6,

n=5,m=5,6,

n=6,m=5,6,

共有17种，

17

故概率为：17+36=^.

36

故选C.

【点睛】本题考查的是概率的公式和二次函数的图象问题.要注意画出图形再进行判断，找

出满足条件的点.

4.A

【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，连接OB并延长交I。

于点歹，连接AF,根据圆周角定理，得到/E4B=90。，推出/F=/3QD=2/MD=45。，

得到△AFB为等腰直角三角形，进行求解即可.

【详解】解：连接08并延长交，。于点尸，连接AF,贝九即为直径，

,?CDLAB,

：.NCEB=90。=NFAB,

：.AF//CD,

：.ZF=NBOD=2NBAD=45°,

A△不»为等腰直角三角形，

BF=~J2AB=2,

AB=肥;

故选：A.

答案第2页，共18页

5.D

【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，锐角三角函数.

由勾股定理可求得AB,BC,AC的长，根据勾股定理的逆定理判定VA3C是直角三角形,

根据正切的定义即可解答.

【详解】:AB=也。+2?=2五,

BC=JF+F=后,

AC=#+32=厢,

AB2+BC2=AC2,

；.VABC是直角三角形，/ABC=90。,

.•.tanZBAC=^=4=l.

AB202

故选：D

6.C

【详解】画“树形图”列举这两辆汽车行驶方向所有可能的结果如图所示:

左亘右左直右左直右

这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果；

两辆汽车一辆左转，一辆右转的结果有2种，且所有结果的可能性相等,

?

；.P（两辆汽车一辆左转，一辆右转户

故选C.

7.C

【分析】本题考查了弧长公式.先根据平行线的性质得出ZABC=4CD=30。，再根据圆

周角定理得出NAOC=2/ABC=60。，然后根据弧长的计算公式即可得.

【详解】解：如图，连接OC,

答案第3页，共18页

B

o

则OC=^AB=6,

CD//AB,ZBCD=30°,

.\ZABC=ZBCD=30°,

:.ZAOC=2ZABC=60°,

则AC的长为当心=0，

lot)

故选：c.

8.C

【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出Na=NACD是解题关键.

【详解】解：VAC±BC,CD^AB,

:./a+/BCD=ZACD+/BCD,

Na=ZACD,

CD

cosa=cosZACD==

BCAB~AC

只有选项C错误，符合题意.

故选c.

9.B

【分析】根据题意可证明出，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即

可得出答案.

【详解】解：：四边形ABC。为平行四边形，

J.DC^AB,

:.丛DFEs丛BFA,

•：DE：EC=3：1,

:.DE：DC=3：4,

:.DE：AB=3：4,

**•SADFE：SABFA=9：16.

答案第4页，共18页

故选：B.

10.C

A.1illA

【分析】设点P的坐标为(m,—)(m>0),则A(m,一),C(m,0),B(—,—)

mm4m

A

D(0,①根据反比例函数系数k的几何意义即可得出SAODB=SAOCA,该结论正确；②

m

由点的坐标可找出PA=3，PB=*，由此可得出只有m=2是PA=PB,该结论不成；③利

m4

用分割图形法求图形面积结合反比例系数k的几何意义即可得知该结论成立;④结合点的坐

31

标即可找出PA=2,AC=L，由此可得出该结论成立.综上即可得出正确的结论为①③④.

mm

41m4

【详解】解：设点P的坐标为(m,—)(m>0),则A(m,一),C(m,0),B(―,—),

mm4m

4

D(0,-).

m

①SaODB=g=g,S/iOCA==

•••△ODB与AOCA的面积相等，①成立；

Ge1413-m3m

(2)PA=——=—，PB=m--二—，

mmm44

令PA=PB,即士3二卫，

m4

解得：m=2.

当m=2时，PA=PB,②不正确；

③S四边形PAOB=S矩形OCPD-SAODB-SzkOCA=4-g-g=3.

・・・四边形PAOB的面积大小不会发生变化，③正确；

④PA=——=—,AC=—-0——,

mmmmm

..3__1

・——,

mm

；.PA=3AC,④正确.

综上可知：正确的结论有①③④.

故选C.

【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及利用

分割图形法求图形面积，解题关键是找出各点坐标再结合反比例函数系数k的几何意义逐项

分析各结论是否正确.本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数图

象上点的坐标特征表示出各点的坐标.

答案第5页，共18页

11.20(1+x)2=28.8

【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据已知可知2023年的产量为

20(l+x)万斤，在2023年的基础上，可得2024年的产量为20(1+4万斤，根据2024这年

的产量为28.8万斤可列方程.

【详解】解：根据题意可得,20(1+x)2=28.8.

故答案为:20(1+%)2=28.8.

12.36

【分析】本题主要考查利用频率估计概率，由题意知,袋中球的总个数约为4-10%=40(个),

进而可得答案.

【详解】解：由题意知，袋中球的总个数约为4-10%=40(个)，

所以袋中白球的个数〃=40-4=36,

故答案为：36.

13.6

【分析】本题考查了切线长定理，

根据切线长定理，可得AF=AE,BE=BH,CH=CG,DG=DF,得到AD+3C=AB+C。，

由此即可解决问题.

【详解】解：：AB、BC、CD、ZM都是。的切线，

可以假设切点分别为E、H、G、F,

/.AF=AE,BE=BH,CH=CG,DG=DF,

：.AD+BC=AF+DF+BH+CH=AE+BE+DG+CG=AB+CD,

•：AD=2,AB+CD=8,

：.BC=AB+CD-AD=8-2=6,

故答案为：6

答案第6页，共18页

14.垂，或屈

【分析】分两种情况讨论：当点4落在上时和当点H落在BC上时，分别利用旋转的性

质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理求解即可.

【详解】解：VZACB=90°,ZABC=30°,AC=l,

：.AB=2AC=2,

BC=VAB2-AC2=下>>

分两种情况讨论：

①当点A落在A3上时，如下图，连接88'，

B'

由旋转的性质，可得AC=AC=1,BC=B'C=^,ZBCA=ZB'CA=90°,

•/ZBAC=90°-ZABC=60°,

ZAC4'=60。，

NBCA'=90°-ZAC4'=30°,

NBCB'=ZB'CA-ZBCA'=60°,

:.YBCB'为等边三角形,

/.BB，=BC=拒；

②当点A落在BC上时，如下图，连接88'，

答案第7页，共18页

A

B'

由旋转的性质，可得BC=B'C=石，ZBCA^ZB'CA=90°,

VBCfi'为等腰直角三角形,

BB'=ylBC2+B'C2=76.

综上所述，班’的长为右或几.

故答案为：小或戈-

【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形、勾股定理、旋转的性质直角三角形两锐

角互余、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质以及等边三角形的判定与

性质并运用分类讨论思想是解题的关键.

15.50^+1

【详解】试题解析：设AGr,

在RtAAEG中，

'/tanZAEG=^—,

EG

.”一AG一上

•.HG-----p=-=----xf

A/33

在RtAACG中,

VtanZACG=—,

CG

CG=—--=y/3x,

tan30°

AV3x--x=100,

3

解得：^=5073.

贝（JA3=（506+1）米.

答案第8页，共18页

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数

求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法.

16.（1）X]=——,尤2=1;（2）-\f3

【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，特殊角的三角函数值，二次根式的计算.

（1）先移项，整理得5Y-4X-1=。，再利用因式分解法解方程即可；

（2）直接代入特殊角的三角函数值进而计算即可.

【详解】解：（1）5x?-3x=x+l，

5%2—3x—x—1=0,

5X2-4X-1=0,

（5%+1）（冗-1）=0,

5x+l=0或无一1=0,

（2）氐in60。+tan60。-2cos230。

=氐孝+6_2义闻

=-+V3-2x-

24

22

2

17.⑴y=x—l,y=一

x

⑵3

2

【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题：

（1）待定系数法求出函数解析式即可；

（2）设直线A8与y轴交于点C,分割法求出△OAB的面积即可.

【详解】（1）解：：一次函数y=的图像与反比例函数y=:的图像相交于点A（T〃）、

B（2,l）,

m=2x.l=-l-n,

答案第9页，共18页

m=2,n=—2,

7

反比例函数的解析式为：y=：,A(-l,-2),

-k+b=-2k=l

,解得:

2k+b=lb=-i

•••一次函数的解析式为：y=x-i；

(2)解：设直线48与y轴交于点C,

.-.C(O,-1),

113

=

△OAB的面积~OC-\xB—xA|=—xlx(2+l)=—.

18.(1)这段时间内y与尤之间的函数解析式为＞=-5尤+800

(2)当销售单价为116元时，商场获得利润最大，最大利润是7920元

【分析】(1)设这段时间内y与x之间的函数解析式为丁=履+匕，函数经过(100,300),

(120,200),可以利用待定系数法建立二元一次方程组，即可求出解析式；

(2)根据销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，建立一元一次不等式组，

即可求出销售单价的取值范围，要求最大利润，首先设获得利润为z,写出z关于x的二次

函数解析式，根据二次函数的增减性和x的取值范围，即可求出获得利润的最大值

【详解】(1)解：设这段时间内y与尤之间的函数解析式为＞=依+6,

由图象可知，函数经过。00,300),(120,200),

1006+6=300k=-5

可得，解得

120k+b=2006=800

二这段时间内y与X之间的函数解析式为＞=-5X+800；

(2)解：销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件,

答案第10页，共18页

.-.x>100,^>220,

—5%+8002220

即,IW100<x<116,

x>100

设获得利润为z,gpz=(-5x+800)x-(-5x+800)x80=-5x2+1200x-64000,

b1200

对称轴户-五=-浜西=120，

-5<0,即二次函数开口向下，x的取值范围是ioo<xvii6,

.,.在100<x<120范围内，z随着x的增大而增大，

即当销售单价x=116时，获得利润z有最大值，

,最大利润z=—5x1162+1200x116-64000=7920元.

【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，二次函数的性质，解二元一次方程组，解一元一

次不等式组，解题的关键是用待定系数法求函数的解析式，掌握二次函数的性质以及二次函

数最大值的求解.

19.218.3m

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意和添加辅助线是解题的关键.

先解RtG4D得至IJAG=———=OG=873,再解Rt^G4C,

tanZEAZ)

CG=AG-tanNEAC=873x0.75=654.75,即可求解CO.

【详解】解：延长OC交AE于点G,由题意得AB=OG=873m,ZDGA=90°

在RtG4D中，/E4D=45。，

or

：.AG=-------------=OG=873,

tanZ£AD

在RtZXGAC中，Z£4C=37°,

・•・CG=AG-tanZEAC=873x0.75=654.75,

・・・CD=DG-CG=873-654.75«218.3m,

答：吉塔的高度CD约为218.3m.

答案第11页，共18页

20.(l)ZACD+ZABC=90°,理由见解析

⑵证明见解析

【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等,垂径定理,直接所对的圆周角是直角等等.

(1)由AB=AC,得出NABC=NACB,进而得出？ABC?ADB,由直径所对的圆周角

等于90。得出NADg+NABD=90。，从而得出NACD+NABC=90。；

(2)连接ARDF,由=得出5。垂直平分AF,从而得到AB=5/，再证明

/ABF=/BFC,即可得出结论；

【详解】(1)解：ZACD-^ZABC=90°.理由如下：

AB=AC,

.\ZABC=ZACB.

ZACB=ZADB,

,\ZABC=ZADB.

QBD是直径，

:.ZBAD=90°,

/ADB+NASD=90。.

ZACD=ZABDf

/.ZACD+ZABC=90°.

(2)证明：连接AF,DF,

:.AB=BF,

:.ZBAF=ZAFB.

ZACB=ZAFB=ZABCf/CAF=/CBF,

：.ZBAF-ZCAF=ZABC-ZCBF,

..ZBAC=ZABF,

答案第12页，共18页

ZBAC=/BFC,

ZABF=ZBFC,

AB//CF.

21.-3-忘Wt＜-3+夜或2-2忘＜fV2+2近

【分析】本题考查二次函数与图形的结合，将抛物线化为顶点式，通过顶点坐标结合图形分

类讨论求解，根据抛物线,=-丁+2比-产+4与直线48只有一个交点和有两个交点但只有

一个交点在线段AB上，两种情况讨论.

【详解】解：设直线解析式为＞=依+6,

2=-3k+b

把点A（-3,2）和点8（2,-4）代入得

—4=2k+b

6

k二——

解得:,

b-

15

直线AB解析式为y=

联立〃一一二一？得/-（2/+\上+/-胃=0,

y=-^+2tx-t-+A15,5

A=

,/抛物线y=-尤2+2及一产+4与线段48只有一个交点,

74SQ6

抛物线y=-/+2及一〃+4与直线只有一个交点，止匕时公=m/+罟=（）,解得

/=一翥，止匕时交点横坐标x=t+：=一翥+：=-三＜一3,即唯一交点不在线段48上；

抛物线y=r?+2"-产+4与直线A8只有两个交点，但只有一个交点在线段A3上，此时

、24596八5父149

A=y?+—＞0,解得f＞一力，

•y——x~+2tx—广+4=一（无一f）~+4，

•••抛物线开口向下，顶点坐标为,4）,即顶点在直线y=4上移动，

把A（-3,2）代入＞=一（无一，『+4得2=—（一3—。2+4,解得『=一3土四，

答案第13页，共18页

把8（2,-4）代入丁=一口一。2+4得一4=一（2—。2+4,解得r=2±20，

V--<-3->/2<?<-3+72<2-2>/2<2+272,

，根据函数图象可得，当-3-拒4/<-3+应或2-20</42+2夜抛物线

y=-x2+2tx-t2+4与直线AB只有两个交点，但只有一个交点在线段AB上,

综上所述，抛物线与线段A8只有一个交点时，/的取值范围-3-后Vf<-3+后或

2-2后</V2+2应.

22.（l）r=6

12产-t3

---------,0<?<3

6-t

⑵S=<■12t-t2,3<t<9

12?-t3

--------,9<t<12

[318

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的应用，函数关系式的建立，矩形的判定与性

质，正确理解题意是解题的关键.

⑴△BQOSABOA,得到条=誓，即当=§,则四边形为矩形,

AOD(J1224

则DQ=OP,即t=2f—6,即可求解;

(2)分三种情况讨论：当0CW3时，当3<区9时，当9<区12时，利用相似三角形

示出相关边长，继而可求解函数关系式.

【详解】(1)解：如图,

答案第14页，共18页

Q£)_Lx轴，而AO_L3O,

LBQDsABOA,

:.出=吃,即空=2,

AOB01224

DQ=t,

当NFDQ=90。时，则NPDQ=NOQO=ZAOB=90。，

四边形POQD为矩形，

则。Q=O尸，gpt=2t-6,

解得，=6；

(2)解：当Ov/43时，如图:

:.ADQES&OE,/\BQDS/\B0A

.DQ=QEQDBQ

''OP~EO90A~BO

・空—里

••12-24'

：.QD=t,

.t二QE

・・6-2t~24-2t-QEf

冷刀用“24t-2t2

解得，QE=1------,

6-t

17nle［八厂八八］24-2/12t2-t3

则S=-QExQD=-x-------xt=-.........；

22o—/o—f

当3<Y9时,如图，

答案第15页，共18页