中考数学难点突破与训练：二次函数中的宽高模型（含答案及解析）

专题38二次函数中的宽高模型

【模型展示】

面积处理之“宽高模型

如图，试探究AABC面积.

如图1,过点C（定点）作CDJ_x轴交AB于点D,贝寸SAABC=SAACD+SABCD

特点

图1图2

如图2,过点B作BFJ_CD于点F,过点A作AEJ_CD于点E,过点A作AG_Lx轴于点G,

则

SABC=SAACD+SABCD=-CDAE+-CDBF=-CD-(AE+BF)=-CDOG

A2222

说明：其中OG表示A、B两点之间在水平方向上的距离，可称为△ABC的水平宽，CD可称

为AABC的铅垂高，即SAABC=^X水平宽义铅垂高，可称为“宽高公式”

结论SAABC=」X水平宽x铅垂高

2

【模型证明】

解决方案1、如图3,过点A作ADJ_X轴交BC的延长线于点D,贝ISAABC=SAABD-SAACD

图3图4

如图4,过点B作BH±AD交于点H,贝"

SAABC=SABD-SAACD=-ADBH--ADCG=-AD-(BH-CG)=-ADOC

A2222

说明二2cA△ABC的水于宽，史)是&ABC的铅垂高.

、如图过点作轴交于点贝|

25,BBD±yACD,SAABC=SAABD+SABCD

如图6,过点C作CH_LBD于点H,过点A作AG_Lx轴于点G,交BD的延长线于点E,则

SAABC-SAABD+SABCD--BDAE+-BDCH=-BD.(AE+CH)=-BDAG

2222

说明：BD是△ABC的水平宽，AG是△ABC的铅垂高.

3、如图7,过点A作AE_Ly轴于点E,延长AE交BC反向延长线于点D,

贝”SAABC=SAACD-SAABD

2

图7图8

如图8,过点C作CFXAD交于点F,则

SAABC=SAACD-SAABD=-ADCF--AD-BE=-AD-(CF-BE)=-ADOB

2222

说明：AD是AABC的水平宽，OB是△ABC的铅垂高.

［反思总结］无论点A、B、C三点的相对位置如何，“宽高模型”对图形面积求解总是适用，其证

明方法、证明过程、最终结论都基本一致，利用大面积-小面积或割补法求解，体现出数学中“变

中不变”的和谐统一之美.

【题型演练】

1、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3,0),B(1,0),C(0,3)三点.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3,求点P的坐标；

2、在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A,B,C的“矩面积”，给出如下定义：

“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积"S=ah.

例如：三点坐标分别为A(1,2),B(-3,1),C(2,-2),贝『冰平底"a=5,“铅垂高”h=4,“矩面积"S=ah=20.

(1)已知点A(1,2),B(-3,1),P(0,t).

①若A,B,P三点的“矩面积”为12,求点P的坐标；

②直接写出A,B,P三点的“矩面积”的最小值.

(2)已知点E(4,0),F(0,2),M(m,4m),N(n,—),其中m>0,n>0.

3

①若E,F,M三点的“矩面积”为8,求m的取值范围；

②直接写出E,F,N三点的“矩面积”的最小值及对应n的取值范围.

3、如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数丫=2*2+6*+6(a¥0)交x轴于A(-4,0),B(2,0),在y

轴上有一点E(0,-2),连接AE.

(1)求二次函数的表达式；

(2)点D是第二象限内的抛物线上一动点.

①求4ADE面积最大值并写出此时点D的坐标；

②若tan/AED=工，求此时点D坐标；

3

(3)连接AC,点P是线段CA上的动点，连接OP,把线段PO绕着点P顺时针旋转90。至PQ,点Q是点O的对

应点.当动点P从点C运动到点A,则动点Q所经过的路径长等于(直接写出答案)

2

4.(2020•浙江杭州•九年级专题练习)如图，已知二次函数y=§(x+3)(x-l)的图象与x轴交于点A、B,

与y轴交于点C,顶点坐标为D.则ABC与的面积之比是().

5、如图，已知抛物线y=V-l与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.

(1)求A、B、C三点的坐标；

(2)过点A作AP〃CB交抛物线于点P,求四边形ACB尸的面积；

(3)在工轴上方的抛物线上是否存在一点过M作轴于点G,使以A、M、G三点为顶点

的三角形与APCA相似.若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由.

4

6、如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,NACB=90SC=8C,OA=1,0C=4,抛物线y=/+法+。

经过A,B两点，抛物线的顶点为。.

（1）求瓦c的值；

（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,

当线段E尸的长度最大时，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下：①求以点万、B、尸、。为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一

点P,使AEPP是以所为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.

7、如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2,0）,连结04将线段OA绕原点。顺时针旋转120。，得

到线段08（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对

称轴上是否存在点C,使A20C的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如

果点尸是（2）中的抛物线上的动点，且在无轴的下方，那么△必？是否有最大面积？若有，求出此时尸点

的坐标及的最大面积；若没有，请说明理由.

8、如图2,抛物线顶点坐标为点C（l,4）,交x轴于点4（3,0）,交y轴于点区⑴求抛物线和直线A3的解析式；

（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结力,PB,当尸点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高

.9.

CZ）及SACAB；（3）是否存在一点P，使—&C4B，若存在，求出尸点的坐标；若不存在，请说明理由.

8

5

图-2

9、如图，抛物线y=-，+云+。与*轴交于人（1,0）2（-3,0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）

中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得AQAC的周长最小？若存在，求出

Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△PBC

的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△尸3c的面积最大值.若没有，请说明理由.

6

专题38二次函数中的宽高模型

【模型展示】

面积处理之“宽高模型

如图，试探究△ABC面积.

如图1,过点C（定点）作CDJ_x轴交AB于点D,贝"SAABC=SAACD+SABCD

图1图2

如图2,过点B作BF±CD于点F,过点A作AE±CD于点E,过点A作AG±x

轴于点G,则

SABC=SAACD+SABCD=-CDAE+-CDBF=-CD-（AE+BF）=-CDOG

A2222

说明：其中OG表示A、B两点之间在水平方向上的距离，可称为△ABC的水

平宽，CD可称为△ABC的铅垂高，即SAABC=，X水平宽X铅垂高，可称为“宽高

2

公式”

结论SAABC=Lx水平宽x铅垂高

2

【模型证明】

廨决方I11如图3,正点、1作AD，x轴交BC的延长线于点D,则SAABC=S<TO-SAACD

7

案

如图4,过点B作BH_LAD交于点H,则

SAABC=SAABD-SAACD=-ADBH--ADCG=-AD-(BH-CG)=-ADOC

2222

说明：OC是△ABC的水平宽,AD是△ABC的铅垂高.

2、如图5,过点B作BD±y轴交AC于点D,则S&ABC=SAABD+SABCD

图5图6

如图6,过点C作CH_LBD于点H,过点A作AG_Lx轴于点G,交BD的延长

线于点E,则

SAABC=SAABD+SABCD=-BDAE+-BDCH=-BD.(AE+CH)=-BDAG

2222

8

说明：BD是△ABC的水平宽，AG是△ABC的铅垂高.

3、如图7,过点A作AE_Ly轴于点E,延长AE交BC反向延长线于点D,

则SAABC=SAACD-SAABD

图7图8

如图8,过点C作CFXAD交于点F,则

SAABC=SAACD-SAABD=，ADCF--ADBE=-AD.(CF-BE)=-ADOB

2222

说明：AD是△ABC的水平宽，OB是△ABC的铅垂高.

［反思总结］无论点A、B、C三点的相对位置如何，“宽高模型”对图形面积求解总

是适用，其证明方法、证明过程、最终结论都基本一致，利用大面积-小面积或割

补法求解，体现出数学中“变中不变”的和谐统一之美.

【题型演练i

1、如图，抛物线y=ax?+bx+c经过A(-3,0),B(1,0),C(0,3)三点.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点P为抛物线上在第二象限内的一点，若APAC面积为3,求点P的坐标；

(1)如图，过点P作PQ//y轴，交AC于点Q,

VA(-3,0),B(0,3)

，直线AC：y=x+3

设P(x,-x2-2x+3),Q(x,x+3)

PQ=-x2-2x+3-(x+3)=-x2-3x

.,•SAPAC=|PQOA

9

—(-x2-3x)-3=3

2

解得：Xl=-l,X2=-2

：.P(-1,4)或(-2,3)

3、在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A,B,C的“矩面积”，给出如下定义：

“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，贝1|“矩

面积"S=ah.

例如：三点坐标分别为A(1,2),B(-3,1),C(2,-2),则“水平底”a=5,“铅垂高”h=4,

“矩面积"S=ah=20.

(1)已知点A(1,2),B(-3,1),P(0,t).

①若A,B,P三点的“矩面积”为12,求点P的坐标；

②直接写出A,B,P三点的“矩面积”的最小值.

(2)已知点E(4,0),F(0,2),M(m,4m),N(n,—),其中m>0,n>0.

n

①若E,F,M三点的“矩面积”为8,求m的取值范围；

②直接写出E,F,N三点的“矩面积”的最小值及对应n的取值范围.

解：(1)①由题意：a=4.

当t>2时，h=t-l,

则4(t-1)=12,可得t=4,故点P的坐标为(0,4)；

当t<l时，h=2-t,

则4(2-t)=12,可得t=-l,故点P的坐标为(0,-1)；

②•••根据题意得：h的最小值为：1,

；.A,B,P三点的“矩面积”的最小值为4；

故答案为：4；

(2)VE,F,M三点的“矩面积”为8,

*,[c0<m<4..1

..a=4,h=2,..0<m<—.

0<4m<22

10

Vm>0,

一2

3、如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数丫=2*2+6*+6(a/))交x轴于A(-4,0),B

(2,0),在y轴上有一点E(0,-2),连接AE.

(1)求二次函数的表达式；

(2)点D是第二象限内的抛物线上一动点.

①求4ADE面积最大值并写出此时点D的坐标；

②若tan/AED=」，求此时点D坐标；

3

(3)连接AC,点P是线段CA上的动点，连接OP,把线段PO绕着点P顺时针旋转90。至PQ

，点Q是点。的对应点.当动点P从点C运动到点A,则动点Q所经过的路径长等于

解：(1)将A(-4,0),B(2,0)代入y=ax2+bx+6(a*)),

可得：a=--,b=--

42

.323“

.•y=--x2-—x+6

42

(2)①如图所示，由“宽高模型”易证得SAADE」DFOE

2

由A(-4,0)E(0,-2)可得：直线AE解析式为：y=--x-2

2

设D(x,x2x+6)贝1JF点的纵坐标为--x2--x+6

4242

:点F在直线AE上，，F的横坐标为-X2+3X-16

2

3

/.DF=--X2-2X+16

2

又OE=2

11

133?

ASADE=-DFOE=--x2-2x+16=--(x+-)2+亚

A22233

・•.仁＜。，•..抛物线开口向下

.•.当X=-2时，SAADE取最大值色，此时点D220

——，------)

3333

②如图，过点A作AHLDE交DE于点H,

VtanZAED=-,-

3EH3

VOA=4,0E=2

.\AE=2A/5

；.AH=五，HE=3啦

易证△AHGsAiEOG

.AH_HG_42

6

设OG=m,贝ijHG="in

2

万

GE=HE-HG=3V2m

2

.,.在RtAOGE中，由勾股定理可得：m=2

...OG=2

AG(-2,0)

直线GE解析式为：y=-x-2

1+质-5+质

联立抛物线和直线GE函数解析式，可得：D

-3-，-3-

12

（3）如图所示，：Q点随P点运动而运动，P点在线段AC上运动,

，Q点的运动轨迹是线段，

当P点在A点时，Q（-4,-4）,

当P点在C点时，Q（-6,6）,

；.Q点的轨迹长为2匹.

2

4.（2020•浙江杭州•九年级专题练习）如图，已知二次函数＞=,（尤+3）（尤-1）的图象与％轴

交于点A、B,与y轴交于点C,顶点坐标为。.贝！IABC与的面积之比是（）.

【答案】B

【分析】首先求出C和D点坐标，然后根据三角形面积公式，可知SMBC：SAABD=BC边上的

高之比，进而即可求解.

13

22428

［详解］Ej=-(x+3)(x-l)=-x2+-x-2=-j(^+l)2

Q

团C点坐标为(0,-2),D点坐标为(-1,

Q

瓯ABC与国ABD的底相同，高线长分别为2和§,

_83

EISAABC：SAABD=2：-.

故选B.

【点睛】本题主要考查二次函数的图象与平面几何的综合，掌握二次函数图象的顶点坐标以

及与y轴交点坐标的求法，是解题的关键.

5、如图，已知抛物线＞=/—1与％轴交于A、B两点,与y轴交于点C.

(1)求A、B、C三点的坐标；

(2)过点A作A尸〃CB交抛物线于点尸，求四边形ACB尸的面积；

(3)在X轴上方的抛物线上是否存在一点过M作轴于点G,使以A、M、

G三点为顶点的三角形与APCA相似.若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由.

【解析】解：(1)令丁=0,得1=0解得x=±l

令x=0,得y=8(1,0)C(0,-l)

(2),/OA=OB=OC=lZBAC=ZACO=ZBCO=45

'."AP//CB,NPAB=45

过点P作PE，x轴于E,则AAPE为等腰直角三角形

14

令OE=a,贝iJPE=a+lAP(«,«+1)

:点P在抛物线上a+l=a2-1

解得q=2,a2=-1（不合题意，舍去）

；.PE=3

四边形ACBP的面积S=-AB«OC+-AB«PE=-x2xl+-x2x3=4

2222

（3）.假设存在

VZPAB=ZBAC=45APA±AC

VMG±X轴于点G,AZMGA=ZPAC=90

在RtAAOC中，OA=OC=1:.AC=®

在RtAPAE中，AE=PE=3：.AP=372

设M点的横坐标为m,则M（m,m2-1）

①点M在y轴左侧时，则切＜-1

,.,AGMG

(1)当AA4MGSAPCA时，有——=——

PACA

9一m一12

AG——tn—1MG=m-1即-=解得叫=-1（舍去）=-(舍去)

3V23

,.「AGMG

(ii)当AAMAGSAPCA时有——=——

CAPA

一m—1机2—1

即―—=3，^解得:加=-1(舍去)加？=-2，M(-2,3)

②点M在y轴右侧时，则相＞1

,jAGMG

(1)当AAAMGsAAPCA时有——=——

PACL4

m+1m2-14

'：AG=m+l,MG=7n2-1解得叫=-1（舍去）

3

15

47、

,,AGMG

(ii)当AAMAGsAPCA时有——=——

CAPA

m+1m2-1,,,

即=30解得:班=一1(舍去)7%=4AM(4,15)

二存在点M,使以A、M、G三点为顶点的三角形与APC4相似

47

M点的坐标为(―2,3),(§可)，(4,15)

6、如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,0c=4,抛

物线＞=—+"；+。经过A,B两点，抛物线的顶点为Z).

(1)求仇c的值；

(2)点E是直角三角形ABC斜边A3上一动点(点A、2除外)，过点E作x轴的垂线

交抛物线于点F当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；

(3)在(2)的条件下：①求以点后、B、F、。为顶点的四边形的面积；②在抛物

线上是否存在一点P,使△£尸尸是以所为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点尸的

坐标；若不存在，说明理由.

【解析】解：(1)由已知得：A(-1,0)B(4,5)

•..二次函数y=无+。的图像经过点A(-1,0)B(4,5)

1—/?+c=0

16+4Z?+c=5

解得：b=-2c=-3

(2)如26题图：・・,直线AB经过点A(-1,0)B(4,5)

16

•..二次函数了=炉一2%-3，设点EQ,什1),则FG,/一27-3)

395

/.EF=(/+1)-(Z2-2/-3)=-(Z-1)2+y

...当f=二3时，EF的最大值=2—5•,1点E的坐标为(335：

2422

(3)①如26题图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD.

□

315

可求出点F的坐标(-—,---),点D的坐标为(1,-4)

24

Q—Q125“3、125，3「75

0四边行石一0BEFDEF2422428

②如26题备用图：i)过点E作a±EF交抛物线于点P,设点P(m,m2-2m-3)

则有：m-2m-3=—解得:犯=----，加2二--——

2：22

..2-7265.,2+7265,

ii)过点F作。，跖交抛物线于A，设鸟(n,—2〃—3)

3

则有：n—2n—3=—^解得：弭=5'“2=二一(与点F重合，舍去)

2

17

."5-?)

海3吕（！一耳.能使

综上所述：所有点P的坐标：口（2,|）,必（

一严22324

AEFP组成以EF为直角边的直角三角形.

7、如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2,0）,连结将线段04绕原点。顺时

针旋转120。，得到线段。A（1）求点2的坐标；（2）求经过4、0、2三点的抛物线的解析

式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C,使ABOC的周长最小？若存在，求出

点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x

轴的下方，那么△B4B是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及的最大面积；

若没有，请说明理由.

解：（1）2（1,拒）

（2）设抛物线的解析式为广办（x+a）,代入点8（1,月），得a=%因止匕丫=^^+芈彳

（3）如图，抛物线的对称轴是直线二一1,当点C位于对称轴与线段A2的交点时，&BOC

的周长最小.

L73

设直线AB为y=fcr+b.所以+°=若'解得3因止匕直线为y=走尤+迪，当

-2k+b=0.,2在,33

b=—;—

[3

4一1时，y=—,因此点C的坐标为（一1,A/3/3）.

-3

（4）如图，过尸作y轴的平行线交4B于D

当广一工时，△出B的面积的最大值为名8,此时走.

28（24）

8、如图2,抛物线顶点坐标为点C（l,4）,交x轴于点A（3,0）,交y轴于点A⑴求抛物线和直

线AB的解析式；（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结必，PB,当P点运

9

动到顶点C时，求4CAB的铅垂高CD及SACAB;（3）是否存在一点P,使&PAB=—&CAB，

8

若存在，求出尸点的坐标；若不存在，请说明理由.

18

解：(1)设抛物线的解析式为：必=。(》—1)2+4把&(3,0)代入解析

式求得a=—1所以％=—(x—I)?+4=—/+2x+3设直线AB的解

析式为：力=居+b由乃=一炉+2x+3求得3点的坐标为(0,3)把

A(3,0)，B(0,3)代入％=幻叶匕中解得：

左二—1,人=3所以％=_1+3

⑵因为C点坐标为(1,4)所以当x=l时，yi=4,h=2所以CO=4-2

=2S皿！3x2=3(平方单位)

(3)假设存在符合条件的点P,设尸点的横坐标为x,ABAB的铅垂高为人则

,,9

=

h-y1—y2=(―x+2x+3)—(―x+3)=—x~+3x由SAPAB—S&CAB得

1a33

—x3x(——+3