直角三角形的边角关系（九大题型）解析版-2024-2025学年九年级数学下册（北师大版）

直角三角形的边角关系压轴专练（九大题型）

题型1:解答证明题

1.如图，在矩形480中，E为AB边上一点,EC平分NDEB,尸为CE的中点，连接BF,过点£

作分别交Nb，CD于G,H两点.

⑴求证：DE=DC-

（2）求证：AF±BF；

⑶设AD-CD=3.5,AF与DE相交于点M,求sin/EMG.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

⑴--------

50

【分析】⑴根据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到"CE=NZ）EC,进而得到。E=DC；

（2）连接。尸，根据等腰三角形的性质得出=90。，再根据直角三角形斜边上中线的性质得出

BF=CF=EF=^EC,再根据SAS判定△4B尸2△DC/，即可得出=/DFC=90°,据此可得

AF±BF-,

（3）过取DE的中点N,连接成，与0E交于点N,过点A作4PLDE于点E,设/D=5C=3a,

1

CD=AB=5a,贝!JDE=DC=5a,AE=a,BE-3a,CE=VlOa,BF—^19-a,由（2）中的/尸_18/，

2

则△ABF为直角三角形，由勾股定理得：4d=（5a）2-半aj=芈°，中位线定理可知五N〃/2,求

出网/初=乜•〃，再求出/尸=^^=^^=乜0,因止匕sinNEMG=sinNNMP的值.

2213DE5a5

【解析】（1）证明：：四边形/BCD为矩形，

AB//CD,

ZDCE=ZCEB,

：.EC平分NDEB,

/DEC=/CEB,

・•・ZDCE=/DEC,

・・・DE=DC

(2)证明：连接。尸，如图所示:

•：DE=DC,/为C£的中点，

・•・DF1EC,

；・NDFC=90。,

在矩形45CQ中，AB=DC,/ABC=90。,

：.BF=CF=EF=-EC,

2

/ABF=/CEB,

・・・ZDCE=/CEB,

・・・/ABF=ZDCF,

BF=CF

在AABF和&DCF中，＜/ABF=ZDCF

AB=DC

：.A^SF^ADCF(SAS),

；./AFB=/DFC=90。,

：.AF±BF；

(3)解：过取DE的中点N,连接/W,与DE交于点N,过点A作于点E,如图所示:

设AD=BC=3。，CD=AB=5a,

DE=DC=5a,=^DE2-AD2=4Q，BE=AB-AE=a,

在RMEBC中，由勾股定理得：CE=yjBE2+BC2=^a2+（3a）2=VlOa,

:尸为CE的中点,

：.BF=­a,

2

AF1.BF,

由勾股定理得：AF=YAB-BF2=卜）2_1芈a=孚

:尸为CE的中点，点N为DE的中点N,

FN//AB,FN=-CD=-a,

22

.FMNF

.AF-AMNF

一~AM—一~AE，

3V105

,-------a—AM—a

・・2_2

AM4Q

解得：AM=^y/iOa,

,：APIDE,DA1.AE,BPZAPD=ZEAD=90°,NADP=NEDA,

小APDS^EAD,

,AP_AD

,^E~~DE

ADAE3a'4a12

AP=--------=—a,

DE5a5

12

~a13-Vio

sinZEMG=sinZAMP=-----

AM

【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三

角函数值，相似三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质锐角三角函数的求法是解题的关键.

2.已知边长为4的正方形/BCD的对角线交于点O,8c边所在的直线上有两个动点尸、Q,

ZPAQ=45°,N0和BD交于点N.

图1图2图3

ON

⑴如图1,当点尸运动到线段8c上时，4P和BD交于点求力的值；

⑵在(1)的条件下，当8c=3AP时，求MV的长；

(3)如图2,图3,若/尸所在直线与BD所在直线交于点所在直线与CD所在直线交于点E,"E和K4

的数量关系和位置关系为，当点尸为8c的三等分点时，PE=.

【答案】(噂；

⑵平；

10-52

(3)ME=MA,ME1MA-,5或记.

【分析】(1)由正方形的性质可知NA4C=45。，由等式的性质即可得=结合正方形性质和勾

股定理求得4。=20,证明A/PBSA/ON可得到答案；

ON

(2)先证明△/DA/SAPBW,计算出■的长度，由而■的值，可得出ON的长度，最后算出MN的长度；

(3)证明由相似比以及NK4E=45。可得△/腔为等腰直角三角形从而得解；当

BP=^BC,利用丛ADMs丛PBM得出尸A/、AM的长度，再通过为等腰直角三角形，得到AM=ME,

2

最后用勾股定理计算出PE;当=时，同上可得.

【解析】(1)解；•••四边形/BCD为正方形，

AC平分/BAD,NBAD=90°,

/.ABAC=-ZBAD=45°,

2

•・•/尸40=45。，

/.ABAC-ABAQ=APAQ-ABAQ,

/.ZPAB=ZCAQ；

・・•四边形Z5CQ为正方形，边长为4,

:.AB=BC=CD=AD=4,ZABC=90°,AC±BD,AO=BO=CO=DO,

：.BD=AC=」AB、BC2="+42=4后，^OCB=45°,

AO=BO=CO=DO=2亚,

■：NPAB=ZCAQ,

又•；NABP=NAON=9Q0,48=4,AO=242,

AAPBS^AON,

.AOON2V2

•------=-----=------,

ABBP4

.ONV2

,,----——;

BP2

(2)解：VBC=3BP=4,

48

:・BP=—,PC=—,

33

•・,AD//BC

/DAM=ZBPM,ZADM=ZPBM

AADMsAPBM

AD_DM43

i

BM=—BD=—x4^2=y/2

44

・・•BO=242

;.0M=BO-BM=20-6=6

ONV2f、

•・•——=——(已证)

BP2

223

，MN=OM+ON=>j2+-y/2=^!^；

33

(3)解：如图2,vZOBC=ZOCB=45°,/ABC=/BCD=90。,

1.Z.ABP=180。—/ABC=90°,ZQCE=180°-/BCD=90°,

ZABM=ZABP+ZPBM=90°+ZOBC=135°,

ZACE=NOCB+ZQCE=45°+90°=135°,

・•.ZABM=NACE

/PAB=ZCAQ,

•••AABMsAACE,

AMAB_4

1F-^C-Z72

AM_42

~AE~^2

在中，/MAE=45。，作收_L4E,

不妨设AM=ga，AE=2a,

,42_AK42_MK

241a2y[la

AK=a,MK=a

EK=AE-AK=2a-a=a,

/.EK=MK=a

是等腰直角三角形，

/.NAEM=45。,

/.ZAEM=/MAE=45°,ZAME=90°

：.4MAE是等腰直角三角形，

ME=MA,MEIMA,

如图3,同理可证△ZME为等腰直角三角形，ME=MA,MEIMA,

148

当8P=—5C=—时，PC=_,

333

•・•AD//BC

ZDAM=/BPM,AADM=ZPBM

二.AADM^APBM

AMADDM43

3

13

PM=-PA,AM=—PA,

44

4

•••45=4,BP=＜ZABC=90°,

PA=NAB?+BP2=[2+g[=1V10,

.DA/1EM14/TZV10

…PM=—PA=—x—vlO=-----9

4433

AM=-PA=-x-y/10=y/w,

443

VAAME为等腰直角三角形，ZAME=90°,

ME=AM=41Q,ZEMP=180°-ZAME=90°,

PE=y/ME2+MP2=J(MY+(坐?=y,

同理可得：当==g时，P4=NAB?+BP?=卜+=g屈，△尸s加且相似比为3：2,

ZEMP=90°,ME=MA,

-2D」4后一8用“-3°/一34/77_4V13

,,PA1——PA——x—yj\3--------,A//4——PA.——x—，13—--------,

553155535

・A/Z7A/TA4\/15

••ME=MA=-------,

5

PE=4ME1+MP1=J(^^-)2+(^^-)2=—.

V51515

故答案为：ME=MA,MEIMA；5或

【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质,

解直角三角形的相关计算，熟知正方形的性质与等腰直角三角形的性质的解题的关键.

题型2：旋转问题

3.如图，在RtZUBC中，ZACB=90°,乙4=60。，点。为4B的中点，连接CD,将线段CD绕点。顺时

针旋转研60°＜。＜120。)得到线段E。，且ED交线段8c于点G,NCDE的平分线。M交8c于点8.

图1图2图3

（1）如图1,若a=90。，则线段成）与AD的数量关系是，

（2）如图2,在（1）的条件下，过点C作C厂〃OE交。M于点尸，连接E尸，BE.求不7的值；

FH

BE

（3）如图3,若/C=2,tan（a-60。）="，过点。作C尸〃。石交DM于点尸，连接E尸，BE,请求出"的

FH

值（用含加的式子表示）.

【答案】0）ED=BD；—

3

⑵*

A/3-W

J2

【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可以得到“C=CD=3D,根据旋转的性质可以得到

CD=DE,则=又在RtACGD中，含30。的直角三角形边之间的关系可得结论；

（2）由NCFD=NEDW=NCDW,得CF=CD=ED,又CF〃DE,则四边形CD昉是菱形，又

NCDE=9Q。,可得结论：菱形CDEF是正方形；由题意可得，NEGB=NFCH,NEBG=NCFD,则

xBEGsxFHC,又DG=BG,CD=CF,所以变=变=变=走；

FHFCCD3

（3）过点。作ZW_L3C于点N,由1211/%06=1211（4-60。）=箓="，得NG=m,所以8G=6-〃］，又

△BEGSAFHC,DG=BG,CD=CF,所以空=些=殷=^1^.

FHFCCD2

【解析】（1）解：在RtZUBC中，N/C8=90。，点D为4B的中点，

AD=CD=BD,

■：N4=60°,

.•./8=30°,是等边三角形，

:.ZDCB=30°,

/CDE=a=90。,

tan/CGD=tan60°=——=,

DG

.GDV3

••---=—.

CD3

•・•线段CD绕点D顺时针旋转。（60。＜。＜120°）得到线段ED,

ED=CD=BD,

故答案为：ED=BD；—.

3

（2）解：由（1）可知，4。。=60。，NCGQ=60。，BD=DE,

ZBDE=30°fZEGB=60°,

NDBE=NDEB=75。,

NEBG=45。,

•rZGDB=180°-ZADE=30°,/ABC=30°,

NGDB=NABC,

DG=BG,

'：DM”4CDE,/CDE=9。。,

ZCDM=NEDM=45°,

•••CF//DE,

ZCFD=ZEDM=45°,

ZCFD=ZEDM=ZCDM,

:.CF=CD=EDf

••・四边形CD跖是菱形，

ZCDE=90°,

・.・菱形CQ跖是正方形.

/.ZCFD=ZCDF=4509ZZ）CF=90°,

・•.ZFCH=60°,

:.NEGB=NFCH,NEBG=NCFD,

:.ABEGsAFHC,

.BEBG

'~FH~~FC"

vDG=BG,CD=CF,

,BEBG_GD43

(3)解：如图3,过点。作。N1BC于点N,

\E.-.AC//DN,

图3

:.ZACD=ZCDNf

・•・MS是等边三角形，AC=2,

：.FC=CD=AC=2fZCDN=ZACD=60°,

:./NDG=a-60°,DN=1,

NG

tan/NDG=tan(a-60°)==m,

DN

/.NG=m,

在RtZkZBC中，ZACB=90°,ZA=60°,AC=2,

."=4,BC=20

：.BN=CN=6,

BG=6-m，

•「ZADC=60°,ZCDG=a,

ZBDE=nO0-a,

(y

ZBEG=30°+—

2f

ty

:.NEBG=—,

2

/.ZBGE=150°-a,

DM平分Z-CDE,ZCDE=a,

(y

ZCDM=ZEDM=—,

2

CF//DE,

a

:.NCFD=NEDM=—,ZDCF+ZCDE=130°

2f

/.ZDCF=\S00-af

ZFCG=150°-a,

:.NEGB=NFCG,ZEBG=ZCFD,

:ABEGsAFHC,

,BEBGy/3-m

一丽—记――2--

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，含30。的直角三角形的边角关

系，正方形的性质与判定，旋转的性质，三角形内角和等内容，得到ABEGsAmc是解题关键.

4.如图，在等腰直角ZUBC中，AB=AC,NA4c=90。，点E为NC的中点，EF=EC,将线段E尸绕点

E顺时针旋转90。，连接尸G、FC；点。为8c中点，连接GD,直线GD与直线C尸交于点N.

(1)如图1,若NFC/=30。，DC=46,求CF的长；

(2)连接5G并延长至点M,使3G=MG,连接CN.

①如图2,若NG1MB,求证：AB=^-CM；

2

4FG

②如图3,当点G、F、5共线时，ABCH=90°,连接S,8请直接写出^的值.

5FH

【答案］⑴3

⑵①证明见解析②:

O

【分析】(1)连接。E,过点K作EJLC尸于/求出EC=EO=EF=g,再求出

3

CJ=FJ=EC-cos300=-,即可得解；

(2)①连接DE,EN.先证明四边形CMGN是正方形，得出NC=CM=GN=MG=2CF,设

CF=DG=DN=FN=m,则BG=GW=2"z,求出CM,48的长，即可得解；②可以假设2C=5左，

CH=4k.贝U/C=还后再求出FG,证明〃F="C,即可得解.

2

【解析】(1)解：如图1中，连接。£,过点£作尸于/

G

图1

VAB=AC,ZA=90°f

ZACB=/B=45°,

•.*AE=EC,BD=DC,

DE//AB,

・•・NDEC=ZA=90。,

：./EDC=/ECD=45°,

：.ED=EC,

丁CD=布,

・•・EC=ED=EF=Y5,

ZECF=30°,EJ.LCF,

3

：.CJ=FJ=EC-cos30°=-,

2

:,CF=2CJ=3.

(2)解：①如图2中，连接QE,EN.

图2

VAB=AC,NN=90。，

・•・ZACB=/ABC=45°,

AE=EC,BD=DC,

：.DE//AB,

・・・NDEC=ZA=90。，

ZEDC=ZECD=45°,

ED=EC,

ZGEF=/DEC=90°,

・•・AGED=ZFEC,

VEG=EF,ED=EC,

AGED知FEC(SAS),

・・・ZEGD=ZEDG=/EFC=ZECF,

DG=CF,NEFC+ZEFN=180°,

NEGN+NEW=180。，

:・E,G,N,b四点共圆，

/ENF=/EGF=45°,ZGNE=ZEFG=45°

ZENC=ZENG=45°,

：.ZGNC=90°,

・・・EG=EC,

：.ANEC^ANEG(AAS),

・・・NG=NC,

NG1BM,

：./NGB=90°,

YBG=GM,BD=DC,

/.DG//CM,DG=^CM,

：.ZM=NDGB=90°,

，四边形CMGN是矩形，

NG=NC,

，四边形CA/GN是正方形，

/.NC=CM=GN=MG=2CF,

设CF=DG=DN=FN=m,贝(jBG=GAf=2m,

BD=yjBG2+DG2=45m，

/.BC=2DB=2sl5m,

・•・AB=—BC=4i0m,

2

.AB_VlOm_VlO

^~CM~2m~~2~'

AB=—CM.

2

②如图3中，

图3

4

CH=-BC,

5

・・・可以倨（设5。=5左，CH=4k.则4C=土上，

2

AE=EC=EF=EG=^-k,

4

：.FG=y/2EG=-k,

2

♦:CHLCB,NACB=45。,

・・・/BCH=90°,

・・・/4CH=45。,

•；EF=EC,

：.ZEFC=ZECF,

ZHCF=ZHCA+ZECF=45°+ZECF,ZHFC=ZEFG+ZEFC=45°+ZEFC,

：.ZHCF=ZHFC,

・・・HF=HC=4k,

5

：.FG=T^=5,

FH-4k—8

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、旋转变换，正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性

质、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键.

5.在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动.

(1)操作判断

小红将两个完全相同的矩形纸/5CD和CEFG拼成“乙”形图案，如图①.试判断：的形状为

图①

(2)深入探究

小红在保持矩形4SCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若9=2,AD=4.

图②图③

探究一：①若矩形CEFG绕点C顺时针旋转，当点尸恰好落在ND的延长线上时，设CG与。尸相交于点

M,如图②，求ACMF的面积.

探究二：②若矩形CKFG绕点C逆时针旋转机。，边CG与边40交于点连接8M,当

N5MC+N/MC=180。时，如图③.请直接写出加的值.

【答案】(1)等腰直角三角形

⑵探究一：探究二：15

【分析】(1)正确“8C0ACEF(SAS),可得/C=FC,ZACB=NCFE,进而可得//C尸=90。，据此即可

求解;

(2)探究一：证明ACDA£AFGM(AAS)可得/，又由三线合一可得尸，得到

DM=4-MF=4-CM,在Rt^CDM利用勾股定理可得CM,最后根据三角形的面积公式计算即可求

解；

探究二：由补角性质可得//MC=/8MG,即可得=进而由平行线的性质得到

AU1

ZBCM=ZAMG,即到/BMC=/BCM,得到=8C=4。=4,即得到sinN4Affl=—=-,得到

BM2

乙4MB=30。，进而由平行线的性质得到/C3W=//A"=30。，即得/BMC=/8CN=75。，最后求出

〃CG即可求解.

【解析】(1)解：•・•四边形48CD和CEFG是两个完全相同的矩形，

:・AB=CE,AB=AE=90°,BC=EF,

：.AABC^ACEF(SAS),

AC=FC,/ACB=NCFE,

'：ZCFE+ZECF=90°,

・・・ZACB+ZECF=90°f

：.ZACF=90°,

•;AC=FC,ZACF=90°,

・•・△/CF为等腰直角三角形，

故答案为：等腰直角三角形；

ZDMC=ZGMF

(2)解：探究一：VZCDAf=ZG=90°,

CD=GF

.・・△81修△尸GM(AAS),

・・・CM=MF,

•；AC=CF,CD1AFf

：.AD=DF,

,:AB=CD=2,AD=DF=4,

:・DM=4—MF=4—CM,

在中，CD?+DM?=CM?,

：.22+(4-CM)2=CM2,

解得CM=g,

：.MF=-,

2

ACMF的面积=LMFCD=LX*X2=*；

2222

探究二：VABMC+ZAMC=1^0°,NBMC+NBMG=180°,

・・・AAMC=/BMG,

：.ZAMC-/AMB=ZBMG-/AMB,

即=

・・,AD//BC,

：./BCM=ZAMG,

・•・/BMC=/BCM,

：.BM=BC=AD=4,

•Z=9。。，坐二」，

BM42

：.sinZAMB=-

2f

：.ZAMB=3Q°,

：.AD//BC,

：.ZCBM=ZAMB=30°f

/BMC=/BCM=18。°-30。=

2

AZDCG=90°-75°=15°,

即机=15.

【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定，等腰三角形的判定

和性质，平行线的性质，勾股定理，三角形函数，旋转的性质，掌握以上知识点是解题的关键.

题型3：翻折问题

6.△ABC中，/8=8C,点。在边/C上，连接8。，将AD绕点。顺时针旋转至。E,且点E落在直线48

⑴如图1,若443。=90。，点E是线段48的中点，若8=2a,求4D的长.

(2)如图2,若/48C=60。，点M是线段AD的中点，连接ME,求证：CMLME.

(3)如图3,若/ABC=60。，BC=4,同一平面内将△/皿沿着50翻折得到△尸皮)，使得点P落在5c下

方，连接尸。，过点尸做尸”，3c交于点〃，点C关于阳的对称点为点C',连接尸C'，AC,当PH-HC

最大时，直接写出△/8C'的面积.

【答案】(1)6亚

(2)见解析

⑶4

【分析】(1)作。7248于T,DK上BC于K,则四边形是矩形，得到DK=2T,由等腰三角形的

性质可得ET=3T,由题意得出乙4=/C=45。，推出A4DT、ACDK为等腰直角三角形，再由等腰直角三

角形的性质计算得出OK=8T=ET=2,结合题意得出4&=2£=4,求出NT=/E+ET=6,即可得解；

(2)连接CE,延长EM到点J,使得=连接区/、CJ、DJ,设“交BC于P,证明四边形£2㈤

是平行四边形，得出助=",EB//DJ,由题意得出△4BC为等边三角形，得到4C=5C,

NB4C=NACB=60。,证明△尸DC为等边三角形，得出CP=CD=DP,由旋转的性质可得。8=0E,由等

边对等角得出NDBE=NBE4,推出/DE/=NADP,先证明A£Z。丝AOP3(AAS),得出

AE=DP=CP=CD,再证明之ACPJ(SAS),得出C£=C7,最后由等腰三角形的性质即可得证；

(3)以8为圆心，R4为半径作。8,过点8作3Kle3交。8于K,连接CK交用于R,贝IJAC8K为等

腰直角三角形，证明出=由轴对称的性质得出CH=CH,得到HR=HC,贝lj

PH-HC'=PH-HR=PR,推出PR的值最大时，尸打-8C的值最大，过点尸作尸。，贺于。，贝必尸。尺

为等腰直角三角形，推出当尸。的值最大时，尸火的值最大，连接80,由三角形三边关系可得：

PQ<BP-BQ,推出当8、P、。三点在同一直线上时，即成，CK时，尸。的值最大，令BP交CK于

M,贝i]/BMC=90°,根据等腰直角三角形的性质求出BC'=4行-4，由题意得出△ZBC为等边三角形，

得至!J/8=8C=4,连接/C,作NG,8c于G,则8G=CG==2,由勾股定理得出/G=26，再

由三角形面积公式计算即可得解S/BC，=；6C'2G.

【解析】(1)解：如图，作。71/8于T,于K,

NDTB=NTBK=NDKC=90°,

・・・四边形577)K是矩形,

DK=BT,

•：DE=DB,DT±AB,

：.ET=BT,

VZABC=90°fAB=BC,

・・・△45。是等腰直角三角形，

：.ZA=ZC=45°f

・.•ZDKC=ZDTA=90°,

•••△4DT、ACDK为等腰直角三角形，

CD=2V2,

：.DK=CK=2,

：.BT=ET=2,

：.BE=4,

・・・E为4g中点，

・•・AE=BE=4,

：.AT=AE+ET=6,

AD=41AT=642;

(2)证明：如图，连接CE,延长现f到点J,使得W=£M,连接B7、CJ、DJ,设DJ交BC于P,

•・•点“是线段的中点，

:,BM=DM,

MJ=EM,

・・・四边形片乙㈤是平行四边形,

:•EB=DJ,EB〃DJ,

9：ZABC=60°,AB=BC,

：.△/台。为等边三角形，

AC=BC,ABAC=AACB=60°,

EB//DJ,

：.ZDPC=ZABC=60°,/EBD=/BDP,

・・・△PDC为等边三角形，

CP=CD=DPf

由旋转的性质可得DB=DE,

：.ZDBE=/BEA,

ZDEA=ZBDP,

AC—CD=BC—CP,

：.BP=AD,

'：ZEAD=180。—ABAC=120°,/BPD=180。—ZDPC=120°,

・•・ZEAD=/BPD,

.・・注△DPB(AAS),

・・・AE=DP=CP=CD,

\BE-AE=DJ-DP,

：.PJ=AB=AC,

丁ZCPJ=180°-ZDPC=120°,

ZCPJ=ZEAC=no0,

,.・AE=CP,

：.AEAC^CPJ(SAS)F

・•・CE=CJ,

EM=MJ,

：.CMLEM；

(3)解：如图，以5为圆心，A4为半径作。过点5作5K1C3交。8于K,连接CK交PH于R,

BC=BK,NCBK=90°,

・・・△CBK为等腰直角三角形，

・・・ZBCK=45°,

•；PH人BC,

：./CHR=90°,

/.ZHCR=ZCRH=45°,

・・・CH=HR,

点C关于PH的对称点为点C,

：.CH=CH,

・・・HR=HC,

・・・PH-HC'=PH—HR=PR,

・,・夕火的值最大时，9-HC的值最大，

过点P作于。，

,.・ZPRQ=ZCRH=45°,

.••△PQH为等腰直角三角形，

・••当的值最大时，尸火的值最大，

连接阳，由三角形三边关系可得：PQ<BP-BQ,

・••当3、尸、。三点在同一直线上时，即5尸，CK时，?。的值最大,

令BP交CK于M,则/BMC=90。，

・・・ZBCM=45°,

・・・△以%/为等腰直角三角形，

；・BM=JBC=2也,NCBN=45。，

2

?.PQ=PM=BP-BM=4-2母

：.PR=4iPQ=4近-4,

同理可得ABHP为等腰直角三角形，

22

:.HR=HP-BP=2C-(4柩-4)=4-2血,

"=4-2亚，

BC'=BH-C'H=4s/2-4,

,：ZABC=60°,BC=AB,

/.△4BC为等边三角形，

AB=BC=4,

连接/C,作/G,8c于G,则3G=CG=』BC=2,

2

••AG-yjAB2—BG2=2y/3，

S.ABC=^BC'-AG=^X(4V2-4)X2V3=476-473.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、

矩形的判定与性质、解直角三角形、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用,

添加适当的辅助线是解此题的关键.

7.在综合与实践课上，王老师以“等腰直角三角形的折叠”为主题开展数学活动.

图1图2图3

⑴操作验算

如图1,△4BC是等腰直角三角形纸片，4cB=90,。为4B上一点，ZACD=30°.甲同学沿E尸对折，使

点C的对应点落在射线8上，折痕分别交射线CN、射线C8于点£、点?

CFAD

①求三的值，②若ND=拒，求3。、筋的值；

(2)迁移探究

如图2,△4BC是等腰直角三角形纸片，ZACB=90°,。为线段AB上任意一点.乙同学沿环对折，使点

C的对应点落在射线CZ)上，折痕分别交射线C/、射线C2于点E、点尸.

探究C三F与二AD的数量关系，并说明理由;

CAJJD

(3)拓展应用

AV)1

如图3,△N8C是等腰直角三角形纸片，ZACB=90°,丙同学在N8取点。，使了工=彳，沿即对折，使

BD2

点C的对应点落在射线8上，折痕交线段。于点£,连结求证：BE=3DE.

【答案】⑴①旦②娓,显

33

嗒嗡理由见解析

(3)见解析

【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，三角形函数等

知识点,

(1)①先得出NECD=/C尸£=30。，得至ljC£=tan3(T=巫；②过点。作。G，/C交NC于点G,

CF3

CB=CA=43+1,AB=6cB=a+6,BD=AB-AD=a+6-^=&，—=^=—;

BD3

(2)过点。作。交/C于点，，DK上BC交BC于■点、K,AD=42DH，BD3DK，得出

AD42DHDH根据C4=OK,得出迎=2^=tan/NCD,再根据tanNCEE=笠,

BD亚DKDK'BDCHCF

NCFE=NACD,得出桨=||；(3)过点/作BC的平行线交CD的延长线于点根据saRDC,

DL)Cr

得出亚=#•=:，得到CM=3Z)M,再证明△4MC丝△CEB,得到CN=3E,LAEDm乙AMD,得到

BDCD2

DM=ED,得出BE=3DE；

掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

【解析】(1)①由题意得：CD1EF,

'：ZACD=30°,

：.ZECD=NCFE=30°,

:.笠=tan3O0=0

CF3

②过点。作。GL4C交/C于点G,

C

E.

D

AG=DG=—AD=1

2

，CG=&G=5

，C8=C4=G+1,AB=&CB=&&,

/.BD=AB-AD^46+42-42^46,

.AD

,•茄一耳一1"；

⑵：=券’理由如下:

过点。作。交/C于点〃，DK上BC交BC于■点、K,

：.CH=DK,

,:AD=4iDH，BD=41DK，

,AD_42DH_DH

"BD~亚DK~DK

"：CH=DK,

ADDH/…

----=-----=tanZACD,

BDCH

CF

•：tanACFE=—

CF

又•:ZCFE=ZACD,

.AD_CE

*,5D-CF

(3)过点/作5c的平行线交CO的延长线于点M,

c

A\；D

CE1

CA2

・・.AE=CE,

丁AM//BC

AADMs/\BDC,

.ADDM

「BD~~CD~^^

：.CM=3DM,

在“MC和aCEB中，

'/ACM=ZCBE

•：\AC=BC,

/CAM=/BCE=90。

••.△4MC^AC£5（ASA）,

CM=BE,AM=CE=AE,

在△4E。和△/〃7）中，

AE=AM

<ZEAD=ZMAD=45°,

AD=AD

：."EDRZMD（SAS）,

DM=ED,

BE=3DE.

8.折纸是富有趣味和有意义的一项活动，折纸中隐含着数学知识与思想方法，深入探究折纸，可以用数学

的眼光发现，用数学的思维思考，用数学的语言描述，提升同学们的综合素养.

(1)如图1,一张等边三角形△N2C纸片，点。是边/C上一动点，将△2CO沿AD翻折，点C的对应点为

E.若BELBC,CD=2,求线段BE的长；

⑵如图2,一张正方形48。纸片，AB=2,M是AD的中点，将四边形4BCW沿四翻折得到四边形

EFCM,连接。尸，求线段。尸的长；

(3)如图3,一张菱形4BCD纸片，48=60。，点£是边上一动点，将ABCE沿CE翻折得到ACEF,射

线E尸与直线ND交于点/，若4B=6,FM=\,请直接写出线段3E的长.

【答案】⑴G+1

⑵|丽

⑶型或丝

-1311

【分析】⑴过点。作DQ^BC于点。，由折叠知=ZEBC=90°,则

ZDBC=45°,由△4BC为等边三角形得/C=60。，解△DSC即可；

(2)过点下作/G48C交8,。/于点。,6,可证明尸G=/C=2,MD=-AD=-DC,贝lj

22

tanZMCD=MH.==Lt设OG=a,贝!|OC=2a,FO=2-a,在RMFOC中，由勾股定理得，

CDOC2

,,4622i—

(2a)-+(2-«)2=22,解得:a=-,则尸。=不。。=不，在RtADO尸中，由勾股定理得FD=5W；

(3)当点”在D4延长线上时，连接MC,NC,过点C作的垂线，垂足为K,尸，过点M作品"，

于点H,则NCP9=NCK4=90。，先证明△“户也△CM,再证明RtZXCPM乌RtZXCKN,最后证明

/1CFM^/\CAM,贝设BE=FE=x,则^£=6—x,ME=l+x,在RtZ\Affi4中，

Z3=60°,4HEH=--x,由勾股定理得，MH=旦在RtAkffi〃中，由勾股定理得，

222

=(l+x)\解得：x='；当点"在线段ND上时，同理x若.

【解析】(1)解：过点。作3c于点0,

由折叠知BE=BC,/DBC=/DBE,

・.,BELBC,

：.ZEBC=90°,

・•・/DBC=45。,

・・・△/5C为等边三角形，

・•・ZC=60°,

・.・DQLBC,

.・・NQDC=30。，

：.CQ=^CD=\,由勾股定理得。0=6，△DQB为等腰直角三角形,

二BQ=DQ=6,

BE=BC=41；

(2)解：过点尸作FG/8C交。。。11于点。,6,

:四边形是正方形，

/.AB=BC=CD=AD=2,/BCD=ZADC=90°

由折叠得，2BCM=2FCM,CF=BC=2,

•：FG〃BC,

：.NFGC=NBCM,

：.ZFGC=ZFCM,

：.FG=FC=2,

・・•点M为中点,

：.MD=-AD=-DC,

22

八…MDOG1

・・tanZMCD=-----=-----=—,

CDOC2

设OG=a,则OC=2。，FO=2—a,

在RtA尸。C中,由勾股定理得,（2a）2+（2-a）2=22,

4

解得：tz=-,

：.F0=-,D0=2-0C=-

551

.•.在Rt^OO9中，由勾股定理得，FD=^DO2+OF2=-Vio；

（3）解：当点〃r在延长线上时，

连接过点C作"ME的垂线，垂足为篦尸，过点M作于点〃，则

ZCPF=ZCKA=90°,

..•四边形是菱形，

:.BA=BC,AD//BC

•：Z5=60°,

△N8C为等边三角形，/3=48=60。，

:.AC=BC,ZACB=60°,

由翻折得，CB=CF,Z.l=ZB=60°,BE=FE

：.CA=CF,

•：AD//BC,

：.Z2=NACB=60°,

，Z1=Z2,

ACPF会4CKA,

：・CP=CK,

'：CM=CM,

：.RtACPM^RtACKM,

・•・ZFMC=ZAMC,

N1=N2,

・•・ZCFM=ZCAM

：.ACFM经MAM,

：.AM=FM=\,

设BE=FE=x,则々=6—%,ME=\+x,

在RtZ\M£4中，N3=60。，

...NAMH=30。,

二.同卜可求4H=—,EH=6------x=------x,

222

由勾股定理得，MH=—,

2

在RtZXM即中，由勾股定理得,

30

解得:X=­

13

当点〃在线段4D上时,

同上可得：MA=MF=1,

113

设BE=FE=x,则4E=6-x,ME=x-\,HE=-+6-x=——x,