2024-2025学年下学期高二数学第四章B卷

第41页（共41页）第四章B卷一．选择题（共8小题）1．已知{an}是等比数列，前n项和为Sn，且满足a1+a4=94，S6＝9S3，则a1a2+a2a3+…A．16(1-4-nC．124(4n2．设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2an+n2-4n+2，且ar，as的等差中项为11（A．4 B．8 C．10 D．123．已知数列{an}满足an=sin(nπ2+π6A．-32 B．-12 C．34．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第n层有an个球，则数列{1anA．4021 B．382 C．2021 5．已知斐波那契数列{Fn}满足F1＝F2＝1，Fn＝Fn﹣1+Fn﹣2（n≥3，n∈N*）．卢卡斯数列{Ln}满足L1＝1，且Ln+1＝Fn+Fn+2（n∈N*），则F2025＝（）A．25L2022+1C．15L2024+6．对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋科学家沈括首创的“隙积术”就与高阶等差级数求和有关．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第n层货物的个数为an，则a19＝（）A．210 B．209 C．211 D．2077．古典吉他的示意图如图所示．A0，B分别是上弦枕、下弦枕，Ai（i＝1，2，…，19）是第i品丝．记ai为Ai与Ai﹣1的距离，Li为Ai与A0的距离，且满足ai=xL-Li-1M，i＝1，2，…，19，其中xL为弦长（A0与BA．数列a1，a2，…，a19是等差数列，且公差为-XB．数列a1，a2，…，a19是等比数列，且公比为M-C．数列L1，L2，…，L19是等比数列，且公比为2MD．数列L1，L2，…，L19是等差数列，且公差为(8．记首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，且{Snn}是以2为公差的等差数列，则数列A．100101 B．51100 C．49100 二．多选题（共4小题）（多选）9．下列结论错误的是（）A．已知{an}为一个数列，那么对任意正整数n，均有an＝Sn﹣Sn﹣1 B．对于任意实数a、b，一定存在实数c，使得c为a、b的等比中项 C．若数列{an}的前n项和Sn=n2+bn+D．若数列{an}是等差数列，则数列{3an}（多选）10．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7＜S8，S8＝S9，S9＞S10，则（）A．a9＝0 B．数列{an}是递减数列 C．S9＜0 D．S9＝S12（多选）11．若数列{an}满足a1=12，an-an+1-2anan+1=0(n∈NA．12025B．{Sn}是等比数列 C．数列{1an-bD．b（多选）12．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a10＝9，S10＝0，则（）A．{|an|}的前10项和为50 B．{an}是递增数列 C．当n＝4时，Sn取得最小值 D．若Sn＞0，则n的最小值为11三．填空题（共5小题）13．在数列{an}中，a1=1，an+1-an14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2，令数列{1anan+1}的前n项和为Tn，则T15．已知数列{an}满足an•an+1•an+2=-13，若a1＝﹣1，a2=19，则{an}的前n项积的最大值为16．已知等差数列{an}中，前2m+1项和为77，这2m+1项中的偶数项之和为33，且a2m+1＝2，则数列{an}的通项公式an＝．17．设正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an+1=1Sn+1+S四．解答题（共5小题）18．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an（1）求数列{an}的通项公式．（2）设bn＝（2n+1）an，求数列{bn}的前n项和Tn．（3）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．19．已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝log2an•log2an+1，求数列{1bn}的前202520．已知数列{an}满足：12a1+122a2+⋯+12n（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：{1bn}是等差数列，并求{（3）设cn=1an⋅bn，求数列{c21．已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列且公比大于0，a1＝2，b1＝3，2a3＝5（a5﹣a4），6b3＝b5﹣b4．（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）设cn＝（﹣1）n﹣1（16nan⋅an+1-1bn）（n∈N*），记数列{c22．已知数列{an}中，a1＝2，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝n2+n．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}总满足bn=1an2-1，求数列{bn}

第四章B卷参考答案与试题解析题号12345678答案CDCACBBD一．选择题（共8小题）1．已知{an}是等比数列，前n项和为Sn，且满足a1+a4=94，S6＝9S3，则a1a2+a2a3+…A．16(1-4-nC．124(4n【考点】求等比数列的前n项和；等比数列通项公式的应用．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】C【分析】根据等比数列的通项公式和求和公式，求出a1和q，再根据等比数列的性质，即可求出a1a2+a2a3+…+anan+1的值．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，因为S6＝9S3，所以a1+a2+a3+a4+a5+a6＝9（a1+a2+a3），所以a4+a5+a6＝8（a1+a2+a3），所以q3＝8，解得q＝2，因为a1+a4=所以an=1所以a1故选：C．【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属于中档题．2．设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2an+n2-4n+2，且ar，as的等差中项为11（A．4 B．8 C．10 D．12【考点】数列递推式；等差中项及其性质．【专题】函数思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】D【分析】由已知可得数列{an﹣2n+1}是常数列{0}，求出数列{an}的通项公式，再由等差数列的性质列式求解．【解答】解：由Sn=2得a1＝S1＝2a1﹣1，则a1＝1．当n≥2时，有Sn-①﹣②得：an﹣2an﹣1＝﹣2n+5，n≥2，∴an﹣2n+1＝2[an﹣1﹣2（n﹣1）+1]，n≥2，∵a1﹣2×1+1＝0，则数列{an﹣2n+1}是常数列{0}，则an﹣2n+1＝0，可得an＝2n﹣1，由ar，as的等差中项为11，可得2r﹣1+2s﹣1＝22，则r+s＝12．故选：D．【点评】本题考查数列递推式，考查数列通项公式的求法，考查运算求解能力，是中档题3．已知数列{an}满足an=sin(nπ2+π6A．-32 B．-12 C．3【考点】数列的求和．【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；三角函数的求值；运算求解．【答案】C【分析】计算数列{an}的前几项，推得数列{an}是最小正周期为4的数列，且一个周期的和为0，可得所求和．【解答】解：数列{an}满足an可得a1＝sin2π3=32，a2＝sin7π6=-12，a3＝sin5π3=-32，a4＝即有数列{an}是最小正周期为4的数列，且一个周期的和为0，可得S2025＝506×（a1+a2+a3+a4）+a1＝0+3故选：C．【点评】本题考查数列的求和，求得数列的周期性是解题的关键，考查运算能力和推理能力，属于中档题．4．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第n层有an个球，则数列{1anA．4021 B．382 C．2021 【考点】数列的求和；归纳推理．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】A【分析】由题意可得：a1＝1，a2＝3＝1+2，a3＝6＝1+2+3，……，可得an＝1+2+3+…+n，利用求和公式即可得出an，再利用裂项求和即可得出结论．【解答】解：由题意可得：a1＝1，a2＝3＝1+2，a3＝6＝1+2+3，……，∴an＝1+2+3+…+n=n∴1an=2∴数列{1an}的前20项和为2×[（1-12）+（12-13）+…+（1故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知斐波那契数列{Fn}满足F1＝F2＝1，Fn＝Fn﹣1+Fn﹣2（n≥3，n∈N*）．卢卡斯数列{Ln}满足L1＝1，且Ln+1＝Fn+Fn+2（n∈N*），则F2025＝（）A．25L2022+1C．15L2024+【考点】数列递推式．【专题】方程思想；转化法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维．【答案】C【分析】由Ln+1＝Fn+Fn+2（n∈N*），推得L2024＝F2023+F2025，L2026＝F2025+F2027，再由Fn＝Fn﹣1+Fn﹣2（n≥3，n∈N*），推得F2027＝3F2025﹣F2023，解方程可得结论．【解答】解：由Ln+1＝Fn+Fn+2（n∈N*），可得L2024＝F2023+F2025，①L2026＝F2025+F2027，F2027＝F2025+F2026＝F2025+F2024+F2025＝2F2025+F2023+F2022＝2F2025+F2025﹣F2024+F2022＝3F2025﹣F2023，所以L2026＝4F2025﹣F2023，②①+②可得L2024+L2026＝5F2025，则F2025=15L2024+1故选：C．【点评】本题考查数列的递推式的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．6．对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋科学家沈括首创的“隙积术”就与高阶等差级数求和有关．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第n层货物的个数为an，则a19＝（）A．210 B．209 C．211 D．207【考点】等比数列的通项公式．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】B【分析】根据题意可得出：（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+...+（a19﹣a18）＝3+4+...+20，然后即可得解．【解答】解：根据题意得：a2﹣a1＝3，a3﹣a2＝4，…，a19﹣a18＝20，且a1＝2，∴（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+...+（a19﹣a18）＝a19﹣2＝3+4+...+20=18×(3+20)∴a19＝209．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式，是中档题．7．古典吉他的示意图如图所示．A0，B分别是上弦枕、下弦枕，Ai（i＝1，2，…，19）是第i品丝．记ai为Ai与Ai﹣1的距离，Li为Ai与A0的距离，且满足ai=xL-Li-1M，i＝1，2，…，19，其中xL为弦长（A0与BA．数列a1，a2，…，a19是等差数列，且公差为-XB．数列a1，a2，…，a19是等比数列，且公比为M-C．数列L1，L2，…，L19是等比数列，且公比为2MD．数列L1，L2，…，L19是等差数列，且公差为(【考点】数列的应用；等差数列的性质；等比数列的性质．【专题】转化思想；定义法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．【答案】B【分析】由题意，可得XL＝a1M，进而推得aiM＝a1M﹣（a1+a2+⋯+ai﹣1），在此基础上进行变换，可得ai【解答】解析：取i＝1，依题意a1=XL-L0M又Li＝a1+a2+⋯+ai，从而ai即aiM＝a1M﹣（a1+a2+⋯+ai﹣1），所以ai﹣1M＝a1M﹣（a1+a2+⋯+ai﹣2），相减得aiM﹣ai﹣1M＝﹣ai﹣1，即ai所以，数列a1，a2，…，a19是以a1＝|A0A1|为首项，公比为q=故选：B．【点评】本题考查数列的应用，属难题．8．记首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，且{Snn}是以2为公差的等差数列，则数列A．100101 B．51100 C．49100 【考点】等差数列的性质．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】D【分析】利用等差数列的性质求出Sn，再利用裂项相消法求和即可．【解答】解：因为首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，所以a1＝S1＝1，令bn=S由题意得{bn}是以2为公差的等差数列，故bn＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，即Sn得到Sn=2n其前100项和为12[(1-1故选：D．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，裂项法求数列的前n项和的方法，是中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．下列结论错误的是（）A．已知{an}为一个数列，那么对任意正整数n，均有an＝Sn﹣Sn﹣1 B．对于任意实数a、b，一定存在实数c，使得c为a、b的等比中项 C．若数列{an}的前n项和Sn=n2+bn+D．若数列{an}是等差数列，则数列{3an}【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】ABC【分析】结合数列和与项的递推关系检验选项A；结合等比数列的性质检验选项B；结合等差数列的求和公式检验选项C；结合等差数列与等比数列的定义检验选项D．【解答】解：当n＝1时，A显然错误；当a＝﹣1，b＝1时，B显然错误；当c≠0时，C显然错误；若数列{an}是等差数列，则an﹣an﹣1＝d，所以n≥2时，3an3an-1=3a故选：ABC．【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列的综合应用，属于中档题．（多选）10．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7＜S8，S8＝S9，S9＞S10，则（）A．a9＝0 B．数列{an}是递减数列 C．S9＜0 D．S9＝S12【考点】等差数列前n项和的性质；求等差数列的前n项和．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】AB【分析】由题意可得数列的前8项为正数，第9项为0，从第10项开始为负数，各个选项验证可得答案．【解答】解：∵S7＜S8，S8＝S9＞S10，∴a8＞0，a9＝0，a10＜0，∴A正确，∵d＝a10﹣a9＜0，∴B正确，∵数列的前8项为正数，第9项为0，从第10项开始为负数，∴S9＞0，∴C不正确，∵S12﹣S9＝a12+a11+a10＝3a11＜0，∴D错误．故选：AB．【点评】本题考查等差数列的求和公式，等差数列的单调性，属中档题．（多选）11．若数列{an}满足a1=12，an-an+1-2anan+1=0(n∈NA．12025B．{Sn}是等比数列 C．数列{1an-bD．b【考点】数列递推式；等比数列的概念与判定；数列求和的其他方法．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】CD【分析】依题意可得{1an}是首项为2，公差为2的等差数列，即可求出{an}的通项公式，再由bn=S1，n=1Sn-Sn-【解答】解：若数列{an}满足a1=1所以1an+1所以{1an}是首项为2，公差为则an=12n数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝2bn﹣1，可得，当n＝1时S1＝2b1﹣1，解得b1＝1，又n≥2时，Sn﹣1＝2bn﹣1﹣1，则2bn﹣2bn﹣1＝bn，整理得bn＝2bn﹣1，所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，则bn则Sn=2n-1，所以Sn+1由1a所以数列{1an-∁n=(2+4⋯+2n由bnan=n×2n，数列{bnan}的前n项和Tn所以2T所以-T所以Tn=(n-1)×2n+1+2，即b1a1+b故选：CD．【点评】本题考查数列的通项与求和的关系、等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的错位相减法求和、分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．（多选）12．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a10＝9，S10＝0，则（）A．{|an|}的前10项和为50 B．{an}是递增数列 C．当n＝4时，Sn取得最小值 D．若Sn＞0，则n的最小值为11【考点】等差数列前n项和的性质；等差数列通项公式的应用．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】ABD【分析】根据已知条件，结合等差数列的公式，求出首项和公差，再结合等差数列的前n项和公式，即可求解．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，a10＝9，S10＝0，则a1+9d=910an＝﹣9+2（n﹣1）＝2n﹣11，故{|an|}的前10项和为：9+7+5+3+1+1+3+5+7+9＝50，A对；Sn＝na1+n(n-1)2d＝n2﹣10n＝（n﹣当n＝5时，Sn取得最小值﹣25，故C错误；Sn＞0，则n2﹣10n＞0，解得n＞10或n＜0（舍去），故Sn＞0，则n的最小值为11，故D正确．故选：ABD．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式，属于中档题．三．填空题（共5小题）13．在数列{an}中，a1=1，an+1-an=2n【考点】数列递推式．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】2n﹣1．【分析】根据给定条件，利用累加法和等比数列的求和公式，即可得到所求通项公式．【解答】解：由题意可得，当n≥2时，a=1-2n1-2=2所以an故答案为：2n﹣1．【点评】本题考查数列的递推式和等比数列的求和二公司，考查转化思想和运算能力，属于中档题．14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2，令数列{1anan+1}的前n项和为Tn，则T【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】20254051【分析】由数列的通项与求和的关系，推得an＝2n﹣1，再由数列的裂项相消求和，可得所求和．【解答】解：数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2，可得a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，对n＝1也成立，则1ana可得T2025=12（1-13+13-15故答案为：20254051【点评】本题考查数列的通项与求和的关系，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．15．已知数列{an}满足an•an+1•an+2=-13，若a1＝﹣1，a2=19，则{an}的前n项积的最大值为【考点】数列递推式．【专题】函数思想；转化法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．【答案】13【分析】由递推关系可得数列{an}是以3为周期的周期数列，进而得到数列{Tn}是以3为周期的周期数列，由此可得Tn最大值．【解答】解：由an•an+1•an+2=-13，得：an+1•an+2•an两式相除得：an+3an=1，即an∴数列{an}是以3为周期的周期数列，由a1＝﹣1，a2=19，得则a1＝﹣1，a2=19，a3＝3，a4＝﹣1，a5=19，a记数列{an}的前n项积为Tn，∴（Tn）max=T故答案为：13【点评】本题主要考查数列的递推式，考查转化能力，属于中档题．16．已知等差数列{an}中，前2m+1项和为77，这2m+1项中的偶数项之和为33，且a2m+1＝2，则数列{an}的通项公式an＝23﹣3n．【考点】由等差数列的前n项和求解数列；等差数列的性质；等差数列的通项公式．【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】23﹣3n．【分析】由已知结合等差数列的性质及求和公式即可求解．【解答】解：等差数列{an}中，前2m+1项和为77，这2m+1项中的偶数项之和为33，则奇数项的和为44，则a1+a3+…+a2m+1＝（m+1）am+1＝44，a2+a4+…+a2m＝mam+1＝33，两式相除可得，m+1m=43，即m＝3，因为a2m+1＝a7＝2，则d=a7数列{an}的通项公式an＝a4﹣3（n﹣4）＝23﹣3n．故答案为：23﹣3n．【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．17．设正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an+1=1Sn+1+Sn【考点】数列递推式．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】n+3-【分析】由an+1＝Sn+1﹣Sn，推得（Sn+1+1）2﹣（Sn+1）2＝1，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求．【解答】解：正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an又an+1＝Sn+1﹣Sn，则（Sn+1﹣Sn）（Sn+1+Sn+2）＝1，可得Sn+12-Sn2+2Sn化为（Sn+1+1）2﹣（Sn+1）2＝1，由于an＞0，可得Sn＞0，则数列{（Sn+1）2}是公差为1的等差数列，则（Sn+1）2＝（S1+1）2+n﹣1＝4+n﹣1＝n+3，即有Sn+1=n+3，可得Sn=故答案为：n+3-【点评】本题考查数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．四．解答题（共5小题）18．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an（1）求数列{an}的通项公式．（2）设bn＝（2n+1）an，求数列{bn}的前n项和Tn．（3）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．【考点】数列递推式；错位相减法．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】（1）an＝2n；（2）Tn=(2n-1)×2n+1+2；（3）不存在符合条件的3项【分析】（1）由题可得a2＝a1+2，a3＝a1+a2+2，设{an}的公比为q，列出关于a1，q的方程，求解即可得到{an}的公通项公式．（2）利用错位相减求和直接求解即可．（3）由等差数列可得dn=2n+1-2nn+1=2nn+1，设m＝k﹣θ，p＝k+θ【解答】解：（1）由an+1＝Sn+2可得，a2＝S1+2＝a1+2，a3＝S2+2＝a1+a2+2，设等比数列{an}的公比为q（q≠0），则有a1q=所以an（2）由（1）可得，bn则Tn=3×2+5×2则2Tn①﹣②可得，-＝2+2×（2+22+23+⋯+2n）﹣（2n+1）×2n+1=2+2×2×(1-2n)1-2-(2n+1)×2n所以Tn（3）由（1）知，an+1=设m＝k﹣θ，p＝k+θ，则dm=2k-令(2即22显然只有当θ＝0时，等号成立，所以不存在符合条件的3项dm，dk，dp．【点评】本题主要考查等比数列的性质与通项公式，错位相减求和，等差数列的性质，等差数列的通项公式，指数与指数幂的运算，属于中档题．19．已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝log2an•log2an+1，求数列{1bn}的前2025【考点】数列的求和．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】（1）an（2）S2025【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q，由条件结合等比数列性质及通项公式可求q，再求a1，由此可得数列{an}的通项公式；（2）由（1）结合条件求bn，1bn，再【解答】解：（1）等比数列{an}的各项均为正数，设公比为q，q＞0，由2a则a4解得q＝2，所以2a1+2a1＝8，解得a1＝2．所以an（2）因为bn所以1bSn所以S2025【点评】本题考查等比数列的通项公式和数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20．已知数列{an}满足：12a1+122a2+⋯+12n（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：{1bn}是等差数列，并求{（3）设cn=1an⋅bn，求数列{c【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】（1）an（2）证明见解析；bn（3）Tn【分析】（1）利用作差法，结合数列的递推式求得an，并检验即可得解；（2）利用“取倒数法”证得{1（3）利用错位相减法即可得解．【解答】解：（1）数列{an}满足12可得，当n＝1时，12a1=1，则a当n≥2时，12两式相减，得12na显然上式对n＝1也成立，综上，an（2）证明：数列{bn}满足b1＝1，bn知bn≠0，且1b两边取倒数可得1bn+1所以{1bn}是首项为则1bn=1+2(（3）由an＝2n，bn=1得cn则Tn所以12两式相减，得1=12+所以Tn【点评】本题考查数列的递推式和等差数列、等比数列的通项公式与求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21．已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列且公比大于0，a1＝2，b1＝3，2a3＝5（a5﹣a4），6b3＝b5﹣b4．（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）设cn＝（﹣1）n﹣1（16nan⋅an+1-1bn）（n∈N*），记数列{c【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】（1）an＝4n﹣2，bn＝3n；（2）Sn=2【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差、公比，即可得到所求；（2）由数列的分组求和，结合数列的并项求和、等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解：（1）{an}为等差数列，设公差为d，{bn}为等比数列且公比q大于0，由a1＝2，b1＝3，2a3＝5（a5﹣a4），6b3＝b5﹣b4，可得2（2+2d）＝5d，18q2＝3q3（q﹣1），解得d＝4，q＝3，则an＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2，bn＝3n；（2）cn＝（﹣1）n﹣1（16nan⋅an+1-1bn）＝（﹣1）n﹣1[16n(4n-2)(4n+2)-当n为偶数时，数列{cn}的前n项和Sn＝1+13-（13+15）+...﹣（12n-1+1当n为奇数时，Sn＝Sn﹣1+2n-22n综上，可得Sn=2【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的分组求和，考查分类讨论思想和运算能力，属于中档题．22．已知数列{an}中，a1＝2，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝n2+n．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}总满足bn=1an2-1，求数列{bn}【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】（1）an＝2n，n∈N*；（2）Tn=n【分析】（1）由数列的通项与求和的关系，化简可得所求通项公式；（2）由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．【解答】解：（1）数列{an}中，a1＝2，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝n2+n，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）＝2n，上式对n＝1也成立，所以an＝2n，n∈N*；（2）数列{bn}总满足bn=1an则数列{bn}的前n项和Tn=12（1-13+13-15【点评】本题考查数列的通项与求和的关系，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．

考点卡片1．等差数列的性质【知识点的认识】等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1+d2n（n﹣1）或Sn=n(a1+an)2（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝a等差数列的性质（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有as+at＝2ap；（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．【解题方法点拨】例：已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．（1）求此数列{an}的通项公式；（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣4．（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．∴268是此数列的第136项．这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．2．等差中项及其性质【知识点的认识】等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1+d2n（n﹣1）或Sn=n(a1+an)2（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝a等差数列的性质（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有as+at＝2ap；（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．【解题方法点拨】﹣定义：等差数列中的任意三项an﹣1，an，an+1满足an﹣性质：利用等差中项的性质求解数列相关问题．【命题方向】常见题型包括利用等差中项的定义和性质求解数列中的项，结合具体数列进行分析．设a＞0，b＞0，若1是4a与2b的等差中项，则2a+1解：a＞0，b＞0，1是4a与2b的等差中项，∴4a+2b＝2，∴2a+b＝1，∴2a+1b=（2a+1b）（2a+b当且仅当2a则2a+1故答案为：9．3．等差数列的通项公式【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为am，则第n项为an＝am+（n﹣m）d．【解题方法点拨】eg1：已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2+1，求数列{an}的通项公式，并判断{an}是不是等差数列解：当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，∴an=2把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，∴{an}不是等差数列考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中an的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．eg2：已知等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为解：∵等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，解得a＝2．∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，∴数列an是以1为首项，4为公差的等差数列，∴an＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．故答案：4n﹣3．这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可．【命题方向】求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点．4．等差数列通项公式的应用【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为am，则第n项为an＝am+（n﹣m）d．【解题方法点拨】﹣代入计算：将具体问题中的n值代入通项公式，计算数列的具体项．﹣推导公式：根据实际问题推导出数列的通项公式．﹣综合应用：将通项公式与其他数列性质结合，解决复杂问题．【命题方向】常见题型包括利用等差数列的通项公式计算具体项，推导数列公式，解决实际问题．已知数列{an}满足a1＝5，an+1＝an+3，若an＝20，则n等于_____．解：∵an+1＝an+3，an+1﹣an＝3，∴数列{an}为等差数列，且d＝3，∵a1＝5，an＝20，∴20＝5+（n﹣1）×3，∴n＝6，5．求等差数列的前n项和【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S【解题方法点拨】﹣代入计算：将具体问题中的n值代入前n项和公式，计算数列的前n项和．﹣推导公式：根据实际问题推导出数列的前n项和公式．﹣综合应用：将前n项和公式与其他数列性质结合，解决复杂问题．【命题方向】常见题型包括利用等差数列的前n项和公式计算具体项，推导数列和公式，解决实际问题．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝a3，a4＝5，则Sn＝_____．解：设等差数列{an}的公差为d，∵S3＝a3，∴a1+a2＝a1+a1+d＝0，又∵a4＝5，∴a1+3d＝5，解得，a1＝﹣1，d＝2，故Sn＝n•a1+n(n-1)2•2＝故答案为：n2﹣2n．6．由等差数列的前n项和求解数列【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S【解题方法点拨】﹣设未知数：假设通项公式，利用前n项和公式求解参数．﹣递推关系：利用等差数列的递推关系和前n项和公式推导出通项公式．﹣综合应用：将前n项和公式与通项公式结合，解决复杂问题．【命题方向】常见题型包括利用等差数列的前n项和公式反向推导通项公式，求解数列的具体项．在等差数列{an}中，记Sn为数列{an}的前n项和，已知：a2+a5＝﹣10，S5＝﹣30．求数列{an}的通项公式．解：设等差数列{an}的公差为d，∵a2+a5＝﹣10，S5＝﹣30，∴2a1+5故an＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣12，故数列{an}的通项公式为：an＝2n﹣12．7．等差数列前n项和的性质【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S【解题方法点拨】等差数列的前n项和具有许多重要性质，如递增性、递减性、与通项公式的关系等．﹣性质分析：分析等差数列的前n项和的性质，如递增性、递减性等．﹣公式推导：根据等差数列的定义和前n项和公式，推导出数列的性质．﹣综合应用：将前n项和的性质与其他数列性质结合，解决复杂问题．【命题方向】常见题型包括利用等差数列的前n项和的性质分析数列的递增性、递减性，结合具体数列进行分析．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝﹣7，S3＝﹣15，则Sn的最小值为_____．解：S3＝3a2＝﹣15，解得a2＝﹣5，故等差数列{an}的公差d＝a2﹣a1＝﹣5﹣（﹣7）＝2，∵a4＝a1+3d＝﹣1，a5＝a1+4d＝1，a3＝a2+d＝﹣5+2＝﹣3，∴当n＝4时，Sn取得最小值S4＝a1+a2+a3+a4＝﹣7﹣5﹣3﹣1＝﹣16．故答案为：﹣16．8．等比数列的性质【知识点的认识】等比数列（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1时，an为常数列．等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，an＝a1qn﹣1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，Sn=a1(1-qn)1-q，表示的是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有am•a等比数列的性质（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．（4）单调性：a1＞0q＞1或a1＜00＜q＜1⇔{an}是递增数列；a1＞00＜q＜1或⇔a1【解题方法点拨】例：2，x，y，z，18成等比数列，则y＝．解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，则18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案为：6．本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．9．等比数列的概念与判定【知识点的认识】等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1时，an为常数列．【解题方法点拨】﹣定义：对于等比数列an，如果存在常数r使得an+1a﹣判定：可以通过计算相邻两项的比值是否相同来判定是否为等比数列．﹣公式：通项公式为an=a1⋅r【命题方向】常见题型包括给出数列的若干项，判断是否为等比数列，以及求解公比和通项公式．下面四个数列中是等比数列的为_____．（填序号）①1，1，2，4，8，16，32，64；②在数列{an}中，已知a2a1③常数列a，a，⋯，a，⋯；④在数列{an}中，an+1an=q（q为常数，且q≠0），其中解：对于①，∵11≠21，∴由等比数列的定义，知1，1，2，4，8，16，32，对于②，在数列{an}中，由a2a1=2，∴不能得到数列{an}是等比数列，故②错误；对于③，常数列a，a，⋯，a，⋯中，当a＝0时，该数列是等比数列，故③错误；对于④，在数列{an}中，an+1an=q（q为常数，且q≠0），其中由等比数列的定义，得数列{an}是等比数列，故④正确．故答案为：④．10．等比数列的通项公式【知识点的认识】1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1•qn﹣13．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．G2＝a•b（ab≠0）4．等比数列的常用性质（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．（4）单调性：a1＞0q＞1或a1＜00＜q＜1⇔{an}是递增数列；a1＞00＜q＜1或a1＜11．等比数列通项公式的应用【知识点的认识】1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1•qn﹣13．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．G2＝a•b（ab≠0）4．等比数列的常用性质（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．（4）单调性：a1＞0q＞1或a1＜00＜q＜1⇔{an}是递增数列；a1＞00＜q＜1或a1＜【解题方法点拨】﹣代入计算：将具体问题中的n值代入通项公式，计算数列的具体项．﹣推导公式：根据实际问题推导出数列的通项公式，并应用于实际问题中．﹣综合应用：将通项公式与其他数列性质结合，解决复杂问题．【命题方向】常见题型包括利用等比数列的通项公式计算具体项，推导数列公式，解决实际问题．已知等比数列{an}的通项公式an＝3n+2（n∈N*），则该数列的公比是_____．解：∵等比数列{an}的通项公式为an＝3n+2（n∈N*），∴该数列的公比q=a212．求等比数列的前n项和【知识点的认识】1．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn=a2．等比数列前n项和的性质公比不为﹣1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．【解题方法点拨】﹣代入计算：将具体问题中的n值和公比r代入前n项和公式，计算数列的前n项和．﹣公式推导：根据实际问题推导出等比数列的前n项和公式．﹣综合应用：将前n项和公式与其他数列性质结合，解决复杂问题．【命题方向】常见题型包括利用等比数列的前n项和公式计算具体和，推导数列和公式，解决实际问题．设等比数列{an}满足a1+a2＝﹣1，a1﹣a3＝﹣3，则S6＝_____．解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，由于a1+a2＝﹣1，a1﹣a3＝﹣3，则a1+a故S613．数列的应用【知识点的认识】1、数列与函数的综合2、等差数列与等比数列的综合3、数列的实际应用数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．14．数列的求和【知识点的认识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+12n（n﹣1）d或S②等比数列前n项和公式：③几个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．（3）裂项相消法：适用于求数列{1anan+1}的前n项和，其中{an}为各项不为0（4）倒序相加法：推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．（5）分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．【解题方法点拨】典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn=1an2-1（n∈N*），求数列{bn}分析：形如{1等差×11×3=1=50解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴a1+2d=72a1+10d=26∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn=3n+n(n（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn=1∴Tn=1即数列{bn}的前n项和Tn=n点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．【命题方向】数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．15．错位相减法【知识点的认识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等：错位相减法：适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．【解题方法点拨】﹣错位相减：将数列{an×bn}的项乘以等比数列的公比q，再与数列{an×bn}的项进行相减，得到简化的公式．﹣化简公式：通过错位相减法化简求和公式，特别是等差和等比数列的求和．【命题方向】常见题型包括利用错位相减法计算等差或等比数列的前n项和，结合具体数列进行分析．求和：1×21+2×22+3×23+…+n×2n．解：设Sn＝1×21+2×22+3×23+…+n×2n，∴2Sn＝1×22+2×23+3×24+…+（n﹣1）×2n+n×2n+1，∴﹣Sn＝21+22+23+…+2n﹣n•2n+1=2(1-2n)1-2-n⋅2n+1＝（1﹣n）•2n+1﹣2，∴Sn16．数列求和的其他方法【知识点的认识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+12n（n﹣1）d或S②等比数列前n项和公式：③几个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．（3）裂项相消法：适用于求数列{1anan+1}的前n项和，其中{an}为各项不为0（4）倒序相加法：推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．（5）分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．【解题方法点拨】除了常用的方法外，还有其他数列求和的技巧，如变换法、分组法等．﹣变换法：通过对数列进行变换，使其成为已知形式的数列．﹣分组法：将数列项分组，利用分组结果求和．﹣应用：适用于处理复杂的数列和问题，特别是涉及多个数列项的求和．【命题方向】常见题型包括利用其他方法计算数列的前n项和，结合具体数列进行分析．已知数列{an}，Sn为{an}的前n项和，其中a1＝﹣1010，an+1=an+3，n为奇数解：因为an+1=a∴a1＝﹣1010，a2＝a1+3＝﹣1007，a3＝a2﹣1＝﹣1008，a4＝a3+3＝﹣1005，a5＝a4﹣1＝﹣1006，a6＝a5+3＝﹣1003，a7＝a6﹣1＝﹣1004，……，∴a2+a3＝﹣2015，a4+a5＝﹣2011，a6+a7＝﹣2007，……，令bn＝a2n+a2n+1，则数列{bn}是以﹣2015为首项，4为公差的等差数列，设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1010＝1010×（﹣2015）+1010×10092又∵T1010＝a2+a3+a4+a5+……+a2020+a2021，∴S2021＝T1010+a1＝3030﹣1010＝2020．17．数列递推式【知识点的认识】1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an=s在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．【解题方法点拨】数列的通项的求法：（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an=sn-sn-1;;n≥2（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，=f（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知an+1an=f（n）求an，用累乘法：an=（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．②形如an=a（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．18．等差数列与等比数列的综合【知识点的认识】1、等差数列的性质（1