广西北海市海城区2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷（含答案）

广西北海市海城区2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B．C． D．2．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．8 B．x2 C．9a D．3．如果a−3有意义，则a的取值范围是（）A．a≥0 B．a≤0 C．a≥3 D．a≤34．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（）A．120° B．90° C．60° D．30°5．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝20°，则∠ACD＝（）A．15° B．20° C．25° D．30°6．将一元二次方程（x-2）（x+3）＝12化为一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数），其中c的值是（）A．-18 B．-6 C．6 D．187．下列图各组数中，是勾股数的是（）A．6，8，12 B．0.6，0.8，1 C．8，15，16 D．9，12，158．若将方程x2-6x-5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a+b的值是（）A．-17 B．-11 C．2 D．119．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（）A．x2+102＝（x+1）2 B．（x-1）2+52＝x2C．x2+52＝（x+1）2 D．（x-1）2+102＝x210．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（）A．一直增大 B．不变C．先减小后增大 D．先增大后减小二、填空题（共7小题，满分14分，每小题2分）11．分解因式：3m2-3＝．12．七边形所有内角的度数之和是°.13．化简48所得的结果是.14．已知一组数据2，2，8，x，7，4的中位数为5，则x的值是．15．如图，直线a∥b∥c，AB⊥a，a与b的距离是2cm，b与c的距离是3cm，则a与c的距离是cm．16．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是．17．如图，矩形纸片ABCD中，AD＝10cm，AB＝4cm，按如图方式折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则AE＝cm．三、解答题（共9小题，满分76分）18．计算： （1）24−18×13； 19．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，求四边形CODE的周长．20．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D为斜边BC上一点，且BD＝BA，过点D作BC的垂线交AC于点E．求证：点E在∠ABC的角平分线上．21．已知关于x的一次函数y＝（3-m）x+m-5．（1）若一次函数的图象过原点，求实数m的值；（2）当一次函数的图象经过第二、三、四象限时，求实数m的取值范围．22．如图，一次函数y＝x+3的图象l1与x轴相交于点B，与过点A（3，0）的一次函数的图象l2相交于点C（1，m）．（1）求一次函数图象l2相应的函数表达式；（2）求△ABC的面积．23．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝5，BD＝2，求OE的长．24．4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．某书店计划在“世界读书日”前夕，同时购进A，B两类图书，已知购进1本A类图书和2本B类图书共需135元；购进3本A类图书和4本B类图书共需305元．（1）A，B两类图书每本的进价各是多少元？（2）该书店计划购进A，B两类图书共90本，且A类图书的购进数量不少于B类图书的购进数量的1225．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC＝12，∠ACO＝30°．（1）求B点的坐标；（2）把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，DE与AC相交于点F，求四边形ADCE的周长；（3）若点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．26．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC=53（1）求证：四边形AEDF是平行四边形；（2）当t为何值时，AD⊥EF；（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：A：不属于中心对称图形，故A不满足题意；

B：不属于中心对称图形，故B不满足题意；

C：属于中心对称图形，故C满足题意；

D：不属于中心对称图形，故D不满足题意.

故答案为：C.

【分析】中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.2．【答案】D【解析】【解答】解：A：8=22，故不属于最简二次根式，A错误；

B：x2=2x2，故不属于最简二次根式，B错误；

C：9a=3a，故不属于最简二次根式，C错误；3．【答案】C【解析】【解答】解：∵a-3有意义，

∴a-3≥0，

解得a≥3.

故答案为：C.

【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，则a-3≥0，求解即可.4．【答案】D【解析】【解答】∵直角三角形中，一个锐角等于60°，∴另一个锐角的度数=90°-60°=30°.故选：D.

【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.​5．【答案】B【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，

∴CD=AD=12AB.

∵∠A=20°，

∴∠ACD=∠A=20°.

故答案为：B.

【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质可得CD=AD=16．【答案】A【解析】【解答】解：∵(x-2)(x+3)=x2+x-6=12，

∴x2+x-18=0，

∴a=1，b=1，c=-18.

故答案为：A.

【分析】根据多项式与多项式的乘法法则可得(x-2)(x+3)=x2+x-6=12，化为一般形式x2+x-18=0，据此可得c的值.7．【答案】D【解析】【解答】解：A：62+82=100，122=144，62+82≠122，故不是勾股数，A错误；

B：0.6、0.8不属于正整数，故A错误；

C：82+152=289，162=256，82+152≠162，故不是勾股数，C错误；

D：92+122=225=152，故是勾股数，D正确.

故答案为：D.

【分析】勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此判断.8．【答案】D【解析】【解答】解：∵x2-6x-5=0，

∴x2-6x=5，

∴x2-6x+9=5+9，

∴(x-3)2=14，

∴a=-3，b=14，

∴a+b=-3+14=11.

故答案为：D.

【分析】首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上9，再对左边的式子利用完全平方公式进行分解即可对方程进行配方，据此可得a、b的值，然后根据有理数的加法法则进行计算.9．【答案】B【解析】【解答】解：∵芦苇的长度为x尺，它高出水面1尺，

∴水面的高度为(x-1)尺，

∴(x-1)2+52=x2.

故答案为：B.

【分析】由题意可得：水面的高度为(x-1)尺，然后根据水面的高度、芦苇的长度、5构成直角三角形就可列出方程.10．【答案】C【解析】【解答】解：连接AP，

∵∠A＝90°，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，

∴四边形AEFP为矩形，

∴AP=EF.

当AP⊥BC时，AP取得最小值，此时EF最小，

∴EF的变化情况为：先减小，后增大.

故答案为：C.

【分析】连接AP，易得四边形AEFP为矩形，则AP=EF，根据垂线段最短的性质可得：当AP⊥BC时，AP取得最小值，此时EF最小，据此解答.11．【答案】3（m+1）（m-1）【解析】【解答】解：3m2-3=3(m2-1)=3(m+1)(m-1).

故答案为：3(m+1)(m-1).

【分析】首先提取3，然后利用平方差公式进行分解.12．【答案】900【解析】【解答】解：由题意可得，(7−2故答案为：900；【分析】根据多边形的内角和=（n-2）×180°可求解.13．【答案】4【解析】【解答】解：由题意可得，48=故答案为：43【分析】根据二次根式的性质“ab=ab14．【答案】6【解析】【解答】解：∵数据2，2，8，x，7，4的中位数为5，

∴（4+x）÷2=5，

∴x＝6.

故答案为：6.

【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，据此列式计算即可.15．【答案】5【解析】【解答】解：∵a∥b∥c，AB⊥a，

∴AB⊥b，AB⊥c.

∵a与b的距离是2cm，b与c的距离是3cm，

∴a与c的距离是2+3=5cm.

故答案为：5.

【分析】由题意可得：AB⊥b，AB⊥c，然后根据a与b的距离+b与c的距离=a与c的距离进行计算.16．【答案】4【解析】【解答】解：∵CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，

∴DE=DF=2.

∵BC=4，

∴S△BCD=12×BC·DF=12×4×2=4.

故答案为：4.17．【答案】21【解析】【解答】解：由折叠可得ED=BE.

设ED=BE=x，则AE=(10-x).

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠A=90°，

∴AB2+AE2=BE2，

∴42+(10-x)2=x2，

∴16+100-20x=0，

解得x=295，

∴AE=10-x=10-295=215.

故答案为：2118．【答案】（1）解：原式＝26−18×1（2）解：原式＝12×2+33×2＝24【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘法法则可得原式=26-6，然后根据二次根式的减法法则进行计算；

19．【答案】解：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝4，OA＝OC，OB＝OD，∴OD＝OC＝12∴四边形CODE是菱形，∴四边形CODE的周长为：4OC＝4×2＝8．【解析】【分析】由题意可得：四边形CODE是平行四边形，根据矩形的性质可得OD＝OC＝1220．【答案】证明：连接BE，∵ED⊥BC，∴∠BDE＝∠A＝90°．在Rt△ABE和Rt△DBE中∵BE=BEBA=BD∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL）．∴∠ABE＝∠DBE．∴点E在∠ABC的角平分线上．【解析】【分析】连接BE，由垂直的定义可得∠BDE＝∠A＝90°，利用HL证明Rt△ABE≌Rt△DBE，得到∠ABE＝∠DBE，据此证明.21．【答案】（1）解：把原点（0，0）代入，得m-5＝0解得m＝5（2）解：由题意，得3−m<0m−5<0解得3＜m＜5．【解析】【分析】（1）将（0，0）代入y=(3-m)x+m-5中进行计算可得m的值；

（2）根据一次函数的图象经过二、三、四象限可得3-m<0且m-5<0，联立求解可得m的范围.22．【答案】（1）解：∵点C（1，m）在一次函数y＝x+3的图象上，∴m＝1+3＝4，∴点C（1，4），设一次函数图象l2相应的函数表达式为y＝kx+b，把点A（3，0），C（1，4）代入得3k+b=0k+b=4解得k=−2b=6∴一次函数图象l2相应的函数表达式y＝-2x+6；（2）解：∵一次函数y＝x+3的图象l1与x轴交于点B，∴当y＝0时，0＝x+3，解得x＝-3，∴B（-3，0），∵A（3，0），C（1，4），∴AB＝6，∴S△ABC＝12【解析】【分析】（1）将C（1，m）代入y=x+3中求出m的值，得到点C的坐标，设一次函数图象l2相应的函数表达式为y＝kx+b，把点A（3，0），C（1，4）代入求出k、b的值，据此可得对应的函数表达式；

（2）易得B（-3，0），则AB=6，然后利用三角形的面积公式进行计算.23．【答案】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形.（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝2，∴OB＝12在Rt△AOB中，AB＝5，OB＝1，∴OA＝AB∴OE＝OA＝2.【解析】【分析】（1）根据菱形的判定定理，一组邻边相等的平行四边形为菱形，可求解。

（2）根据菱形的对角线垂直，可找到直角三角形，利用勾股定理求出OE的长度。24．【答案】（1）解：设A类图书每本的进价是a元，B类图书每本的进价是b元，根据题意得：a+2b=1353a+4b=305解得a=35b=50答：A类图书每本的进价是35元，B类图书每本的进价是50元；（2）解：设购进A类图书x本，获得利润为y元，根据题意得：y＝（40-35）x+（58-50）（90-x）＝5x+720-8x＝-3x+720，∵A类图书的购进数量不少于B类图书的购进数量的12∴x≥12解得x≥30，∵-3＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝30时，y有最大值，最大值为630，此时90-x＝60，答：该书店购进A类图书30本，B类图书60本时所获利润最大，最大利润为630元．【解析】【分析】（1）设A类图书每本的进价是a元，B类图书每本的进价是b元，根据购进1本A类图书和2本B类图书共需135元可得a+2b=135；根据购进3本A类图书和4本B类图书共需305元可得3a+4b=305，联立求解即可；

（2）设购进A类图书x本，获得利润为y元，根据(售价-进价)×本数=总利润可得y与x的关系式，根据A类图书的购进数量不少于B类图书的购进数量的1225．【答案】（1）解：在直角△OAC中，ACO＝30°，AC＝12，∴OA＝6，则OC＝AC2−O故B的坐标是（63，6）；（2）解：∵折叠∴直线DE是AC的中垂线，AD＝CD，∴四边形ADCE是菱形，∴AD＝DC＝CB＝AE，设CD＝x＝AD，则OD＝63-x，在Rt△AOD中，AD2＝AO2+OD2∴x2＝36+（63-x）2解得：x＝43，即AD＝43，∴四边形ABCD的周长＝4AD＝163；（3）解：存在，N的坐标是：（33，-3）或（3，3）或（-3，-33）或（3，3）【解析】【解答】解：（3）OF＝12∵直线DE的斜率是：3．∴DE与x轴夹角是60°，当FM是菱形的边时（如图1），ON∥FM，则∠NOC＝60°或120°．当∠NOC＝60°时，过N作NG⊥y轴，则NG＝ON•sin30°＝6×12OG＝ON•cos30°＝6×32＝33，则N的坐标是（3，33当∠NOC＝120°时，与当∠NOC＝60°时关于原点对称，则坐标是（-3，-33）；当OF是对角线时（如图2），MN关于OF对称．∵F的坐标是（33，3），∴∠FOD＝∠NOF＝30°，在直角△ONH中，OH＝12OF＝3，ON＝OHcos∠NOH作NL⊥y轴于点L．在直角△ONL中，∠NOL＝30°，则NL＝12ON＝3OL＝ON•cos30°＝23×32故N的坐标是（3，3）．当DE与y轴的交点时M，这个时候N在第四象限，此时点的坐标为：（33，-3）．则N的坐标是：（33，-3）或（3，33）或（-3，-33）或（3，3）．【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质可得OA=12AC=6，利用勾股定理求出OC的值，据此可得点B的坐标；

（2）由折叠的性质可得AD＝CD，推出四边形ADCE是菱形，得到AD＝DC＝CB＝AE，设CD＝x＝AD，则OD＝63-x，在Rt△AOD中，利用勾股定理可求出x的值，进而可得四边形ABCD的周长；

（3）根据直角三角形斜边上中线的性质可得OF＝12AC＝6，则直线DE的斜率是26．【答案】（1）证明：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵FD⊥BC，∴∠FDB＝90°＝∠C，∴AC∥FD，∵点E从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长的速度向点C匀速运动，同时点F从点B出发沿BA方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，设点D，E运动的时间是t秒（