中考数学几何专项冲刺复习：三角形综合练习（提优）含答案及解析

专题30三角形综合练习（提优）

一.选择题

1.如图，等腰RtZWBC中，ZBAC=90°,AO_LBC于点。，/ABC的平分线分别交AC、AO于£、尸两

点，M为EF的中点，AM的延长线交BC于点N,连接。M,下列结论：①AE=AB②DF=DN；③

△OWN为等腰三角形；④DM平分'NBMN；⑤AE=NC,其中正确结论的个数是（）

2.如图，在△ABC中，ZACB=9Q°,ZCAD=30°,AC=BC=AD,CELCD,且CE=C。，连接8。、

DE、BE,则下列结论：®ZECA=165°,②BE=BC；（3）AD=BE；@CD=BD.其中正确的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

3.已知，等腰中AC=2C,点。在BC上，且/ADB=105°,ED±AB,G是AF延长线上一点,

BE交AG于F,且。E=2尸G,连GE、GB.则下列结论：

①AG_LBE；@ZDGE=60°；③BF=2FG；@AD+^2DC^AB.

其中正确的结论有（）

A.①②B.①②④C.①③④D.②③④

4.如图，矩形ABC。中，AD=2,AB=4,AE平分/ZMC,AE交CD于点F,CELAE,垂足为点E,EG

LCD,垂足为点G.则以下结论：①AEFCs^ECA；②△ABC经△AEC；@CE=AF；(4)SAACF=5-V5；

(5)Ed1=FG,DG.其中正确的结论有()

C.3个D.4个

5.如图，正方形ABC。的对角线AC,BD交于点O,E是BD上的一点，连接EC,过点8作BGLCE于

点G,交AC于点H,EFLEC交于点?若正方形A8CD的边长为4,下列结论：①OE=OH；②EF

EC；③当G为CE中点时，BF=4V2-4；@BG-BH=BE-BO,其中正确的是（）

D

B

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

6.如图，在等腰△ABC与等腰△AQE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=a,连接和CE相交于

点、P,交AC于点交AD与点、N.下列结论：①BD=CE；②NBPE=180°-2a；③4P平分NBPE；

④若a=60°,则尸E=AP+PO.其中一定正确的结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

7.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,/ABC的角平分线交AC于点。，过点。分别作BC和A8的平行

线，交A8于点£,交BC于点H,连接即交8。于点G,在AE上截取所=8E,连接。足下列说法

中正确的有（）

1

（1）GH：FD=1：2；（2）BD=BF-BC；（3）四边形EBH。是菱形；（4）S^ADF=|SAABC.

D

C.3个D.4个

8.如图，△ABC为等腰直角三角形，。为三角形外一点，连接CD过。作。交AB于点E,F为

OE上一点且。P=OC,连接BEN为BF中点、,延长OV至点交BC于点G,使得/A8M=NAC£）,

连接AM,AF,BM,下列结论：①MN=ND；@DM=y[2AM-,@ZBAM>ZCGD-,④2Ap+BP=£）M；

⑤若8M=2,AB=V10,AF=y[2,则S四边形ACDF=4.其中正确的个数为（）

C.4个D.5个

9.如图，等边△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，AD=CE,连接AE、BD交于点、F,/CBD、Z

AEC的平分线交于AC边上的点G,BG与AE交于点、H,连接尸G.下列说法：①△ABZ江△CAE；②

ZBGE=30°；（3）ZABG=ZBGF；@AB=AH+FG；@5AAGE：S&BGC=DG：GC,其中正确的说法有

C.3个D.2个

10.如图，在△ABC中，AC=BC,ZACB=90°,AE平分/BAC交BC于E,于。，DMLAC

AC的延长线于M,连接CD,给出四个结论：®ZADC=45°；②BD=%E；（3）AC+CE=AB；@AB

AC+AB

-BC=2MC；⑤k为定值’其中正确的结论有＜）个

B.3C.4D.5

11.如图，在矩形ABC。中，E是边的中点，垂足为点R连接。F，分析下列四个结论，①

△AEFsACAB②S&DFC=4SAFDE@DF=DC④AD=4iAB,其中正确的结论是（）

12.如图，等腰直角三角形△ABC中，ZBAC=90°、AD=AE,BE和CD交于点MAFLBE.FGLCD

交BE的延长线于点G.下列说法:①/ABE=/FAC；②AN垂直平分BC；③GE=GM；©BG=AF+FG.其

中正确的个数是（）

二.填空题

13.如图，在平面直角坐标中，ZACB=90°,NBAC=30°,3C=2,点A在x轴的正半轴上滑动，点B

在y轴的正半轴上滑动，点A,点2在滑动过程中可与原点。重合，下列结论：

①若C、。两点关于对称，则。4=2百；

@C,。两点之间的最大距离为4；

③当BO=BC时，则AB_LCO；

1

@AB的中点。运动路径的长为7T.

其中正确的是（写出所有正确结论的序号）.

14.如图，△ABC中，为8C上的中线，NEBC=NACB,ZB£C=120°，点厂在AC的延长线上，连

15.如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°，点。为中点，点E在边AB上，连接。E,过点。

作。交AC于点八连接E?下列结论：①BE+CF=$BC；®AD^EF；③S四边形AEDF=戈。?；

@S^AEF<|sA,1BC,其中正确的是（填写所有正确结论的序号）.

16.如图，等边△ABC外一点P,连接AP、BP、CP,AH垂直平分PC于点H,尸的平分线交PC于

点。，连接8。，有以下结论：①DP=DB；@DA+DB=DC；©DALBP-,④若连接当ABDH为

等边三角形时，则CP=3DP,其中正确的有.（只需要填写序号）

17.将一张圆形纸片，进行了如下连续操作

（2）将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，折痕C。与AB相交于如图（3）所示

（3）将圆形纸片沿跖折叠，使8、/两点重合，折痕所与A8相交于N,如图（4）所示

1

（4）连接AE、AF,如图（5）所示，则SAAEF：]S圆=.

18.如图，在△ABC中，ZA=90°,AB=AC=V2+1,P是△ABC内一个动点，过P作PO_LA8、PE1.

AC、PFLBC,垂足分别为。、E、F,MPD+PE=PF.则尸运动所形成的图形的长度是.

19.如图，在菱形A2CZ）中，过点8作3E_L4。，BFLCD,垂足分别为点E,F,延长BD至G,使得。G

=BD,连接EG,FG,若AE=Z）E,AB=2,贝!IEG=.

20.如图，在平面直角坐标系中，已知点尸（10,10）,P'（-10,-10）,直线MN过点P'与x轴平行，

与y轴交于点。，等腰直角△ABC的直角顶点A与P重合，边A2在直线上，且AB=4,若△ABC

的直角边A8以1个单位长度/秒的速度在射线。M上移动.

（1）若△ABC向右平移，当点8与点。重合时，△ABC停止移动，在△ABC向右移动的过程中，设运

动时间为x秒，SAPBC的面积为》y与尤的函数关系式是.

（2）在平移的过程中，若APBC为直角三角形，点C的坐标是

MA(P)rBlDN

三.解答题

21.在RtZkABC中，ZACB=90°,a)_LAB于点。，£为AB上一点(不与A,8重合)

(1)如图1,若BC=BE,求证：CE平分NAC。；

(2)如图2,若AC=BC,过点8作BF_LCE于点尸，交CD于G.

①求证：AE=CG；

②当BC=BE时，BG与CF的数量关系是.

22.在△ABC中，AB^AC,在△ABC的外部作等边三角形△AC。，E为AC的中点，连接。E并延长交BC

于点R连接2D

(1)如图1,若/BAC=100°,求NAB。和N8DE的度数；

(2)如图2,NACB的平分线交AB于点M,交所于点N,连接8N.

①补全图2；

②若BN=DN,求证：MB=MN.

图1图2

23.如图1,在△ABC中，ZABC.NACB的平分线相交于点。，过点。作MN〃BC.分别交A3、AC于

M.N.

(2)如图2,若△ABC是等边三角形，请从以下两个问题任选一题作答.

问题①：BC=6,求A/N的长.

问题②：求证：。是MN的中点.

24.如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,AD±BC,垂足为G,5.AD=AB,NEDF=6Q°,其

两边分别交AB,AC于点E,F.

(1)求证：△A3。是等边三角形；

(2)若。G=2,求AC的长；

(3)求证：AB=AE+AF.

25.小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的

底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.

(1)问题发现：如图1,若△ABC和△AOE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、OE分别是底边，求

证：BD=CE；

(2)拓展探究：如图2,若△ACB和均为等边三角形，点A、D、£在同一条直线上，连接8E,

则ZAEB的度数为；线段BE与AD之间的数量关系是

(3)解决问题：如图3,若△AC2和△DCE均为等腰直角三角形，ZACB^ZDCE^90°,点A、D、

E在同一条直线上，CM为△OCE中。E边上的高，连接BE,请判断NAE8的度数及线段CM、AE.BE

之间的数量关系并说明理由.

26.顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1,在△ABC中，已知：AB^AC,且NA=36°.DE

是A8的垂直平分线，交4c于。，并连接BD

(1)是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；

(2)设A2=l,BC=x,试求x的值；

BC

(3)如图2,在△ABC中将8c延长至点尸，使CF=AC=1,求一的值.

27.在△ABC中，ZBAC=60°.

(1)如图1,若A8=AC,点尸在△ABC内，且NAPC=150°,B4=3,PC=4,把△APC绕着点A顺

时针旋转，使点C旋转到点8,得到连接。P,补完全图，直接写出P8的长.

(2)如图2,若AB=AC,点P在△ABC外，且B4=3,PB=5,PC=4,求NAPC的度数；

(3)如图3,若A8=2AC,点尸在△ABC内，且必=旧，PB=5,NAPC=120°,直接写出PC的长.

图1图2图3

28.已知△ABC和△AOE都是等腰直角三角形，点。是直线BC上的一动点(点。不与8,C重合)，连接

CE.

(1)在图1中，当点D在边8C上时，求证：BC=CE+CD；

(2)在图2中，当点。在边BC的延长线上时，结论BC=CE+C£＞是否还成立？若不成立，请猜想BC,

CE,。之间存在的数量关系，并说明理由；

(3)在图3中，当点。在边8C的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出BC,CE,C。之间存

在的数量关系及直线CE与直线BC的位置关系.

29.在平面直角坐标系，点A(a,0),WB(0,b),已知a,ba2+b2+8a+8b+32^Q.

(1)求点A、B的坐标;

(2)如图1,点E为线段02上一点，连接AE,过点A作AFLAE,且AP=AE,连接8尸交x轴于点

D,若点P的坐标为(-2,c),求c的值及0E的长;

(3)在(2)的条件下，如图2,过点E作EGLA8于点G,过点8作BC〃尤轴交EG的延长线于点C,

连接OC、AC,试判断△AOC的形状，并说明理由.

30.【背景】在△ABC中，分别以边A3、AC为底，向△ABC外侧作等腰直角三角形A3。和等腰直角三角

形ACE,ZADB^ZAEC=90°.

【研究】点M为BC的中点，连接。M,EM,研究线段。M与EM的位置关系与数量关系.

(1)如图(1),当/BAC=90°时，延长EM到点凡使得板=ME,连接BF.此时易证

FMB,D、B、尸三点在一条直线上.进一步分析可以得到是等腰直角三角形，因此得到线段。M

与EM的位置关系是,数量关系是；

(2)如图(2),当/BACW90。时，请继续探究线段。M与的位置关系与数量关系，并证明你的结

论；

(3)【应用】如图(3),当点C,B,。在同一直线上时，连接。E,若48=2/，AC=4,求QE的长.

专题30三角形综合练习（提优）

一.选择题

1.如图，等腰RtZWBC中，ZBAC=90°,AO_LBC于点。，/A8C的平分线分别交AC、AO于£、尸两

点，M为EF的中点，AM的延长线交BC于点N,连接。M,下列结论：①AE=AB②DF=DN；③

△OWN为等腰三角形；④DM平分/BMN；⑤AE=NC,其中正确结论的个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】①根据等腰直角三角形的性质及角平分线的定义求得NABE=NCBE=aNABC=22.5°,继而

可得NAFE=NAEB=67.5°,即可判断①；

②求出8O=AO,NDBF=NDAN,NBDF=/ADN,证△QFB之△D4N,即可判断②；

③根据A、B、D、M四点共圆求出NADM=22.5°,根据三角形外角性质求出4DM0,求出NMDN=

ZDNM,即可判断③；

④求出/BMO=45°=ZBMN,即可判断④；

⑤证明△AEB之△CNA可得AF=CN,由AF=AE,即可判断⑤.

【解答】解：®VZBAC=90°,AC=AB,AD±BC,

：.ZABC=ZC=45°,AD=BD=CD,NA£)B=90°,

.\ZBAD=45°,

：BE平分NABC,

AZABE=^ZABC=22.5°,

AZAEB=90°-22.5°=67.5°,

ZAFE=ZABE+ZBAD=22.5°+45°=67.5°,

・•・ZAEB=ZAFE

・・・AF=AE,故①正确；

@\'AF=AE,/是E/的中点，

:.AMLBE9

：.ZAMF=ZADB=90°,

,/ZAFM=ZBFD

・•・ZDAN=NFBD,

在△尸3。和△NAZ）中

（ZFBD=NDAN

\BD=AD，

3BDF=乙ADN

：.AFBD^/\NAD,

:.DF=DN,AN=BF,

故②正确；

（3）VZADB=ZAMB=90°,

・・・A、B、D、M四点共圆，

ZABM=ZADM=22.5°,

■:/DNA=/C+/CAN=45°+22.5°=67.5°,

AZMDN=90°-22.5°=67.5°,

:.DM=MN,

•••△DMN是等腰三角形，

故③正确；

（4）VZDNA=ZMDN=61.5°,

：.ZDMN=45°,

VZBMN=90°,

：.ZBMD=45°=NBMN,

:・DM平分/BMN,

故④正确；

⑤在和△CNA中，

（ZBAF=/C=45°

\AB=AC，

^^ABF=乙CAN=22.5°

JAAFB^ACAN,

：.AF=CN,

VAF=AE,

：.AE=CN,

故⑤正确；

其中正确结论的个数是：①②③④⑤，5个；

故选：D.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形三线

合一的性质和应用，能正确证明两个三角形全等是解此题的关键.

2.如图，在△ABC中，ZACB=90",ZCAD=30°,AC=BC=AD,CE±CD,且CE=C。，连接8。、

DE、BE,则下列结论：①NECA=165°,②BE=BC；@AD=BE；④CD=BD.其中正确的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【分析】①根据：ZCAD=30°,AC^BC^AD,利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出

ZECA—165°,从而得证结论正确；

②根据CE_LC。，ZEC4=165°,利用SAS求证△AC。名ABCE即可得出结论；

③由②的结论，等量代换即可；

④过。作。M_LAC于过。作£>N_L2C于N.由/C4£)=30°,可得CM=%C,求证△CMDZ4

CND,可得CN=NW=Sc=*BC,从而得出CN=BN.然后即可得出结论.

【解答】解：VZCA£>=30°,AC=AD,

：.ZACD^ZADC^15°,

'JCELCD,

/.Z£CA=165°,①正确；

在△ACQ和△BCE中，

(AC=BC

jzXCD=乙BCE,

(CD=CE

：.AACD冬△BCE,

：.BE=AD,③正确；

"：BC=AD,

：.BE=BC,②正确；

过。作DM_LAC于M,过。作DN_LBC于N.

VZCAD=30°,且ZM1=%C,

'：AC=AD,ZCAD=3Qa,

ZACD=75

：.ZNCD=90°-ZACD=15°,ZMDC=ZDMC-ZACD=15°,

在△CM。和△CND中，

(ZCMD=ZCND

JZMDC=乙NCD，

VCD=CD

:.△CMD"ACND,

：.CN=DM=|AC=

:.CN=BN.

,:DNLBC,

：.BD=CD..,.④正确，

【点评】此题主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含30度

角的直角三角形等知识点的理解和掌握.

3.已知，等腰RtZXABC中AC=8C,点。在BC上，且NAD8=105°,EDLAB,G是A尸延长线上一点，

BE交AG于尸，且DE=2FG,连GE、GB.则下列结论：

®AG±BE；@ZDGE=60°；@BF=2FG；@AD+42DC=AB.

其中正确的结论有()

A.①②B.①②④C.①③④D.②③④

【分析】延长£»交A2于证△ACD四△BCE知/A£)C=/B£C=75°,即可判断①；求得RtZXEDF

中/矶>尸=60°,知Z)E=2D尸=2PG即。尸=BG,结合AG_LBE可判断②；在RtZXAC。中由NA£)C=

75°可令CD=V6-V2>AC=V2+V6>AD=4,根据AB=V2AC,变形后可判断④；由DE=正CD、

FG=%)E、EF=宇。E可得FG、EF,再根据-EP可得8尸的长，即可判断③.

【解答】解：如图，延长交AB于

E

VZADB=105°,△ABC是等腰直角三角形，

：.ZCDE=ZMDB=45°,ZADC=15°,ZCA£>=15°,

丛DCE是等腰直角三角形,

:.CE=CD,

在△ACD和△BCE中，

AC=BC

VZXCD=乙BCE=90°,

CD=CE

:.△ACDQABCE(SAS),

：.ZADC=ZBEC=15°,

AZAFE=18O°-NCAO-NCEB=90°,BPAF±BE,故①正确;

VZADC=75°,NCZ)E=45°,

.•.RtZXEDF中，ZEDF=6Oa,

:.DE=2DF=2FG,即DF=FG,

尸垂直平分。G,

...△OEG是等边三角形，

：.ZDGE=60°,故②正确；

方法一：在RtZXACD中，VZAZ)C=75°,

：.ZPAD=15°,

作NAOP=/M£)=15°,

贝ljB4=P£>,ZCP£>=30°,

设CO=a,则PL»=%=2a,PC=V3a,

AD=VCD2+AC2=a2+(2a+V3a)2=y/8+4V3a,

^,CDa8-4V3V6-V2

贝！J—=/——

AD,8+4遮a164

「e一JCV6+V2

同理可得一=------，

AD4

：.CD：AC：AD=（V6-V2）：（V6+V2）：4,

:.令CD=遍-0AC=V2+V6>AO=4,

:.AB=&AC=近（V2+V6）=2+2b=4+&（V6-V2）=AD+^2CD,故④正确;

方法二：由①知乙4五2=90°，

VZADC=ZBDF^15°,

：.ZDBF=15°,

由②知△OEG为等边三角形，MBELAG,

:.DF=GF,

:./DBF=NGBF=15°,

：.ZBGF=90°-ZGBF=15°,

•:NABG=NABD+NDBF+/GBF=75°,

：.AB^AG,

又,：DG=DE=®CD,

：.AB=AG=AD+DG=AD+V2CD,故④正确;

\"DE=V2C£>=V2（V6-V2）=2g—2,

：.FG=^DE=V3-1,EF=造DE=3一百，

:.BF=BE-EF=AD-EF=4-3+V3=1+V3,

显然BBW2FG,故③错误；

综上可知，①②④正确，

故选：B.

【点评】本题主要考查等腰直角三角形的性质、中垂线的性质、等边三角形的判定及角平分线定理等知

识点，熟练掌握角平分线定理是解题的关键.

4.如图，矩形ABC。中，AD=2,AB=4,AE平分NZMC,AE交CD于点、F,CE±AE,垂足为点E,EG

LCD,垂足为点G.则以下结论：①AEFCsAECA；（2）AABC^/\AEC；@CE^AF；（4）SAACF=5-V5；

（5）Effi^FG'DG.其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】①由余角的性质和角平分线的性质可得/ACE=NAQ=NCrE,且NC£F=NCEA=90°,

可证△Ef'Cs2\EC4；

②由“ASA”可证△AECgZ^AEH,可得AC=A4=2V5,CE=EH,通过证明△CGEs/xCDH,可求GE=

1D/7=V5-1,CG=1CD=2,可证BCWCE,可得△ABC与△AEC不全等；

③由“ASA”可证△ADPgZ\CGE,可得CE=AB；

GEGF

④通过证明△A£)PS2\EGR可得而=而，可求。尸=有-1，GF=3-V5,由三角形的面积公式可求

5AACF=5-V5；

⑤分别求出EG?,BG・DG的值，即可求解.

【解答】解：如图，延长A。，CE交于点H,

YAE平分ND4C,

：.ZDAF=ZFAC,

'JAELCE,

：.ZCAE+ZACE=90a=ZDAE+ZAFD=90°,

ZACE=ZAFD=ZCFE,

又：/CEF=NCEA=90°,

：./\EFC^/\ECA,故①正确;

•・•矩形A3C0中，AD=2,A3=4,

：.AB=CD=4fAD=BC=2,

:.AC=TAB2+BC2=74+16=2遥，

9：ZDAF=ZFAC,AE=AE,ZAEH=ZAEC=90°,

・•・AAEC^AAEHCASA),

：.AC=AH=2V5,CE=EH,

:・DH=2m-2,

,:EG〃DH,

.•.△CGEsACDH,

.GECECG

••DH~CH~CD'

tGE1CG

••DH~2~CD

・•・GE=*H=V5-1,CG=jCD=2f

：.CE=y/CG2+GE2=/4+5+1-2遮=J10-2遍,

CE7BC,

「•△ABC与△AEC不全等，故②错误；

*：AD=2fCG=2,

：.AD=CG=DG=2,

*：ZDAF+ZAFD=90°=/CFE+NECF,

：.ZDAF=ZECF,

又・.・/4。/=/£；6。=90°,

AAADF^ACGE(ASA),

：.AF=CE,故③正确；

9：GE//AD,

：.△ADFsXEGF,

.GEGF

••—,

ADDF

.V5-1GF

••—,

2DF

，：DF+GF=DG=2,

ADF=V5-1,GF=3-V5,

：.S^ACF=|XCFXAD=1X(2+3-V5)X2=5-V5,故④正确;

'：EG2=（Vs-1）2=6-2V5,FG-DG=6-2V5,

：.EG2=FG-DG,故⑤正确，

故选：D.

【点评】本题是三角形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形

的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.

5.如图，正方形的对角线AC,BD交于点0,E是BO上的一点，连接EC,过点8作BGLCE于

点G,交AC于点孙跖，EC交AB于点?若正方形A2CZ）的边长为4,下列结论：①OE=OH；②EF

=EC；③当G为CE中点时，BF=4立—4；@BG*BH=BE*BO,其中正确的是（）

AD

----------

A.①②③B.①②④C,①③④D.①②③④

【分析】①由“ASA”可证△BO"gZ\COE,可得。£=。“；

②过点E作“_LBC于P,EQ_LAB于。，由“A&4”可证△Q£F^Z\PEC,可得EF=EC；

③由线段的垂直平分线的性质可求BC=BE=4,由正方形的性质可求BP=PE=2近，可求的长;

BHB0

④通过证明可得一二一，可得BH・BG=BE・BO.

BEBG

【解答】解：'：BGLCE,EF工EC,

：.ZFEC=ZBGC=90°,

•..四边形ABCO是正方形，

：.AO=OC=OB=OD,ACLBD,

'：ZECO+ZGHC=90°=ZOBH+ZBHO,ZBHO=ZCHG,

：.ZOBH=ZECO,

又,：BO=CO,ZBOH=ZCOE=90°,

:.△BOgXCOE(ASA),

：.OE=OH,故①正确；

如图，过点E作EP_LBC于P,EQ_L48于。，

•..四边形4BC£)是正方形，

/.ZABD=ZCBD=45°,

又；EP工BC,EQ±AB,

：.EQ=EP,

又：EP_LBC,EQ±AB,ZABC=9Q°,

.•.四边形BPE。是正方形，

：.BQ=BP=EP=QE,ZQEP=90°=ZFEC,

:./QEF=NPEC,

又；NEQF=NEPC=90°,

:.AQEF冬APEC(ASA),

：.QF=PC,EF=EC,故②正确；

,:EG=GC,BGLEC,

：.BE=BC=4,

:.BP=EP=2五,

：.PC=4-2V2=。/，

:.BF=BQ-QF=2立一(4-2V2)=4加一4,故③正确；

,:NBOH=NBGE=90°,ZOBH=ZGBE,

:.△BOHsABGE,

.BHBO

••—,

BEBG

：.BH-BG=BE'BO,故④正确，

故选：D.

【点评】本题是三角形综合题，考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形性质，直角

三角形的性质的应用，相似三角形的判定和性质等知识，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的

能力.

6.如图，在等腰△ABC与等腰△&£)£1中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=a,连接8。和CE相交于

点P,交AC于点交与点N.下列结论：®BD=CE；②/8PE=180°-2a；③AP平分NBPE；

④若a=60°,则PE=AP+PZ).其中一定正确的结论的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【分析】由“S4S”可证△54。丝△C4E,可得BD=CE；由全等三角形的性质可得乙4B£>=/ACE,由

外角的性质和三角形内角和定理可得NBPE=/ACB+/ABC=180°-a；由全等三角形的性质可得必

BAD=S^CAE,由三角形面积公式可得由角平分线的性质可得AP平分/BPE；由全等三角形的

性质可得由“&4S”可证△AOEg/sAPZ),可得AO=AP,可证是等边三角形,

可得AP=PO,可得P£=AP+PD,即可求解.

【解答】解：：/2>^7=/£)4石=<1,

：.ZBAD=ZCAE,MAB=AC,AD=AE,

.♦.△BAD名△CAE(.SAS)

:.BD=CE,故①符合题意；

VABAD^ACAE,

ZABD=ZACE,

ZBAC=a,

：.ZABC+ZACB=180°-a,

ZBPE=/PBC+/PCB=ZPBC+ZACB+ZACP=/PBC+NACB+/ABP,

：.ZBPE=ZACB+ZABC=180°-a,故②不符合题意；

如图，过点A作AF±CE,

••S^BAD-S&CAE,

1I

：.-BDXAH==；CEXAF,S.BD=CE,

22

：.AH=AF,5.AH1BD,AF±CE,

平分N2PE,故③符合题意；

如图，在线段PE上截取OE=PZ),连接AO,

；.NBDA=NCEA,MOE=PD,AE=AD,

：.£\AOE^/\APD(SAS)

：.AP=AO,

VZBPE=180°-a=120°,且AP平分/BPE,

AZAPO=60°,且AP=AO,

...△APO是等边三角形，

：.AP=PO,

,:PE=PO+OE,

：.PE^AP+PD,故④符合题意.

故选：C.

【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形

的判定和性质以及角之间的关系，证明△BA。名是解本题的关键.

7.如图，在中，NC=90°,NABC的角平分线交AC于点。，过点。分别作BC和的平行

线，交A8于点E,交BC于点、H,连接E”交8。于点G,在AE上截取EF=8E,连接。F.下列说法

中正确的有()

(1)GH：FD=1：2；(2)BD2=BF・BC；(3)四边形是菱形；(4)S^ADF=|SAABC.

【分析】①由题意可证四边形DE2H是平行四边形，可得G8=EG,BG=DG,由三角形中位线定理可

11

得EG〃DF,GE=*F,可得G"=以月；

…BDBF、

②通过证明△5。/s△BC。，可得一二一，可证尸；

BCBD

③由菱形的判定可证四边形EBHD是菱形；

④条件不足，无法证明.

【解答】解：-：DE//BC,DH//AB,

・・・四边形。旗H是平行四边形，

：.GH=EG,BG=DG,

又,：EF=BE,

J.EG//DF,GE=JDF,

1

:.GH=*F,

：.GH：DF=1：2,故①正确；

;瓦）平分NABC,

ZABD=ZDBC,

*：DE//BC,

：.NEDB=/DBC,

：.ZEDB=ZEBD,

:・BE=DE,

:・BE=DE=EF,

：.ZBDF=90°=NC,

又,:NABD=/DBC,

・••△BDFs^BCD,

.BDBF

••—,

BCBD

：.BD2=BC'BF,故②正确；

•：BE=DE,四边形DE出/是平行四边形，

四边形DEBT/是菱形，故③正确；

条件不足，无法证明Sz\ADF=故④错误，

故选：C.

【点评】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，菱形的判定和性质，三角形中位线定理，相

似三角形的判定与性质等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.

8.如图，△ABC为等腰直角三角形，。为三角形外一点，连接CZ),过。作。ELOC交AB于点E,F为

OE上一点且。尸=OC,连接BEN为BF中点、,延长。N至点交BC于点G,使得/ABM=NAC。，

连接AM,AF,BM,下列结论：①MN=ND；@DM=®ZBAM>ZCGD；@2AF+BF=DM；

⑤若8M=2,AB=V10,AF=<2,贝US四边形ACOF=4.其中正确的个数为()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】连接A。，交BC于H,连接AMCF,由“S4S"可证可得MN=ZW,BM=

DF,由“SAS”可证△ABM丝△ACD可得AAf=A£),NBAM=NCAD,由等腰直角三角形的性质和三

角形的三边关系以及三角形的面积公式依次判断可求解.

【解答】解：:△ABC为等腰直角三角形，

：.AB=AC,ZACB=ZABC=45°,

CD±DE,

：.ZBAC=ZEDC=90°,

VZCDE+ZDEA+ZBAC+ZACD=360°,

AZACD+ZA££>=180°,

VZACD+ZBED^1SO°,

ZBED=ZACD,

,/ZABM=ZACD,

：.ZABM=/BED,

：.BM//DE,

：.ZBMD=ZEDM,

,:N为BF中点、,

：.BN=NF,

又,：/BNM=/DNF,

:ABMNm4FDN(44S),

：.MN=DN,BM=DF,故①正确；

如图1,连接AD交.BC于H,连接AN,CF,

"：CD=DF,

：.DC=BM,

又：AC=AB,ZABM=ZACD,

：.J\ABM^/\ACD(SAS),

：.AM=AD,NBAM=NCAD,

：.ZCAD+ZBAD=ZBAM+ZBAD=ZMAD=90°,

：.AMAD是等腰直角三角形，

：.MD=y[2AM,ZAMD^ZADM^45°,故②正确；

；.NACB=NAr>M=45°,

又：ZAHC=ZGHD,

：.ZCAD=ZCGD,

:"BAM=4CGD,故③错误；

「△MAD是等腰直角三角形，MN=ND,

：.MD=2AN,

在中，AN<AF+FN,

：.2AN<2AF+2FN,

：.MD<2AF+BF,故④错误；

,:BM=2=DF=CD,

:.CF=V2CD=2V2,

；4尸+。产=2+8=10,AB2=10,

:.AF2+CF2=AB2,

：.ZAFC=90°,

:.S四边形ACDF=SACFD+SAAFC=Ix2V2xV2x2X2=4,故⑤正确，

故选：B.

【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股

定理，三角形的三边关系等关系，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.

9.如图，等边△ABC中，D、E分别为AC、8C边上的点，AD=CE,连接AE、8。交于点凡/CBD、Z

AEC的平分线交于AC边上的点G,BG与AE交于点H,连接FG.下列说法：©AABD^ACAE；②

ZBGE=30°；@ZABG=ZBGF；@AB=AH+FG；⑤S^AGE：SNGC=DG：GC,其中正确的说法有

()

A.5个B.4个C.3个D.2个

【分析】①正确.根据SAS证明三角形全等即可.

1

②正确.ffi01ZBGE=^ZBFE,/BFE=60°即可.

-11

③正确.证明/BGP=30°+^ZEAC,30°+方乙48。即可.

④正确.过点G作GT_LB。于T,GJ_LAE'于J,GK_L.BC于K,想办法证明GF=GC,AH=AG即可.

1

Gth上日古上S"EG2AEG^AEm44A八八上山S-EGBDDG

⑸正确.由题思，-----=1----------------=—,因为AE—BD,推出------=—,又因为------=—=

S^cBG-BCGKBCSMBGBCS^BGCGC

1

-BDGT

2

―，由此可得结论.

-BCGK

2

【解答】解：・・・△ABC是等边三角形,

：.AB=AC=BCfZACB=ZBAC=60°,

在△A8D和△CAE中,

AB=AC

匕BAD=Z.ACE=60°,

AD=CE

：.AABD^ACAE(SAS),故①正确,

AABD^ACAE,

：.ZCAE=ZABDf

ZBFE=ZBAE+ZABD,

：.NBFE=/BAE+/CAE=ZBAC=60°,

ZAEC=NEBF+NBFE,

：.ZAEC=ZFBE+600,

・・・ZCBD.ZAEC的平分线交于AC边上的点G,

1iii

AZGEC=^ZAEC=^ZFBE+30°,NGBE=*BD=专/FBE,

ZGEC=ZGBE+/BGE,

：.ZBGE=30°,故②正确，

•・•尸G平分NOFE,BG平分/FBE,

.•.同法可得/86k=方乙4£8=±(ZEAC+ZC)=^ZEAC+30°,

11

VZABG=ZAB£>+Z£>BG=ZAB£>+^(60°-ZABD)=1ZABD+30°,

NABD=/EAC,

：.ZABG=ZBGF,故③正确，

过点G作GTLBD于T,GJLAE于J,GKLBC于K,

•；GB平分NDBC,GE平分NAEC,

GT=GK=GJ,

9：ZGFJ=ZC=60°,NGJF=NGKC=9U。,

:•丛GJF”丛GKC(A4S),

；.GF=GC,

ZBAH+ZEAC=ZEAC+ZAGF=6Q°