中考数学几何专项冲刺复习：三角形综合练习（基础）含答案及解析

专题30三角形综合练习（基础）

一.选择题

1.如图，在△ABC中，AO_L8C于点。，平分NABC交于点E,交AC于点RAC=13,4。=12,

BC=14,则AE的长等于（）

15

C.7D.

2

2.如图，在△A8C中，ZACB=9Q°，AC=BC=l,E、/为线段AB上两动点，且/ECV=45°,过点E、

尸分别作BC、AC的垂线相交于点M,垂足分别为H、G.现有以下结论：①②当点E与点B

EF-,④MG・MHJ其中正确结论的个数是（）

C.3D.4

3.如图，△ABC和△AOE都是等腰直角三角形，ZBAC^ZDAE^9Q°,连接CE交AD于点R连接3。

交CE于点G,连接BE.下列结论中，正确的结论有（）

①CE=BD；

②△AZ）C是等腰直角三角形；

@ZADB=ZAEB；

④S四边形5CZ）E=]BD・CE；

⑤B&Dm=BE^+CD2.

B

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.如图，△ABC中，ZABC=45°,CDLABD,BE平分/ABC,且BE_LAC于E,与C£>相交于点R

“是8c边的中点，连接。”与BE相交于点G,下列结论正确的有（）个.

①2IF=AC；②AE=%F；③NA=67.5°；④△■DGP是等腰三角形；⑤S四边形ADGE=S四边形GHCE.

A.5个B.2个C.4个D.3个

5.如图，射线42〃射线C£）,NCAB与NAC。的平分线交于点E,AC=4,点尸是射线A3上的一动点,

连接PE并延长交射线CD于点Q.给出下列结论：①△ACE是直角三角形；②S四边形APQC=2SAACE；

③设AP=x,CQ=y,则y关于x的函数表达式是y=-x+4（0WxW4）,其中正确的是（）

A.①②③B.①②C.①③D.②③

6.如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形COE,

AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点、Q,连接尸。，以下五个结论：①AD=BE；

@PQ//AE；@AP^BQ；④DE=DP；（5）ZDOE=60°,其中正确的结论数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

7.如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,直角/“尸的顶点尸是BC的中点，两边PE,产尸分别

交AB,AC于点E,F,连接斯交AP于点G,给出以下五个结论:

@ZB=ZC=45°；

②AE=CR

③AP=EF,

④△£/斤是等腰直角三角形，

⑤四边形AEPP的面积是△ABC面积的一半.

其中正确的结论是（）

A.只有①B.①②④C.①②③④D.①②④⑤

8.如图，在△ABC中，NC=90°,AC=2C=4,。是AB的中点，点、E、尸分别在AC、2C边上运动（点

E不与点A、C重合），且保持AE=CR连接。£、DF、EF.在此运动变化的过程中，有下列结论：①

XDFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF不可能为正方形；③四边形CEDF的面积随点E位置的改

变而发生变化；④点C、E、D、F四点在同一个圆上，且该圆的面积最小为4m其中错误结论的个数

是（）个.

C.3D.4

9.如图，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△0£）《，与

BE交于点、O,A。与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接P。，以下五个结论：①AD=BE；@PQ

//AE；@CP=CQ；@BO=OE-,®ZAOB=6Q°,恒成立的结论有（）

A.①③⑤B.①③④⑤C.①②③⑤D.①②③④⑤

10.如图所示，在RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,AB上有一动点。以每秒4个单位的速度从

点A向点8运动，当点。运动到点B时停止运动.过点。作。E_LA8,垂足为点。，过点E作跖〃

交8c于点孔连接BE交。/于点G,设点。运动的时间为3当S&BOG=4SAEFG时，r的值为（）

ADB

A14「12c10n8

A.t=yyB.t=YQC.t—yyD.^17

11.如图，。为等腰Rt^ABC的斜边AC的中点，E为BC边上一动点，连接ED并延长交BA的延长线于

点、F,过。作DALEP交AB于G,交C3的延长线于H,则以下结论①DE=DG；②BE=DG；@DF

=DH；④BG=CE.其中正确的是()

cEBH

A.②③B.③④c.①③④D.①③

1

12.在等腰RtAABC,ZA=90°,AC=AB=2,。是8C边上的点且力CD,连接ADAD±AEf

AE=AD,连接BE.下列结论：

®AADC^AA£B；

@BE±CB；

③点B到直线AD的距离为手；

④四边形AEBC的周长是2+2；

⑤）S四边形AZ）BE=2・

其中正确的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

二.填空题

13.如图，在△ABC中，BA=BC,ZABC=9Q°,BN平分/ABC,AE平分/BAC,AE交BN于G,EF

_LAC于凡连接GF.①△AEBQAEF；@ZEFG=ZAFG；③图中有3对全等三角形；@EF=GF；

⑤SAAEF=2SMGN.上述结论正确的序号有.

14.如图，△ABC的内部有一点P,且点。，E,B是点尸分别以AB,BC,AC为对称轴的对称点.若4

ABC的内角/84C=70°,ZABC=60°,ZACB=50°,PD.PE恰好分别为边AB、8C的中垂线，则

下列命题中正确的是.

(1)4C两点关于直线尸尸对称；

(2)PF=BE；

(3)ZADB+ZBEC+ZCFA^360°；

(4)ZDBA+ZFAC=ABAC.

15.如图所示，已知△ABC中，ZB=90°,BC=16cm,AC=20cm,点P是△ABC边上的一个动点，点尸

从点A开始沿A-8-C-A方向运动，且速度为每秒4cm,设出发的时间为f(s),当点尸在边CA上运

动时，若△A8尸为等腰三角形，则运动时间/=.

16.如图，ZABC=90°,尸为射线8c上任意一点(点尸和点8不重合)，分别以AB,AP为边在N4BC

内部作等边和等边△APQ,连接。£并延长交8尸于点F,连接EP,若尸0=11,A£=4>/3,则

EP

17.如图，在RtZkACB中，ZACB=90°,AC=BC,。是AB上的一个动点（不与点A,B重合），连接

CD,将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE,连接。E,OE与AC相交于点尸，连接AE.下列结论：

®AACE^ABC£）；

②若/2«）=25°,则/4即=65°；

③DE?=2CF・CA；

④若AB=3侑AD=2BD,贝!I东

其中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号）

18.如图，在Rt^ABC中，BC=2,ZBAC=30°,斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线。/、ON

上滑动，下列结论：

①若C、。两点关于A8对称，则04=2百；

②C、O两点距离的最大值为4；

③若A8平分C0,则AB_LC。；

Tl

④斜边AB的中点。运动路径的长为5；

其中正确的是（把你认为正确结论的序号都填上）.

19.如图，AABC,ZACB=90°,点。，E分别在AB,BC±.,AC^AD,ZCDE^45°,CD与

AE交于点R若/AEC=/DEB,CE=区更，则CP=

q

A

20.如图，已知△ABC中，AB=AC=2,NA4C=90°，直角NEPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF

分别交A3、AC于点E、F,给出以下四个结论:

①图中只有2对全等三角形

@AE^CF；

③&EPF是等腰直角三角形；

]

④S四边形AEPF=2sAABC；

⑤EF的最小值为鱼.

上述结论始终正确的有（填序号）.

21.如图，D、E分别是△A8C的边和A8上的点，△A3。与的周长相等，△CAE与△C8E的

周长相等，设BC=a,AC—b,4B=c,给出以下几个结论：

①如果是BC边中线，那么CE是边中线；

②AE的长度为二型；

@BD的长度为"；-c；

④若/BAC=90°,ZVIBC的面积为S,则S=AE"D

其中正确的结论是（将正确结论的序号都填上）

22.如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=3C=1,E、P为线段AB上两动点，且/ECB=45°,过点E、

尸分别作BC、AC的垂线相交于点垂足分别为H、G.现有以下结论：①A8=虎；②当点E与点B

重合时，MH=-[@AF+BE=EF-,®MG'MH=1其中正确结论为

23.如图，等腰RtZVIOB在平面直角坐标系尤Oy上，NB=90：04=4.点C从原点。出发，以每秒1

个单位的速度沿x轴的正方向运动，过点C作直线直线/与射线OB相交于点N.

(1)点B的坐标为.

(2)点C的运动时间是f秒.

①当2W/W4时，△AOB在直线/右侧部分的图形的面积为S,求S(用含t的式子表示);

②当f>0时，点M在直线/上且是以AB为底的等腰三角形，若CN=^CM,求r的值.

,AC^BC,AE=DE.

BD

(1)若。为AC的中点，求百的值;

(2)将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转,使点。落任4B上，如图2,尸为DB的中点.

①画出关于点厂成中心对称的图形,

FF

②求法的值;

(3)如图3,将△AOE绕点A顺时针旋转,产为8。的中点，当AC=6,AO=4时，则CE的最大值为

(直接写出结果).

1

25.如图，△ABC中，AB^AC,tanB=会作AD_LAC交3c于E,且AD=AC,连接CD

(1)若C£)=4&,求BE的长度；

(2)如图2,NBA。的角平分线交8c于R作CG_LAF的反向延长线于点G,求证：＜2BF+AG=CG-,

(3)如图3,将“tan8=★"改为"sinB=*"，AD±AC,S.AD=AC,连接2。，CD,延长ZM交BC

BF-GC

于E,NBA。的角平分线的反向延长线交BC于R作CG,A尸于G,直接写出-----的值.

BDBE

26.(1)问题探究

①如图1,在直角△ABC中，ZBAC=90°,BC=13,AB=5,若P是3C边上一动点，连接AP,则

AP的最小值为.

②如图2,在等腰直角△ABC中，ZABC=90°,AC=a,求边A2的长度(用含a的代数式表示).

(2)问题解决

如图3,在等腰直角△ABC中，ZABC=90°,AC=4,。是边BC的中点，若P是A8边上一动点，E

是AC边上一动点，试求PD+PE的最小值.

图2图3

27.如图，点。是等边△ABC内一点，ZAOB=105°，/8OC=a,点。是等边△ABC外一点，ZOCD

=60°,OC=OD,连接。。、AD.

(1)求/A。。的度数(用含a的式子表示)；

(2)求证：△BOC之△ADC；

(3)探究：当a为多少度时，△A。。是等腰三角形?

28.如图，△ABC是等边三角形.

(1)如图1,于H,点尸从A点出发，沿高线AH向下移动，以CP为边在CP的下方作等边

三角形CP。，连接BQ.求NC8。的度数；

(2)如图2,若点。为△ABC内任意一点，连接ZM,DB,DC.证明：以ZM,DB,。。为边一定能组

成一个三角形；

(3)在(1)的条件下，在P点的移动过程中，设x=AP+2PC,点。的运动路径长度为y,当无取最小

值时，写出x,y的关系，并说明理由.

图1图2

29.如图，己知A(a,0)、B(0,b),且a、b满足a2-6a+9+la—6=0

(1)求A、2两点的坐标;

(2)如图1,若C(5,0),连C8,过3点作8O_LBC,且8O=8C,求点。的坐标；

(3)如图2,若点M是AB的中点，E为线段AO上一动点，尸点在y轴负半轴上，当NEA加=45°时,

试判断线段AE、OF、所具有怎样的数量关系？请说明理由.

30.在△ABC与△&1)£中，ZBAC=ZDAE=90°,AB=AC,AD=AE,延长OE交8c于点凡连接。C,

BE.

(1)如图1,当点B,A,。在同一直线上时，且NABE=30°,AE=2,求3P的长.

(2)如图2,当/BEA=90°时，求证：BF=CF.

(3)如图3,当点E在/A8C的平分线上时，BE交DC于点、G,请直接写出EG、DG、CG之间的数量

关系.

专题30三角形综合练习（基础）

一.选择题

1.如图，在△ABC中，AO_L8C于点。，平分NABC交于点E,交AC于点RAC=13,4。=12,

BC=14,则AE的长等于（）

15

A.5B.6C.7D.—

2

【分析】利用勾股定理可得DC和AB的长，由角平分线定理可得EG=ED,证明RtABD£^RtABG£

（HL）,可得8G=BO=9,设AE=H则ED=12-x,根据勾股定理列方程可得结论.

【解答】解：

VAD=12,AC=13,

：.DC=<AC2-AD2=V132-122=5,

；BC=14,

；.BD=14-5=9,

由勾股定理得：AB=V92+122=15,

过点E作EGLAB于G,

•.如平分/ABC,ADIBC,

:.EG=ED,

在RtABDE和RtABGE中，

..(EG=ED

•iBE=BE'

:.Rt/XBDE咨RtLBGE(HL),

:.BG=BD=9,

.*.AG=15-9=6,

设AE=x,贝i|E£)=12-x,

：.EG=n-x,

RtZXAGE中，?=62+(12-尤)2

故选：D.

【点评】本题考查了角平分线性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理是

解题的关键.

2.如图，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC=1,E、/为线段AB上两动点，且NECP=45°,过点E、

尸分别作BC、AC的垂线相交于点垂足分别为X、G.现有以下结论：®AB=V2；②当点E与点B

重合时，③AF+BE=EF；④MG，MH=3,其中正确结论的个数是（）

A

【分析】①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可作出判断；

②如图1,当点E与点2重合时，点X与点8重合，可得MG〃BC,四边形MGCB是矩形，进一步得

到FG是△ACB的中位线，从而作出判断；

③如图2所示，&4S可证经根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断；

④根据44可证△ACES^BFC,根据相似三角形的性质可得A>8F=AC・BC=1,由题意知四边形

CHMG是矩形，再根据平行线的性质和等量代换得到MG'MH=^AEx^BF=^AE-BF=^AC'BC=

依此即可作出判断.

【解答】解：①由题意知，aABC是等腰直角三角形，

：.AB^VXC2+BC2=V2,故①正确；

②如图1,当点石与点8重合时，点”与点3重合,

：.MBLBC,ZMBC=90°,

9：MG±AC,

：.ZMGC=90°=ZC=ZMBC,

：.MG//BC,四边形MGC5是矩形，

：.MH=MB=CG,

VZFCE=45°=ZABCfZA=ZACF=45°,

：.CF=AF=BF,

・・・FG是AACB的中位线，

：.GC=^AC=MH,故②正确；

③如图2所示,

图2

9：AC=BC,ZACB=90°,

AZA=Z5=45°.

将△AC尸顺时针旋转90°至△3C。，

贝IJC尸=CD,N1=N4,NA=N6=45°；BD=AF；

VZ2=45°,

・・・N1+N3=N3+N4=45°,

：.ZDCE=Z2.

在/和中，

CF=CD

Z.2=乙DCE,

CE=CE

：.AECF^/\ECD(SAS),

；・EF=DE.

VZ5=45°,

AZDBE=90°,

；.DE2=BD2+BE2,gpEF2^AF2+BE2,故③错误；

@VZ7=Zl+ZA=Zl+45°=Zl+Z2=ZACE,

VZA=Z5=45°,

AACE^ABFC,

.AEAC

•.—,

BCBF

：.AE'BF=AC'BC=1,

由题意知四边形CHMG是矩形，

J.MG//BC,MH=CG,

MG=CH,MH//AC,

CHAECGBF

BC~AB,AC-AB

AEMHBF

MG————।

1收1V2

：.MG^^AE；MH=^BF,

:.MG，MH=¥AEx.BF=y174c皿=1,故④正确；

故选：C.

【点评】此题考查了三角形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和

性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的

判定和性质，综合性较强，有一定的难度.

3.如图，△A8C和△ADE都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,连接CE交于点F连接5D

交CE于点G,连接BE.下列结论中，正确的结论有（）

①CE=BD；

②△ADC是等腰直角三角形;

@ZADB^ZAEB；

④S四边形BCDE=]BD，CE；

@BC2+DE2=BEr+CD1.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC,AD=AE,然后求出NC4E,再利用“边角

边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=2Z),判断①正确；根据全等三角

形对应角相等可得NACE,从而求出/8CG+NCBG=/ACB+/A8C=90°,再求出/8GC=

90°,从而得到BOLCE,根据四边形的面积判断出④正确；根据勾股定理表示出BC2+DE2,B^+CD1,

得到⑤正确；再求出AE〃CD时，ZADC=90°,判断出②错误；/AEC与N2AE不一定相等判断出

③错误.

【解答】解：：，△ABC和△?!£)£都是等腰直角三角形，

：.AB^AC,AD=AE,

VZBAD^ZBAC+ZCAD^90°+ZCAD,

ZCAE=ZDAE+ZCAD=9O°+ZCAD,

：.ZBAD=ZCAE,

AB=AC

在△ABD和ZkACE中，\/LBAD=/.CAE,

.AD=AE

：.AABD^AACE(SAS),

：.CE=BD,故①正确；

ZABD=ZACE,

：.ZBCG+ZCBG^ZACB+ZABC^9Q°,

在ABCG中，ZBGC=180°-(ZBCG+ZCBG)=180°-90°=90°,

：.BD1CE,

S四边形BCDE=CE,故④正确；

由勾股定理，在RtZXBCG中，BC2=BG2+CG2,

在Rtz\DEG中，£)E2=DG2+£G2,

BC^+DEr=BG1+CG1+DG1+EG1,

在RtZ\BGE中，BE1=BG2+EG2,

在RtZkCQG中，CD1=CG1+DG1,

：.BE^+CD2=BG2+CG2+£>G2+EG2,

:.Bd+D呼=BE^+CD2,故⑤正确；

只有AE〃C。时，NAEC=NDCE,

ZADC=ZADB+ZBDC=9Q°,

无法说明AE〃CD,故②错误；

AABD^AAC£,

NADB=NAEC,

,/ZAEC与ZAEB相等无法证明，

不一定成立，故③错误；

综上所述，正确的结论有①④⑤共3个.

故选：C.

【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定

理的应用，对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半的性质，熟记各性质是解题的关键.

4.如图，ZXABC中，ZABC=45°,CDLABD,8E平分/ABC,且BE_LAC于E,与CD相交于点尸，

X是BC边的中点，连接与BE相交于点G,下列结论正确的有()个.

@BF^AC；②人公于/；③NA=67.5°；④△■DG尸是等腰三角形；⑤S四边形ADGE=S四边形GHCE.

A.5个B.2个C.4个D.3个

【分析】只要证明△刈甲乌△CZM,△BAC是等腰三角形，NDGF=NDFG=67.5°,即可判断①②③④

正确，作于只要证明GH<Z)G即可判断⑤错误.

【解答］解：\'CD±AB,BELAC,

：./BDC=/ADC=ZAEB=90°,

AZA+ZABE=90°,ZABE+ZDFB=90°,

NA=NDFB,

VZABC=45°,/BDC=90°,

：.ZDCB=90°-45°=45°=NDBC,

：.BD=DC,

在△5。尸和△CD4中

(ZBDF=ZCDA

\/-A=乙DFB9

(BD=CD

：.ABDF^/\CDA(A4S),

：.BF=AC,故①正确.

VZABE=ZEBC=22.5°,阻LAC,

：.ZA=ZBCA=67.5°,故③正确，

：.BA=BC,

9：BELAC,

：.AE=EC=1AC=故②正确，

•「BE平分NA5C,ZABC=45°,

：.ZABE=ZCBE=22.5°,

9：ZBDC=90°,BH=HC,

：.ZBHG=90°,

AZBDF=ZBHG=90°,

:・NBGH=/BFD=675°,

AZDGF=ZDFG=67.5°,

:.DG=DF,故④正确.

作GMLAB于M.

•：/GBM=NGBH,GHLBC,

：.GH=GM<DG,

:・SADGB>SAGHB,

■:SAABE=SABCE,

••・5四边形4以龙〈5四边形6“。£：.故⑤错误，

.•.①②③④正确，

故选：C.

【点评】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判

定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选

择题中的压轴题.

5.如图，射线〃射线CD,ZCAB与/AC。的平分线交于点E,AC=4,点P是射线AB上的一动点，

连接尸E并延长交射线于点。给出下列结论：①△ACE是直角三角形；②S四边形APQC=2&XACE；

③设CQ=y,则y关于x的函数表达式是y=-x+4(0WxW4),其中正确的是()

[1

【分析】①正确.由42〃CD推出/BAC+/Z)CA=180。,由NACE=*DC4,ZCAE^^ZBAC,

即可推出/ACE+NCAE=±(NDC4+NBAC)=90°,延长即可解决问题.

②正确.首先证明AC=AK,再证明q△PKE,即可解决问题.

③正确.只要证明AP+CQ=AC即可解决问题.

【解答】解：如图延长CE交A2于K.

,CAB//CD,

.*.ZBAC+ZDCA=180°,

11

VZACE=^ZDCA,ZCAE=^ZBAC,

AZACE+ZCAE=J(ZDCA+ZBAC)=90。,

AZAEC=90°,

C.AELCK,ZVIEC是直角三角形，故①正确，

NQCK=ZAKC=ZACK,

：.AC=AKf

・.・A£_LCK,

:・CE=EK,

在△QCE和△PKE中，

(NQCE=NPKE

\EC=EK，

(4CEQ=乙PEK

：./\QCE^/\PKE,

:,CQ=PK,SAQCE=SAPEK,

・tS四边形APQC=S/\ACK=2SZV4CE，故②正确，

\9AP=x,CQ=y,AC=4,

：.AP+CQ=AP+PK=AK=ACf

，x+y=4,

；・y=-%+4(0WxW4),故③正确，

故选：A.

【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性

质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

6.如图，。为线段AE上一动点（不与点A,E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形

AZ）与3E交于点O,与5c交于点尸，BE与CD交于点Q,连接尸。，以下五个结论：®AD=BE；

@PQ//AE；@AP^BQ；@DE=DP；@ZDOE=60°,其中正确的结论数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】首先证明△A0C四△BEC可得证明△CO尸丝△CE。可得。尸=CQ,然后可得NQPC

=N3C4进而可证明尸。〃AE；根据全等三角形的性质可得。尸=。8,AD=BE,进而可得AP=5Q

根据三角形大角对大边可得。£>。£进而可得。E>DP；根据角之间的关系可得NAO5=NOCE=60°,

再由对顶角相等可得NOOE=60°.

【解答】解：①...△ABC和△<?£）£是等边三角形，

：.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=6Q°,

,?ZACD=ZACB+ZBCD,ZBCE=ZDCE+ZBCD,

：.ZACD=ZBCE,

BC=AC

®AADC和△BEC中=乙BCE,

DC=CE

：.AADC^ABEC（.SAS）,

：.AD=BE（故①正确）；

②：NBCA=NNDCE=60。,

ZBCD=6Q°,

,?△ADC9&BEC,

：.ZADC=/BEC,

ZDCE=/DCP

在和△CEQ中（CD=CE，

"EQ=4CDP

：./\CDP^/\CEQ（ASA）.

：.CP=CQ,

：.ZCPQ=ZCQP=60°,

：.ZQPC=ZBCA,

J.PQ//AE,（故②正确）;

@'：ACDP^ACEQ,

：.DP=QE,

,?AADC^ABEC

：.AD=BE,

：.AD-DP=BE-QE,

：.AP=BQ,（故③正确）；

④；DE>QE,且。尸=QE,

：.DE>DP,（故④错误）；

⑤：ZAOB=ZDAE+ZAEO=ZDAE+ZADC=ZDCE=60°,

.\ZDOE=60°,（故⑤正确）.

正确的有：①②③⑤.

故选：C.

【点评】本题考查三角形综合，同学们要熟练掌握等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质；得到

三角形全等是正确解答本题的关键.

7.如图，在△ABC中，AB^AC,NBAC=90°,直角/“尸的顶点尸是BC的中点，两边PE,尸尸分别

交A8,AC于点E,F,连接£尸交AP于点G,给出以下五个结论：

®ZB=ZC=45°；

②AE=CF,

@AP^EF,

④△£/斤是等腰直角三角形，

⑤四边形AEPP的面积是△ABC面积的一半.

其中正确的结论是()

A.只有①B.①②④C.①②③④D.①②④⑤

【分析】根据等腰直角三角形的性质得：ZB=ZC=45°,AP±BC,AP=AP平分NBAC.所以

可证/C=NEAP；NFPC=/E卧;AP=PC.即证得△?!2£：与△CPF全等.根据全等三角形性质判断

结论是否正确，根据全等三角形的面积相等可得的面积等于△CPF的面积相等，然后求出四边形

AEPF的面积等于AABC的面积的一半.

【解答】解：/BAC=90°,直角/EPF的顶点P是2c的中点，

11

.,.①NB=NC=/(180°-90°)=45°,AP±BC,AP=/BC=PC,ZBAP=ZCAP=45°=ZC,

'：ZAPF+ZFPC=9O°,ZAPF+ZAPE=90°,

：.ZFPC=ZEPA.

1.△APE经A,CPF（ASA）,

：.@AE=CF；@EP=PF,即△£：/*是等腰直角三角形；同理可证得△APF丝△BPE,

.•.⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的一半，

「△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，

1

：.AP=扣C,

EF不是△ABC的中位线，

:.EFWAP,故③错误；

④ZAGF=NEGP=180°-ZAPE-ZP£F=180°-ZAPE-45°,

180°-ZAPE-Z£AP=180°-ZAPE-45°,

：.NAEP=ZAGF.

故正确的有①、②、④、⑤，共四个.

因此选O.

【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，中位线的性质的

运用，等腰直角三角形的判定定理的运用，三角形面积公式的运用，解答时灵活运用等腰直角三角形的

性质求解是关键.

8.如图，在△ABC中，ZC=90°,AC=BC=4,。是A8的中点，点E、尸分别在AC、8c边上运动（点

E不与点A、C重合），且保持AE=CP,连接。E、DF、EF.在此运动变化的过程中，有下列结论：①

△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF不可能为正方形；③四边形CEDF的面积随点E位置的改

变而发生变化；④点C、E、D、F四点在同一个圆上，且该圆的面积最小为4m其中错误结论的个数

是（）个.

A.1B.2C.3D.4

【分析】①正确.连接CD.只要证明/（SAS）,即可解决问题.

②错误.当E、P分别为AC、BC中点时，四边形CEDF为正方形.

③错误.四边形CEZ加的面积=聂丽=品品4义4=4,为定值.

④错误.以跖为直径的圆的面积的最小值=ir（-«2V2）2=2TT.

【解答】解：连接。，如图1,

图1

VZC=90°,AC=BC=4,

•••AABC是等腰直角三角形，

ZA=ZB=45°,

•.•。为A8的中点，

：.CDLAB,CD=AD=BD,

：.ZDCB^ZB^45°,

ZA=ZDCF,

在△ADE和△CD/中

AE=CF

Z-A=乙DCF,

.AD=CD

：./\ADE^/\CDF(SAS),

：.ED=DF,ZCDF=ZADE,

VZADE+ZEDC=90°,

；.NEDC+NCDF=90°,即NED尸=90°,

.•.△QFE是等腰直角三角形，所以①正确；

当E、尸分别为AC、BC中点时，如图2,贝!]AE=CE=CF=8凡DE=AE=CE,

:.CE=CF=DE=DF,

而NECP=90°,

...四边形。PE是正方形，所以②错误;

,/AADE^ACDF,

.".SAADE=SACDF,

111

:.S四边形CEDF=SACDE+SACDF=SACDE+SAAZ）E=SZ\ADC=^^ABC=2X2X4X4=4,所以③错误；

△CEF和LDEF都为直角三角形，

二点C、。在以所为直径的圆上，即点C、E、D、歹四点在同一个圆上，

■:丛DEF是等腰直角三角形，

:.EF=y]2DE,

_1

当。E_LAC时，DE最短,此;时OE=*AC=2,

厂的最小值为2V2,

1

...以EF为直径的圆的面积的最小值=TT（--2V2）2=2n,所以④错误；

故选：C.

【点评】本题考查三角形的综合题、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、全

等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中

考压轴题.

9.如图，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△C£）E,A。与

BE交于点O,与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接P。，以下五个结论：®AD=BE；@PQ

//AE；③CP=C。；④BO=OE；@ZAOB=60°,恒成立的结论有（）

A.①③⑤B.①③④⑤C.①②③⑤D.①②③④⑤

【分析】①根据全等三角形的判定方法，证出△AC。丝ABCE,即可得出AO=BE.

③先证明△ACP2△■BC0,即可判断出CP=CQ,③正确；

②根据/PCQ=60°,可得△PC。为等边三角形，证出/PQC=/DCE=60°,得出PQ//AE,②正确.

④没有条件证出BO=OE,得出④错误；

（5）ZA0B=ZDAE+ZAEO=ZDAE+ZADC=ZDCE=6Q°,⑤正确；即可得出结论.

【解答】解：..•△ABC和都是等边三角形，

：.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,

：.ZACD=ZBCE,

AC=BC

在△AC。和△BCE中，z_ACD=/.BCE,

.CD=CE

AAACD^ABC£(SAS),

J.AD^BE,结论①正确.

AACD^ABCE,

：.ZCAD=ZCBE,

又•；NACB=NDCE=60°,

AZBCD=180°-60°-60°=60°,

AZACP=ZBCQ=6O°,

rZACP=NBCQ

在和△BC。中，-ACAP=Z.CBQ，

.AC=BC

：./\ACP^/\BCQ(A4S),

J.AP^BQ,CP=CQ,结论③正确；

又•.•NPCQ=60°,

...△PC。为等边三角形，

.'.ZPQC^ZDCE^60°,

J.PQ//AE,结论②正确.

,/△ACg△BCE,

：.ZADC=ZAEO,

：.ZAOB=ZDAE+ZAEO=ZDAE+ZADC=ZDCE=60°,

结论⑤正确.

没有条件证出8O=OE,④错误；

综上，可得正确的结论有4个：①②③⑤.

故选：C.

【点评】此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、

平行线的判定；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.

10.如图所示，在Rt^ABC中，NC=90°,AC=4,BC=3,AB上有一动点。以每秒4个单位的速度从

点A向点8运动，当点。运动到点8时停止运动.过点。作。E_LA8,垂足为点。，过点E作EF〃AB

交于点尸，连接BE交。F于点G,设点。运动的时间为才，当SABDG=4SAEFG时，t的值为()

DB

A14n12c10「8

A.t=-JyB.t=YQC.t=D.t=Yy

ECEF

【分析】首先求出AB,由△AOESZ\AC3,求出AE=5/,DE=3/,EC=4-5/,再根据石厂〃A3,得一=一，

ACAB

SAP「gEF1

求出EF,由EF//DB,推出得———二(—)2=推出DB=2EF,列出方程即可

SkBDGOB4

解决问题.

【解答】解：在RtZXA5c中，VZC=90°,AC=4,BC=3,

.AB=y/AC24-BC2=V42+32=5,

•NA=NA,ZEDA=ZC=90°,

.△ADE^AACB,

ADDEAE

9AC~CB~BC

90=43

.AE=5t,DE=3t,

・EC=4-5t,

'EF//AB.

ECEF

9AC~AB"

4-5tEF

4一5'

.EF=j(4-57),

'EF/