中考数学复习：动点与特殊三角形存在性问题题型讲义

动点与特殊三角形存在性问题

一、典例解析

例1.12020•湖北武汉】将抛物线C：y=（尤-2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1,再将抛物线C1

向左平移2个单位长度得到抛物线C2.

（1）直接写出抛物线Cl,C2的解析式；

（2）如图（1）,点A在抛物线Ci（对称轴/右侧）上，点2在对称轴/上，是以08为斜边的等腰

直角三角形，求点A的坐标；

(1)

【答案】见解析.

【解析】解：(1):抛物线C：y=(x-2)2向下平移6个单位长度得到抛物线Ci,

/.Ci：y—(x-2)2-6,

•.•将抛物线Ci向左平移2个单位长度得到抛物线C2.

C2：y=(x-2+2)2-6,即y=/-6；

(2)过点A作ACLx轴于点C,过8作8OLAC于点。，

设A(a,(a-2)2-6),则8D=a-2,AC=\(a-2)2-6|,

ZBAO=ZACO=9Q°,

：.ZBAD+ZOAC^NOAC+NAOC=90。，

ZBAD=ZA,OC,

"：AB=OA,ZADB=ZOCA,

.♦.△ABDg△OAC(44S),

J.BD^AC,

：.a-2=\(a-2)2-6|,

解得，〃=4,或〃=-1(舍)，或〃=0(舍)，或"=5,

AA(4,-2)或(5,3)；

例2.12020•湖南岳阳】如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线乃：尸a(x—|)?+罂与％轴交于点A

(-f,0)和点2,与y轴交于点C.

(1)求抛物线H的表达式；

(2)如图2,将抛物线为.先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线放，若抛物线为与抛

物线F2相交于点D连接80,CD,BC.

①求点D的坐标；

②判断△BC。的形状，并说明理由；

(3)在(2)的条件下，抛物线仍上是否存在点P,使得△8。尸为等腰直角三角形，若存在，求出点P的

坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】见解析.

【解析】解：(1)把点A(—0)代入抛物线1F1：y=a(x—g)?+翳中得:

八_z62x2.64

0=a(-5-5)~+15,

解得：〃=

・二抛物线/i：y=—。一卷)2+黑;

(2)①由平移得：抛物线尸2：尸一|(X-|+1)2+11-3,

.v——32J__

..y_3+15'

.5,,3、2,195,2、2,64

(x+百)-+讴=一百(x-5)+正'

1010

一于=百，

解得：X=-1,

：.D(-1,1)；

_.,q4A4

②当x=0时，y=—可x2g+正=4,

：.C(0,4),

当y=0时，一.(%—V，2+瞿=0，

解得：X=—第2,

：.B(2,0),

,:D(-1,1),

：.BD2=(2+1)2+(L-0)2=10,

0^=(0+1)2+(4-1)2=10,

BC2=22+42=20,

BD1+CD2=BC2且80=CO,

...ABDC是等腰直角三角形；

(3)存在，设尸[加,—(m+^)2+-j^]!

,：B(2,0),D(-l,1),

51519

22212

2222-+-pD-+-+-

：.BD=(2+l)+l=10,PB31(m315

I]2-

分三种情况：

①当/£>8P=90。时，BD2+PB-PD2,

即10+(m-2)2+[-|(m+|)2+||]2=(zn+1)2+[-|(m+|)2+y|-l]2,

解得：根=-4或1,

当机=-4时，BD=V10,PB=<36+324=6V10,即△BOP不是等腰直角三角形，不符合题意,

当机=1时，BD=V10,PB=V1T9=V10,

，BD=PB,即△BOP是等腰直角三角形，符合题意，

：.P(1,-3)；

②当尸=90。时，B£>2+PD2=Pj32,

即10+[-|(m+|)2+1|-1]2=(m-2)2+[-|(m+|)2+||]2,

解得：-1(舍)或-2,

当机=-2时，BD=V10,PD=VTT9=V10,

：.BD=PD,即此时△BDP为等腰直角三角形，

:.P(-2,-2)；

③当/2尸£>=90。时，5.BP=DP,有BD2=PD2+PB2,

当△BOP为等腰直角三角形时，点Pl和P2不在抛物线上，此种情况不存在这样的点P；

综上，点尸的坐标（1,-3）或（-2,-2）.

例3.12020•贵州遵义】如图，抛物线丫=改2+己了+0经过点A（_I,O）和点c（。,3）,与无轴的另一个交点为

-4

8,点M是直线BC上一动点，过点M作MP〃y轴，交抛物线于点P.

（1）求该抛物线解析式；

（2）在抛物线上是否存在一点。，使得△QC。是等边三角形？若存在，求出点。的坐标；若不存在请说

明理由；

（3）以“为圆心，为半径作圆M,当圆M与坐标轴相切时，求出其半径.

【答案】见解析.

【解析】解：(1)将点(-1,0)、(0,3)代入抛物线解析式,得：

'9(3

aFc=0々刀/日a=—

＜4,解得：＜4

c=3c=3

即抛物线解析式为：y^--x2+-x+3

-44

(2)不存在，理由如下：

若△QC。是等边三角形，

则。在线段oc垂直平分线上，且。与oc距离为：#oc=券，

即。点坐标为(垣，3)或(-述，-),

2222

在＞=一3/+2工+3中，当y=3时，

44"22

故。点不在抛物线上，

(3)

即B(4,0),

又C(0,3),

所以直线BC的解析式为：y=—3x+3,

4

①当圆M与x轴相切于x轴正半轴时，设切点为O,贝

QQ3

设尸（工,——x2+—x+3）,贝1JM（%,——x+3）,

444

3Q33

——x2+—x+3-（——x+3）=——元+3,

4444

解得：x=l或x=4（舍）

即半径为。M=2.

4

②当圆M与y轴正半轴相切时，如图所示，切点为E,延长交x轴于。

贝I]EM=PM,

BP--x2+—x+3-（-—x+3）=x,解得：x=§或x=0（舍）

4443

即半径为§；

3

③当圆M与无轴相切于负半轴时，

a1s

则尸点与A点重合，当x=-l时，——x+3=一，

44

即半径为空；

④当圆M与〉轴相切于负半轴时，

同理得：一Ox?+2尤+3-（-3尤+3）=-x,解得：产生■或x=0（舍）

4443

即半径为蛆，

3

综上所述，以M为圆心，M尸为半径作圆当圆M与坐标轴相切时，其半径为2,2，竺，3.

4343

例4.12020•四川眉山】已知一次函数丁=去+沙与反比例函数丫=—的图象交于A（—3,2）、3（1,0两点.

X

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)求AAOS的面积；

(3)点尸在x轴上，当△PAO为等腰三角形时，直接写出点P的坐标.

【答案】见解析.

【解析】解：(1)将4(—3,2)代入丁=一中，得m=-6,

A

即反比例函数的表达式为y=—-

x

6

_6(1,〃)在y=—的图象上,

.•.〃=—6,即5(1,-6)

将A、8坐标代入丁=丘+6得

-3k+b=2k=-2

<,解得:

k+b=-6b=—4

:.一次函数表达式为：y=-2x-4.

(2)设直线AB与y轴交于点C,则点C(0,—4),

,SAAOB=5,。。+5她0。=gx4x3+gx4xl=8-

(3)满足条件的点P为(JR,0),(-^,0),(-6,0),

提示：以OA=OP=JF,AO=AP=A^3,PO=PA分类讨论求出点P坐标.

二、刻意练习

1.12020•贵州黔东南州】己知抛物线y=q尤2+桁+0（。*0）与x轴交于A、3两点（点A在点3的左边），

与y轴交于点C（0,-3）,顶点D的坐标为（1,-4）.

（1）求抛物线的解析式.

（2）在y轴上找一点E,使得AE4c为等腰三角形，请直接写出点E的坐标.

（3）点P是x轴上的动点，点。是抛物线上的动点，是否存在点P、。，使得以点P、。、B、。为顶

点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、。坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】见解析.

【解析】解：（1）二.抛物线的顶点为（1,-4）,

2

；•设抛物线的解析式为y=a（X-l）-4,

将点C（0,-3）代入抛物线y=。（尤-1）?-4中，得。—4=—3,

即a=L

抛物线的解析式为>=。（无一1）2—4=尤2-2%一3；

（2）由（1）知，抛物线的解析式为y=--2尤-3,

令y=0,贝|三-2左一3=0,

.,.尤=-1或x=3,

..3（3,0）,4-1,0）,

令x=0,则y=-3,

C（0,-3）,

:.AC=y/10,

设点E（0,加），则AE=J〃?2+i,CE=|加+3],

AACE是等腰三角形,

①当AC=AE时，回=｛病+1,

,〃?=3或〃?=-3(点C的纵坐标，舍去),

.'.£(3,0),

②当AC=CE时，A/10=|;«+3|,

m=-3±\/10,

E(0,-3+而)或(0,-3-加)，

③当钻二仪；时，y/m2+1=|m+3|,

4

/.m=——,

3

4

/.E(0,--),

即满足条件的点石的坐标为(0,3)、(0,-3+710)>(0,-3-加)、(0,-1)

(3)存在,

D(L,-4,),B(3,0),

设P(m,0),Q(n,n2-2n-3),

①当四边形BDPQ是平行四边形时，

f3+m=l+n[m=2A/2-1[m=-lyfl-1

2。解得：L或厂

[0n=〃-2n-3-4[n=l+2y/2n=l-2y/2

即P(2A/2-1,0),Q(1+2A/2,4)或P(—2逝—1,0),Q(1-2^,4)

②当四边形BDQP是平行四边形时

i3+n=1+mm=3

〃一,解得:(舍)

[o=-23+4n=l

综上所述，P(2A/2-1,0),Q(1+2^2,4)或P(-2^-1,0),Q(1-2&,4).

2.12020•湖南株洲I】如图所示，△OAB的顶点A在反比例函数(左>0)的图象上，直线交y轴于

点C,且点C的纵坐标为5,过点A、8分别作y轴的垂线AE、BF,垂足分别为点E、F,且AE=1.

(1)若点E为线段OC的中点，求上的值；

(2)若△048为等腰直角三角形，ZAOB=90°,其面积小于3.

①求证：△OAE四△BOB；

②把|xi-尤2|+W-vl称为M(XI,yi),N(X2,y2)两点间的“ZJ距离”，记为d(M,N),求d(A,C)+d

(A,B)的值.

【答案】见解析.

【解析】解：(1)••,点E为线段0C的中点，0C=5,

1qq

：.0E=^0C=^,即:E点坐标为(0,芬

又轴，AE=1,

.•.4(1,|),

/.fc=1x

(2)①在△OAB为等腰直角三角形中，AO=OB,ZAOB=90°,

：.NAOE+NFOB=90°,

VBF±ytt，

：.ZFBO+ZFOB=9Q°,

ZAOE=ZFBO,

在△04E和△8。尸中，

ZAEO=NOFB=90°

ZAOE=NFBO,

.AO=BO

:.AOAE咨ABOF(AAS),

②设点A坐标为(1,加)，

,:△ONEQXBOF,

:・BF=OE=m,OF=AE=1,

:・B(m,-1),

设直线AB解析式为：IABIy=kx+5,将A8两点代入得:

解得队=-37c2=-2

=2m2=3

当机=2时，0E=2,OA=V5,S^A0B=|<3,符合;

：.d(A,C)+d(A,B)=AE+CE+QBF-AE')+(OE+OF)=1+CE+OE-1+OE+l=i+CE+2OE=1+CO+OE

=l+5+2=8,

当机=3时，OE=3,OA=VlO,S^AOB=5>3,不符，舍去；

综上所述：d(A,C)+d(A,B)=8.

3.12020•.内蒙古通辽】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-7+bx+c与无轴交于点A,B,与y轴交于

点C.且直线y=x-6过点B,与y轴交于点。，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过

点尸作x轴的垂线交抛物线于点交直线2D于点N.

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)当的面积最大时，求点尸的坐标；

(3)在(2)的条件下，在y轴上是否存在点。，使得以。，M,N三点为顶点的三角形是直角三角形？若

存在，直接写出点。的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】见解析.

【解析】解：⑴令y=0,得y=x-6=0,解得尤=6,

：.B(6,0),

令x=0,得y=x-6=-6,

：.D(0,-6),

•.•点C与点。关于x轴对称,

：.C(0,6),

把2、C点坐标代入y=-/+6x+c中，得「36/6b+c=0,

ic=6

解得，?=

lc=6

抛物线的解析式为：y=-/+5x+6；

(2)设尸(m,0),贝1JAf(m,-m2+5m+6),N(m,m-6),

贝I]MN=-/n2+4m+12,

AMDB的面积=^MN.-OB=-3m2+l2m+36=-3(m-2)2+48,

当根=2时，的面积最大，

此时，P点的坐标为(2,0)；

(3)由(2)知，M(2,12),N(2,-4),

当NQWN=90。时，。〃〃x轴，则。(0,12)；

当/MNQ=90。时，NQ〃x轴，则Q(0,-4)；

当/MQN=90。时，设0(0,w),则QM2+°N2=MN2,

即4+(12-2+4+(〃+4)2=(12+4)2,

解得，n—4+2V15,

：.Q（0,4+2V15）或（0,4-2V15）.

综上，存在以。，M,N三点为顶点的三角形是直角三角形.其。点坐标为（0,12）或（0,-4）或（0,

4+2V15)或(0,4-2V15).

4.12020•山东枣庄】如图，抛物线y=o?+bx+4交x轴于A(-3,0),3(4,0)两点，与y轴交于点C,AC,

BC.M为线段OB上的一个动点，过点M作尸轴，交抛物线于点P,交3c于点Q.

(1)求抛物线的表达式；

(2)过点尸作垂足为点N.设“点的坐标为M(%0),试探究点”在运动过程中，是否存在

这样的点Q,使得以A,C,。为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点。的坐标；若不存

在，请说明理由.

【答案】见解析.

1

a=——

3

【解析】解：(1)将点A、B的坐标代入抛物线表达式得

言解得

:rrb=-

3

--4：

故抛物线的表达式为：y=

33

(2)存在，理由:

由勾股定理得：AC=5,

①当AC=CQ时，过点Q作QE±y轴于点E,

贝I]CQ2=CE2+EQ2,BPm2+[4-(-w+4)]2=25,

解得：7"=±(舍去负值)，

2

故点0(呼，左衿；

②当AC=AQ时，贝ijAQ=AC=5,

由勾股定理得：［加-(-3)『+(-加+4)2=25,解得：m=l或0(舍),

故点Q(l,3)；

25

③当CQ二AQ时，则2机2=［相=(_3)］2+(—根+4)2,解得：m=—(舍去);

2

综上，点Q的坐标为(1,3)或(述，"巨).

22

5.12020•四川泸州】如图，已知抛物线>=江+"+<:经过A(-2,0),2(4,0),C(0,4)三点.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)经过点8的直线交y轴于点。，交线段AC于点E,若BD=5DE.

①求直线5。的解析式；

②已知点。在该抛物线的对称轴/上，且纵坐标为1,点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在/右侧,

点R是直线上的动点，若APQR是以点。为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标.

【答案】见解析.

【解析】解:⑴设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4),

将点C坐标代入抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4)中，得-8a=4,

/.a=一~-

2

抛物线的解析式为y=—gX2+X+4；

(2)①如图，过点E作EFLx轴于F,

・,・直线AC的解析式为y=2x+4

由OD〃EF,知△BODsaBFE

OBBD

BF-BE

VB(4,0),.\OB=4

由BD=5DE,知

BDBD5DE5

^E~BD+DE~5DE+BE~1)

•口口24

5

4

.*.OF=BF-OB=-

5

当x=-1时，代入y=2x+4得：y=£

4I?

.,.E—)

55

又B(4,0),得直线BD的解析式为y=-gx+2.

②I、当点R在直线1右侧时，

抛物线的对称轴为x=l,

点Q(1,D，

如图

过点P作PG±1于G,过点R作RH±1于H,

则PG=x-l,GQ=X2+X+3,

由NPGO=90。知ZGPQ+ZPQG=90°

VPQ=RQ,ZPQR=90°

ZPQG+ZRQH=90°

得：ZGPQ=ZRQH,

.♦.△PQG四△QRH

RH=GQ=--X2+X+3,QH=PG=X-1,

2

/.R(-—X2+X+4,2-X)

2

由①知，直线BD的解析式为y=-；x+2,

/•——(——X2+X+4)+2=2-x,

22

解得：x=2或x=4(舍)

当x=2时，y=4,即P(2,4)；

II、当点R，在直线1左侧时，

设点P，(x,-x2+x+4)(l<x<4),

过点P'作P'GL于G，，过点R5作R，H_L1于H,

同理，△P'QG'/△QR'H，

；.R'H'=G'Q=—gX2+X+3,QH'=P'G'=X-1,

；.R'(—x2-x-2,x)

2

同理得：—工（1X2-X-2）+2=x,

22

解得：x=-1+V13,或x=-l-VH（舍）

即P坐标为（-1+J1百，29-4）.

即满足条件的点P的坐标为（2,4）或（-1+JI?,2拒-4）.

6.12020•四川宜宾】如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2,1）在二次函数的图象上，过点F

（0,1）作尤轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点.

（1）求二次函数的表达式；

（2）P为平面内一点，当△「阿是等边三角形时，求点P的坐标；

（3）在二次函数的图象上是否存在一点E,使得以点E为圆心的圆过点F和点N,且与直线y=-1相切.若

存在，求出点E的坐标，并求。E的半径；若不存在，说明理由.

【答案】见解析.

【解析】解：（1）•••二次函数的图象顶点在原点，

故设二次函数表达式为：将（2,1）代入上式并解得：a=

故二次函数表达式为：y="；

（2）将y=l代入尸¥并解得：x=±2,故点M、N的坐标分别为（-2,1）、（2,1）,

则MN=4,

'：APMN是等边三角形,

：.点P在y轴上且PM=4,

:.PF=2回

•.•点产（0,1）,

.♦.点P的坐标为（0,1+2/）或（0,L-2V3）；

（3）假设二次函数的图象上是否存在一点E满足条件，

设点。是尸N的中点，则点。(1,1),

故点E在FN的中垂线上.

:.点、E是FN的中垂线与y=%?图象的交点，

11