与特殊三角形有关的分类讨论模型-2025年江西中考数学常见几何模型解读与提分训练（解析版）

专题01与特殊三角形有关的分类讨论模型解读与提分精练

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模型1.等腰三角形的角和边不确定

模型2.直角三角形的直角顶点不确定

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模型1.等腰三角形的角和边不确定

模型解读

方法解读：当题干中出现类似“若△ABC为等腰三角形”这样的表述时，未明确哪两条边为腰，需考虑分

类讨论：®AB=AC(Ci,C4);®AB=BC(CZC5);®AC=BC［C^)

解题方法：①求角度：根据等腰三角形等边对等角的性质结合三角形内角和及内外角关系求解；②求线段

长：可用勾股定理、全等三角形、相似三角形的判定与性质求解，若出现30°、45°的角时，可考虑用锐

角三角函数或含30°、45°角的直角三角形的性质求解.

模型运用

例1.(2024•江西南昌•二模)如图，在ABCD中，AB=2,BC=2g4=45。，点E在射线上，当

VADE为等腰三角形时，NA即的度数为.

【答案】15。或75°或90°

【知识点】等边对等角、利用平行四边形的性质求解、三角函数综合

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数.当VAOE为等腰三角形

时，有以下三种情况：①当AD=AE=2后时，过点A作AblBC于尸，先求出4尸=应，在Rt但中

利用锐角三角函数可求出NA£F=30。，则/ZME=NA£F=30。，进而得的度数；②当

4D=£>E=20时，又有两种情况：（回）当点E在线段8C上时，过点。作DG，3c交延长线于G,先

求出。G=0，在RtVDEG中利用锐角三角函数可求出，NDEG=30。,则NADE="EG=30。，进而得

—AED的度数；（回）当点E在BC的延长线上时，过点。作DMLCE于先分别求出=60。，

NCDM=45。，进而得NADE=150。，由此可得NASD的度数；③当短=。七时，过点E作A£>于"，

根据等腰三角形性质得犯=£）”=夜，根据平行线间的距离得=应，则==由此得

ZAEH=DEH=45°,进而可得—AED的度数，综上所述即可得出答案.

【详解】解：回四边形ABCD为平行四边形，

0AB=CD=2,AD=BC=2&ADBC,ABCD,ZB=ZADC=45°,

当V3为等腰三角形时，有以下三种情况：

①当AD=AE=2应时，过点A作A/于忆如图1所示：

0AF=AB-sinB=2xsin45°=^,

即平行线AD,BC间的距离为血，

在RtAEF中，sinZAEF=—=^==~,

AE2A/22

I3NA£F=3O°,

SAD//BC,

0ZDAE=ZAEF=30°,

0ZAED=ZADE=1(180°-ZDAE)=1x(180°-30°)=75°；

②当A£>=OE=2也时，又有两种情况：

(0)当点E在线段BC上时，过点。作OGL3C交BC延长线于G,如图2所示:

_________D

D/^7\

ECG

图2

由①可知：平行线ADBC间的距离为万，即。G=0，

在RtVDEG中，sinZDEG=—=^-==-,

DE2近2

SZDEG=30°,

^\AD//BC,

团ZADE=NDEG=30°,

0ZAED=ZEAD=1(180°-ZAD£)=1x(180°-30°)=75°；

(0)当点E在3C的延长线上时，过点。作。暇，CE于如图3所示：

贝I」DM=应,

在RtADAlE中，sinZDEAf=—=-^=-,

DE2近2

0ZZ>EM=3OO,

0Z.EDM=90°-ADEM=90°-30°=60°,

0ZDCM=ZB=45°,

0VCDM为等腰直角三角形，

0ZCE>M=45°,

0NCDE=Z.CDM+NEDM=45°+60°=105°,

0ZADE=ZADC+ZCDE=45°+105°=150°,

0ZAED=ZEAD=1(180°-ZA£)E)=1x(180°-150°)=15°；

③当=时，过点E作于H,如图4所示：

图4

BAE=DE,EHVAD,

S\AH=DH=-AD=y[2,

2

由①可知£W=也，

0AH=HD=EH,

国ZAEH=DEH=45。（此时点E与点C重合），

0ZA£D=9O°.

综上所述：ZAED的度数为：15。或75。或90。.

故答案为：15。或75。或90。.

例2.（2024•江西九江•模拟预测）如图所示，在VABC中，ZBCA90°,ZBAC=24°,将VABC绕点C逆

时针旋转a（0。<a<90。）得DEC.若CO交48于点R当&=时，△A2加为等腰三角形.

【答案】28。或44。

【知识点】根据旋转的性质求解、等边对等角、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质

【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质，根据旋转的

性质可得：ZDCA=a,DC=AC,根据等边对等角可知：ZCDA=ZCAD,再表示出/ZMF,根据三角形

外角的性质可表示出ZDE4,然后分①NADF=NDAF,@ZADF=ZDFA,③NZM产=NDE4三种情况

讨论求解即可.

【详解】解：由旋转的性质可得NDC4=CGDC=AC,

0ZCDA=ZCAD=1（18O°-tz）=9O°-1a,

0ZBAC=24°,

0ZDAF=NCAD-ABAC=90°--a-24°

2

根据三角形的外角性质可得：ZDFA+ABAC+ZDCA=24°+a,

△AD/是等腰三角形，分三种情况讨论：

①当=时，则NADF=NDAF,90o-|rz=90°-1a-24°,此时无解；

②当AF=AD时，则NAD尸=NDE4,90°-gc=24°+a,解得:a=44°；

③当DF=AD时，则NZMF=NDE4,90°-1a-24°=24°+a,解得：a=28。；

综上所述，旋转角a度数为28。或44。，

故答案为：28。或44。.

例3.（2024•江西抚州•模拟预测）如图，VA8C中，AB=4,BC=^26,AC=5jL点尸为AC边上的动

点，当尸是等腰三解形时，AP的长为.

A

【答案】4.2&或4应

【知识点】用勾股定理解三角形、三线合一、等腰三角形的性质和判定

【分析】本题考查等腰三角形综合，涉及等腰三角形性质、勾股定理及解方程等知识，由一尸是等腰三解

形，分三种情况：AB=AP；BA=B尸;=作出图形，构造直角三角形，解直角三角形即可得到答案,

熟练掌握等腰三角形性质、勾股定理求线段长是解决问题的关键.

【详解】解：AB尸是等腰三解形，

•••分三种情况：AB=AP-BA=BP;PA=PB..

①当AP=AB=4时，AB尸是等腰三解形；

②当54=5尸时，

AB=4<726=BC,

.・•点P的位置如图所示：

A

由等腰三角形三线合一性质得到3。是阳的中线，^DA=DP,

设DA=Z)P=x,则OC=AC-AD=5近一x，

在RtA4B£)中，AIJr+BD1=AB1>^x2+BD2=42；

在RtZ\C3D中，CD2+BD1=CB2,即卜及+瓦炉=（后『；

（5A/^—x）—x2=26—16,10s/2x=40>解得x=，

AP=2尤=4>/2;

当上4=P5时，如图所示：

A

由②中=3尸=4,AP=40可知,AB尸是等腰直角三角形，即NA=45。，

・••当24=尸5时，ZPBA=ZA=45°,则/APB=90。，即二AB尸是等腰直角三角形，

.-.AP^+PB2=AB2>则2A产=16，解得AP=2也；

综上所述，AP的长为4,2加或40\

故答案为：4,2a或4阪.

例4.(2024•江西南昌•模拟预测)如图，在"CB中，ZACB=90°,BC=43,VABC的外接圆O的半

径为3,。是边BC延长线上一点，连接A。，交（。于点E,连接CE.若△CED为等腰三角形，则线段30

的长度为.

【答案】6或6#或2后

【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、圆周角定理

【分析】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键.根据

勾股定理得到47=，钿2_302=屈,①当CE=OE时，②当。C=OE时，③当CE=8时，根据圆

内接四边形的性质和等腰三角形的性质以及勾股定理即可得到结论.

【详解】解：NACB=90。，

是。的直径，

AB=2x3=6,

?.AC=^IAB2-BC2=底,

①当CE=O石时，

"D=/DCE,

ZDCE=ZBAD,

.\ZBAD=ZD,

BD=AB=6,

②当DC=OE时，

二ZDCE=ZDEC,

/DEC=ZABC,ZDCE=ZDAB,

:.ZDBA=ZDAB,

AD=BD,

AE=BC=A/3,

ZACD=ZACB=90°,

s.AD1=AC2+CD\

BD2=33+(a)-a2

BD=6百，

③当CE=CD时，

:.ND=/CED,

ZCED=ZB,

/B=/D,

AB=AD,

AC_LBD,

:.BD=2BC=2区

综上所述，若△CEO为等腰三角形，线段8。的长度为6或66或26，

故答案为：6或6有或2vL

模型2.直角三角形的直角顶点不确定

模型解读

方法解读：当题干中出现类似“若AABC为直角三角形”这样的表述时，未明确哪个角为直角，需考虑分

类讨论：①/A=90°（G）;②NB=90°（C/;③NC=90°（CaC^）;

模型证明

解题方法：①求角度：根据直角三角形的性质结合三角形内角和及内外角关系求解；②求线段长：可用勾

股定理、全等三角形、相似三角形的判定与性质求解；若出现30°、45°的角时，可考虑用锐角三角函数

或含30°、45°角的直角三角形的性质求解；若出现中点，可考虑用直角三角形斜边中线的性质或者中位

线的性质求解。

模型运用

例5.（2024•江西南昌•模拟预测）在,ABCD中，AB=3,ZA=120°,AD=6,点P为平行四边形ABCD边

上的动点，且满足△BBC是直角三角形，则8P的长度是

【答案】3或36或先

2

【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形

【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，分NBPC=90。和NBCP=9O。两种

情况画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键.

【详解】解：回四边形ABCD是平行四边形，

0AD/7BC,

EIZBAC+ZB=180o,BC=AD=6,AB=CD=3,

回/区4c=120°,

0ZB=18OO-12O°=6O°,

(1)当N3PC=90。时,

①作于M,如图1所示，则/AMB=NAWC=90。,

国4=60°,

0ZBAM=3O°,

39

BC-BM=6——=-,

22

0AB2+AC2=32+(3A/3J"=36,BC2=62=36,

AB2+AC2=BC2,

EIVABC为直角三角形，ABAC=90°,

团此时点P和点A重合,

团此时8P=AB=3；

②当CP=CD=4B=3时，如图2,BP=^BC2-CP2=^62-32=343：

(2)当/8CP=90。时，如图3,CP=AM=—

2

回BP=JBC*CP23M

2

综上，3尸的长度是3或或独

2

故答案为：3或3g或血.

2

图1图2图3

【点睛】

例6.（2024•江西吉安•三模）如图，在VA3C中，AB=AC,ZB=30°,BC=9,D为AC上一点，AD=2DC,

P为边BC上的动点，当为直角三角形时，3尸的长为.

【答案】3或6或7

【知识点】三角函数综合、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三

角形

【分析】分血£>=90。，ZAPD=90°,NAD尸=90。三种情况计算即可.

本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，正确分

类，灵活应用相似和三角函数是解题的关键.

【详解】团在VABC中，AB=AC,ZB=30°,BC=9,

0ZC=ZB=3O°,ZBAC=120°,

过点A作于点M,

^AB=AC,4=30°,BC=9,

0AD=2Z)C,

团旬=26，DC=V3.

①如图1,当"40=90。时,

则NBA尸=30°,

0ZBAP=ZB,

SAP^BP.

在RtAAPC中,

ZC=30°,

SPC=2AP,

@BC=BP+PC=3BP,

0BP=3

②如图2,当NAPD=90。时，分别过点A,。作2C的垂线，垂足分别为，F,

A

2

IBA£=ABsin30o=—,DF=DCsin30°=—,CF=£>Ccos30°=-.

222

设石尸=尤，贝iJPB=CE—EP—CF=3—x.

^ZEAP=90-ZEPA=ZFPD,ZAEP=ZPFD=90°,

团ZXAPE^Z^PDF,

AEPE

团-------，

PFDF

2%

0-------~~r，

3-xv3

g

整理得尤2-3x+—=0,

4

3

解得玉=%2=5，

3

团石尸=一，

2

回BP=EP+BE=6；

③如图3,当/ADP=90。时,

在Rt。尸C中，ZC=30°,

0BP=BC—PC=7.

综上所述，当△APD为直角三角形时，3P的长为3或6或7.

例7.（2023•江西・中考真题）如图，在ABCD中，ZB=60°,BC=2AB,将48绕点A逆时针旋转角a

（0。<&<360。）得至UAP,连接尸C,PD.当△PCD为直角三角形时，旋转角a的度数为.

【答案】90。或270。或180。

【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质与判定求角度、根据

旋转的性质求解

【分析】连接AC,根据已知条件可得N54C=90。，进而分类讨论即可求解.

【详解】解：连接AC,取的中点E,连接AE,如图所示，

D

团在「ABC。中，ZB=60°,BC=2AB,

BBE=CE=-BC=AB,

2

团_ABE是等边三角形，

^ZBAE=ZAEB=6Q°,AE=BE,

0AE=EC

回ZEAC=NECA=-ZAEB=30°,

2

国NBAC=900

回AC_LCD,

如图所示，当点P在AC上时，止匕时NB4P=NB4C=90。，则旋转角。的度数为90。,

当点月在C4的延长线上时，如图所示，则。=360。-90。=270。

当尸在B4的延长线上时，则旋转角。的度数为180。，如图所示,

⑦PA=PB=CD,PB//CD,

团四边形PACD是平行四边形，

^AC±AB

团四边形尸ACQ是矩形，

^\ZPDC=90°

即△PDC是直角三角形,

综上所述，旋转角。的度数为90。或270。或180。

故答案为：90。或270。或180°.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性

质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.

例8.（2024•江西景德镇•二模）在VABC中，ZC=90°,ZA=35。，点。是AB的中点，将02绕着点。向

三角形外部旋转a角时（0°<£<90。），得到。尸，当△ACP恰为轴对称图形时，a的值为

【答案】70。或55。或40。

【知识点】根据旋转的性质求解、等边对等角、全等的性质和SSS综合（SSS）、直角三角形的两个锐角互

余

【分析】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，分三种情形讨论①当

AC=AP时，②当PC=PA时，③当C4=C尸时，分别利用全等三角形的性质计算即可.解题的关键是学

会分类讨论的思想思考问题.

【详解】解：在中，SZACB=90°,N54c=35。，点。是AB的中点，

团OC=OA=OB,

团ZOAC=ZACO=35°,ZCOB=70°,ZAOC=110°,

①如图，当AC=AP时,

OA=OA

在△AOC和4Aop中，＜AC=AP,

OC=OP

EIZ\AO&Z\AOP,

^ZAOC=ZAOP=UO°,

^a=ZPOB=10°.

②如图，当PC=R4时,

同理可证OPA^OPC

0ZPOA=ZPOC=1(360°-ZAOC)=125°

Ela=ZPOB=Z.POC-ZCOB=55°.

③如图中，当C4=C尸时,

同理可证一CQ4咨COB,

ZCOP=ZAOC=110°,

0a=ZPOB=NPOC-ZCOB=40°,

故答案为：70。或55。或40。.

习题练模型口

一、填空题

1.（2024•江西吉安,模拟预测）已知，正六边形A3CDEF的边长为2,点尸在它的边上，当4ABp为等腰三

角形时，AP的长为.

【答案】2或2坏或加

【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合、解直角三角形的相关

计算

【分析】根据题意，分三种情况讨论：①当=时，ABP为等腰二角形；②当=3尸时，ABP为

等腰三角形，③当AP=3P时，.尸为等腰三角形，分别求解即可.

【详解】解：•正六边形户的边长为2,

（6-2）x180°

AB=2,ZABC=---------------=120°,

6

①当AB=AP时,_ABP为等腰三角形,

:.MC=COS30°-BC=®X2=6,

2

:.AP=2也;

③当AP=3尸时，为等腰三角形，连接8。，过点P作PNLAB,

由②可知BO=AC=26，NEDC=120。,ZBDC=30°,

ZEDB=ZEDC-ZBDC=90°,

同理？ABD90?,

PN±AB,

.1四边形PD8N为矩形，

PN=BD=2百，

..APB为等腰三角形，

：.AN=BN=-x2=l,

2

AP=yjAN2+PN2=Jl2+(2网=岳,

综上所述AP的长为2或2括或.

【点睛】本题考查了正多边形和圆，等腰三角形的性质，解直角三角形的相关计算，勾股定理，多边形内

角和，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质.

3

2.（2024•江西赣州•二模）在Rt^ABC中，已知NC=90。，AB=10,cosB=g，点/在边AB上，点N在

边3C上，且4〃=&V,连接"N,当zBMN为等腰三角形时，AM=.

【答案】5或S或行

【知识点】等腰三角形的性质和判定、解直角三角形的相关计算

【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和解直角三角形，分三种情况结合等腰三角形的性质和解直角三

角形讨论求解即可.

【详解】解：当=时，如图1,

H

图I

^AM=BN,

^BM=AM，

：.AM=-AB=5；

2

当=时，如图2,作人位_L3C,则有=-BN=-AM,

22

3

且cos3=g,

图2

1…

BE3art—AM,公

即/3,

W-5=

10-AM-M

解得：AM=—;

解得：AM=—.

综上所述，答案为：5或号或

3.（22-23九年级上•江西九江,期末）正方形ABC£＞的边长为3,点P、。在正方形不同的边上与点A构成等

腰三角形，若等腰△AP。的底边长为2万，则等腰AAP。的腰长是.

【答案】2或痴或VTT

【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方

形的性质求线段长

［分析］分三种情况进行讨论，当尸、。分别在AD、上，AP=AQ,当P、。分别在CD,BDh,AP=AQ,

当AP=PQ,点P在C。上，点。在48上，分别画出图形，根据正方形的性质和勾股定理进行求解即可.

【详解】解：当P、。分别在AO、上，AP=AQ,zSAP。为等腰宜角三角形，如图所示:

回PQ=272,

当P、。分别在8、AD上，AP=AQ,如图所示:

团四边形ABCD为正方形，

国

AB=AC=BD=CD=3,ZB=ZC=90°f

团Rt.ABQ^Rt.ACP,

回BQ=CP,

@BD—BQ=CD—CP,即。尸=OQ,

团VQPQ为等腰直角三角形，

团产。=2应,

回£＞尸=£＞。=华=^^=2,

V2V2

团BQ=3-2=1,

回此时腰长为AQ=JAB?+BQ?=A/32+12=屈;

当AP=PQ,点。在C£）上，点。在A8上，过点尸作尸于点如图所示:

QAP=PQ,PMLAB,AQ=2后,

SAM=^AQ=>/2,

^\ZAMP=ZCAM=ZC=90°,

团四边形AMPC为矩形，

^MP=AC=3,

^AP=^AM2+MP2=+32=A/T1.

综上分析可知：等腰的腰长是2或炳或旧.

故答案为：2或J记或旧.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，解题

的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质.

4.（2023•江西新余•一模）在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=i2,D、E分别是边BC、AB1.

的动点•将VBDE沿直线OE翻折，使点8的对应点B'恰好落在边AC上•若是等腰三角形，则的

长是.

【答案】6或6拒-6或0

【知识点】等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题、折叠问题

【分析】分三种情况讨论：当=时，△AEB'是等腰三角形；当=时，△A£B'是等腰三角形；

当AE=5右时，△AEB'是等腰三角形，分别根据等腰三角形的性质以及勾股定理进行计算，即可得到C8

的值.

【详解】解：:NC=90。，ZA=30°,AB=6=12,

.•.4=60。，BC=6,

分三种情况讨论：

①如图所示，当点。与点C重合时，NB=NCB'E=60°,

ZA=30°,

：.ZAEB'=30°,

..ZA=ZA£B'，

:.AB'=EB',即△AES'是等腰三角形，

此时，CB'=BC=6；

②如图所示，当=时，是等腰三角形，

__2^彳

CB,

:.ZAB'E=15°,

由折叠可得，ZDB'E=ZABC=60°,

:.ZDB'C=45°,

X-.ZC=90°,

DC?是等腰直角三角形，

设CB'=x=OC,贝=6-

Rt、r）C£中，x2+x2=（6-x）2,

解得玉=6A/2—6,x2=—6>/2-6（舍去），

:.CB'^6y/2-6;

③如图所示，当点B'与点C重合时，/B=ZDCE=60。,

J

:.ZEB'A=30°=ZA,

：.AE=B'E,即△AEB'是等腰三角形，

此时CB'=O,

综上所述，当△A£B'是等腰三角形时，C&的值是6或60-6或0.

故答案为：6或60-6或0.

【点睛】本题主要考查了折叠问题，等腰三角形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的综合应用，解决

问题的关键是依据△A£B'是等腰三角形，画出图形进行分类讨论，解题时注意方程思想的运用.

5.（2024•江西吉安•一模）如图，在矩形ABC。中，AB=2,BC=3,点E,点尸分别在AB,8C上，

AE=BE=BF,若尸为矩形边上一点，当△EFP为直角三角形时，斜边长为

【答案】2或&或而

【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长

【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理.分三种情况讨论，利用矩形

的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理求解即可.

【详解】解：回矩形ABC。中，AB=2,BC=3,

SAB=CD=2,BC=AD=3,

团AE=BE=BF,

^AE=BE=\,CF=3-l=2=CD,

ElZkBEF是等腰直角三角形，EF=RBE?+BF?=0

显然点P与点B重合时，△EFP为直角三角形，

此时斜边长为所=应；

当点E为顶点时，为直角三角形，如图，

回ZAEP=180°-45°-90°=45°,

回△AEP是等腰直角三角形，且AE=AP=1,

团PE=jAE2+A尸2=0，

团斜边长为PF=yjPE1+EF2=2；

当点尸为顶点时，为直角三角形，如图,

0ZPFG=180°-45°-90°=45°,

过点尸作PGLBC于点G,

0FGP是等腰直角三角形，

团/G=PG=2,此时点尸与点。重合，点G与点C重合，

^PF=yjFG2+PG2=272>

团斜边长为PE=y/PF2+EF2=回；

综上，斜边长为2或a或加，

故答案为：2或6,或可.

6.（2024・江西•二模）如图，已知正六边形ABCD跖的边长为6,连接AE,AD,以点A为原点，AF所在

直线为V轴建立平面直角坐标系，P是射线AO上的点，若AAE尸是等腰三角形，则点尸的坐标可能

【答案】（36,3）或（9,3g）或（96,9）

【知识点】坐标与图形、等腰三角形的性质和判定、正多边形和圆的综合、解直角三角形的相关计算

【分析】本题考查了正六边形的性质、解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形，分三种情

况：当AP=EP时；当AP=A£=66时；当AE=EP=6«时；分别作出图形，利用等腰三角形的性质、

解直角三角形，求解即可得出答案，采用分类讨论的思想是解此题的关键.

【详解】解：如图，作尸OLAE于。，

正六边形ABCDEF的边长为6,

：.AF=EF=6,ZAFE=120°,ZE4D=60°,

ZFAE=NFEA=的-4庄=3Qo,

2

:.AO=AF-cos30°=6x—=3y/3,ZEAD=ZFAD-ZFAE=30°,

2

FO-LAE,

:.AE=2AO=6y/3,

△收是等腰三角形,

回如图，当AP=EP时，则NPEA=NE4尸=30。=/区4区,

AF//EG,

延长EP交x轴于G,则EGJ_x轴,

AG=-AE=3s/3,

2

ZPAG=90°-ZFAD=30°,

PG=AGtan30。=3岔x[=3,故此时尸3）；

如图，当AP=AE=66时，作轴于H,

则AH=APcos30o=66xt=9,PH=AP-sin30°=673x1=3>/3,故此时P（9,34）；

如图，当AE=EP=6石时，作EN_LAP于N,轴于V,

贝UA尸=2A7V=2XAE-COS30°=2><6A/5XL=18,

2

.•.AM=APcos30o=18x#=96，PM=APsin30°=18x1=9,故此时P（9右,9）；

综上所述，点P的坐标可能是（36,3）或（9,3』）或（9后,9）,

故答案为：卜血,3）或（9,3石）或（94,9）.

7.（2023•江西九江•二模）如图，在等腰VABC中，AB=AC=2,ZB=30°,。是线段3c上一动点，沿直

线AD将.ADB折叠得到VADE,连接EC.当DEC是以DE为直角边的直角三角形时，则8。的长

为.

【答案】石+1或百-1或亚

3

【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算

【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理、等边三角形的判定及性质，分类讨论：①当NCDE=90。时，

当点E在BC的下方时和当点E在BC的上方时，作利用勾股定理可求得3。，②当NCEE>=90。

时，利用解直角三角形即可求解，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键.

【详解】解：①当NCDE=90。时，

如图1,当点E在BC的下方时，作AHL3C,交BC于点H.

ADE由，ADB折叠而来，且DEJ_3C,

ZADE=（360°-90°）-2=135°,\1ADH?ADE?HDE135?90?45?.

在RtZXAB/7中，ZB=30°,AB=2,

:.AH=1,BH=6

在RtAD8中，

NADa=45。，AH=1,

：.DH=1,贝！］==;

图1

如图2,当点E在BC的上方时，作AHL3C,交BC于点H.

同理，可求得A〃=l,BH=日AH=DH=1,

BD=A/3+1；

图2

②如图3,当NCED=90。时，

NDEC=90°,ZA£D=30°,

ZAEC=NDEC-ZAED=60°.

AE=AC,

：.AEC是等边三角形，

..ZE4c=60。.

ABAD=NDAE=-{ABAC-ZEAC)=30°,

2

ZDAC=ZDAE+ZEAC=90°.

在RtZMC中，ZACD=30°,AC=2,

3A。=」=巫,

cosZACDcos3003

.•.BD=BC-CD=2V3--=—.

33

综上所述，8。的长为g+1或代-1或更.

3

图3

8.（2024•江西上饶,一模）如图，在三角形纸片A3C中，ZC=90°,ZB=60°,BC=6,将三角形纸片折叠,

使点B的对应点3'落在AC上，折痕与3CAB分别相交于点E、F,当VAFB'为等腰三角形时，班的长

为.

【答案】3或6或12-6后

【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、折叠问题

【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，以及折叠性质，三角形内角和性

质、外角性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键.先得出

NA=30。，AB=2BC=12,再进行分类讨论，进行作图，结合直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形

的性质，以及折叠性质，三角形内角和性质、外角性质，逐一分析解答，

【详解】解：回"=90。"=60。,=6,

0ZA=3O°,AB=2BC=12,

如图：3'尸=入尸时

A

团折叠

团BF=FR=AF,

0F是直角三角形ABC的斜边上的中点,

SBF=FB'=AF=6,

此时点？与C重合，

回折叠，

BBE=EC=-CB=3；

2

如图：B'R=AB'时

A

回折叠，

SBF=FB',BE=B'E,ZFB'E=ZFBE=60°,

0ZA=30°,B'F=AB',

团NAFB'=30。，ZFB'C=6O°,

0ZFB'E=NFB'C=60°,

团此时点E与点C重合，

即8E=3C=6；

如图：AF=AB'^

A

SZA^30°,AF=AB',

0ZAB'F=NAF2'=gx（180°-30°）=75°,

回折叠，

0EB=EB,ZFB'E=ZFBE=60°,

贝ljZEB'C=180°-75°-60°=45°,

0ZC=9O°,

团△ECB'是等腰直角三角形，

^CE=B'C,

^EB'=y/CE2+EB'2>

0EB'=gCE,CE=^=—EB',

V22

B'E+CE=BE+CE=6,

即B'E+—B'E=6,

2

解得B'E=12-6也,

综上：当VAFB'为等腰三角形时，8E的长为3或6或12-60，

故答案为：3或6或12-6应，

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，以及折叠性质，三角形内角和性

质、外角性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

9.（2023•江苏泰州•中考真题）如图，VABC中，AB=AC,ZA=30°,射线CP从射线C4开始绕点C逆时

针旋转a角（0。<a<75°）,与射线48相交于点D,将ACD沿射线CP翻折至△ACD处，射线CA1与射线AB

相交于点E.若一ADE是等腰三角形，则的度数为.

c

【答案】22.5°或45。或67.5°

【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形折叠中的角度问题、等边对等角

【分析】分情况讨论，禾佣折叠的性质知/A=/A'=30。，ZACP^ZACP^a,再画出图形，利用三角形

的外角性质列式计算即可求解.

【详解】解：由折叠的性质知NA=NA'=30。，ZACP^ZACP'^a,

当AD=DE时，/DE4'=ZA'=30。,

由三角形的外角性质得NDE4'=ZA+ZACD+ZACD,即30。=30°+2a,

此情况不存在;

当AD=A'E时，

N4=30°,NDEA'=ZEDA'=1(180°-30°)=75°,

由三角形的外角性质得75。=30。+2二,

解得a=22.5。；

当石4'=DE时，/EZM=NA'=30。,

c

由三角形的外角性质得120。=30。+20,

解得夕=45。；

当A'£>=AZ时，ZADE=ZAED=15°,

0ZAZ)C=ZA,DC=-(18OO-15O)=82.5°,

0cz=ZACD=180°-30°-82.5°=67.5°；

综上，/tz的度数为22.5。或45。或67.5。.

故答案为：22.5。或45。或67.5。.

【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的

关键.

10.(2023•江西吉安•模拟预测)如图，ZAOB=30°,点尸在Q4上，且。尸=若，点C在。4上，点。在

上，若△PCD是以PC为直角边的等腰直角三角形，则CD的长为.

【知识点】解直角三角形的相关计算、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形

【分析】分为直角边和斜边结合C的位置四种情况，利用解直角三角形的知识求解即可.

【详解】解：如图1，

B

D

图1

回△PCD是以PC为直角边的等腰直角三角形,

0ZDPC=90°,PD=PC,

在Rt0尸£)中，ZAOB=30°,OP=^3,

[WP=OPtan30°=l,

®CD=柩PD=0，

如图2,

图2

回△PCD是以PC为直角边的等腰直角三角形,

回/OCP=90°,PC=CD,

在Rt^OCD中，ZAOB=30°,CD=tan30°-OC,

设CD—a,则OC=a+#),

3+用

0tan3O°=—==解得a=--------

OCa+上32

回C£>=2^

2

如图3,

图3

回是以尸c为直角边的等腰直角三角形,

0ZDPC=90°,PD=PC,

在Rt中，ZAOB=30°,。尸=百，

0Z5P=tan3OoOP=l,

0CD=>/2;

如图4,

回是以尸C为直角边的等腰直角三角形，

0ZDCP=90°,CD=PC,

在Rt/XOCD中，［2/408=3。。，

0CD=tan30°-OC,

设C£）=b,则。C=回,则6=¥（岔一b）,

解得。=匕3

2

团CD=二史，

2

综上所述，CD的长为四或与8或土三，

故答案为：血或犯诙或心后.

22

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和解直角三角形，全面分类、熟练掌握三角函数的知识是解题

的关键.

11.（2023•江西南昌•二模）如图所示，。的直径AB=4,弦AC=2,点E是直线AB上的一动点，直线CE

【答案】1或1+省或6-1

【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定