三角形与全等三角形-2025年浙教版九年级中考数学一轮复习讲义

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义

第四单元三角形

《第17讲三角形与全等三角形》

【知识梳理】

1.三角形的概念及分类

(1)定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

(2)三角形的分类：

①按角分：

(锐角三角形

三角形(直角三角形

【钝角三角形

②按边分：

'不等边三角形(三条边均不相等)

“(底边和腰不相等

I等腰三角形(的等腰三角形

、［等边三角形

2.三角形的三边关系

(1)三角形任何两边的和大于第三边.

(2)三角形任何两边的差小于第三边.

3.三角形的内角和

(1)定理:三角形三个内角的和等于180。.

(2)推论:①三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的一^.

②三角形的一个外角」^任意一个和它不相邻的内角.

(3)拓展:在一个三角形中，最多有三个锐角,最少有两个锐角,最多有一个钝角,

最多有一个直角.

4.三角形中的重要线段

(1)角平分线:在三角形中，一个内角的与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间

的线段叫做三角形的角平分线.三角形三条角平分线的交点是三角形的内心.

(2)中线:连结三角形的一个顶点与该顶点的对边上^的线段，叫做三角形的中线.三角形三条

中线的交点是三角形的重心.

(3)高线:从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三

角形的高线.三角形三条高线的交点是三角形的垂心.

(4)中位线:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.

5.全等图形及全等三角形的概念

(1)全等图形:能够重合的两个图形称为全等图形.

(2)全等三角形:能够重合的两个三角形叫做全等三角形.

6.全等三角形的性质

(1)性质:全等三角形的对应边相等，对应角相等.

(2)拓展:全等三角形的对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线

相等.

7.三角形全等的判定

对应相等的元素三角形是否一定全等

两边一两边及其夹角一定(SAS)

角两边及其中一边的对角不一定

般

两角一两角及其夹边一定(ASA)

边两角及其中一角的对边一定(A40

角

三角不一定

形

三边一定(SSS)

直角

斜边、一条直角边一定(HL)

角形

拓展:满足下列条件的三角形也是全等三角形：

(1)有两边和其中一条边上的中线对应相等的两个三角形全等.

(2)有两边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等.

(3)有两角和其中一个角的平分线对应相等的两个三角形全等.

(4)有两角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等.

(5)有两边和其中一条边上的高线对应相等的两个锐角三角形全等.

8.定义、命题与证明

(1)定义:一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义.

(2)命题:一般地，判断某一件事情的句子叫做命题.

(3)命题的组成:命题通常写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果”开始的部分是条

件，“那么”后面的部分是结论.

(4)命题的真假:命题有真命题和假命题;定理是用推理的方法判断为一^的命题.

(5)互逆命题:在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论

是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另

一个命题叫做它的五命题.

(6)互逆定理:如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就称它为原定理的逆定理，这

两个定理叫做互逆定理.

⑺证明:从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论)，一步一步推得结论

成立，这样的推理过程叫做证明.

(8)反证法:在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理

得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成

立是错误的，即所求证的命题正确，这种证明方法叫做反证法.

9.角平分线的性质定理

(1)角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离」

(2)角平分线性质定理的逆定理:角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.

【考题探究】

类型一三角形的三边关系

【例1][2023•金华]在下列长度的四条线段中，能与长6cm,8cm的两条线段围成一个三角

形的是(C)

A.lcmB.2cm

C.13cmD.14cm

变式1:2023•河北]四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而

变化.当AABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（B）

A.2

B.3

C.4

D.5

类型二三角形的内角和与外角的性质

【例2][2023•杭州]如图，点。，E分别在AABC的边AB,AC上，且，点口在线段

3c的延长线上.若NADE=28。，ZACF=118°,则NA=90

例2图

【解析】'.'DE//BC,

：.ZB=ZADE=28°,

:.ZA=ZACF-ZB=90°.

变式2如图，在AABC中，ZBCD=3Q°,ZACB=80°,CD是边A3上的高线，AE是NC43的

平分线，则NAE3的度数是100。.

C

/\E

ADB

变式2图

【解析】•.•CD是边A5上的嵩线,

:.ZCDB=ZCDA=90°.

"：ZBCD=30°,NAC5=80。，

:.ZACD=ZACB-ZBCD=5Q°,ZCBD=9Q°~N5CZ>=60°,

:.ZCAB=90°-ZACD=40°.

•；AE是NCA5的平分线，

：.ZEAB=^ZCAB=2^,

，ZAEB=180°-ZEAB-ZEBA=100°.

类型三角平分线的性质

【例3][2023•随州]如图，在RtA4BC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,。为AC上一点，若

3。是NA3C的平分线，则AD=5

例3图

[解析】如答图，过点。作DE1AB于点E.

:5。是NA5c的平分线，CD±BC,DELAB,

：.CD=DE.

在Rt"5C中，AB=JAC2+BC2=10.

■i殳CD=DE=x,则AD—8—x.

易知A5•DE=AD•BC,/.10x=(8-x)•6,

解得x=3,J.AD—8—X—5.

变式3—1[2024•南充]如图，在RtZkABC中，ZC=90°,NB=30。,BC=6,AD平分NC43

交BC于点D,E为边A3上一点，则线段DE长度的最小值为（C）

变式3-1图

A.V2B.V3

C.2D.3

【解析】在RSA5C中，tanB=—,：.AC=—X6=2^3.

BC3

VZC=90°,ZB=30°,AZCAB=60°.

1

'：AD平分/CAB,:.ZCAD=1X60°=30°.

在Rt2ViC。中，tanNCAZ）=与，ACD=yX2A/3=2.

•.,AO平分NC46,且。C，AC,.•.点。到A5边的距禽等于线段CD的长，即线段DE长度的

最小值为2.

变式3—2如图，在四边形A3CD中，ZBCD=9Q°,3。平分NA3C,AB=6,BC=9,CD=4,

则四边形A3CD的面积为（B）

A.24B.30

C.36D.42

变式3—2图变式3—2答图

【解析】如答图，过点。作交5A的建长线于点H.

•.•5。平分NA5C,ZBCD=90°,

.".DH=CD=4,

1111

AS因迎衫ABCD=SAABD+SABCD=：A5•DH+^BC•CZ>=|X6X4+|X9X4=30.

类型四三角形的中位线

【例4][2023•金华]如图，把两根钢条。4,的一个端点连在一起，C,。分别是。4,OB

的中点.若CD=4cm,则该工件内槽宽AB的长为8cm.

例4图变式4-1图

变式4—1如图，在AABC中，D,E,歹分别是3C,AC,A3的中点.若A5=6,BC=8,则四

边形3DER的周长为（B）

A.28B.14

C.10D.7

变式4—2[2024•浙江]如图，D,AC的中点，连结BE,DE.若/AED

=ZBEC,DE=2,则BE的长为4.

变式4—2图

【解析】,：D,E分别是△ABC边A3,AC的中点,

：.BC=2DE=2X2=4,DE//BC,

：.ZAED=ZC.

,:ZAED=ZBEC,:.ZBEC=ZC,

：.BE=BC=4.

类型五命题与证明

【例5】命题“如果⑷=|可，那么。=》”的逆命题是如果a=b,那么|a|=|Z>|.

变式5—1能说明命题“若x为无理数，则%2也是无理数”是假命题的反例是（C）

A.x=V2—1B.x=V2+l

C.x=3V2D.x=V3—V2

变式5—2用反证法证明"三角形中最多有一个内角是直角”，应先假设这个三角形中(A

A.至少有两个内角是直角

B.没有一个内角是直角

C.至少有一个内角是直角

D.每一个内角都不是直角

类型六三角形全等

【例6][2024•内江]如图，点A,D,B,E在同一条直线上，AD=BE,AC=DF,BC=EF.

⑴求证:XAB8ADEF.

(2)若NA=55。，ZE=45°,求NR的度数.

例6图

解:(1)TAD=5E,

：.AD+BD=BE+BD,即AB=DE.

(AB=DE,

在AABC和4DEF中，'：\AC=DF,

(BC=EF,

：.AABC^^DEF(SSS).

(2)VZA=55°,ZE=45°,

由(1)可唉口△△5c2△OEF,

：.ZA=ZFDE=55°,

：.ZF=180°-(ZFDE+NE)=180°—(55°+45°)=80°.

变式6—1[2023•宜宾]已知:如图，AB//DE,AB=DE,AR=DC.求证:NB=NE

变式6—1图

证明:丁4歹=。。，

:.AF+CF^DC+CF,即AC=OE

,:AB〃DE,：.AA=ZD.

rAB=DE,

点,AABC和ADEF中，’.Jz_A=Z-D,

<AC=DF,

，△A5。也△DEF(SAS),

:./B=/E.

变式6—2[2024•长沙]如图，点C在线段AD上，AB=AD,ZB=ZD,BC=DE.

⑴求证:ZkABC咨/XADE.

(2)若NA4c=60。，求NACE的度数.

变式6-2图

解:(1)在△A5C和中，

(BC=DE,

V/zS=z£),

\AB=AD,

：.AABC^△AOE(SAS).

(2)由(1)得^ABC^AADE,

：.AC=AE,ZBAC=ZDAE=60°,

:.ZAEC=ZACE.

'：ZAEC+ZACE=2ZACE=180°-NZME=120°,

：.ZACE=60°.

类型七三角形全等的开放型探究问题

【例7][2024•西湖区模拟]已知:如图，点。在A3边上（不与点A,点3重合），点E在AC边

上（不与点A,点C重合），连结BE,CD,3E与CD相交于点。，AB=AC,/B=/C.

有以下四个结论:①BE=CD-®BO=CO;@DO=EO;®BO=BD.

（1）以上四个结论中正确的是①②③.（只需填写序号）

（2）请从⑴中任选一个结论进行证明.

例7图

证明:(2)选择①证明如下：

2B=",

在ZkABE和△AC。中，'：\AB=AC,

、2a/-A.,

AAABE^AACD(ASA),

：.BE=CD.

选择②证明如下：

fzB=zC,

在△ASE和△AC。中，'：\AB=AC,

\Z-A=Z-A,

：.XABE经AACD(ASA),

：.AD=AE.

'：AB=AC,：.AB~AD=AC-AE,

即BD=CE.

fNB=",

在ABOD和ACOE中,"：＜^BOD=^COE,

\BD=CE,

；.ABOD空ACOEIAAS),

：.BO=CO.

选择③证明如下：

2B=ZC,

在AABE和△AC。中，V-AB=AC,

N_/4,

Z.AABE^AACD(ASA),

：.AD=AE.

'：AB=AC,：.BD=CE.

2B=",

在ABOD和ACOE中,"：\z_BOD=Z-COE,

、BD=CE,

工”。。4△COE(AAS),

：.EO=DO.

④根据已知条件无法判定BO=BD,

故结论④不正确.

变式7—1[2023•河北]在AABC和5c中,ZB=ZB'=3Q°,AB=A'B'=6,AC=A'C'=4,

已知NC=〃。，则NC'=(C)

A.30°B.n°

C.废或180°—〃°D.30°或150°

【解析】当BC=B'C'^,△A5C咨△A'5'C'(SSS),

.*.NC=NC=〃。；

当BC^B'C'^,如答图.

VA'C'=A'C",：.AA9〃。=NC="。，

综上所述，NC'=〃°或180°—〃°.

变式7—2如图，四边形A3CD的对角线AC,3。相交于点O,AABO^AADO,有下列结论:

(1)AC±BD;®CB=CD;③△ADC;④D4=DC其中正确的是①②③(填序号).

变式7—2图

［角昆析］•.*XABO空AADO,

：.AB=AD,ZAOB=ZAOD,ZBAO=ZDAO.

又:ZAOB+ZA00=180°,，ZAOB=ZAOD=90°,

即AC，5。，①正确.

,：AB=AD,ZBAC=ZDAC,AC=AC,

；.△A5C也AAPC(SAS),

：.CB=CD,②③正确.

④无法证明.

综上所述，正确的是①②③.

【课后作业】

1.[2023•福建]若某三角形的三边长分别为3,4,m,则机的值可以是(B)

A.lB.5

C.7D.9

2.[2024•北京]下面是“作一个角使其等于NA03的尺规作图方法.

(1)如图，以点。为圆心，任意长为半径画弧，分别交。4,于点C,D;

(2)作射线04,以点。为圆心，0C长为半径画弧，交。火于点。;以点。为圆心，CD长为半

径画弧，两弧相交于点

(3)过点。作射线O'B',则ZA'O'B'=ZAOB.

上述方法通过判定△D3△COD得到ZA'O'B'=ZAOB,其中判定△DN△COD的依据

是（A）

A.SSSB.SAS

CASAD.AAS

3.[2023•衡阳]我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.”

假设三角形没有一个内角小于或等于60。，即三个内角都大于60。，则三角形的三个内角的和大

于180。.这与“三角形的内角和等于180。”的定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一个内角

小于或等于60。.上述推理使用的证明方法是（A）

A.反证法B.比较法

C.综合法D.分析法

4.[2023•凉山州]如图，点E,F在BC上,BE=CF,NB=/C,添加一个条件，不能证明

注△DCE的是（D）

第4题图

A.ZA=ZDB.ZAFB=ZDEC

C.AB=DCD.AF=DE

【解析】'：BE=CF,：.BE+EF=CF+EF,即5b=CE,.,.当NA=N。时，利用44s可得

△ABFmADCE,A不符合题意.

当NAF5=NOEC时，利用ASA可得AABF也△OCE,B不符合题意.

当。时，利用SAS可将AABF咨△OCE,C不符合题意.

当AF=DE时，SSA不能证明及45歹多△OCE,D符合题意.

5.[2024•长沙]如图，在△ABC中，D,E分别是AC,3C的中点，连结DE.若DE=12,则A3

的长为24.

第5题图

6.[2024•成都]如图，AABC”ACDE,若ND=35。，ZACB=45°,则NDCE的度数为100。

第6题图

7.请写出命题“如果a＞。，那么Z?一。＜0”的逆命题：如果I一aVO,那么a＞b

8.[2024•乐山]如图，A3是NC4D的平分线，AC=AD,求证:NC=ND

C

证明:'.'AS是NCA。的平分线，

:.ZCAB=ZDAB.

在AABC和△ABD中，

(AC=AD,

'：\^CAB=/,DAB,

\AB=AB,

二△A5C您AABD(SAS),

：.ZC=ZD.

9.[2024•云南]如图，^^ABC^AAEDAB=AE,ZBAE=ZCAD,AC=AD.^^-.^ABC^

△AED

A

大

8

E

第9题图

证明:；ZBAE=ZCAD,

二ZBAE+ZCAE=ZCAD+ZCAE,

即ZBAC=ZEAD.

在AABC与△AE。中，

(AB=AE,

'：\^BAC=Z-EAD,

[AC=AD,

：.AABC^△AEZ>(SAS).

10.如图，在AABC中，ZC=90°,AD平分NS4c交3c于点D,DELAB,垂足为E.若3C=4,

DE=\.6,则BD的长为2.4.

【解析】TAO平分N5AC,DELAB,ZC=90°,

：.CD=DE=1.6,

：.BD=BC-CD=4~1.6=2.4.

U.[2024•牡丹江]如图，在中，。是A3上一点，CT〃AB,D,E,R三点共线，请添加

一个条件DE=EF或AD=CF(答案不唯一)，使得AE=CE(只添加一种情况即可)

第H题图

【解析】,：CF//AB,

：.ZA=ZECF,ZADE=ZCFE,

工添加条件DE=EF,可以使得AAOE手△CFE(AAS),

添加条件AD=CF,可以使得△ADE也△CFE(ASA),

：.AE=CE.

12.[2023•重庆A卷]如图，在R3A3C中，NA4c=90。，AB=AC,。为3c上一点，连结AD,

过点B作BE1AD于点E,过点C作CTLA。交AD的延长线于点E若BE=4,CF=1,则EF

的长度为3.

第12题图

【解析】:BELAD,CF±AD,

:.ZBEA=NAFC=90。，

ZBAE+90°.

,/ZBAC=90°,:.ZBAE+ZFAC=90°,

:.ZFAC=ZABE.

在△ABE和△C/LF中，

(^BEA=^AFC,

'：\^ABE=Z-FAC,

[AB=AC,

，△ABE注△CAF(AAS),

：.AF=BE,AE=CF.

'：BE=4,CF=1,

：.AF=BE^4,AE=CF^1,

：.EF=AF~AE=3.

13.如图，AD=AC,AB=AE,ZDAB=ZCAE.

(1)求证:ZkADEm△ACB

(2)判断线段DR与CR的数量关系，并说明理由.

A

\

F

BE

第13题图

解:(1)TNZM5=NC4E,

二ZDAE=ACAB.

在AADE与△ACS中，

(AD=AC,

'：＜^DAE=^CAB,

[AB=AE

：.△ADE名△4C5(SAS).

(2)DF=C五理由如下：

AAADB与AACE中，

(AD=AC,

'：\^DAB=^CAE,

[AB=AE,

：.AADB^AACE(SAS),

/.ZADB=ZACE,DB=CE.

VAADE^AACB,

：.ZADE=ZACB,

:.ZBDF=ZECF.

族XDBF与&CEF中，

乙DFB=ACFE,

乙BDF=LECF,

(DB=CE,

:.ADBF之△CEF(AAS),

：.DF=CF.

14.[2024•拱墅区模拟]已知:如图，ZADC=90°,DC//AB,BA=BC,AE±BC,垂足为E,F

为AC的中点.

(1)求证:BfUAC.

(2)求证:△ADCg△AEC.

(3)连结OE,若CD=5,AD