6.5相似三角形的性质

第6章图形的相似6.5

相似三角形的性质1相似三角形对应线段的比等于相似比2相似三角形周长的比等于相似比3相似三角形面积的比等于相似比的平方CONTENTS1新知导入试一试：根据所学知识，按要求完成下列内容.B′A′C′CAB（1）△ABC和△A′B′C′的相似比是_______；（2）△ABC的面积是_______；△A′B′C′的面积是_______.1:2312CONTENTS2课程讲授相似三角形对应线段的比等于相似比问题1如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高的比是多少？试着证明你的结论.BACC′A′B′

如图，分别作出△ABC

和△A'

B'

C'

的高AD和A'

D'

．DD'△ABC

和△A'

B'

C'

对应高的比是k已知：如图，△ABC和△A'B'C'中，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD和A'

D'是

△ABC

和△A'

B'

C'

的高．求证：AD和A'

D'的比是k.BACDC′A′B′D'证明：∵△ABC∽△A′B′C′∴∠B＝∠B'

，又∵△ABD和△A'B'D'都是直角三角形，

∴△ABD∽△A'B'D'，∴==k.

A'

D'ADABA'B'相似三角形对应线段的比等于相似比相似三角形对应线段的比等于相似比问题2如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，类比对应高的关系，说说它们对应中线、对应角平分线的比是多少？BACC′A′B′对应中线、角平分线的比也等于相似比k.

相似三角形对应线段的比：相似三角形对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线）的比等于相似比.相似三角形对应线段的比等于相似比例1如图，AF是△ABC的高，点D、E分别在AB、AC上，且DE//BC，DE交AF于点G.设DE=6，BC=10，GF=5，求点A到DE、BC的距离.相似三角形对应线段的比等于相似比DAEFCBG解：由DE//BC，∠AFB=90°，得∠AGD=90°，即AG⊥DE.于是，AG、AF的长分别为点A到DE、BC的距离.在△ADE和△ABC中，∵DE//BC，∴

△ADE∽△ABC.∴(相似三角形对应线段的比等于相似比)，即.由此，得AG=7.5，AF=AG+5=12.5，即点A到DE、BC的距离分别为7.5、12.5.练一练：若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应角平分线的比为（）A.3∶2B.3∶5C.9∶4D.4∶9相似三角形对应线段的比等于相似比A相似三角形周长的比等于相似比问题3如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们的周长比是多少？BACC′A′B′相似三角形的周长比等于相似比k.相似三角形周长的比等于相似比问题4根据所学知识，试着证明你的猜想.已知：如图，△ABC和△A'B'C'中，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k．求证：△ABC和△A'B'C'的周长比是k.BACC′A′B′证明：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，B'C'ABA'B'BC==C'A'CA=k∴AB＝kA'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，∴∴AB+BC+CAA'B'+B'C'+C'A'=kA'B'+kB'C'+kC'A'A'B'+B'C'+C'A'=k

归

纳：相似三角形周长的比等于相似比．类似地，我们还可以得到：相似多边形周长的比等于相似比．

相似三角形周长的比等于相似比练一练：若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的周长为15cm，则△A′B′C′的周长为（）A.18cmB.20cmC.cmD.cm

相似三角形周长的比等于相似比B相似三角形面积的比等于相似比的平方问题5我们已经知道相似三角形对应的高等于相似比，那么相似三角形的面积比等于多少？BACC′A′B′DD'312相似三角形面积的比等于相似比的平方由前面的结论，我们有BACDC′A′B′D'=k·k=k2＝

归

纳：相似三角形面积的比等于相似比的平方．类似地，我们还可以得到：相似多边形面积的比等于相似比的平方．

相似三角形面积的比等于相似比的平方例2在比例尺为1：500的地图上，测得一个三角形地块ABC的周长为12cm，面积为6cm2，求这个地块的实际周长和面积．相似三角形面积的比等于相似比的平方解：设实际三角形地块A′B′C′，那么△ABC∽△A′B′C′，且相似比∴∴△A′B′C′的周长＝12×500=6000(cm)=60(m)，△A′B′C′的面积＝6×5002=1500000(cm2)=150(m2).答：这个三角形地块的实际周长为60m，面积为150m2.练一练：已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（）A.1∶1B.1∶3C.1∶6D.1∶9

D相似三角形面积的比等于相似比的平方CONTENTS3随堂练习1.将一个三角形改成与它相似的三角形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的（）A.9倍B.3倍C.81倍D.18倍B2.两个相似三角形的最短边长分别为5cm和3cm，它们的周长之差为12cm，那么大三角形的周长为（）A.14cmB.16cmC.18cmD.30cmD3.如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCB的面积比为（）A.B.C.D.D4.已知△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，CD=4cm，C′D′=10cm，AE是△ABC的一条高，AE=4.8cm，求△A′B′C′中对应高A′E′的长.解：∵△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，且AE，A′E′是对应的高线，∴A′E′=12cm.=，∴

AE

CDA′E′C′D′10即

4.8

4=，A′E′5.已知△ABC∽△DEF,△ABC和△DEF的周长分别为20cm和25cm，且BC=5cm,DF=4cm，求EF和AC的长.解：∵相似三角形周长的比等于相似比，∴=，

EF

25BC20∴EF=×BC=×5=（cm）.4

54

5425同理可得，

=，

EF

20

25DF∴EF=×DF=×4=（cm）.54

54

5

16

6.如图，在平行四边形ABCD中，AE∶EB=1∶2.（1）求△AEF与△CDF的周长比；（2）如果S△AEF=6cm2，求S△CDF的值.解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴△CDF∽△AEF.∵AE∶EB=1∶2，∴AE∶AB=1∶3,∴AE∶CD=1∶3,∴△AEF与△CDF的周长比为1∶3.6.如图，在平行四边形ABCD中，AE∶EB=1∶2.（1）求△AEF与△CDF的周长比；（2）如果S△AEF=6cm2，求S△CDF的值.∴S△CDF=9S△AEF=54cm2.解：（2）∵△CDF∽△AEF，