中考数学难点突破与训练：一次函数中的将军饮马问题（含答案及解析）

专题36一次函数中的将军饮马问题

【模型展示】

在直线/上求一点P,使AP+BP最短

B.

A.

1

特点将A对称到4,连接45,与/的交点即为点尸

B

结论/3+3尸=4'5两点之间，线段最短

【模型证明】

1、在直线卜4上分别求点M、N,使△PMN周长最小

分别将点尸关于两直线对称到尸'、尸"，连接尸‘尸”与两直线交点即为M、N

壬N\\2

解决方案

，尸〃

PM+MN+PN=PP”两点、之间,线段最短

2、在直线卜4上分别求点“、N,使四边形尸MNQ周长最小

zhL

l2

将P、Q分别对称到P、2',连接户。'与直线的交点即为“、N

*P'h

N\\2

*2,

PM+MN+NQ=P'Q'两点、之间,线段最短

3、在直线/上求两点M、N（M在左），4更得MN=a,并使M1+MN+NB最短

B

*

A

•

MN1

将A向右平移a个单位到4,对称4到A",连接AVB与1交点即为N,左平移a个单位即为M

B

Av£/

~^N-1

A"

AM+MN+NB=o+A"3两点之间，线段最短

4、在直线/上求点尸，使AP-3P最大

A.

/

*B

将点B对称到B',作直线AB'与1的交点即为点P

*

——1—/

P\

卜A3'三角形任意两边之差小于第三边

【题型演练】

一、填空题

1.（2021・全国•九年级专题练习）如图所示，已知A（；,〃），8（2,券）为反比例函数y=工图象上的两点，

2X

动点P（x,0）在X正半轴上运动，当线段AP与线段B尸之和达到最小时，点尸的坐标是—；当线段AP

与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是一.

2

2.（2021.全国•九年级专题练习）如图，平面直角坐标系尤Oy中，点A是直线>=无无+拽上一动点，将

33

点A向右平移1个单位得到点B，点C（l,0）,则OB+CB的最小值为.

3.（2021.江苏常州.二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的。。与x轴的正半轴交于点A,点B是

3

。。上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=[X-3与x轴、y轴分别交于点D、E,贝UACI组面积的最小

值为.

二、解答题

4.（2022・江苏•靖江外国语学校模拟预测）直线y=-2x+8和双曲线〉=£（人/0）交于点A（l,机），B（n,2）.

3

（1）求"，，n,%的值；

（2）在坐标轴上有一点M，使M4+MB的值最小，直接写出点M的坐标.

5.（2022•辽宁•沈阳市第一二六中学九年级阶段练习）如图，一次函数y=fcr-6过点A（-2,-2）,与y

轴交于点B.

（1）求一次函数表达式及点2坐标；

（2）在x轴上找一点C,连接8C,AC.当BC+AC最小时，

①请直接写出点C的坐标为；

②请直接写出直线BC的函数表达式为；

③在坐标轴上找点连接8。，CD,使请直接写出点。的坐标为.

6.（2020•新疆・乌鲁木齐市第九中学八年级期中）如图，方格图中每个小正方形的边长为1,点A,B,C都

是格点.

（1）画出AABC关于直线MN对称的△AAG.

（2）若2为坐标原点，请写出4、耳、G的坐标，并直接写出AA的长度..

（3）如图2,A,C是直线同侧固定的点，。是直线上的一个动点，在直线上画出点，使AD+DC

最小.（保留作图痕迹）

4

7.（2022•江苏•八年级专题练习）如图1,在MAABC中，NC=90。，AB=10,BC=6,AC=8,点P为AC

边上的一个动点，过点P作于点。，求P8+P。的最小值.请在横线上补充其推理过程或理由.

解：如图2,延长BC到点〃，使得BC=QC,连接P9

*/ZACB=90°（已知）

；•（垂直的定义）

:.PB=（线段垂直平分线的性质）

PB+PD=PB'+PD（等式性质）

,过点8作于点。，交AC于点尸，此时P8+P。取最小值，连接AQ,

在△A8C和△A9C中，

AC^AC,ZACB=ZACB'^9Q°,；.△ABC丝ZVIB'C（理由：）

SAABB'^SAABC+=2S4ABe（全等三角形面积相等）

,?SAABB'=^AB.B'D=^xl0xB'D=5B'D

XSAABB'=2SAABC^2XBC■AC=2x；x6x8=48

（同一三角形面积相等）

8.（2021・全国•八年级专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数产的图象与x轴，y

5

轴分别交于A,B两点，以AB为边在第二象限内作正方形4BCD

（3）在无轴上是否存在点M,使ZMO8的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理

由.

9.（2021.全国•九年级专题练习）作图探究：如图，点尸是直角坐标系xOy第三象限内一点.

（1）尺规作图：请在图中作出经过O、尸两点且圆心在x轴的。M；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）若点尸的坐标为（-4,-2）.

①请求出。M的半径；

②填空：若。是。/上的点，且NPMQ=90。，则点。的坐标为.

y个

Ox

10.（2021.全国.九年级专题练习）如图①，将一个矩形纸片CMBC放置在平面直角坐标系中，点A的坐标是

（3,0）,点C的坐标是（0,2）,点。的坐标是（0,0）,点E是AB的中点，在Q4上取一点。，将AB/M沿3。翻

折，使点A落在BC边上的点/处.

图①图②图③

（1）求点E、歹的坐标;

6

（2）如图②，若点P是线段。4上的一个动点（点尸不与点。，A重合），过点P作P于点设OP

的长为x,的面积为S,请求出S关于x的关系式；

（3）如图③，在无轴、，轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小？若存在，请求出四

边形MNEE周长的最小值及此时点M、N的坐标；若不存在，请说明理由

11.（2021・全国•九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，4（0,2）、3（-2,0）、C（2,2）,点八F分

别是直线和尤轴上的动点，求ACEF周长的最小值.

12.（2022・湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试）如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形

分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”.如图1,在△ABC

中，AB=AC=1,ZBAC=108°,垂直平分A8,且交3C于点。，连接AD

⑴证明直线AD是△ABC的自相似分割线;

（2）如图2,点尸为直线。E上一点，当点尸运动到什么位置时，B4+PC的值最小？求此时研+PC的长度.

（3）如图3,射线CF平分NAC8,点。为射线CP上一点，当AQ+避二'CQ取最小值时，求/QAC的正弦

4

值.

13.（2022・重庆开州•八年级期末）如图，直线|经过A［：,。］、8（2,-5）两点，直线乙：y=f+3与直线乙交

于点C,与x轴交于点D

7

图1备用图

(1)求点C的坐标；

(2)点尸是y轴上一点，当四边形尸。CB的周长最小时，求四边形PDC2的面积；

(3)把直线4沿y轴向上平移9个单位长度，得到新直线4与直线4交于点E,试探究在x轴上是否存在点Q,

在平面内存在点尸使得以点。，Q,E,尸为顶点的四边形是菱形(含正方形)？若存在，直接写出符合条

件的点。的坐标；若不存在，说明理由.

14.(2022•贵州铜仁•八年级期末)如图，已知一次函数y=fcc+b的图像经过A(1,4),8(4,1)两点，

并且交x轴于点C,交y轴于点D

(2)若y轴存在一点P使PA+PB的值最小，求此时点P的坐标及PA+PB的最小值；

(3)在无轴上是否存在一点使AMOA的面积等于AAOB的面积；若存在请直接写出点M的坐标，若不

存在请说明理由.

15.(2022•浙江・义乌市宾王中学八年级期中)如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴的负半轴、

y轴的正半轴交于A、B两点,其中。4=2,SzABC=12,点C在x轴的正半轴上，MOC=OB.

8

(1)求直线AB的解析式；

(2)将直线A8向下平移6个单位长度得到直线乙，直线。与y轴交于点E,与直线交于点。，过点E作

y轴的垂线5若点尸为y轴上一个动点，。为直线L上一个动点，求PD+PQ+。。的最小值；

⑶若点M为直线AB上的一点，在y轴上是否存在点N,使以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边

形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

16.(2021・四川南充•一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-/+6x+c经过点A(4,0)、B(0,

4)、C.其对称轴/交x轴于点。，交直线43于点足交抛物线于点E.

(3)点N为直线AB上的一点(点N不与点尸重合)，在抛物线上是否存在一点使以点E、F、N、〃为顶

点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由.

17.(2022・全国•八年级课时练习)在AABC中，?B90?,。为8c延长线上一点，点E为线段AC,CO的

垂直平分线的交点，连接胡，EC,ED.

9

E

E

E

图1图2图3

(1)如图1,当N&LC=50。时，则NAEE>=°；

(2)当ZB4C=60。时，

①如图2,连接A。，判断△?!££>的形状，并证明；

②如图3,直线CF与ED交于点、F,满足NCED=NC4£.P为直线CF上一动点.当尸E-尸。的值最大时，

用等式表示％,尸。与AB之间的数量关系为,并证明.

18.(2021・湖北.沙市中学九年级阶段练习)如图，抛物线,=加+法-6交x轴于A(-2,0),8(6,0)两点，交y

轴于点C(0,-6),点。为线段8C上的动点.

(2)求QA+。。的最小值;

(3)过点。作QP||AC交抛物线的第四象限部分于点P,连接PA,PB,记△PAQ与APBQ的面积分别为S„S2,

设5=5|+$2,当S最大时，求点P的坐标，并求S的最大值.

19.(2021•全国•九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=1x2-2叵x-6与x轴交于4

-33

8两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,对称轴与x轴交于点。，点E(4,4在抛物线上.

10

（1）求直线AE的解析式；

（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC,PE.当APCE的面积最大时，连接CD,CB,点K

是线段CB的中点，点又是CP上的一点，点N是。上的一点，求KM+MN+NK的最小值；

（3）点G是线段CE的中点，将抛物线＞=£^2-子x-括沿x轴正方向平移得到新抛物线y,y经过

点。，y的顶点为点E在新抛物线y的对称轴上，是否存在一点。，使得△尸G。为等腰三角形？若存在，

直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

20.（2021・广东•岭南画派纪念中学八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-gx-2分别与

x、y轴交于A、C两点，点8（1,0）在无轴上.

（1）求直线BC的解析式；

（2）若点C关于原点的对称点为C,问在A8的垂直平分线上是否存在一点G,使得△G8C的周长最小？

若存在，求出点G的坐标和最小周长；若不存在，请说明理由.

（3）设点P是直线上异于点8、C的一个动点，过点尸作尸。〃彳轴交直线AC于点。，过点0作。

轴于点M,再过点P作PNLx轴于点N,得到矩形PQMM在点P的运动过程中，当矩形尸QMN为正方形

时，求该正方形的边长.

21.（2021•全国•九年级专题练习）如图，抛物线＞=/+法+。与x轴交于A（-l,0）、8两点，与，轴交于点

C（0,-3）.

11

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图①，连接8C,点尸是抛物线在第四象限上一点，连接FB,PC,求ABCP面积的最大值；

(3)如图②，点。为抛物线的顶点，点C关于抛物线对称轴的对称点为点E,连接DE.将抛物线沿x轴

向右平移r个单位，点A,5的对应点分别为A、B',连接AD、BE，当四边形A'DEB'的周长取最小值

时，求/的值.

12

专题36一次函数中的将军饮马问题

【模型展示】

在直线/上求一点P,使AP+3P最短

B.

A.

1

将对称到连接与/的交点即为点

特点A4,A3,P

结论AP+8P=AB两点之间，线段最短

【模型证明】

1、在直线小4上分别求点时、N,使△PMN周长最小

工

12

分别将点尸关于两直线对称到尸‘、P",连接尸‘尸"与两直线交点即为M、N

N\12

PM+MN+PN=PP”两点、之间,线段最短

解决方2、在直线4、4上分别求点M、N,使四边形尸MNQ周长最小

案

12

将尸、Q分别对称到P、Q,连接PQ，与直线的交点即为“、N

氐P'li，

NA；4

PM+MN+NQ=P，Q，两点、之间,线段最短

3、在直线/上求两点M、N（M在左），使得MN=a,并使4欣+MV+A®最

13

短

B

*

%

-----••1

MN

将A向右平移〃个单位到4,对称4到A“，连接与/交点即为N,左平移

〃个单位即为M

B

~^N-1

A"

AM+MV+A®=a+A"3两点之间，线段最短

4、在直线/上求点P,使|AP-2P|最大

%.

1

，B

将点3对称到B',作直线AB'与/的交点即为点尸

-------1-----/

P\

AP-BP=AB'三角形任意两边之差小于第三边

【题型演练】

一、填空题

1.（2021•全国.九年级专题练习）如图所示，已知4（；,竺），B（2,修）为反比例函数y」

图象上的两点，动点尸（X,0）在x正半轴上运动，当线段AP与线段2尸之和达到最小时,

点尸的坐标是—；当线段AP与线段8P之差达到最大时，点P的坐标是—.

【详解】思路引领：（1）如图1,过x轴作点2的对称点"，连接与x轴的交点即为所

求的点P.根据点4夕的坐标可以求得直线A8的解析式，根据该解析式可以求得点尸的

坐标；

14

(2)如图2,求出AB的坐标，设直线的解析式是y=fcr+6,把A、8的坐标代入求出直

线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在AABP中，\AP-BP\<AB,延长AB交

x轴于P,当P在P点时，PA-PB=AB,此时线段AP与线段8P之差达到最大，求出直线

48于x轴的交点坐标即可.

答案详解：；把A(1,〃)，B(2,>2)代入反比例函数丫=’得：w=2,y2=1,

2x2

A(—，2),B(2,—).

22

(I)如图1,过x轴作点3的对称点长，连接A9与x轴的交点即为所求的点尸，则夕(2,

2=-k+b

2

设直线A9为(厚0),贝卜

=2k+b

图1

故直线A3,的解析式为：尸-95+兰17.

3o

令y=0,

解得，x=1.7.

故P(1.7,0)；

(2)・・•在AA8尸中，由三角形的三边关系定理得：\AP-BP\<AB,

・•・延长A8交兀轴于P,当P在尸点时，PA-PB=ABf

即此时线段AP与线段BP之差达到最大，

设直线A3的解析式是y=ax+c(存0)

2——x+c

把A、8的坐标代入得：

解得：

•••直线A3的解析式是y=-x+|,

15

当y=0时，x=|-,

即尸0)；

2

2.(2021・全国•九年级专题练习)如图，平面直角坐标系xOy中，点A是直线>=走了++8

-33

上一动点，将点A向右平移1个单位得到点B，点C(l,0),则OB+CB的最小值为.

【答案】713

【分析】设D(-l,0),作D点关于直线>=走尤+拽的对称点E,连接OE,交直线于A,

33

连接AD,ED,作ES±x轴于S,根据题意OE就是OB+CB的最小值，由直线的解析式求

得F的坐标，进而求得ED的长，从而求得OS和ES,然后根据勾股定理即可求得OE.

【详解】解：设D(-l,0),作D点关于直线>=走》+生叵的对称点E,连接0E,交直

33

线于A,连接AD,ED,作ESLx轴于S,

：AB〃DC,且AB=OD=OC=1,

四边形ABOD和四边形ABCO是平行四边形，

.•.AD=OB,OA=BC,

/.AD+OA=OB+BC,

VAE=AD,

.•.AE+OA=OB+BC,

即OE=OB+BC,

AOB+CB的最小值为OE,

16

由〉=虫》+如5可知NAFO=30。，F(-4,0),

33

；.FD=3,ZFDG=60°,

.•.DG=±DF=3,

22

；.DE=2DG=3,

,-.ES=—DE=—,DS=；DE=3,

2222

22

-'-OE=y]oS+ES=yJ13>

AOB+CB的最小值为g.

【点睛】本题考查了一次函数的性质，轴对称-最短路线问题以及平行四边形的性质、勾股

定理的应用，证得OE是OB+CB的最小值是本题的关键.

3.（2021.江苏常州・二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的。。与x轴的正半轴交

3

于点A,点B是。。上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=[X-3与x轴、y轴分别交

于点D、E,贝UACDE面积的最小值为.

【答案】2

【分析】如图，连接取04的中点连接CM,过点M作于N.首先证明

点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的。设。M交MN于C.求出MN,当点C与

17

C重合时，的面积最小.

连接CM,过点M作跖V_LZ)E于N.

；.MC=；OB=1,

.••点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的。M,设。〃交于CI

3

・・,直线y=(x-3与x轴、y轴分别交于点。、E,

：.D(4,0),E(0,-3),

・・・0。=4,OE=3,

DE=yloE^OD2=V32+42=5，

VZMDN=ZODE9/MND=/DOE,

・•.△DNMsADOE,

,NMDM

••=，

OEDE

.NM_3

••=-f

35

9

:.MN=§

iQ

当点。与C重合时，△CDE的面积最小，△CDE的面积最小值=Jx5x(--1)=2,

乙5

故答案为：2.

【点睛】本题考查三角形的中位线定理，三角形的面积，一次函数的性质，圆的有关性质等

知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题

型.

二、解答题

4.(2022•江苏•靖江外国语学校模拟预测)直线＞=-2尤+8和双曲线丫=与左/0)交于点

X

18

⑵在坐标轴上有一点使+的值最小，直接写出点”的坐标.

【答案】（1）机=6,n=3,k=6；

⑵M（0,5）

【分析】（1）将A、8两点坐标分别代入＞=-2尤+8,即可解出加、”的值；

（2）线段和的最短距离问题，首先想到的是利用“将军饮马”模型进行解决，做A点关于坐

标轴的对称点，在之后再进行计算，需要注意的是，本题需要进行分情况进行讨论，最终确

定最短距离下的M坐标.

【详解】（1）解：⑴•.•点5（九,2）在直线丫=-2%+8上,

/.HI——2+8,2=—2〃+8，

:.m=6,n=3

.-.A(l,6),8(3,2),

,・•点A在双曲线y优*0）上,

.\k=6；

（2）（2）如图1,作点A关于y轴的对称点C,连接BC交y轴与

图1

则c(-l,6),

设直线8C的解析式为、=反+"

19

\6^-k+b[k=-\

"[2^3k+b'"[b=5，

直线3C的解析式为y=-尤+5,

:.AM+BM=6+3丘=4逝;

如图2,作点A关于x轴的对称点。，连接3。交x轴与

则。。,-6),

设直线BD的解析式为y=rnx+n,

I-6=m+nfm=4

[2=3m+n'\n=-10?

・•・直线BD的解析式为y=公-10,

当y=。时，x=-|,

，*办

AM+BM=—+^^=2A/T7>4A/2,

22

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，坐标与图形变化-轴对称、最短路线问

题，注意待定系数法求直线解析式的运用.

5.(2022•辽宁•沈阳市第一二六中学九年级阶段练习)如图，一次函数>=履-6过点A(-

2,-2),与y轴交于点8.

20

y

1

(1)求一次函数表达式及点B坐标；

(2)在x轴上找一点C,连接BC,AC.当BC+AC最小时，

①请直接写出点C的坐标为；

②请直接写出直线的函数表达式为；

③在坐标轴上找点D,连接BD,CD,使SAABC^SABCD,请直接写出点D的坐标为

【答案】⑴尸-2x-6,B(0,-6)

351

⑵①(-y,0)；②尸4x-6；③(-5,0)或或(0,-2)或(0,-10)

【分析】(1)利用待定系数法即可求得一次函数的解式，进入求得2的坐标；

(2)①作2关于x轴的对称点9为(0,6),连A&,交x轴于点C,此时8C+AC最小，

用待定系数法求出A",进一步求出C点坐标；②利用待定系数法即可求得直线8C的解析

式；③求得△ABC的面积，然后根据三角形面积公式得C。和BD的长度进而即可求得D的

坐标.

(1)

解：：一次函数;6过点A(-2,-2)

：.-2=-2k-6,解得仁2

y=-2x-6

：.B(0,-6)

(2)

①2点关于x轴的对称点是3'(0,6),连接江A交x轴于点C,此时AC+BC最小，

设直线3'A的解析式为严办+6,则

[b=6[a=4

°°U解得〃6

[-2=2〃+匕[b=6

y=4x+6

3

/.当y=0时,x=-—,

3

・,•点C0)

2

21

3

故答案为：(-万，0)

②设直线BC的解析式为y-mx^n,则

n=-6

<3，

I2

[m=-4

解得「

[n=-o

.\y=-4x-6

故答案为：y=-4x-6

3

③・・・A(-2,-2),B(0,-6)8(0,6),C(--,0)

ii3

•••S^S^-S^-xl2x2--xl2x-=3

当。在x轴时，|xCT?xOB=3,,

即工切x6=3

：.CD=\

•••点。为(-万,。)或(-5,o)

当。在y轴上时，xBDxOC=3,

13

即土如x2=3

22

：.BD=4

,点。为(0,-2)或(0,-10)

故答案为：(-|,0)或(-g,0)或(0,-2)或(0,-10)

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角

形的面积，轴对称一最短路线问题，熟练掌握待定数法是解题的关键.

6.(2020•新疆・乌鲁木齐市第九中学八年级期中)如图，方格图中每个小正方形的边长为1,

点A,B,C都是格点.

(1)画出△ABC关于直线MN对称的△AB。].

(2)若B为坐标原点，请写出4、B1、Q的坐标，并直接写出AA的长度..

(3)如图2,A,C是直线同侧固定的点，。是直线上的一个动点，在直线MN上画出

点。，使AO+OC最小.(保留作图痕迹)

22

A

【答案】(1)画图见解析；(2)4(5,-1),4(0,0)6(2,2),M=10；(3)画图见解析

【分析】(1)分别确定42,c关于"N对称的对称点A，稣G，再顺次连接A，综£,从而可

得答案；

(2)根据A，环G在坐标系内的位置直接写其坐标与AA,的长度即可；

(3)先确定C关于的对称点G，再连接AG，交MN于。，则

AD+CD=AD+C,D=ACt,从而可得答案.

【详解】解：(1)如图1,△4月£是所求作的三角形，

图1

(2)如图1,B为坐标原点，

则A(5,-l)，4(0,0)，G(2,21

A4,=10.

(3)如图2,点。即为所求作的点.

23

图2

【点睛】本题考查的是画轴对称图形，建立坐标系，用根据点的位置确定点的坐标，轴对称

的性质，掌握“利用轴对称的性质得到两条线段和取最小值时点的位置''是解本题的关键.

7.（2022・江苏•八年级专题练习）如图1,在RdABC中，ZC=90°,AB=10,BC=6,AC

=8,点尸为AC边上的一个动点，过点P作尸于点。，求P8+P。的最小值.请在横

线上补充其推理过程或理由.

解：如图2,延长到点玄，使得BC=QC,连接尸方

*.•ZACB=90°（已知）

/.（垂直的定义）

PB=（线段垂直平分线的性质）

PB+PD=PB'+PD（等式性质）

/.过点月作夕。，48于点。，交AC于点P,此时PB+P。取最小值，连接AQ,

在△ABC和△AQC中，

VAC^AC,ZACB^ZACB'^90°,；.△△AB'C（理由：）

SAABB'^SAABC+=2S4ABe（全等三角形面积相等）

,/SAABB'^^AB.B'D=』xl0xB，D=5B，D

X•/SAABB^SAABC^2XIBC.AC=2x；x6x8=48

（同一三角形面积相等）

24

148

【答案】PB'；BC=BfC；SAS；SAABC；5AB•9。=48；PB+P。的最小值为彳

【分析】作点B关于AC的对称点玄，过点夕作夕48于点。，交AC于点尸，点P即为

所求作的点，此时PB+PO有最小值，连接AQ,根据对称性的性质，BP=B'P,证明

△ABC^/\AB'C,ABB=SAABC+SAABC=2SAABC,即可求出PB+PD的最小值.

【详解】解：如图2,延长8C到点Q，使得BC=BC,连接PQ,

ZACB=90°（已知），

/.ACJ_88（垂直的定义），

.•.P2=P8（线段垂直平分线的性质），

：.PB+PD=PB'+PD（等式性质），

.••过点B'作夕CAB于点。，交AC于点P,此时PB+P。取最小值，连接A9.

在△ABC和△AB，C中，

'：AC=AC,ZACB=ZACB'=90°,BC=B'C,

：./\ABC^/\AB'C（理由：SAS）,

SABB=SAABC+SAABC=2SAABC（全等三角形面积相等），

,?SAABBU-xABxB'D=-xlOxB'D=5B'D,

22

又,?SAABB^2SAABC=2X-xBCxAC=2x-x6x8=48,

22

•9。=48（同一三角形面积相等），

.,_48

・・DRDn=,

PB+PD的最小值为148.

148

故答案为：AC±BB'；PB，；BC=B'C；SAS；S^ABC；-AB-B'D=48；PB+PO的最小值为g.

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是轴对称-最短路线问题的处理:

作对称点.

8.（2021•全国•八年级专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数y=：x+l

的图象与x轴，y轴分别交于A,B两点，以为边在第二象限内作正方形A3CD

25

(1)求边AB的长；

(2)求点C,。的坐标；

(3)在无轴上是否存在点M,使的周长最小？若存在，请求出点"的坐标；若不

存在，请说明理由.

【答案】(1)ABf；(2)C(-1,3),。(-3,2)；(3)M(-1,0).

【分析】(1)分别求出点A、B坐标，根据勾股定理即可求出

(2)作C&Ly轴，。尸Lc轴，垂足分别为E、F,BCE^^DAF^ABO,得到

BE=DF=OA=2,CE=AF=OB=l,进而得到OE=3,OF=3,即可求出点C、D坐标；

(3)连接8D,作点8关于x轴的对称点夕，连接BT),与x轴交于点此时周

长最小，求出直线用。的解析式为y=-x-1,令y=0,即可求出点M坐标.

【详解】解：(1)由一次函数y=gx+l得，令x=0,得到y=l；令y=0,得至！Jx=-2,

.1.A(-2,0),B(0,1),

在RtAAOB中，04=2,OB=1,

根据勾股定理得：AB=yJo^+OB2=A/22+12=也；

(2)如图，作CELy轴，轴，垂足分别为E、F,

：.ZCEB=ZAFD=ZAOB=90°,

ZDAF+ZADF=9Q°,ZBAO+ZABO=90°,

•••四边形ABC。是正方形，

：.BC=AB=AD,ZDAB=ZABC=90°,

：.ZDAF+ZBAO=90°,ZABO+ZCBE=9Q°,

ZBAO=ZADF=ZCBE,

：.4BCE丝LDAF经ABO,

：.BE=DF=OA=2,CE=AF=OB=1,

：.OE=OB+BE=2+1=3,OF=OA+AF^2+1=3,

(3)如图，连接BD,,.•■B)为定值,

作点2关于无轴的对称点8'，连接HD,与x轴交于点此时周长最小,

坐标为(0,1),

26

，夕坐标为（0,-1）,

设直线B'D的解析式为y=kx+b,

\-3k+l

把9与。坐标代入得：,.

即直线87）的解析式为y=-X-1,

令y=0,得到x=-1,

【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，待定系数法求函数解析式，将军饮马求最短

距离问题，综合性较强，根据题意添加辅助线，求出点C、。坐标是解题关键.

9.（2021.全国•九年级专题练习）作图探究：如图，点尸是直角坐标系尤Oy第三象限内一点.

（1）尺规作图：请在图中作出经过。、尸两点且圆心在x轴的。M；（不写作法，保留作图

痕迹）

（2）若点P的坐标为（-4,-2）.

①请求出。〃的半径；

②填空：若。是0M上的点，且/PMQ=90。，则点。的坐标为.

y个

【答案】（1）见解析；⑵①I"；②或[W]

【详解】思路引领：（1）连接OP,作。尸的垂直平分线交X轴于M点，以我半径作。

即为所求；

（2）①连接PM,作轴，垂足为H,设OO的半径为厂，则尸M=MO=r,MH=4-

r,PH=2,在RtAPHM中，由勾股定理求厂即可；

27

②过M点作PM的垂线，交。M于。/,。2，再过Q，。2,作x轴的垂线，利用三角形全等

求。点坐标.

答案详解：（1）0M如图所示；

（2）①连接作PHJ_x轴，垂足为“，设＜30的半径为厂，则PM=MO=r,MH=4-

r,PH=2,

在RtAPHM中，PH2+MH2=PM2,

即22+（4-r）2=/,

②如图，过M点作PM的垂线，交。M于。/,。2，再过。/，。2，作x轴的垂线，垂足为

Ni，N2,

利用互余关系，PM=QIM=Q2M,

可证RtAPMH咨RtAQiMNi^RtAQ2MN2,

0x

9313

故答案为：（