中考数学模型复习讲义：射影定理模型（解析版）

a百©m模型介绍

1.射影定理定义

①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.

②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.

2.如图在RtZ\A8C中，NA4c=90°,是斜边8C上的高，有射影定理如下:

@AD2=BD'DC；

回注意：直角三角形斜边上有高时，才能用射影

@AB2=BD'BC；AC2=CD-BC.

定理！

【例1】.在矩形A8C。中，8£，47交4。于点£,G为垂足.若CG=C£)=1,则AC的长

解：,四边形ABC。是矩形，,A3=CD=1,ZABC=90°,

\BELAC,：.ZAGB=90°=ZABC,

'：ZBAG=ZCAB,.•.△ABGsZXACB,.•.幽=胆，：.AG-AC=AB2（射影定理），

ABAC

即（AC-1）«AC=12,

解得：AC=H叵或AC=±Y£（不合题意舍去），即AC的长为红区，

222

故答案为：止区.

2

【例2】.如图：二次函数尸a/+foc+2的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点，若

ACLBC,则a的值为（）

A.--B.--C.-1D.-2

24

解：设A(尤1,0)(xi<0),B(X2,0)(%2>0),C(0,t),

•.•二次函数y=/+6x+2的图象过点C(0,f),

t=2；

VAC±BC,

29

/.OC=OAOB(射影定理)，即4=|XIX2|=-X1X2,

根据韦达定理知XLX2=2,・•.〃=-J1.故选：A.

a2

【例3】.将BC沿弦折叠，交直径A8于点D,若A0=4,DB=5,则的长是（)

c.V65D.2^/15

根据折叠的性质，知CD所对的圆周角等于/CBD,

又：立所对的圆周角是NCBA,

,：ZCBD=ZCBA,：.AC=CD（相等的圆周角所对的弦相等）;

/.△CAD是等腰三角形；

过C作CELAB于E.

'：AD=4,贝l]AE=r>E=2；：.BE=BD+DE=1；

在RtZ\ACB中，CELAB,根据射影定理，得：

BC2=BEMB=7X9=63；故BC=3小.故选：A.

A变式训练

[变式1].如图,在△ABC中，若AB^AC,BC=2BD=6,DELAC,则AC'EC的值是9

解：如图，•.•在△ABC中，若AB=AC,BC=2BD=6,

J.AD1BC,CD=BD=3.

又DELAC,

：.ZCED=ZCDA=9Q°.

：NC=/C,

△CAD

ACD=EC；即AC・EC=C£>2=9.（射影定理）

ACDC

故答案是：9.

【变式2].如图所示，在矩形ABC。中，AELBD于点E,对角线AC,BD交于0,且3E：

££>=1：3,AD=6cm,则AE=cm.

解：设BE=x,因为BE：ED=1：3,故皮>=3x,

根据射影定理，A£>2=3x(3无+x),即36=12x2,

AE1=BE-ED,AE2=X-3X；即4君2=3/=3X3=9；AE=3.

【变式3]如图，若抛物线y=o?+云+cQWO）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,

^ZOAC=ZOCB.则ac的值为（）

D.1

3

解：设A(xi,0),B(X2,0),C(0,c),

,二次函数y=ox2+bx+c的图象过点c(0,°),

JOC=c,

ZOAC=ZOCB,OCLAB,

:AOACSMOCB,

•・•"OA—_0C"f

OCOB

AOC2=OA>OB(即射影定理)

即仅「以|=。2=-xi・尤2,

令a^+bx+c=0,

根据根与系数的关系知.n«x2=—,

a

•c2

•"XiXn==C，

1za

故ac=-1,故选：A.

【变式4】.如图，正方形ABC。中，E为AB上一点，于点孔已知5EF=5,

过C、D、尸的OO与边交于点G,则。G=.

在正方形ABCZ5中，ZEAD=ZADC=90°,AF±DE,

：.AAFO^AEAD,

.AD=DF

'"EDAD"

又；DF=5EF=5,

・・・AD=、ED，DF=、5义（5+1）=病=CD,

在Rt^A尸。中，AF=5/AD2_DF2=V30-25=V5,

VZCDF+ZADF=90°,ZDAF+ZADF=90°,

JZDAF=/CDF,

,/四边形GFCD是。。的内接四边形，

：.ZFCD^ZDGF=\SO°,

VZFGA+ZZ）GF=180°,

：.ZFGA=ZFCD9

：.AAFGsADFC,

.AG=AF

"CDDF,

.AG_V5

.而一T，

.,.AG=J^,

J.DG^AD-AG=5巧3-娓

【变式5】.如图，在△ABC中，以AC边为直径的。。交3c于点。，过点2作8GLAC

交。。于点E、H,连A。、ED、EC.若8。=8,DC=6,则CE的长为2后T.

解：:AC为。。的直径,

AZADC=90°,

'：BG±AC,

：.ZBGC=ZADC=90°,

'：ZBCG=ZACD,

：.△ADCs^BGC,

.DC=AC

"CGBC"

.•.CGMC=DC»BC=6X14=84,

连接AE,

：AC为。。的直径，.•.NAEC=90°,

AZAEC=ZEGC^9Q°,

NACE=ZECG,

.,.△C£G^>ACA£,.•.苴=比，

CEAC

.•.CE2=CGMC=84,.*.C£=2V21.

故答案为2亚.

【变式6】.如图，四边形ABC。是平行四边形，过点A作AEL3C交8C于点E,点尸在

BC的延长线上，且CB=BE,连接。足

(1)求证：四边形AEFD是矩形；

(2)连接AC,若NAC£)=90°，A£=4,CF=2,求EC和AC的长.

(1)证明：：四边形ABCO是平行四边形，.•.A£)〃BC,AD=BC,

"：CF=BE：.BE+CE=CF+CE,

即BC=EF,：.AD=EF,

：AD〃EF,...四边形AE即是平行四边形，

'：AE±BC,.•.NAEF=90°,，平行四边形AEFD是矩形；

(2)解：如图，'：CF=BE,CF=2,

:.BE=2,:四边形ABC。是平行四边形，J.AB//CD,：.ZBAC^ZAC£>=90°,

Ay2J2

'：AE.LBC,:.AE2=BE,EC(射影定理)，：.EC=-^—=—=S,

BE2

,'-AC=VAE2<E2=^42+82=4^5.

AD

□fl

百H实战演练

1.4口图，在矩形ABC。中,DE±AC,垂足为点E.若sin/AOE=2,AD=4,则AB的长

解：-DELAC,

/.ZADE+ZCAD=90°,

VZACD+ZCAD^90°,

ZACD=ZADE,

'：矩形ABCD的对边AB//CD,

：.ZBAC=ZACD,

sinZA£)E=—,BC=AD=4,

5

.BC=4.4=4

：.AC=5,

"AC5""AC5

由勾股定理得，^=VAC2-BC2=3,故选：c-

2.如图，在矩形ABC。中，BD=2M.对角线AC与3。相交于点。，过点。作AC的垂

A.4B.273C.9D.473

4

解：：四边形A8CD是矩形，.•./ADC=90°,AC=BD=26,

'：AE=3CE,：.AE=^-AC=2-43>CE=LC=近，

4242

VZADC=90°,AZDAC+ZACD=90°,

VDEXAC,ZAED=ZCEO=90°,

ZADE+ZDAC=90°,ZADE=ZACD,：.AADE^ADCE,.•理=里

CEDE

.,.£)£2=A£«C£=-^-V3X2Z1_=2,故选：c.

224

3.如图，在正方形ABC。内，以。点为圆心，长为半径的弧与以8C为直径的半圆交

于点尸，延长CP、AP交AB、8C于点M、N.若AB=2,则A尸等于（)

D

A,遮B.2Vwc.巫D.垣

2555

解：如图，设点S为2C的中点，连接DP,DS,DS与PC交于点W,作PEL2C于点E,

PF1AB于点F,

:.DP=CD=2,PS=CS=1,即。S是尸C的中垂线，:ADCS"ADPS,

：.ZDPS=ZDCB=90°,：.DS=VDC2+CS2=722+l2=疾，

由三角形的面积公式可得产。=生叵，

5

为直径，：.ZCPB=90°,，-2=依2_氏2=^^,

：.PE=FB=PC^B=-1,/.PF=BE=VpB2-PE2=T>

DUDD

：.AF=AB-FB=^-,:.AP=y//十叩2=当叵故选:B.

55

4.如图，点P是O。的直径A4延长线上一点，PC与O。相切于点C,CD±AB,垂足为

D,连接AC、BC、OC,那么下列结论中：①PC2=M・PB；®PC-OC=OP'CD；③。

解：①与。。相切于点C,

：.ZPCB=ZA,NP=NP,.,.△PBC^APCA,：.PC1=PA'PB-,

©-：OCLPC,：.PC'OC=OP'CD-,

@'：CDLAB,OCLPC,：.OC2=OD'OP,

"：OA=OC,：.OA2=OD-OP；

@VXAP'CD=AOC-CP-AGA-CD,OA=OC,：.OA(CP-CD)=AP'CD,

222

所以正确的有①，②，③，④，共4个.故选：D.

5.如图，在RtZkABC中，ZA=90°,A8=AC=8%,点E为AC的中点，点尸在底边

BC上，5.FELBE,则CP长.

解：作EH_L8C于H,如图，

VZA=90°,AB=AC=8%,:.BC=^AB=16M，ZC=45°,

:点E为AC的中点，:.AE=CE=4娓,

为等腰直角三角形，.•.£"="=性也=4正，.•.2"=12«

V2

在中，

Rt^ABE5£=^AB2+AE2=4730.

在RtZ\BEP中，'JEHLBF,：.BE2=BH'BF,

即BF==4。%'3,:.CF=BC-BF=1673-孤3=

1273333

故答案为⑻巨.

6.如图，在矩形ABC。中，点E在边AD上，把△ABE■沿直线BE翻折，得至lJ△G2E,BG

的延长线交CD于点F.F为CD的中点，连结CG,若点E,G,C在同一条直线上，FG

=1,则C。的长为2+2点,cos/DEC的值为五-1.

解：；四边形ABCD是矩形，

C.AB^CD,AD//BC,N2C£)=NA=/£>=90°,

/AEB=ZEBC,ZBCG=ZDEC,

由折叠的性质得：BG=BA,NEGB=/A=90°,ZGEB=ZAEB,

*.CD=BG,

：.ZEBC=ZGEB,

：.BC=EC,

•.•点E,G,C在同一条直线上，

：.ZCGF=90°,ZCGB=180°-Z£GB=90°,

•.•尸为CD的中点,

：.CF=DF,

设CP=DB=尤，则BG=Cr>=2x,

/CFG=ZBFC,

:.△CFGsABFC,

•CF=FG

*'BFCF'

：.CF1=FG'BF,

即/=1X（1+2尤），

解得：尤=1+&或x=l-&（舍去），

:.CD=2x=2+2近,

'：ZDEC+ZECD=9Q°,ZGFC+ZECD=90°,

NDEC=ZGFC,

cosZDEC—cosZGFC==——^=-=^2_1>

CF1W2

故答案为：2+2我，V2-1.

7.如图，在平面直角坐标系中，直线y=fct+l分别交无轴，y轴于点A,B,过点B作BC

XAB交x轴于点C,过点C作交y轴于点D,过点D作DELCD交x轴于点E,

过点E作EPLOE交y轴于点?已知点A恰好是线段EC的中点，那么线段跖的长

解：因为48的解析式为尸爪+1,所以8点坐标为（0,1）,A点坐标为（-50），

由于图象过一、二、三象限，故%>0,

又因为8C_LAB,BOLAC,

所以在RtZVIBC中，8。2=&。.。。，代入数值为：iCO=k,

k

同理，在RtZXBCD中，CO2=BO^DO,

代入数值为:必=『DO,。。=A2又因为A恰好是线段EC的中点，所以2为尸。的中点，

OF=1+1+M,RtZifED中，

根据射影定理，EO2=DO'OF,即1+』+』）2=^<1+^+1）,

kk

整理得（人-&）（左+加）（/+2）（M+1）=0,解得左=企.

根据中位线定理，EF=2GB=2DC,女=J（加）2+（（a）2）2=a，EF=2^

8.如图，在菱形ABC。中，过点。作。ELCO交对角线AC于点E,连接BE,点尸是线

段8E上一动点，作P关于直线QE的对称点P,点。是AC上一动点，连接P。，DQ.若

AE=14,CE=18,则。Q-PQ的最大值为—工曳2_.

3

解：如图，连接8。交AC于点O,过点。作。K_L3C于点K,延长0E交A8于点凡

连接EP并延长，延长线交A2于点J,作£7关于AC的对称线段E/,则点P的对

应点尸"在线段EJ'上.

当点P是定点时，DQ-QP'=DQ-QP",

当DP",。共线时，QD-QP'的值最大，最大值是线段Z5P〃的长，

当点尸与8重合时，点P"与/重合，此时的值最大，最大值是线段DT

的长，也就是线段即的长.

•..四边形ABC。是菱形，

J.ACLBD,AO=OC,

VA£=14.EC=18,

：.AC=32,AO=OC=16,

OE=AO-AE=16-14=2,

\'DE±CD,

：.ZDOE=ZEDC=90°,

ZDEO=ZDEC,

：.△EDOS^ECD,

:.D惮=EO・EC=36,

:.DE=EB=EJ=6,

=22

•••CDVEC-DE=V182-62=12企>

O£)=7DE2-0E2=V62-22=4^2-

:.BD=8如,

SADCB=LXOCXBD=LBC・DK,

22

16X872_32

：.DK=

12V2T

'：ZBER=ZDCK,

32

sin/BER=sinZDCK=^-=—^=

CD12V2

:.RB=BE乂至必=为必,

93

•:EJ=EB,ERLBJ,

:.JR=BR=^^,

3

:.JB=DJ'=16五,

3

：.DQ-P'Q的最大值为16泥.

3

解法二:DQ-P,Q=BQ-P'Q^BP',显然P的轨迹EJ,故最大值为BJ.勾股得CD,OD.△

BDJsABAD,BD2=BJ*BA,可得BJ=16后..

3

故答案为：里亚.

3

9.在矩形ABC。中，点E为射线BC上一动点，连接AE.

(1)当点E在BC边上时，将AABE沿AE翻折，使点8恰好落在对角线BD上点F处,

AE交BD于点G.

①如图1,若BC=«AB,求/AED的度数；

②如图2,当AB=4,且EP=EC时，求BC的长.

(2)在②所得矩形ABC。中，将矩形ABC。沿AE进行翻折，点C的对应点为C,当点

E,C,。三点共线时，求BE的长.

图1图2备用图

解：（1）①：四边形ABCD是矩形，：.AD=BC,ZBAD=90°,

,:BC=®AB,：.AD=MAB,，tanNAB£）=果=E,Z.ZAB£>=60°,

由折叠的性质得：AF=AB,.•.△48尸是等边三角形，，/4尸8=60°,

AZAFD=180°-ZAFB=120°；

②由折叠的性质得：BF±AE,EF=EB,

；EF=EC,：.EF=EB=EC,：.BC=2BE,

:四边形ABCD是矩形，AZABC=90°,AD=BC=2BE,AD//BC,

:.△ADGs^EBG,.•.迪=幽=2,：.AG=2EG,

EGBE

设EG=尤，则AG=2尤，：.AE=3x,

在AABE中，BG±AE,，AB2=AG・AE（射影定理），BP42=2x»3x,

解得：x=2展（负值己舍去），，AE=3x=2五,

22=22

^=VAE-ABV（2V6）-4=2a,,BC=2BE=4如,

即BC的长为4衣；

（2）当点E,C,。三点共线时，如图3,

由②可知，BC=4&,

:四边形ABCD是矩形，

ZABC=ZBCD=90°,AD=BC=4®CD=AB=4,AD//BC,

：.ZDCE=9Q°,NCED=/B'DA,

由折叠的性质得：AB'=AB=4,ZB'=ZABC=90°,

:.NDCE=/B',DC^AB',：./\CDE^/\B'AD（A4S）,

22

•，-DE=AD=4^2，：.CE=A/DE-CD=V（4V2）2-42=4,

:.BE=BC+CE=4如+4.

B'

B

E

图3

10.如图，已知。。的半径为2,A8为直径，CD为弦,A2与CD交于点M,将弧C£)沿

着C。翻折后，点A与圆心。重合，延长。4至P,使AP=O4,连接尸C.

(1)求证：PC是的切线；

(2)点G为弧AD8的中点，在PC延长线上有一动点。，连接QG交A8于点E,交弧

BC于点与8、C不重合).问GE・GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不

是，请说明理由.

解：⑴\'PA=OA=2,AM=OM=\,CM=M，

又:/01/尸=/0加。=90°,

22

；•PC=VMC+PM-2^3，

"：OC=2,PO=4,

：.PC2+OC2^PO2,

：.ZPCO=90°,

...PC与o。相切；

(2)GE・Gf"为定值，理由如下：如图2,

连接G4、AF.GB,

;点G为弧AOB的中点,

AC=GB,

：.ZBAG=ZAFG,

/AGE=/FGA,

：.AAGE^AFGA,

•.•AG-FG-,

GEAG

J.GE-GF^AG2,

为直径，A2=4,

：.ZBAG=ZABG=45°,

:.AG=2®

：.GE-GF=AG2=8.

11.如图1,在正方形ABC。中，点E是AB边上的一个动点(点E与点A,B不重合)，连

接CE,过点8作BfUCE于点G,交A。于点尺

(1)求证：AABF当LBCE；

(2)如图2,当点E运动到A3中点时，连接DG,求证：DC=DG；

(3)如图3,在(2)的条件下，过点C作CMLOG于点分别交ADBF于点M,

N,求蚂的值.

NH

(1)证明：'.'BF1.CE,

：.ZCGB^90°,

：.ZGCB+ZCBG=9Q,

:四边形ABC。是正方形，

:./CBE=90°=ZA,BC=AB,

：.ZFBA+ZCBG^90,

：.ZGCB=ZFBA,

:AABF^二BCE(ASA)；

(2)证明：如图2,过点。作。于H,

设AB=CD=BC=2a,

•点E是AB的中点，

：.EA^EB^—AB^a,

2

.'.CE=yf5a,

在RtzXC班中，根据面积相等，得BG，CE=CB，EB,

；.BG=^^-a,

5

CG=VCB2-BG2=邛口’

D

*：ZDCE+ZBCE=90°,/CBF+NBCE=9U°,

:・/DCE=NCBF,

•:CD=BC,ZCHD=ZCGB=90°,

:•△CHD/ABGC(A4S),

：.CH=BG=^^-a,

5

/.GH=CG-CH=当3=CH,

5

,:DH=DH,ZCHD=ZGHD=90°,

△£>GHg/XDCH(SAS),

：.CD=GD；

(3)解：如图3,过点。作ZJQLCE于Q,

SHDG=L，DQ・CG=LCH・DG,

22

・••吁警g

在RtZ\C。。中，CD=2a,

DH=VCD2-CH2=Ta,

b

VZMDH+ZHDC=90°,ZHCD+ZHDC=90°,

ZMDH=ZHCD,

:.△CHDsADHM,

.PHMH_3

'*CH"DHT

在Rt/XCHG中，CG=匐na,CH=^-a,

55

GH=VCG2-CH2=