椭圆及其性质-2024-2025学年高二数学复习讲义（人教A版选择性必修第一、二册）

第08讲椭圆及其性质

【人教A版2019】

1.椭圆的定义

⑴定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于用户2。的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫

作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.

(2)椭圆定义的集合表示P={M\MF{+MF2^2a,2a>|F,F2|}.

2.椭圆的标准方程

椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：

椭圆在坐标

系中的位置

标准方程~2+^2=1(。>6>0)%+|=1*(Q>6>0)

a2b2

焦点坐标£(-c,0),K(c,0)A(0,-c),A(0,c)

Q也C的关系b2=a2—c2b2=a2—c2

3.椭圆方程的求解

(1)用定义法求椭圆的标准方程

根据椭圆的定义，确定废/2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.

(2)用待定系数法求椭圆的标准方程

①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待

定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的。，方的值，从而确定方程(注意焦点的

位置).

②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点

在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方

程为/尤2+为2=1(4>0,8>04¥为，再解答.

4.椭圆的焦点三角形

(1)焦点三角形的概念

设M是椭圆上一点，为椭圆的焦点，当点陷回,尸2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角

形，如图所示.

(2)焦点三角形的常用公式

①焦点三角形的周长L=2a+2c.

②在△MFZ中，由余弦定理可得㈤Fzl2=\MFy+2-2\MF^\MF^-COSNF'MFZ.

a

③设M(x(),yo),乙FiMF?=a,则5“尸出=。.从1=〃-tan—.

A题型归纳

【题型i椭圆的定义及其应用】

【例1.1](2024•辽宁辽阳•一模)若P为椭圆C：W+1上一点，&,尸2为C的两个焦点，且|P&I=8,

12196

贝尸&i=（）

A.10B.12C.14D.16

22

【例1.2］（2024・贵州安顺.二模）已知椭圆=l（a>6>0）的左、右焦点分别为&尸2.点P在E上，

且Pa1PF2.\PFr\■\PF2\=2,则b=（）

A.-B.1C.V3D.2

2

【变式1.1］（2024・四川南充•模拟预测）尸为椭圆1+4=1上一点，曲线号+|川=1与坐标轴的交点为A,

622

B,C,D,^\PA\+\PB\+\PC\+\PD\=4V6,则P到无轴的距离为（）

A.2B.且C.泊D.运

13131313

【变式1.2］（23-24高二下.贵州黔南•期末）如图，已知椭圆立《+5=1（£1>6>0）的左、右焦点分别为

F1,F2,过点B的直线与椭圆E交于点A，B.直线/为椭圆E在点A处的切线，点8关于/的对称点为由

椭圆的光学性质知，0,A,M三点共线.若|4B|=a，黑=：,则解=（）

5四11

【题型2曲线方程与椭圆】

【例2.1］（23-24高三上•湖北十堰・期末）已知曲线C:f+工=1,则“a>0”是“曲线C是椭圆”的（）

4a3a+2

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

22

【例2.2］（23-24高二下•浙江•期中）若方程二+-=1表示椭圆，则实数小的取值范围为（）

m4-m

A.m>0B.m<4C.0<m<4D.0<mV4且mW2

22

【变式2.1］（23-24高二上•安徽芜湖•期中）若方程三+三=1表示椭圆C,则下面结论正确的是（）

9-fck-1

A.ke（1,9）B.椭圆C的焦距为2企

C.若椭圆C的焦点在x轴上，则k6（1,5）D.若椭圆C的焦点在久轴上，则k6（5,9）

【变式2.2］（2024•河南•模拟预测）若方程（机+l）x2+（1-m）y2=1-表示焦点在刀轴上的椭圆，贝（］（

A.—1<m<1B.0<m<1

C.-1<m<0D.-1<m<0或0Vm<1

【题型3椭圆方程的求解】

【例3.1］（23-24高二上.北京顺义.期中）椭圆的两个焦点是（-4,0）和（4,0）,椭圆上的点M到两个焦点的距

离之和等于10,则椭圆的标准方程是（）

B.9+9=1

x2v2

c・*+—D.-+—=1

169

【例3.2］（2024•陕西安康•模拟预测）已知椭圆，+\=l（a〉6>0）的左、右焦点分别为6,，点M在椭

圆上，且满足N6M6=90°,MF2延长线交椭圆于另一点C,IMF2I=2|F2cl=2,则椭圆的方程为（）

222222..2

A.v—+y2=1B.—v+y2=lC.二v+匕=1D.二v+匕=1

9175z94182

22

【变式3.1］（23-24高二上.河北承德.期末）已知椭圆章=l（a>b>0）的左、右焦点分别为F「F2,

尸为椭圆C上一点，1PF/的最小值为1,且△P&F?的周长为34,则椭圆C的标准方程为（）

27777777

A.二+匕=1B.上+匕=1c.上+匕=1D.^+匕=1

8164641781178136

【变式3.2］（2024•陕西安康•模拟预测）已知椭圆C:5+\=l（a>b>0）的左、右焦点分别为6（-鱼,0）,

F2g,0），真线呜》轴的交点为P（-3加,0）,过右焦点F2作F2Mli于点M,|F2Ml=4,且F2M的中点Q在

椭圆C上，则椭圆C的方程为（）

A.次+g=1B.9+?=l

64

2

/v2r

C.上+匕=1D.y+y2=1

42

【题型4椭圆中焦点三角形的周长、面积及其他问题】

【例4.1］（23-24高二上•福建漳州•期末）已知椭圆C：9+1=1的上顶点为4,两个焦点为&,F2,过&且

垂直于的直线与C交于。，E两点，则△7!£）£■的周长是（）

A.6B.4A/3C.4V5D.8

v2

【例4.2】（23-24图二上•四川德阳•期末）设FI、F2是椭圆C：9+V=1的两个焦点，点P在C上，若△P&F?

为直角三角形，则的面积为（）

A.yB.V3C.遮或1D.1或苧

【变式4.1](2024.北京.模拟预测)已知一个离心率为｝长轴长为4的椭圆，其两个焦点为国,尸2,在椭

圆上存在一个点P,使得N&PF2=60。，设ARPF2的内切圆半径为厂，则厂的值为()

V3

C.立D.

A-TB-T23

22

【变式4.2](2024.陕西咸阳.模拟预测)已知椭圆C曝+琶=l(a>b>0)的左、右焦点分别为过尸2的

直线1与C交于P,Q两点，若|F2QI：|PQI：I6Q|=1:4:5,则AQ及F2的面积为()

模块二1、椭圆的几何性质。|

►知识梳理

1.椭圆的范围

设椭圆的标准方程为4+与=1(。泌>0),研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范

a-b

围.

(1)从形的角度看：椭圆位于直线x=±a和尸土b所围成的矩形框里.

(2)从数的角度看：利用方程研究，易知*=1-5三0,故，'W1,即-aS*；5=1-齐K),故*"Si,

即-b<y<b.

2.椭圆的对称性

(1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.

(2)从数的角度看：在椭圆的标准方程/+。=1(a>6>0)中以-y代替y,方程并不改变，这说明当点

P(x,y)在椭圆上时，它关于无轴的对称点Pi(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于尤轴对称；同理，以-尤代替尤，

方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-无代替x,以-y代替》方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.

坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心.

3.椭圆的顶点与长轴、短轴

以椭圆的标准方程，+营=13>6>0)为例.

⑴顶点

令x=0,得产±。；令y=0,得二土〃.

这说明4(-4,0)，43,0)是椭圆与X轴的两个交点，5(。，-圾生①力)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、

y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点.

（2）长轴、短轴

线段1441,I田％分别叫作椭圆的长轴和短轴.

长轴长1441=2a,短轴长星|=2b,a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长.

4.椭圆的离心率

（1）离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比上称为椭圆的离心率.用e表示，即e=£.

aa

（2）离心率的范围：0<e<l.

（3）椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度.

当e越接近于1时，c越接近于。，从而越小,因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接

近于0,从而加二二不越接近于。，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0,这时两个焦点重合,

图形变为圆，它的方程为一+必=。2.

►题型归纳

【题型5利用椭圆的几何性质求标准方程】

【例5.1］（23-24高二上.陕西宝鸡.期中）中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为右且过点（2,0）的椭圆方

程是（）

A.次+些=1B.应+*=1或”=1

4344

C.次+竺=1D.应+日=1或E+丝=1

41643416

【例5.2］（2024•安徽合肥•模拟预测）已知焦点在久轴上的椭圆的离心率为当，焦距为2鱼，则该椭圆的方

程为（）

22

A.—+y2=1B.—+y2=1

3z9/

C.七+"=1D.亡+”=1

973628

22

【变式5.1］（23-24高二下.四川成都.阶段练习）已知椭圆：京+琶=l（a〉b〉0）的左焦点为&,离心率

为日,M、N为椭圆上关于y轴对称的两点，|MN|=W，若M&1Na,则椭圆方程为（）

寸2..2-,2-,2-,2-,2

A.——I-—=1B.——I-y2=1C.——I--=1D.%2+—=1

824z284

【变式5.2］（23-24高二上•广西玉林•期中）已知椭圆C：圣+，=l（a>b>0）的离心率为%0,F2分别

为C的左、右焦点，P为C上一点，若的面积等于2，且COSN&PF2=K，贝1JC的方程为（）

A.^+y2=lB.史+e=1

2y32

%?y2%2-,2

C.土+匕=1D.土+匕=1

981816

【题型6求椭圆的离心率或其取值范围】

22

【例6.1]（24-25高三上•河北承德•开学考试）已知椭圆7:京+琶=l（a>b>0）的左、右焦点分别为&F?"

上一点4满足lAFzl=26,若贝什的离心率为（）

A.-B.-C.—D.—

3233

【例6.2]（23-24高二下•广西桂林•期末）已知点F1是椭圆C：《+卷=1（a>b>Q）的左焦点，过原点

作直线/交C于A,8两点，M,N分别是力B，B0的中点，若存在以线段为直径的圆过原点，则C的

离心率的取值范围是（）

A.[y.l）B.（0,争C.[f,l）D.弓，寺

【变式6.1]（2024•湖北武汉.模拟预测）设椭圆E:《+\=l（a〉6>0）的左右焦点为0,外,右顶点为4

已知点P在椭圆E上，若N&P%=90°,NP4F2=45。，则椭圆E的离心率为（）

A.-B.—C.2-V2D.V3-1

73

【变式6.2]（2024.河南濮阳•模拟预测）点M是椭圆[+[=l（a>b>0）上的点，以M为圆心的圆与x轴

a2-bz

相切于椭圆的焦点F,圆M与y轴相交于P,Q两点，若APQM是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（）

A.（2-V3,1）B.（等,1）

C.（7,1）D.与）

【题型7椭圆的几何性质问题】

22

【例7.1]（2024•河南新乡•二模）已知直线=-V3（x-1）经过椭圆（7++琶=l（a>b>0）的右焦点F

和上顶点A,则C的长轴长为（）

A.4B.2V3C.3D.2

【例7.2]（23-24高二上.河南南阳•阶段练习）已知A为椭圆三+*=1的上顶点，P为椭圆上一点，则|p川

的最大值为（）

A.2/B.等C.3D.V7

222

【变式7.1］（2024.全国.模拟预测）设椭圆Q*+扁=1（爪＞0）的离心率是椭圆+y2=1的离心率

的竽倍，则G的长轴长为（）

A.1B.V3C.2D.2V3

22

【变式7.2］（23-24高二下・甘肃白银・期末）已知椭圆C的方程为会+卷=1,其中匕,「2,…,依次将椭圆。

的下半部分分成10等份，若F是椭圆的右焦点，则在川+岛/1+97日+俨8/1=（）

A.10B.16C.20D.12

【题型8椭圆中的最值问题】

22

【例&1］（24-25高二上.全国.随堂练习）设P为椭圆手+卷=1上的任意一点，&,尸2为其上、下焦点，则

IP&I•IPF2I的最大值是（）

A.4B.6C.9D.12

【例8.2］（23-24高二上.吉林长春.期末）已知B是椭圆］+/=1的上顶点，点”是椭圆上的任意一点，

则|MB|的最大值为（）

A.2B.2V2C.—D.-

22

【变式8.1］（23-24高二上.全国•期中）已知椭圆C：9+［=1的左焦点为F,P为C上的动点，点4（1,2a）,

则|PF|-|P*的最大值为（）

A.6-V2B.2V2C.3D.3+V2

【变式&2］（23-24高二上•江苏•阶段练习）已知点F为椭圆C：f+y2=i的右焦点，P为C上一点，Q为圆

4

M：久2+（y-3）2=1上一点，则|PQ|+|PF|的最大值为（）

A.6B.7C.4+2V3D.5+28

【题型9椭圆的应用问题】

【例9.1】（2024.广东韶关.模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢碎混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁

重、跨大的特点，它打通了曲江区、淡江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要

交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截

桥面为线段4B,且4B过椭圆的下焦点，AB=44米，桥塔最高点P距桥面110米，则此椭圆的离心率为（）

【例9.2】（2024.内蒙古赤峰.一模）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经

椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下面的题目：己知曲线C的方程为

22

［+9=1，其左、右焦点分别是a，F2,直线/与椭圆C切于点P,且|P&|=2,过点P且与直线/垂直

2516

的直线Y与椭圆长轴交于点则2M|=（）

D.1:4

【变式9.1］（23-24高二上•北京西城・期末）如图是一个椭圆形拱桥，当水面在/处时，在如图所示的截面里,

桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面2m,水面宽6m,那么当水位上升1m时，水面宽度为（）

6m

A.3V3mB.——mC.4V2mD.——m

23

【变式9.2］（2024・重庆・三模）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点

P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦

点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道HI绕月飞行，若用2cl和

2c2分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用2al和2a2分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则（）

A.ar—cr<a2—c2B.ar+cr<a2+c2

c.鱼〉2D.且〉经

a2。2

一、单选题

1.（23-24高三下.江西抚州.阶段练习）若P为椭圆C：]+《=1上一点，取,尸2为C的两个焦点，且|PF/2—

2

|PF2|=16,则|Pa|=（）

A.V21B.3V2

2.（2024•广西柳州•二模）已知椭圆C的焦点为尻（0,-1）,F2（。,1），过F2的直线与C交于尸，。两点,若|PFzl=

3IF2QI/PQI=：IQF1I，则椭圆C的标准方程为（）

A.%+比=1B.x2+—=1

3.（23-24高二下•河北张家口•开学考试）已知鼻，尸2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PRIPF?，

且IPFJIPF2I=2:5,则C的长轴长与焦距的比值为（）

A.2B—C.奥D.班

27729

4.（23-24高三下.重庆・期中）长为2的线段4B的两个端点2和B分别在x轴和y轴上滑动，则点4关于点B的

对称点M的轨迹方程为（）

A.—+^=1B.^+―=1c.—+^=1D.^+―=1

4242164164

5.（23-24高二上•陕西渭南.期末）如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心&为一个焦点且

离心率为;的椭圆，地球可看作半径为R的球体，近地点离地面的距离为r,则远地点离地面的距离/为（）

4

近远

地地

点点

2R

5r+

B.

r+2R

A.3

2R

5r+

―

r+2R

D5

3

*

2

2

P在

为点

分别

焦点

左、右

0）的

b>

（a>

=l

+a

M曝

知椭圆

试）已

学考

港•开

广西贵

三上•

25高

（24-

6.

）

为（

离心率

M的

4则

I=

J&Q

IP&

且&Q

点，

的中

P国

，Q为

M上

返

D.

C—

B.i

A.渔

2

2

3

3

1），