中考数学几何专项冲刺复习：三角形的外接圆（提优）含答案及解析

专题26三角形的外接圆（提优）

一.选择题

1.如图，。。是AABC的外接圆，连接OB,若/OBC=30°,则/A的度数为（）

2.如图，△ABC为圆。的内接三角形，AB为圆O的直径，点。在圆。上，ZBAC=35°,则/AOC的

度数为（）

A.45°B.50°C.55°D.65°

3.如图，是△A2C的外接圆，半径为2的，若BC=2cm,则乙4的度数为（）

4.如图，点D,E分别是。。的内接正三角形ABC的AB,AC边的中点，若DE=1,则。。的直径为（）

5.如图，△ABC内接于O。，ZA=50°.E是边BC的中点，连接OE并延长，交。。于点D,连接跳）,

则/。的大小为（）

A.55°B.65°C.60°D.75°

6.如图，Z\ABC是的内接三角形，AB=BC,/BAC=30°,是直径，AD=S,则AC的长为（）

A.4B.4V3C.-V3D.2痘

3

7.如图，AABC是。。的内接三角形，已知圆心。在AB边上，C。平分NACB交圆于点D,连接BD,若

BD=BC,则/ABC的度数为（）

A.30°B.42.5°C.45°D.60°

8.如图，圆。是△ABC的外接圆，连接。4、OC,ZOAC=20°,则/ABC的度数为（）

A.140°B.110°C.70°D.40°

9.如图，AABC,AC=3,BC=4®ZACB=60°,过点A作BC的平行线/,尸为直线/上一动点，O。

为△APC的外接圆，直线交OO于E点，则AE的最小值为（

Bc.

A.V3-1B.7-4V3C.V3D.1

10.如图AABC为圆。的内接三角形，。为BC中点，E为OA中点，ZABC=40°,ZBCA=80°,则/

OED的大小为（）

A.15°B.18°C.20°D.22°

11.如图，"BC的外接圆OO的直径BE交AC于点D,已知弧BC等于120°,cotC=|V3,则关于x

的一元二次方程/-43BDx+BD-DE=0根的情况是（）

A

B.有两个相等的正实数根

C.有两个相等的实数根

D.有两个不相等的正实数根

二.填空题

12.如图，△ABC是。。的内接三角形,AB=3C,N2AC=30°是直径,A£>=8,则AC的长为

13.如图，AB为△ADC的外接圆。。的直径，若N54D=50°,则/ACD=

14.如图，AABC是。。的内接正三角形，点。是圆心，点。，E分别在边AC,AB上，若DA=EB,则

ZDOE的度数是..度•

15.如图，已知。为坐标原点，点A的坐标为（0,8）.点B的坐标为（6,0）,。。过A,B,。三点，C

为优弧为S上一点（不与点。重合），贝UcosC的值为.

16.已知：如图，在△ABC中，。是边上一点，圆O过。、B、C三点，ZDOC=2ZACD=90°.如

果/ACB=75°,圆。的半径为2,则BO的长为

17.如图，等边三角形ABC内接于。0,点D,E是。。上两点，且/OOE=120°,若。。=2,则图中阴

影部分的面积为

E

18.如图，AABC是O。的内接正三角形，弦£下经过2c边的中点D且EF//AB,若=6,则EF=

19.ZiABC内接于OO,AB为的直径，将△ABC绕点C旋转到△EDC,点E在。。上，已知AE=2,

tanD=3,则AB—.

20.如图，ZkABC内接于OO,过点C作CDLAB于点E,交。。于点D,延长AC交DB延长线于点凡

-1c

BF=§,连接AO、CO.CO与AB相交于点G,/CGE=3/CAB,OC=10,将圆心O绕着点B旋转

得到点。'，若点。'恰好落△"＞尸某一边上时，则。0'的长度为.

三.解答题

21.如图，A43c是O。的内接三角形，A3为。。的直径，AB=8,平分NABC,交AC于点E,交O。

于点。，连接AO.

(1)求证：ZDBA=ZCAD-,

(2)若比的长度为2m求/AEB的度数.

C

B

22.如图，△ABC为OO的内接三角形，ZACB=60°,弦CD平分NADB.

(1)求证：△ABC为等边三角形；

(2)若瓦)=3,AD=5,过C点作BD的平行线交ZM的延长线于点E,试求△CAE面积.

23.如图，RtAABC中，ZC=90°,M为AB上一点，过M,C,8三点的。。交AC于P,过点尸作尸。

//AB,交。。于点D

(1)若M是A3中点，连接求证：四边形APDM是平行四边形；

(2)连接当PM=PC,且AC=4,tanA=*,求线段PD的长.

B

D

24.如图，已知Rt^ABC中，ZACB=9Q°,平分/ABC,8。与AC交于E点，AD±BD,过。作DF

LAB于F交AC于G,ED与BC的延长线相交于点H.

(1)求证：点G是△AQE的外心；

(2)若FG=2,DH=5,求EG的长.

25.如图，△ABC内接于OO,AB=AC,8。为OO的直径，过点A作于点E,延长8。交AC延

长线于点?

(1)若AE=4,AB=5,求O。的半径；

(2)若BD=2DF,求sin/ACB的值.

26.如图，在Rf/ABC中，ZC=90°,3。平分NABC交AC于点方，DE_LBD交AB于点E,作△BDE

的外接圆.

(1)判断直线AC与外接圆的位置关系，并说明理由；

(2)若tan/ABO=孝，AD=6,求BC的长.

27.如图，已知点。是△ABC外接圆。。上的一点，ACLB。于G,连接4D,过点8作直线交

AC于E,交。。于R若点尸是弧CZ)的中点，连接。G,OD,CD

(1)求证：NDBF=NACB；

(2)若AG=^GE,试探究NGOD与NADC之间的数量关系，并证明.

28.如图，。是△ABC外接圆上的动点，且B,。位于AC的两侧，DELAB,垂足为E,DE的延长线交此

圆于点EBG±AD,垂足为G,BG交DE于点、H,DC,FB的延长线交于点尸，且尸C=PB.

(1)求证：BG//CD；

(2)设△ABC外接圆的圆心为0,若AB=WDH,NOHD=80°,求NBDE的大小.

管用图

29.如图，△ABC内接于OO,AB是。。的直径，CD平分/ACB交于点D,交AB于凡弦AE_LCD

于点“，连接CE、OH.

(1)求/AHO的度数；

(2)若BC=6,AC=8,求HE的长.

c

D

30.如图，在OO中，两条弦AC,30垂直相交于点区等腰△bG内接于。。FH为。0直径,且A3

=6,CD=8.

(1)求。。的半径；

⑵若CF=CG=9,求图中四边形CFG”的面积.

专题26三角形的外接圆(提优)

一.选择题

1.如图，。。是AABC的外接圆，连接OB,若/OBC=30°,则/A的度数为()

【分析】连接04OC,根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：连接0A,OC,

•..点。是△ABC的外心，

：.O\=OB=OC,

：.ZOAB=ZOBA,ZOBC=ZOCB,ZOAC=ZOCA,

'：ZOBC=30°,

：.ZOCB=30°,

i

：.ZBAC=^(180--30°-30°)=60°,

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形的内角和，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线

是解题的关键.

2.如图，△ABC为圆。的内接三角形，AB为圆O的直径，点。在圆。上，ZBAC=35°,则/AQC的

度数为()

D

A.45B.50°C.55°D.65

【分析】由圆周角定理得出NAC2=90°,由直角三角形的性质求出48=50°,再由圆周角定理得出/

ADC=ZB=55°即可.

【解答】解：•••A8是O。的直径，

AZACB=90°,

VZBAC=35°,

.\ZB=90°-35°=55°,

AZADC=ZB=55°.

故选：C.

【点评】此题主要考查了三角形的外接圆、圆周角定理以及直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是

解题的关键.

3.如图，是△A2C的外接圆，半径为2cm,若BC=2cm,则NA的度数为（）

【分析】连接02和OC,证明△OBC为等边三角形，得到N20C的度数，再利用圆周角定理得出N4

【解答】解：连接OB和OC,

•.,圆。半径为2,BC=2,

：.OB=OC=BC,

...△02C为等边三角形，

AZBOC=60°,

故选：A.

【点评】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线.

4.如图，点。，E分别是。。的内接正三角形ABC的AB,AC边的中点，若DE=1,则。。的直径为（)

【分析】连接02、0C,作。于足根据三角形中位线定理求出BC,根据圆周角定理得到N20C

=120°,利用余弦的概念计算即可.

【解答】解：连接。2、OC,作。尸，2C于E

1

贝ijBF=CF=^BC,

•.•点O,E分另ijAB,AC边的中点，

：.BC=2DE=2,

由圆周角定理得，ZBOC=2ZA=120°,

；.NOBF=30°,

•CR-BF_1_2V3

UtS~cosZOBF一百一-3~,

T

4-J3

•1.QO的直径为—,

【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形中位线定理、圆周角定理以及锐角三角函数

的定义是解题的关键.

5.如图，ZVIBC内接于OO,ZA=50°.E是边BC的中点，连接OE并延长，交。。于点。，连接3。，

则/。的大小为（)

A.55°B.65°C.60°D.75°

【分析】连接CD,根据圆内接四边形的性质得到/CDB=180°-ZA=130°,根据垂径定理得到O。

±BC,求得BD=CD,根据等腰三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：连接CD,

VZA=50°,

AZCDB=180°-ZA=130°,

；E是边2c的中点，

：.OD±BC,

：.BD=CD,

i

NODB=NODC="BDC=65。,

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，正

确的理解题意是解题的关键.

6.如图，AABC是。。的内接三角形，A2=BC,NBAC=30°,AD是直径，AD=8,则AC的长为（）

A.4B.4V3C.|V3D.2百

【分析】连接CD根据等腰三角形的性质得到/ACB=/54C=30。，根据圆内接四边形的性质得到/

0=180°-ZB=60°,求得/CA£>=30°,根据直角三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：连接CD,

"：AB=BC,ZBAC=30°,

AZACB=ZBAC=30°,

.\ZB=180o-30°-30°=120°,

AZD=180°-ZB=60°,

'：AD是直径，

AZACD=90°,

VZCAD=30°,AD=S,

1

：.CD=jAD^4,

.\AC=<AD2-CD2=V82-42=4后

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理,

正确的识别图形是解题的关键.

7.如图，△A2C是。0的内接三角形，已知圆心。在A3边上，O）平分NACB交圆于点£）,连接BD,若

BD=BC,则/ABC的度数为（）

A.30°B.42.5°C.45°D.60°

【分析】易证AB为的直径，ZACB=9Qa,由角平分线的性质得出NACQ=/BCD=45°,由等腰

三角形的性质得出/2Cr>=/3DC=45°,再NDBC=90°,由圆周角定理得出/ABr>=/ACD=45°,

即可得出结果.

【解答】解：「△ABC是OO的内接三角形，圆心。在A3边上，

为。。的直径，

/.ZACB=90°,

：cr(平分/ACB,

:.ZACD=ZBCD=45

,:BD=BC,

：.ZBCD=ZBDC=45°,

AZDBC=90°,

VZABD=ZACD=45°,

AZABC=90°-45°=45°,

故选：C.

【点评】本题考查了三角形外接圆与外心、角平分线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形

内角和定理等知识；熟练掌握圆周角定理和三角形外接圆与外心性质是解题的关键.

8.如图，圆。是△A3C的外接圆，连接。4、OC,ZOAC=20°,则NA3C的度数为（）

A.140°B.110°C.70°D.40°

【分析】在优弧上任取一点尸，连接AP,CP,易求NA。。的度数，则NP的度数可得，再根据圆

的内接四边形定理即可求出ZABC的度数.

【解答】解：在优弧上任取一点尸，连接A尸，CP,

•・Q=OC,

：.ZOAC=ZOCA=20°,

AZAOC=180°-2X20°=140°,

:./P=70°,

VZABC+ZP=180°,

AZABC=U0°,

故选：B.

B

【点评】本题考查了三角形外接圆与外心的有关知识点，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键.

9.如图，△ABC,AC=3,BC=4V3,ZACB=60°,过点4作BC的平行线/,P为直线/上一动点，OO

为△APC的外接圆，直线2P交。。于E点，则AE的最小值为（）

A.V3-1B.7-4V3C.V3D.1

【分析】如图，连接CE.首先证明/2EC=120°,由此推出点E在以。，为圆心，03为半径的船上运

动，连接OA交比于E',此时AE'的值最小.

【解答】解：如图，连接CE

'：AP//BC,

：.ZPAC=ZACB=60°,

；./CEP=/C4P=60°,

：.ZBEC=120°,

...点E在以。，为圆心，O'B为半径的船上运动，

连接O'A交比于E',此时AE'的值最小.此时OO与O。'交点为E.

'：ZBE'C=120°

二就所对圆周角为60°,

.\ZBOC=2X60o=120°,

,/△BO7C是等腰三角形，BC=4V3,

：.O'B=O'C=4,

VZACB=60°,ZBCO'=30°,

：.ZACO'=90°

：.O'A=<0'C2+AC2=V42+32=5,

：.AE'^O'A-O'E'=5-4=1.

故选：D.

【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系

等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题.

10.如图△ABC为圆。的内接三角形，。为中点，E为OA中点，ZABC=40°,ZBCA=80°,则/

OED的大小为()

A.15°B.18°C.20°D.22°

【分析】如图，连接OC,取OC中点/，连接ERDF,根据圆周角定理得到/AOC=2NABC=80°,

OE=OF,求得NOE尸=NO尸E=*(180。-80°)=50°,连接。8,推出△。尸。为等边三角形，得到

OD=OF=OE,于是得到结论.

【解答】解：如图，连接OC,取0c中点尸，连接防、DF,

：.ZAOC=2ZABC=80°,OE=OF,

：.ZOEF=ZOFE=^(180°-80°)=50°,

连接OB,

・・•。为3C中点，

：.BD=CD,OD±BC,

1

・•・NDOC="BOC,

1

VZBAC=^BOC,

:.ZDOC=ABAC,

：.ZDOC=ZBAC=180°-40°-80°=60°,

・・・F为。。中点,

JOF=FD,

•••△OFD为等边三角形，

：.OD=OF=OE,

・・・。、E、F、。四点共圆，

1

NFED="FOD=30°,

：.ZOED=50°-30°=20°.

【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线

构造等腰直角三角形是解题的关键.

11.如图，/XABC的外接圆OO的直径BE交AC于点。，已知弧等于120°,cotC=^73,则关于尤

的一元二次方程/-43BDx+BDDE=0根的情况是（）

B.有两个相等的正实数根

C.有两个相等的实数根

D.有两个不相等的正实数根

【分析】B。为直径，连接CE,构成直角三角形.过。点作在中，运用锐角三角

函数求边长；在RtZkBCE中，因为弧3C等于120。，可求其两锐角分别为60°、30°,根据锐角三角

函数可求B。、OE的长，代入判别式中，确定判别式的符号.

【解答】解：过。点作0PL2C,垂足为点R连接CE.

A

D-

2

在RtZ\C£>/中，cotC=|A/3.

设CF=2,则。尸=B.

已知弧BC等于120°,BE为直径,

所以/E=60°,NECB=90°,NEBC=30°.

在Rt/XBOF中，BD=2DF=2V3,BF=3.

在RtZ\BCE中，BC=BF+CF=5,BE=—=

cos30°

4J3

DE=BE-BD=亨.

；△=（V3BD）2-4-BD-DE

=（V3X2V3）2-4X2Wx竽

=36-32=4>0,

Xxi+%2=V3BD>0,XI*X2=BD,DE>0,

/.方程有两个不相等的正实数根，

故选：D.

【点评】本题是圆的问题、锐角三角函数与一元二次方程根的判别式的综合运用，一般需要把问题转化

到直角三角形中，利用锐角三角函数设边长，求边长，再用判别式判断方程根的情况.

二.填空题

12.如图，ZvlBC是OO的内接三角形,AB=BC,ZBAC=30°,AD是直径,AD=8,则AC的长为4胆.

【分析】连接CO,根据等腰三角形的性质得到/ACB=NBAC=30°,根据圆内接四边形的性质得到/

D=180°-ZB=60°,求得NC4D=30°,根据直角三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：连接C，

"：AB=BC,NBAC=30°,

AZACB=ZBAC=30°,

ZB=180°-30°-30°=120°,

・•・/£)=180°-ZB=60°,

VXD是直径，

AZAC£>=90°,

VZCAD=30°,AD=8,

1

：.CD=^AD=4,

.\AC=V82-42=4V3,

故答案为：4V3.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理,

正确的识别图形是解题的关键.

13.如图，A3为△ADC的外接圆。。的直径，若N8W=50°，则NAC£)=40°.

【分析】根据直径所对圆周角是直角和同弧所对圆周角相等即可求出NAC0的度数.

【解答】解：如图，连接50,

VAB为△A0C的外接圆。。的直径,

AZADB=90°,

VZBAD^50°,

AZABD=90°-50°=40°,

ZACD=ZABD=40°.

故答案为：40.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的外接圆与外心.

14.如图，△ABC是。。的内接正三角形，点。是圆心，点O,E分别在边AC,AB上，若DA=EB,则

/DOE的度数是120度.

【分析】连接OB,根据已知条件得到NAO3=120°,根据等腰三角形的性质得到N0A3=NO区4

=30。，根据全等三角形的性质得到NDO4=N3。及于是得到结论.

【解答】解：连接04,OB,

:△ABC是OO的内接正三角形，

AZAOB=120°,

•：OA=OB,

・・・NOA3=NO3A=30°,

ZCAB=60°,

：.ZOAD=30°,

；・/OAD=/OBE,

VA£>=BE,

•••△OA。也△OBE(SAS),

・•・NDOA=NBOE,

：.ZDOE=ZDOA+ZAOE=ZAOE+ZBOE=ZAOB=120°,

故答案为：120.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作

出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

15.如图，已知。为坐标原点，点A的坐标为（0,8）.点B的坐标为（6,0）,过A,B,O三点，C

4

为优弧碗上一点（不与点。重合），则cosC的值为三.

【分析】连接AB，由勾股定理可求的长，由圆周角定理可得NC=N540,由锐角三角函数可求解.

；.AO=8,80=6,

：.AB^7Ao2+B02=,64+36=10,

'：ZC=ZBAO,

..4084

••cosC一C0Sz_nAt/==YQ=引

_4

故答案为：

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形等知识，灵活运用这些性质解

决问题是本题的关键.

16.已知：如图，在△ABC中，。是边上一点，圆。过。、B、C三点，ZDOC=2ZACD=90°.如

果/ACB=75°,圆。的半径为2,则BD的长为2.

【分析】可以连接OB,根据/£>OC=2N4CO=90°.得/4CD=45°,进而得/BCD=30°,ZBOC

=150°,ZDOB=60°,证明△3。。是等边三角形，即可求得的长.

【解答】解：如图，

连接。8,

VZDOC=2ZACD=90°.

ZAC£>=45°,

VZACB=15°,

JNBCD=ZACB-ZACD=30°,

VOC=OD,NDOC=90°,

・・・NZ)CO=45°,

：.ZBCO=ZDCO-ZBCD=15°,

•：OB=OC,

：.ZCBO=ZBCO=15°,

A150°,

：.ZDOB=ZBOC-ZDOC=150°-90°=60°,

•：OB=OD,

J△3。。是等边三角形，

:・BD=OD=2.

故答案为2.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的外接圆的性质.

17.如图，等边三角形ABC内接于。。，点。，石是OO上两点，且NDO£=120°,若。0=2,则图中阴

影部分的面积为:47T-正/—.

E

【分析】连接OB,0C,过。作于"，根据等边三角形的性质和扇形的面积公式即可得到结论.

【解答】解：连接08,0C,

VAABC是等边三角形，

：.ZBOC=\20°,

VZDOE=120°,

••S扇形DOE-S扇形BOC，

过。作OH工BC于H,

：.ZOBH=30°,ZOHB=90°,BC=3BH,

：.BH=^0B=V3,OH^1OB=1,

：.BC=2V3,

2

图中阴影部分的面积=12噫2_1V3X1=萼—旧,

DOULX23

47r/—

故答案为：——

【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的

关键.

18.如图，△ABC是。。的内接正三角形,弦EF经过BC边的中点Z),且E尸〃AB,若AB=6,则EF=3A/5.

【分析】由相交弦定理可得E7>OF=BO-OC=9,EG-FG=AG-GC=9,DG=^AB=3,由此可得结果.

【解答】解：设AC,EF相较于G,

：△ABC是。。的内接正三角形，AB=6,

：.AC=BC=AB=6,

•.•弦经过2C边的中点D且E尸〃AB,

：.BD=CD=3,AG=CG=3

由相交弦定理可得ED-DF=BD-DC=9,EG・FG=AG・GC=9,

:.DEK3+FG)=9,尸GV3+DE)=9,

:.EF=3乘,

故答案为：3V5.

【点评】此题主要考查了等边三角形的性质、垂径定理、三角形中位线定理、相交弦定理等知识，能够

证得DE、G尸的数量关系是解答此题的关键.

19.△ABC内接于为的直径，将△ABC绕点C旋转到△EDC,点E在。。上，已知AE=2,

【分析】根据圆周角定理得到NAE2=/AC2=90°,根据旋转的性质得到AC=CE,BC=CD,ZACE

=NBCD,ZECD=ZACB=90°,设CE=3x,CD=x,由勾股定理得到。E=VI6x,根据相似三角形

的性质得到BD=,根据勾股定理即可得到结论.

【解答】解：TAB为。。的直径，

：.ZAEB=ZACB=90°,

,/将△ABC绕点C旋转到△££>(7,

：.AC=CE,BC=CD,ZACE=ZBCD,ZECD=ZACB^9Q°,

...八_CE

•tan£)==3,

・••设CE=3x,CD=x,

DE=VlOx,

•ZACE=/BCD,ND=ZABC=NAEC,

：.AACE^ABCD,

ACCEAE

：.—=—=—=3,/CBD=

BCCDBD

9：AE=2,

2

：.BD=|

VZEAC+ZCBE=180°,

：.ZCBD+ZCBE=ISO°,

：.D,B,E三点共线，

__2

:・BE=DE-BD=VlOx—

t：AE1+BE1=AB2,

：.22+(V10x-|)2=(VlOx)2

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，勾股定理,

正确的识别图形是解题的关键.

20.如图，AABC内接于OO,过点C作CDLAB于点E,交OO于点O,延长AC交。B延长线于点足

1C

BF=号，连接AO.CO.CO与AB相交于点G,/CGE=3NCAB,6>C=10,将圆心O绕着点B旋转

得到点。'，若点。恰好落△AD尸某一边上时，则。0,的长度为4西或2同.

【分析】延长A。交BD于H,连接。8,0D,根据全等三角形的性质得到推出AH垂直平分

OH0A4_________

BD,根据平行线分线段成比例得到一=一=一，根据勾股定理得到OO'=>JO'H2+OH2=4V5,过

BHBF3

。作OO,于K交A/于O',根据菱形的性质得到O'3=08=5,再根据勾股定理即可得到结论.

【解答】解：延长49交3。于“，连接OS0D,

111

VZADC=^ZAOC=(180°-ZOAC-ZOCA)(180°-4NCAB)=90。-2ZCAB,

：.ZDAB=90°-ZADC=2ZCAB=2ZOABf

：.ZOAD=ZOAB,・：OA=OB=OD,

：.ZOBA=ZOAB=ZOAD=ZODA,

：.NAOB=NAOD,

(OA=OA

在△OA3与△QA。中44。8=Z.AOD,

OB=OD

•••△OA3丝△OA0,

：.AB=AD,

*：ZOAB=ZOAD,

・・・AH垂直平分50,

ZOBA=ZOAB=ZBAC,

：.OB//AF,

tOHOA4

…BH-BF-3’

令OH=4a,则3H=3〃，OB=5a=10,：.a=2,

：.BD=2BH=12,

当在3D上时，O，H=O'B-BH=4,

：.OO'=yJOfH2+OH2=4V5,

过。作OO，_L4B于K交Ab于O',

则四边形040,3是菱形，

：.O'B=0B=5,BK=^AB=3y/10,

：.0K=yj0B2-BK2=孚，

Z.00'=20^=2710.

故答案为：4百或2V1U.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅

助线构造全等三角形是解题的关键.

三.解答题

21.如图，△A2C是的内接三角形，A3为的直径，AB=8,2D平分NABC,交AC于点E,交。。

于点。，连接AD.

(1)求证：NDBA=NCAD；

(2)若我的长度为2m求的度数.

【分析】(1)根据角平分线的性质可得NC8£)=/DA4,由圆周角定理可得/ZMC=/CBD,继而可得

出结论；

(2)连接OC,根据弧长公式得到«=90,根据圆周角定理得到NBAC=45。，根据角平分线的定义和

三角形外角的性质即可得到结论.

【解答】(1)证明：平分NABC,

:.NCBD=NDBA,

VZDAC与ZCBD都是弧CO所对的圆周角，

ZDAC=ZCBD,

ZDBA=ZCAD；

(2)解：连接。C,

为OO的直径，AB=S,

：.OB=OC=4,

•..元的长度为2-n,

设NBOC=1,

・"=90,

AZBOC=90°,

AZBAC=45°,

VAB为。。的直径，

/.ZACB=90°,

AZABC=45°,

•.•30平分NA5C,

ZCBD=IZABC=22.5°,

：.ZAEB=ZCBD+ZACB=112.5°.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算公式，正确的理解题意是解题的

关键.

22.如图，△ABC为的内接三角形，ZACB=60°,弦CD平分

(1)求证：△A2C为等边三角形；

(2)若瓦)=3,AD=5,过C点作BD的平行线交DA的延长线于点E,试求△CAE面积.

【分析】（1）根据圆周角定理和等边三角形的判定即可证明；

（2）作CALLE。于点结合（1）可得△COE是等边三角形，然后证明△BCDg/XACE,可得BD

AE=3,根据等边三角形三线合一可得DM的长，根据勾股定理得CM的长进而可得△OLE面积.

【解答】解：（1）平分NADB,

/BDC=ZADC,

：.BC=AC,

：.BC=AC,

VZACB=60°,

.-.AABC为等边三角形；

（2）如图，作CM_L£D于点M,

由(1)知：ZCDA=ZBDC=60°,

'：CE//BD,

：.ZDCE=ZBDC=60°,

.♦.△CDE是等边三角形，

：.CD=CE,

'：ZBCD=60°-ZACD=NACE,

在△SCO和AACE中，

BC=AC

(BCD=Z.ACEf

DC=EC

：.ABCD^AACE(SAS),

：.BD=AE=3f

：.DC=DE=DA+AE=8,

〈CM工ED,

1

：.DM=尹也=4,

・•・CM=yjDC2-DM2=4A

1

.•.△CAE面积为：-AE'CM=6>j3.

2

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，熟练

掌握圆周角定理是解题的关键.

23.如图，Rt^ABC中，ZC=90°,M为A2上一点，过M,C,B三点的O。交AC于P,过点尸作尸。

//AB,交。。于点D

（1）若M是中点，连接求证：四边形是平行四边形；

（2）连接PM,当PM=PC,且AC=4,tanA=»,求线段P。的长.

【分析】（1）连接CM,PB,DM,证/2朋？=90°,为。。的直径，证）为。。的直径，由直角

三角形的性质得出跖则命=曲，得出DM垂直平分2C,则尸C〃Affl,即可得出结论；

（2）连接3D、CD、BP,由圆周角定理得出/尸08=90°,则四边形尸。为矩形，

则PC=BD,证RtABPOgRtZkPBC（HL）,得出PO=BC,在RtZXACB中，由三角函数

定义求出BC即可.

【解答】（1）证明：连接CM,PB,DM,如图1所示：

VZC=90°,四边形2cpM为圆内接四边形,

.,.ZC+ZBMP=180°,

AZBMP=90°,3尸为O。的直径，

又；PD〃AB,

ZDPM=180°-ZBMP=90°,

:.MD为。O的直径，

VZC=90°,M为AB的中点,

CM=^AB=BM,

：.CM=BM,

又•••〃£)为O。的直径，

垂直平分BC,

：.PC//MD,

四边形APDM为平行四边形；

(2)解：连接BD、CD、BP,如图2所示：

D

图2

,:MD和BP均为。0的直径,

:・NDPM=/PMB=/PDB=90°,

J四边形尸。3M为矩形，

：・PM=BD,

•；PM=PC,

：.PC=BD,

在RtABPD和RtAPBC中，=喝

IBD=PC

/.RtABPD^RtAPBC(HL),

：.PD=BC,

在RtZXACB中，AC=4,tanA==J,

/ICz

.".BC=4tanA=2,

：.PD=BC=2.

【点评】本题考查了三角形的外接圆、圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定

与性质、矩形的判定与性质、三角函数定义等知识；熟练掌握圆周角定理和矩形的判定与性质是解题的

关键.

24.如图，已知RtZ\ABC中，ZACB=90°,BD^ZABC,BD与AC交于E点,AD±BD,过D作DF

于尸，交AC于G,尸。与BC的延长线相交于点H.

（1）求证：点G是△的>£T的外心；

（2）若FG=2,DH=5,求EG的长.

【分析】（1）证得NDEG=NFZ汨，得出。G=EG,由NA£>E=90°可证得DG=AG=EG,则结论得证；

DHDM

（2）过点。作于点过点E作EN_LA5于点N,证明得出一=—,

HGGC

设EG=x,则。G=x,DF=DM=2+x,可得出CG,则CE可用x表示出来，证得EN=2FG=4,由角

平分线的性质可得出EN=EC=4,则可得出方程，解方程即可得出答案.

【解答】（1）证明：'JADLBD,DFLAB,

：.ZADE=90°,ZDFB=90Q,

:即平分NA5C,

:・NCBE=/FBE,

•；/FDB+/FBE=90°,ZCEB+ZCBE=90°,

・•・ZFDB=ZCEB,

又/CEB=/DEG,

：.ZDEG=ZFDB,

：.DG=EG,

■:NADG+NGDE=ZDAG+ZDEF=90°,

/.ZADG=ZDAG,

：.DG=AG,

；・DG=AG=EG,

・・・点G是△AOE的外心；

(2)过点。作。于点M,过点E作ENLA8于点N,

,.・3O平分NA3C,DFLAB,DMLAH,ENLAB,EC2BH,

：.DF=DM,EN=EC,

YDMLBH,ZACB=90°,

：.DM//GC,

：.△HDMs^HGC,

・DHDM

••—,

HGGC

设EG=x,则。G=x,DF=DM=2+x,

.52+x

**5+x-CG'

.X2+7X+10

••C-C7-p9

22

・厂口一厂厂r厂X+7X+10X+2%+10

•.CE=CG-E1G=-----F----x=-----g-----,

VGFXAB,ENIAB,

：.GF//EN,

又；AG=EG,

：.AF=FN,

：.EN=2GF=4,

X2+2X+10

-------------=4,

解得A/TT—1,x=-VTT-1(舍去).

.•.EG=V1T-1.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定

与性质，一元二次方程等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质及方程思想是解题的关键.

25.如图，△ABC内接于G)O,AB=AC,为。。的直径，过点A作于点E,延长交AC延

长线于点F.

(1)若AE=4,AB=5,求。。的半径；

(2)若BD=2DF,求sin/ACB的值.

B

【分析】(1)连接。4,求BE=3,设。4=x,则02=x,0E=x-3,得出(x-3)2+42=?,易求出半

,25

径了

(2)连接C。，先证。4_L2C,再得。4〃CZ>,设0A与3c交于点"，OH=a,则CD=2a,0A=4a,

得出AH=3a,由勾股定理得说，求出AB=2幅;，则可得出sin/ACB=第

【解答】解：(1)如图1,连接。4,

B

图1

'JAEYBD,

：.ZAEB=90°,

VAE=4,AB=5,

：.BE=>JAB2-AE2=V52-42=3,

设OA=x,贝!JOB=x,

OE=x-3,

在RtZXOAE中，OE2+AE2=OA2,

(x-3)2+42=J^,

解得尤=亮

25

・・・。0的半径为二；

6

(2)如图2,连接C。，设。4与8C交于点H,

A

图2

\'AB=AC,

：.OA±BC,

；・/BHO=90°,

・・・3。为。。的直径，

：.ZBCD=90°,

NBHO=NBCD,

：.OA//CD,

设OH=a,则CD=2a,

■:BD=2DF,BD=2OD,

：.DF=OD,

：.OA=2CD=4a,

.\AH—3a,

：.BH=y/OB2-OH2=V(4a)2-a2=底a,

：.AB=7AH2+BH2=2瓜a,

：.sinZACB=smZABC=空==理

AB276a4

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理等知识，熟练掌握

圆的性质是解题的关键.

26.如图，在RfNABC中，ZC=90°,BD平分/ABC交AC于点。，交AB于点E,作ABDE

的外接圆.

（1）判断直线AC与外接圆的位置关系，并说明理由;

(2)若tan/ABO=芋，4。=6,求BC的长.

【分析】（1）取BE