导学案数学第八章83831棱柱棱锥棱台的表面积和体积

8.3简单几何体的表面积与体积8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积【学习目标】1.会求棱柱、棱锥、棱台的表面积.2.能利用棱柱、棱锥、棱台的体积公式求体积,理解它们之间的关系.3.能用棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积公式解决简单的实际问题.【素养达成】直观想象、数学运算直观想象、数学运算数学运算一、多面体的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.二、棱柱、棱锥、棱台的体积项目高体积棱柱两底面之间的距离,即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线,这点与垂足之间的距离V=Sh,其中S是底面面积,h是高棱锥从顶点向底面作垂线,顶点与垂足之间的距离V=13Sh,其中S是底面面积,h棱台两底面之间的距离,即从上底面上任意一点向下底面作垂线,这点与垂足之间的距离V=13h(S'+S'S+S),其中棱台的上、下底面面积分别是S',【教材挖掘】1.(P115思考)观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式,它们之间有什么关系?你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗?提示:棱柱、棱锥、棱台体积之间的关系2.简单组合体分割成几个几何体,其表面积与体积有何变化?提示:表面积变大了而体积不变.【版本交融】(人BP83尝试与发现)等底面面积且等高的两个棱柱体积什么关系?提示:相等.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.(√)(2)一个棱柱的体积是与其等底等高的棱锥体积的2倍.(×)提示:三倍.(3)棱台的表面积可由产生它的两个棱锥的表面积求差得出.(×)提示:少了小棱锥的底面面积.(4)多面体的表面积越大,体积就越大.(×)提示:多面体的表面积与体积不成正比.类型一棱柱、棱锥、棱台的表面积(直观想象、数学运算)【典例1】(1)(教材P116T1改编)正三棱台上、下底面边长分别是a和2a,高为12a,则正三棱台的侧面积为(A.a2 B.12a2 C.92a2 D.3【解析】选D.如图,O1,O分别为上、下底面的中心,D,D1分别为AC,A1C1的中点,在直角梯形ODD1O1中,OD=13×32×2a=33a,O1D1=13×32所以DE=ODO1D1=36在Rt△DED1中,D1E=a2则D1D=(36a)

2所以S棱台侧=3×12(a+2a)×33a=33(2)如图组合体下面是一个直三棱柱.△A1B1C1为等腰直角三角形,BC=CE=2.上面是一个三棱锥,且三棱锥的高AE=3,三棱柱的高A1E=3,则组合体的表面积为____________.

【解析】下面是一个直三棱柱,由题意可知S底=12×2×2=2,S侧面=3×2+3×2+3×22+22=12+62;上面是一个三棱锥,除底面BCE外的表面积S1=12×3×2+12×3×22+12×2×13=3+32+13,所以S表=S底+S侧面答案:17+92+13【总结升华】求棱柱、棱锥、棱台表面积的关注点(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.(2)求棱锥、棱台的表面积的关键是求出侧面三角形、梯形的高.(3)组合体的表面积应注意重合部分的处理.【即学即练】1.已知正六棱柱的高为6,底面边长为4,则它的表面积为()A.48(3+3) B.48(3+23)C.24(6+2) D.144【解析】选A.由题意知,侧面积为6×6×4=144,两底面积之和为2×34×42×6=483,所以表面积S=48(3+3)2.(教材P116T3改编)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为________.

【解析】由题图可知该几何体由两个相同的正四棱锥底面相扣构成,此几何体的表面积等于两个相同的正四棱锥的侧面积相加,即为八个全等的正三角形的面积之和.因为正三角形的边长为2,所以S表=34×(2)2×8=43答案:43类型二棱柱、棱锥、棱台的体积(直观想象、数学运算)【典例2】(1)(2024·天津高一期中)已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为a,且其体积为163,则a=()A.2 B.23 C.4 D.43【解析】选C.因为正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为a,且其体积为163,则S△ABC=12a2sin60°=34a2,所以VABC-A1B1C1=S△ABC·AA1(2)如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E为线段B1C上的一点,则三棱锥ADED1的体积为__________.

【解析】VA-DED1=VE-答案:1【总结升华】求几何体体积的常用方法【即学即练】1.棱台的上、下底面面积分别是2,4,高为3,则该棱台的体积是()A.18+62 B.6+22C.24 D.18【解析】选B.V=13h(S+S'S+S')=13×3×(2+22.在四面体ABCD中三组对棱分别相等,AB=CD=13,BC=AD=25,BD=AC=5,则四面体ABCD的体积为________.

【解析】以四面体的各棱为对角线还原为长方体,如图.设长方体的长、宽、高分别为x,y,z,则x2+因为VDABE=13DE·S△ABE=16V同理VC-ABF=VD-ACG=所以V四面体ABCD=V长方体4×16V长方体=13V而V长方体=2×3×4=24,所以V四面体ABCD=8.答案:8类型三表面积、体积公式的实际应用(数学运算)【典例3】学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCDA1B1C1D1挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为__________g.

【解析】由题意得长方体ABCDA1B1C1D1的体积为6×6×4=144(cm3),四边形EFGH为平行四边形,如图所示,连接GE,HF,易知四边形EFGH的面积为矩形BCC1B1面积的一半,即12×6×4=12(cm2),所以V四棱锥OEFGH=13×3×12=12(cm3),所以该模型的体积为14412=132(cm3),所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9=118.答案:118.8【总结升华】表面积、体积实际应用的解题步骤(1)认真审题,转化为求几何体的表面积、体积问题;(2)紧扣题意,解答实际问题.【即学即练】建造一个容积为16m3,深为2m,宽为2m的长方体无盖水池,如果池底的造价为120元/m2,池壁的造价为80元/m2,则水池的总造价为________元.

【解析