浙江省2025年中考冲刺模拟数学试题（含解析）

浙江省重点名校2025年中考冲刺模拟数学试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，在RtAABC中，NB=90。，ZA=30°,以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D,分别以点A、D为

圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E,连接AE,DE,则NEAD的余弦值是（）

'弋YD.与

2.如图，在R3ABC中，ZACB=90°,CD±AB,垂足为D,AB=c,NA=a,则CD长为()

C

C.c*sina*tanaD.c*sinaecosa

3.下列计算正确的是()

A.4^=aB.(-a2)3=a6c.79-A/8=1D.6a2x2a=12a3

4.已知：如图，在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE,过点A作AE的垂线交DE于点P,若AE=AP=1,

PB=逐.下列结论：©AAPD^AAEB；②点B到直线AE的距离为后；®EB±ED；@SAAPD+SAAPB=1+76;⑤S

正方形ABCD=4+«.其中正确结论的序号是（）

A.①③④B.①②⑤C.③④⑤D.①③⑤

5.如图，将函数y=L（x-2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1,机），B（4,〃）平

2

移后的对应点分别为点4、B'.若曲线段48扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）

C.y=—(x-2)2-5D.y——(x-2)2+4

22

6.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=LCE=3,CH->-AF与点H,那么CH的长是()

A20R£「30n3石

A.------B.A/5C.-------D.------

325

7.如图，在等腰直角△ABC中，ZC=90°,D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则

sinZBED的值是（）

2722

D.

3

8.在学校演讲比赛中，10名选手的成绩折线统计图如图所示，则下列说法正确的是（）

A.最高分90B.众数是5C.中位数是90D.平均分为87.5

9.已知圆锥的侧面积为IOTTCR?,侧面展开图的圆心角为36。,则该圆锥的母线长为（）

A.100cmB.A/10cmC.10cmD.cm

10

10.若a+b=3,蓊，,骐'=用，则ab等于（）

A.2B.1C.-2D.-1

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.如图，用圆心角为120。，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是cm.

12.用不等号“〉”或“V”连接：sin50°cos50°.

13.已知反比例函数y='一的图像经过点（2,T）,那么上的值是

x

14.如图，在AABC中，ZC=90°,AC=BC=\T,将AABC绕点A顺时针方向旋转60。到AABC，的位置，连接CB,

贝!ICB=

15.如图，等边三角形AOB的顶点A的坐标为（-4,0）,顶点B在反比例函数y=A（x<0）的图象上，则

16.函数的自变量x的取值范围是

x-3

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）在某小学“演讲大赛”选拔赛初赛中，甲、乙、丙三位评委对小选手的综合表现，分别给出“待定”（用字母

W表示）或“通过”（用字母P表示）的结论.

（1）请用树状图表示出三位评委给小选手琪琪的所有可能的结论；

（2）对于小选手琪琪，只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率是多少？

（3）比赛规定，三位评委中至少有两位给出“通过”的结论，则小选手可入围进入复赛，问琪琪进入复赛的概率是多少？

18.（8分）如图是8x8的正方形网格，4、5两点均在格点（即小正方形的顶点）上，试在下面三个图中，分别画出

一个以A,B,C,。为顶点的格点菱形（包括正方形），要求所画的三个菱形互不全等.

19.（8分）如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中NC=90。，NB=NE=30。.

操作发现如图1,固定

图4

△ABC,使△DEC绕点C旋转.当点D恰好落在BC边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是：

②设△BDC的面积为Si,AAEC的面积为Si.则Si与Si的数量关系是.猜想论证

当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中Si与Si的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了4BDC

和AAEC中BC,CE边上的高，请你证明小明的猜想.拓展探究

已知NABC=60。，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4,OE〃AB交BC于点E（如图4）,若在射线BA上存在点F,

使SADCF=SABDC,请直接写出相应的BF的长

20.（8分）某经销商从市场得知如下信息：

A品牌手表B品牌手表

进价（元/块）700100

售价（元/块）900160

他计划用4万元资金一次性购进这两种品牌手表共100块，设该经销商购进A品牌手表x块，这两种品牌手表全部销

售完后获得利润为y元.试写出y与x之间的函数关系式；若要求全部销售完后获得的利润不少于1.26万元，该经销

商有哪几种进货方案；选择哪种进货方案，该经销商可获利最大；最大利润是多少元.

21.(8分)如图所示，在△ABC中，AB=CB,以BC为直径的。O交AC于点E,过点E作。O的切线交AB于点F.

(1)求证：EF±AB；

(2)若AC=16,。。的半径是5,求EF的长.

22.(10分)如图，在R3ABC中，ZC=90°，点。在边上，DE±AB,点E为垂足，AB=7,ZDAB=45°,

tanB=—.

4

⑴求。E的长；

⑵求/CDA的余弦值.

.ab

23.(12分)已知A=_-——-_

b7T(a-b)a(a-b)

(1)化简A；

(2)如果a,b是方程d—4x—12=0的两个根，求A的值.

24.某校数学综合实践小组的同学以“绿色出行”为主题，把某小区的居民对共享单车的了解和使用情况进行了问卷调

查.在这次调查中，发现有20人对于共享单车不了解，使用共享单车的居民每天骑行路程不超过8千米，并将调查结

果制作成统计图，如下图所示：

某小区居民

对共享单车的了解情况

本次调查人数共人,

（这里的2~4表示：2千米〈每天骑行路程W4千米）

使用过共享单车的有人；请将条形统计图补充完整；如果这个小区大约有3000名居民，请估算出每天的骑行

路程在2〜4千米的有多少人？

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、B

【解析】

设BC=x,

•.•在RtA48C中，ZB=90°,ZA=30°,

.,.AC=2BC=2x,AB=6BC=6x，

根据题意得：AD-BC=x,AE=DE=AB=#）x,

作于M,贝I]■尤，

22

1

在RtzAEM■中，cos^EAD=AM=2=；

AEs/3x6

故选B.

【点睛】本题考查了解直角三角形、含30。角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数等，通过作辅助线求

出AM是解决问题的关键.

2、D

【解析】

根据锐角三角函数的定义可得结论.

【详解】

Be

在R/AABC中，ZACB=90°,AB=cZA=a,根据锐角三角函数的定义可得ga=-----，

fAB

••BC=c*sina,

VZA+ZB=90°,Z£>CB+ZB=90°,

，ZDCB=ZA=a

在Rt&DCB中，ZCDB=90°,

,CD

cos/DCB=---,

BC

CD=BC*cosa=c*sina,cosa,

故选D.

3、D

【解析】

根据平方根的运算法则和塞的运算法则进行计算，选出正确答案.

【详解】

=|a|,A选项错误；（-a?）3=_a6,B错误；邪一瓜=3-般,C错误；.6a?x2a=12a3,D正确；故选：D.

本题考查学生对平方根及幕运算的能力的考查，熟练掌握平方根运算和塞运算法则是解答本题的关键.

4、D

【解析】

①首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD04AEB；

②由①可得NBEP=90。，故BE不垂直于AE过点B作BF_LAE延长线于F,由①得NAEB=135。所以/EFB=45。，所以

△EFB是等腰RtA,故B到直线AE距离为BF=6,故②是错误的；

③利用全等三角形的性质和对顶角相等即可判定③说法正确；

④由△APD0ZkAEB,可知SAAPD+SAAPB=SAAEB+SAAPB,然后利用已知条件计算即可判定；

⑤连接BD,根据三角形的面积公式得到SABPD=—PDxBE=—,所以SAABD=SAAPD+SAAPB+SABPD=2+,由此即可判

222

定.

【详解】

由边角边定理易知△APD会AAEB,故①正确；

由AAPDgZkAEB得，ZAEP=ZAPE=45°,从而/APD=/AEB=135°,

所以NBEP=90。，

过B作BFLAE,交AE的延长线于F,则BF的长是点B到直线AE的距离，

在AAEP中，由勾股定理得PE=、Q,

在△BEP中，PB=6,PE=J5，由勾股定理得：BE=后，

VZPAE=ZPEB=ZEFB=90°,AE=AP,

ZAEP=45°,

・•・ZBEF=180o-45°-90o=45°,

・•・ZEBF=45°,

・・・EF=BF,

在AEFB中，由勾股定理得：EF=BF=—,

2

故②是错误的；

因为AAPD0AAEB,所以/ADP=NABE,而对顶角相等，所以③是正确的;

由^APD^AAEB,

.•.PD=BE=5

_1A/6

可知SAAPD+SAAPB-SAAEB+SAAPB=SAAEP+SABEP=--------------，因此④是错误的;

22

13

连接BD,贝I]S^BPD=-PDXBE二一,

22

A/6

所以

ABD=SAAPD+SAAPB+SABPD=2+~T

所以S正方形ABCD=2SAABD=4+76

综上可知，正确的有①③⑤.

故选D.

考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形的面积及勾股定理，综合性比较强，解题时要求熟练掌握相

关的基础知识才能很好解决问题.

5、D

【解析】

19

•・•函数y=5（%-2）+1的图象过点A（1,m）,B（4,n）,

19319

m=5（I-2）+1=5,n=-（4-2）-+1=3,

3

・・・A(1,B(4,3),

2

3

过A作AC〃不轴，交夕5的延长线于点C,则C(4,-),

2

：.AC=4-1=3,

,・,曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分)，

・・・AC・4V=3AV=9,

・・・AV=3,即将函数y=5(%-2『+l的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象,

1

・••新图象的函数表达式是y=5(%—2)7+4.

故选D.

6、D

【解析】

连接AC、CF,根据正方形性质求出AC、CF,ZACD=ZGCF=45°,再求出/ACF=90。，然后利用勾股定理列式求出

AF,最后由直角三角形面积的两种表示法即可求得CH的长.

【详解】

如图，连接AC、CF,

:正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1,CE=3,

・・AC二-^2，CF=35/2，

ZACD=ZGCF=45°,

JZACF=90°,

由勾股定理得，AF=7AC2+CF2=7(A/2)2+(3A/2)2=2逐，

VCHXAF,

：.-ACCF=-AFCH,

22

祗\上及乂2垃=上义2后-CH,

22

3J5

...CH=—1.

5

故选D.

本题考查了正方形的性质、勾股定理及直角三角形的面积，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键.

7、B

【解析】

先根据翻折变换的性质得到△DEF丝AAEF,再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到NBED=CDF,设

CD=1,CF=x,贝iJCA=CB=2,再根据勾股定理即可求解.

【详解】

,/ADEF是4AEF翻折而成，

.♦.△DEF丝△AEF,ZA=ZEDF,

•••AABC是等腰直角三角形,

：.ZEDF=45°,由三角形外角性质得NCDF+45o=NBED+45。，

ZBED=ZCDF,

设CD=1,CF=x,则CA=CB=2,

；.DF=FA=2-x,

.•.在RtACDF中，由勾股定理得,

CF2+CD2=DF2,

即x2+l=(2-x)2,

3

解得：x=-,

4

,CF3

AsinZBED=sinZCDF=——=-.

DF5

故选B.

本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适

中.

8、C

【解析】

试题分析：根据折线统计图可得：最高分为95,众数为90；中位数90；平均分=(80x2+85+90x5+95x2)+(2+1+5+2)=885

9、C

【解析】

圆锥的侧面展开图是扇形，利用扇形的面积公式可求得圆锥的母线长.

【详解】

设母线长为R,则

圆锥的侧面积=双生=10兀，

360

R=10cm,

故选C.

本题考查了圆锥的计算，熟练掌握扇形面积是解题的关键.

10、B

【解析】

a+b=3,

(a+b)2=9

a2+2ab+b2=9

,.,a2+b2=7

；.7+2ab=9,7+2ab=9

/.ab=l.

故选B.

考点：完全平方公式；整体代入.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、4点

【解析】

先求出扇形弧长，再求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理即可出圆锥的高.

【详解】

圆心角为120°,半径为6cm的扇形的弧长为U2_—=4^rcm

180

...圆锥的底面半径为2,

故圆锥的高为,62—22=4&cm

此题主要考查圆的弧长及圆锥的底面半径，解题的关键是熟知圆的相关公式.

12、>

【解析】

试题解析：'**cos50°=sin40°,sin50°>sin40°,

.,.sin50°>cos50°.

故答案为〉.

点睛：当角度在0°〜90。间变化时，

①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；

②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；

③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.

,3

13、k=---

2

【解析】

2左+1

将点的坐标代入，可以得到-1=--------，然后解方程，便可以得到k的值.

2

【详解】

2%+1

.反比例函数y=--------的图象经过点（2,-1）,

x

3

；.k=——；

2

3

故答案为k=--.

2

本题主要考查函数图像上的点满足其解析式，可以结合代入法进行解答

14、\3J

【解析】

如图，连接BB\

VAABC绕点A顺时针方向旋转60。得到△AB-C\

.".AB=AB,,ZBAB'=60°,

.♦.△ABB，是等边三角形，

.,.AB=BB\

在4ABCMB'BC'中，

△ABCNZ\B'BC'(SSS),

ZABC,=ZB,BC,,

延长BC交AB，于D,

则BD±AB,,

VZC=90°,AC=BC=\J,

，AB=(口?+(防;=2,

、

BD=2x《=、

CD=：x2=l,

.•.BC=BD-CD=3L

故答案为：v3-1.

点睛：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅

助线构造出全等三角形并求出BC在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点.

15、-4/

【解析】

过点B作BDLx轴于点D,因为AAOB是等边三角形，点A的坐标为(-4,0)所NAOB=60。，根据锐角三角函数的

定义求出BD及OD的长，可得出B点坐标，进而得出反比例函数的解析式.

【详解】

过点B作BD±x轴于点D,

•.,△AOB是等边三角形，点A的坐标为（-4,0）,

ZAOB=60°,OB=OA=AB=4,

/.OD=OB=2,BD=OB«sin60°=4x

•*.B（-2,2百），

?.k=-2x273=-473.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点、等边三角形的性质、解直角三角函数等知识，难度适中.

16、xN-1且x^l

2

【解析】

分析：根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式求解即可.

详解：根据题意得2x+G0,x-1^0,

解得xN--且xrl.

2

故答案为XN-L且存1.

2

点睛：本题主要考查了函数自变量的取值范围的确定，根据分母不等于0,被开方数大于等于0列式计算即可，是基础

题，比较简单.

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）见解析；（2）-；（3）

42

【解析】

（1）根据列树状图的步骤和题意分析所有等可能的出现结果，即可画出图形；

（2）根据（1）求出甲、乙两位评委给出相同结论的情况数，再根据概率公式即可求出答案；

（3）根据（1）即可求出琪琪进入复赛的概率.

【详解】

(1)画树状图如下:

(2):.共有8种等可能结果，只有甲、乙两位评委给出相同结论的有2种可能，

，只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率p=2=,；

84

(3)•••共有8种等可能结果，三位评委中至少有两位给出“通过”结论的有4种可能，

41

乐乐进入复赛的概率P=—=—.

82

此题考查了列树状图，掌握列树状图的步骤，找出三位评委给出相同结论的情况数是本题的关键，如果一个事件有n

种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P=H.

n

18、见解析

【解析】

根据菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，可以根据正方形的四边垂直，将小正方形的边作为对角线画菱

形；也可以画出以AB为边长的正方形，据此相信你可以画出图形了，注意：本题答案不唯一.

【详解】

如图为画出的菱形：

ffll图2图3IH4

本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图

方法；解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步

操作.本题掌握菱形的定义与性质是解题的关键.

19、解：(1)①DE〃AC.②Sys2.(1)S]=S?仍然成立，证明见解析；(3)3或2.

【解析】

(1)①由旋转可知：AC=DC,

VZC=90°,ZB=ZDCE=30°,AZDAC=ZCDE=20°.；.△ADC是等边三角形.

.*.ZDCA=20°..,.ZDCA=ZCDE=20°.ADEAC.

②过D作DN_LAC交AC于点N,过E作EM_LAC交AC延长线于M,过C作CF_LAB交AB于点F.

由①可知：△ADC是等边三角形,DE〃AC,；.DN=CF,DN=EM.

；.CF=EM.

VZC=90°,ZB=30°

/.AB=1AC.

又：AD=AC

；.BD=AC.

VS.=-CFBD,S,=-ACEM

1222

Sj=S2.

(1)如图，过点D作DMLBC于M,过点A作ANLCE交EC的延长线于N

「△DEC是由△ABC绕点C旋转得到,

；.BC=CE,AC=CD,

*/ZACN+ZBCN=90°,ZDCM+ZBCN=180°-90°=90°,

ZACN=ZDCM,

ZACN=ZDCM

:在△ACN和ADCM中，＜ZCMD=ZN

AC=CD

.,.△ACN^ADCM(AAS),

；.AN=DM,

*'•ABDC的面积和^AEC的面积相等(等底等图的二角形的面积相等),

即S1=S1；

(3)如图，过点D作DFi〃BE,易求四边形BEDFi是菱形,

所以BE=DFi,且BE、DFi上的高相等，

此时SADCFI=SABDE;

过点D作DF」BD,

VZABC=20°,FiD〃BE,

ZFiFiD=ZABC=20°,

VBFi=DFi,ZFiBD=-ZABC=30°,ZFiDB=90°,

2

ZFiDFi=ZABC=20°,

.,.△DFiFi是等边三角形，

/.DFi=DFi,过点D作DGLBC于G,

VBD=CD,NABC=20。，点D是角平分线上一点，

119

ZDBC=ZDCB=-x20°=30°,BG=-BC=-,

222

；.BD=3相

/.ZCDFi=180o-ZBCD=180°-30o=150°,

ZCDFi=320°-l50°-20°=150°,

AZCDFi=ZCDFi,

•.•在△CDF1中，

DF=DF2

<ZCDF=CDF2,

CD=CD

.".△CDFI^ACDFI(SAS),

...点Fi也是所求的点，

VZABC=20°,点D是角平分线上一点，DE〃AB,

1

ZDBC=ZBDE=ZABD=-x20°=30°,

2

又・・・BD=3/，

BE=；x3y/3：cos30°=3,

ABFi=3,BFi=BFi+FiFi=3+3=2,

故BF的长为3或2.

20、(1)y=140x+6000；(2)三种，答案见解析；(3)选择方案③进货时，经销商可获利最大，最大利润是13000元.

【解析】

(1)根据利润丫=(A售价-A进价)x+(B售价-B进价)x(100-x)列式整理即可；

(2)全部销售后利润不少于1.26万元得到一元一次不等式组，求出满足题意的x的正整数值即可；

(3)利用y与x的函数关系式的增减性来选择哪种方案获利最大，并求此时的最大利润即可.

【详解】

解:(1)y=(900-700)x+(160-100)x(100-x)=140x+6000.

由700x+100(100-x)<40000得x<50.

•*.y与x之间的函数关系式为y=140x+6000(x<50)

(2)令处12600,即140x+6000N12600,

解得XN47.1.

又：xS50,...经销商有以下三种进货方案：

方案A品牌(块)B品牌(块)

①4852

②4951

③5050

(3);四。〉。，；.y随x的增大而增大.

**-x=50时y取得最大值.

XV140x50+6000=13000,

选择方案③进货时，经销商可获利最大，最大利润是13000元.

本题考查由实际问题列函数关系式；一元一次不等式的应用；一次函数的应用.

21、(1)证明见解析；(2)4.8.

【解析】

(1)连结OE,根据等腰三角形的性质可得NOEC=NOCA、ZA=ZOCA,即可得NA=NOEC,由同位角相等，两直

线平行即可判定OE〃AB,又因EF是。。的切线，根据切线的性质可得EFLOE,由此即可证得EFLAB；(2)连结

BE,根据直径所对的圆周角为直角可得，ZBEC=90°,再由等腰三角形三线合一的性质求得AE=EC=8,在RSBEC

中，根据勾股定理求的BE=6,再由△ABE的面积=△BEC的面积，根据直角三角形面积的两种表示法可得8x6=10xEF,

由此即可求得EF=4.8.

【详解】

(1)证明：连结OE.

VOE=OC,

ZOEC=ZOCA,

VAB=CB,

ZA=ZOCA,

ZA=ZOEC,

；.OE〃AB,

：EF是。。的切线，

；.EF_LOE,

；.EF_LAB.

(2)连结BE.

；BC是。O的直径，

ZBEC=90°,

又AB=CB,AC=16,

.,.AE=EC=—AC=8,

2

VAB=CB=2BO=10,

BE=VBC2-EC2=V102-82=6'

又&ABE的面积=△BEC的面积，即8x6=10xEF,

/.EF=4.8.

本题考查了切线的性质定理、圆周角定理、等腰三角形的性质与判定、勾股定理及直角三角形的两种面积求法等知识

点，熟练运算这些知识是解决问题的关键.

22、⑴3;⑵上

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【解析】

分析：(1)由题意得到三角形AOE为等腰直角三角形，在直角三角形。即中，利用锐角三角函数定义求出与BE

之比，设出。E与8E,由AB=7求出各自的值，确定出OE即可；

(2)在直角三角形中，利用勾股定理求出AD与8。的长，根据tanB的值求出cosB的值，确定出BC的长，由

求出