中考数学压轴题：圆（含答案及解析）

中考人枯殿-圆

解题方法

1、圆中常见相似三角形

不含切线含切线（4。是。。的切线）

B4cs"08

LABD^LAEC

2.在圆中解三角形或四边形的常用思路

画出特殊图形:如圆中的特殊三角形、特殊四边形等,在已知条件下，以结果为导向,在这些特殊图

形中求出一些中间量。

题型归纳

题型1：圆与三角形综合

题型2：圆与四边形综合

题型3：圆有关的动态问题•••

题型4：圆与坐标系或函数

题型5:以实际问题为背景，求圆与三角形、四边形综合问题

题型6：最值问题

题型7：在解三角形、四边形中作辅助圆

题型8：定值问题

题型9:在圆综合中求解三角函数值

题型1：圆与三角形综合

,题日①（2024.黑龙江哈尔滨.一模）已知，为③。两条弦，40,8。于点后,连接。£；,AE=CE.

（1）如图1,连接OE,求AAEO的度数；

（2）如图2,连接AC,延长EO交AC于点N,点F为AC上一点，连接EF,在EF上方作等腰直角三角形

EFG,且NEGF=90°,连接NG,求证:NG〃BC；

（3）在（2）的条件下，连接AB,CD,当点G落在线段AB上时，过点。做交CD于点乙，交CE于

点T,若OE=6叵EG=2CL,求30半径的长.

•••

题目区（2024•黑龙江哈尔滨•一模）已知：AB为。。的直径，点C为卷上一点,连接AC,点。为后心上一

点，连接AO,过点D作AB的垂线，垂足为点F,交OO于点E,连接CE,分别交AD和AB于点H和点K,

且/AHE=90°.

⑴如图1,求证：ACADABAD

⑵如图2,连接成，过点H作上田的垂线交AB于点T,求证：AB=2FT；

⑶如图3,在⑵的条件下,连接B。交AO于点G,延长CD交AB的延长线于点M，若CM=AG,FT=5,

求CG的长.

题目区（2024.黑龙江哈尔滨.一模）如图1,在。。中，直径AB垂直弦CD于点G,连接4D,过点。作CFL

40于F,交4B于点交。。于点E,连接。E.

图1图2图3

（1）如图1,求证：/E=2/C；

⑵如图2,求证：。E=S；

⑶如图3,连接BE，分别交AD、CD于点、M、N,当。H=2OG，HF=求线段EN的长.

—

遁目回（2024•浙江•模拟预测）如图1,A4BC内接于。O,作AD，BC于点D

图1图2图3

（1）连结40,80.求证：/AOB+2/DAC=180°；

（2）如图2,若点E为弧AC上一点,连结BE交AD于点、F,若ZBAD=2ACAD,ADBF+4ZCAD=90°,

连结OF,求证：OF平分ZAFB；

（3）在（2）的条件下，如图3,点G为BC上一点,连结EG,4BGE=2ZC.若AD=前,BD+EG=3,求

DF的长.

题型2:圆与四边形综合

:题目回（2024.浙江杭州.模拟预测）如图，四边形ABCD内接于。。，AC为。。的直径，DELAC于点F

交BC于点、E.

（1）设4DBC=e试用含a的代数式表示NADE；

⑵如图2,若跳;=3CE,求黑的值；

Uh/

（3）在（2）的条件下，若AC,BD交于点G,设柒=0,cos/BDE=y.

Ur

①求V关于。的函数表达式.

②若求"的值.

•••

遁目回（2024•广东珠海•一模）如图1,F为正方形ABCD边BC上一点，连接AF,在AF上取一点。，以

OA为半径作圆，恰好使得0O经过点B且与CD相切于点E.

图1图2

（1）若正方形的边长为4时，求。O的半径；

（2）如图2,将AF绕点A逆时针旋转45°后，其所在直线与。。交于点G,与边CD交于点连接DG,

BG.

①求/4DG的度数；

：AB-BF+AG-FG=BG2.

题型3:圆有关的动态问题

〔题目⑺（2024.广东.一模）综合探究：

如图，已知4B=10,以AB为直径作半圆O,半径绕点。顺时针旋转得到OC,点A的对应点为C,当

点。与点B重合时停止.连接BC并延长到点。，使得CD=,过点。作OE，AB于点E,连接AD,

AC.

⑴如图1,当点E与点O重合时，判断△ABD的形状，并说明理由；

⑵如图2,当OE=1时，求BC的长；

⑶如图3,若点P是线段4D上一点，连接PC,当PC与半圆O相切时，判断直线PC与AO的位置关系，并

说明理由.

—

遁目回（2024•浙江湖州•一模）如图，在LJABCD中，是锐角，AB=，BC=10,在射线BA上取一点

P,过P作于点E,过P,E,。三点作。O.

（1）当cosB=■时，

5

①如图1,若4B与OO相切于点P,连结CP,求CF的长；

②如图2,若⑷。经过点。，求©O的半径长.

（2）如图3,已知。。与射线BA交于另一点F,将沿EF所在的直线翻折,点B的对应点记为笈，且

B恰好同时落在©。和边40上,求此时PA的长.

蜃目回（2024.云南昭通.模拟预测）如图，在。。中，AB是。。的直径，点河是直径AB上的一个动点，过点

M■的弦CD，AB,交。。于点。、。，连接B。,点F为的中点,连接DF并延长，交AB于点E,交。。

于点G.

图1图2备用图

⑴如图1,连接CG,过点G的直线交DC的延长线于点P.当点M与圆心。重合时，若APGC=AMDE,

求证：PG是。。的切线；

（2）在点”运动的过程中，DE=kDF（k为常数），求k的值；

（3）如图2,连接BG、OF、皿F,当△MOF是等腰三角形时，求/BGD的正切值.

•••

题型4:圆与坐标系或函数

［题目［wj（2024•福建龙岩•一模）如图,抛物线y=—d+3c+4与c轴分别交于A、B两点（点A在点B的左

侧）与沙轴交于点C.

(1)(2)

⑴直接写出4B、。三点的坐标；

（2）如图⑴，P是抛物线上异于力，B的一点，将点B绕点P顺时针旋转45°得到点Q,若点Q恰好在直线

AP上,求点P的坐标；

（3）如图（2）,是抛物线上异于的两个动点，直线BN与直线CM交于点T,若直线MN经过定点

（1,3）,求证:点T的运动轨迹是一条定直线.

题目皿（2024•江苏常州•模拟预测）定义：在平面直角坐标系xOy中，P、Q为平面内不重合的两个点，其中

PQ1，%）©（◎，纺）・若：为+91=C2+?/2,则称点Q为点P的"等和点”.

⑴如图1,已知点P（2,l）,求点P在直线y=c+l上"等和点”的坐标；

（2）如图2,OA的半径为1,圆心人坐标为（2,0）.若点P（O,神）在OA上有且只有一个“等和点”，求m的

值；

（3）若函数y=—/+2（2《小）的图像记为阴，将其沿直线；r=小翻折后的图像记为叱.当小，网两部分

组成的图像上恰有点P（0,m）的两个“等和点”，请直接写出小的取值范围.

•••

题目12j（2024•江苏宿迁•一模）如图1,在平面直角坐标系xOy中，抛物线g=aa?+bc+3与2轴分别相交于

两点，与y轴相交于点C,已知点A的坐标为（―1,0）,点B的坐标为（3,0）.

（1）求出这条抛物线的函数表达式；

（2）如图2,点。是第一象限内该抛物线上一动点,过点D作直线Z〃沙轴，直线，与&ABD的外接圆相交于

点E.

①仅用无刻度直尺找出图2中△4BD外接圆的圆心P.

②连接BC、CE,BC与直线DE的交点记为Q,如图3,设△CQE的面积为S,在点。运动的过程中，S是否

存在最大值？如果存在，请求出S的最大值;如果不存在，请说明理由.

—

遁目叵（2024•江苏宿迁•二模）中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒

的分界线.在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义:点P（g,阴）是

图形Gi上的任意一点，点Q（22,纺）是图形上的任意一点，若存在直线I：g=for+b（kW0）满足kxx

+b且/2+d则直线J=k+b（kW0）就是图形G1与G2的“楚河汉界线”.例如:如图1,直线I:y=—x

—4是函数y=<0）的图像与正方形的一条“楚河汉界线”.

X

（1）在直线①y——2x,@y—4rr—1,③夕=一2必+3,@y——3x-1中，是图1函数3=心（±<0）的图像与正

x

方形OABC的“楚河汉界线”的有；（填序号）

⑵如图2,第一象限的等腰直角△EDF的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点。的坐标是（2,1）,△EOF与O

。的“楚河汉界线”有且只有一条,求出此“楚河汉界线”的表达式；

（3）正方形A1B1GR的一边在沙轴上，其他三边都在沙轴的右侧，点M（2,t）是此正方形的中心，若存在直线

y=-2x+b是函数v=-X2+2X+3（0WcW4）的图像与正方形A.B.C.D.的“楚河汉界线”，求t的取值范

围.

•••

题型5:以实际问题为背景，求圆与三角形、四边形综合问题

If。（2024•陕西西安•一模）【问题提出】

（1）如图1,已知在边长为5的等边中，点D在边3。上，=3,连接AD,则△ACD的面积为」

【问题探究】

⑵如图2,已知在边长为6的正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且/EAF=45°,若EF=

5,求△AEF的面积；

【问题解决】

（3）如图3是某座城市廷康大道的一部分，因自来水抢修在AB=4米，AD=4四米的矩形ABCD区域内开

挖一个△AEF的工作面，其中分别在B。、CD边上（不与B、重合），且/EAF=60°,为了减少对

该路段的拥堵影响，要求△AEF面积最小，那么是否存在一个面积最小的△AEF?若存在，请求出△入£?

面积的最小值;若不存在,请说明理由.

•••

量目E（2024•陕西西安・一模）【问题提出】

⑴如图1,点。为△48。的边BC上一点，连接ADZBDA=ABAC,第=言,若4ABD的面积为4,则

△ACD的面积为；

【问题探究】

（2）如图2,在矩形ABCD中，AB=6,5。=5,在射线3。和射线CD上分别取点E、F,使得等=称,连接

UrO

相交于点P,连接CF,求CF的最小值；

【问题解决】

（3）如图3,菱形ABCD是某社区的一块空地，经测量，43=120米，乙45。=60°.社区管委会计划对该空

地进行重新规划利用,在射线AD上取一点E,沿BE、CE修两条小路，并在小路BE上取点H,将S段铺

设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求，ABHC=/BCE,为了节省铺

设成本，要求休闲通道CH的长度尽可能小，问CH的长度是否存在最小值？若存在，求出CH长度的最小

值;若不存在,请说明理由.

图1图2图3

—

题型6：最值问题

题目正(2024•湖南长沙•三模)如图1,A,B,C为0O上不重合的三点,GC为0O的切线，yZG+ZA=

90°.

(1)求证：为。。的切线；

⑵若△ABC为等腰三角形，/BAC<45°,tan/A4C=,，求笑■的值：

⑶如图2,若AB为直径，M为线段AC上一点且GMLGB,AM2+OB2-3GB2+8GB-8=0,0<GB<

2，求S四边形jvfGBA的最大值・

—

题目叵（2024・重庆•模拟预测）如图,在直角△ABC中，/A4C=90°.点。为△ABC内一点，且=

60°,E为线段的中点，连接AE.

BBB

图3

⑴如图1,若=AD=2,求BE的长；

（2）如图2,连接CD,若AB=AC,/B4E=乙48,过点后作EFLAD交于F,求证：AE=V6DF；

⑶如图3,过点。作力。于点M,DNLBC于点N,连接7W,若AB=2《，AC=4,求皿N的最小

值.

•••

题型7：在解三角形、四边形中作辅助圆

:题目叵（2024•福建泉州•一模）如图1,在OABCD中，BE平分/ABC交AO于点E,尸是CD上一点，且

DF=DE.

⑴求证：BELEF；

⑵如图2,若乙4=120°,F3，反7于点3,8是_8尸的中点,连接。3,9,成?,且反?与口?相交于点人.

①求证：。G=EH；

②若CF=2OF,求第的值.

•••

题型8：定值问题

［题目叵（2024•浙江•模拟预测）如图1,E点为2轴正半轴上一点，。右交必轴于4B两点，P点为劣弧BC

上一个动点，且4—l,0）、E（l,0）.

（1）熬的度数为_°；

（2）如图2,连结PC,取PC中点G,则0G的最大值为二

（3）如图3,连接A。、AP、CF、CB.若CQ平分/PCD交PA于Q点，求AQ的长；

⑷如图4,连接P4PD,当P点运动时（不与B、。两点重合），求证：P。蒙口为定值，并求出这个定值.

1Y1

—

题型9:在圆综合中求解三角函数值

题目为（2024•湖南长沙•一模）如图1,在电△ABC中，乙45。=90°,47=30°,反7=4如;。是的中

点.经过A,B,。三点的。。交AC于点E,连接BE.

⑴求AE和BE的长；

（2）如图2,两动点P、Q分别同时从点A和点。出发匀速运动，当点P运动到点E时，点Q恰好运动到点

B,P、Q停止运动，连接PQ.

①记AP=2,当馍。。的面积最大时，求c的值；

②如图3，连接BP并延长交OO于点F,连接AF、FE.当BE平分AFBC时,求sinZABF的值.

—

量目（2024•上海杨浦・一模）已知以AB为直径的半圆。上有一点C,CD，04,垂足为点。，点E是半

径OC上一点（不与点重合），作EFLOC交弧于点F,连接。尸.

⑴如图1,当FE的延长线经过点A时，求

（2）如图2,作FG，AB,垂足为点G,连接EG.

①试判断EG与CD的大小关系，并证明你的结论；

②当&EFG是等腰三角形,且sin/CQD=4,求染的值•

5OD

•••

中考人枯殿-圆

解题方法

1、圆中常见相似三角形

不含切线含切线（4。是。。的切线）

B4cs"08

LABD^LAEC

2.在圆中解三角形或四边形的常用思路

画出特殊图形:如圆中的特殊三角形、特殊四边形等,在已知条件下，以结果为导向,在这些特殊图

形中求出一些中间量。

题型归纳

题型1：圆与三角形综合

题型2：圆与四边形综合

题型3：圆有关的动态问题•••

题型4：圆与坐标系或函数

题型5:以实际问题为背景，求圆与三角形、四边形综合问题

题型6：最值问题

题型7：在解三角形、四边形中作辅助圆

题型8：定值问题

题型9:在圆综合中求解三角函数值

题型1：圆与三角形综合

,题日①（2024.黑龙江哈尔滨.一模）已知，为③。两条弦，40,8。于点后,连接。£；,AE=CE.

（1）如图1,连接OE,求AAEO的度数；

（2）如图2,连接AC,延长EO交AC于点N,点F为AC上一点，连接EF,在EF上方作等腰直角三角形

EFG,且NEGF=90°,连接NG,求证:NG〃BC；

（3）在（2）的条件下，连接AB,CD,当点G落在线段AB上时，过点。做交CD于点乙，交CE于

点T,若OE=6叵EG=2CL,求30半径的长.

【答案】（1）45。

（2）见详解

（3）675

【分析】本题考查了圆与三角形的综合，涉及到全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线成比

例，勾股定理，圆周角定理等，正确添加辅助线，熟练灵活运用知识点是解决本题的关键.

（1）连接OAOC,证明△AEO经△CEO即可；

（2）过点G作GR_LGN交EN于点A,先证明△GER24GFN，得GR=GN,

所以/GNR=/GRN=45°,得到4GNR=4NEC,故GN//BC.

（3）过G作GA_LGN交NE的延长线于点R,连接。D,OC,作OK_LCD于点、K,OH_LCE于点先证

明^\ABE咨ACDE,：.EG=卷CD，设CL=a,EG=2a,AB=。。=4a,DL=3a,则。。=OG=2V2a,

OK=OK=2a,KL=a■，证出AKOL=AOCT,则tan/KOL=tanZOCT,

最后在中运用勾股定理求OC=

【解析】（1）连接040。，

•••OAOC为。O半径，

：.OA^OC,

,:EA=ECQE=OE,

：.△AEOn△CEO,

NAEO=/CEO,

•：AD±BC,图1

ZAEC=90°,•••

・・.AAEO=/CEO=g/AEC=45°;

(2)证明:过点G作GR_LGN交EN于点R,

・・・4RGN=90°,

：./RGN=Z.EGF,

・・・ARGN-4RGF=AEGF-/RGF,

：.AEGR=AFGN,AE=CE,4AEN=Z.CEN,

:・ENLAC,AN=CN,

・・.NEW=90°,

・・・4ENC=9N=4EGF,

图2

：.AGEN=AGFN9

又・・・GE=G尸，

・・・△GER空△GFN,

:.GR=GN,

：.AGNR=ZGRN=45°,

：.AGNR=ANEC,

：.GN//BC.

⑶过G作GALGN交NE的延长线于点心连接QD,O。,作OK,CD于点K,OH_LCE于点、H,

由(2)得△GFN丝△GEA,得GN〃石。，

.AN=AG

**CN7-BGJ

・・•AN=CN,

・・.AG=BG,AAEB=9Q°,

：.EG=^-AB.ABAD=/BCD,AE=CE"AEB=乙CED,

・・・4ABE"CDE,

・・.AB=CD,

:・EG弋CD,

设CL=a,EG=2a,AB=CD=4a,DL=3a,ZEAC=90°-/AEN=45°,

・・.Z£>OC=90°,

・・.ADOK=ZCOK=45°,

・・・ZOZ?C=ZOCD=45°,

则OD=OC=2V^Q,OK=DK=2a,KL=af

在Rt/XOKL中，tan/LOK=y,

•：OL.LOE,

・・・ZBOL=90°,

・・・/OED=/OTE=45°,

・・・ZKOL+ZLOC=45°,ZOCT+ZLOC=45°,

・・.AKOL=AOCT,

tanZATOL=tanZOCT,

OE=6V2,OH=6,HC=12,

在Rt^OCH中，O(f=OH2+HC2,

:.OC—6A/5.•••

题目区（2024•黑龙江哈尔滨•一模）已知：AB为。。的直径，点C为卷上一点,连接AC,点。为后心上一

点，连接AO,过点D作AB的垂线，垂足为点F,交OO于点E,连接CE,分别交AD和AB于点H和点K,

且/AHE=90°.

⑴如图1,求证：ACADABAD

⑵如图2,连接成，过点H作上田的垂线交AB于点T,求证：AB=2FT；

⑶如图3,在⑵的条件下,连接B。交AO于点G,延长CD交AB的延长线于点M，若CM=AG,FT=5,

求CG的长.

【答案】（1）见详解

（2）见详解

⑶寺

O

【分析】（1）证明4AHC〜△AFD,即可得出结论；

（2）连接证明AAH"^AHK（ASA）,得至［CH=KH,ZACH=乙4KH,证明ATKHs/\FDH,得到

Z.HTK=AHFD,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出毋,得到NTHK=ZACH,推

出AC//TH,证明4AKC〜ZYTKH,得到第=等==2,再证明4ABC〜/\TFH,即可证明结

1HHKHK

论；

⑶连接GK,过点M作CB的垂线，垂足为点N,证明4AHC^^AHK（ASA）,得到CH=KH,AC=AK,

进而推出/4。3=乙4的,证明434?＜笃^^0?/（＞145＜）,得到＞1。=＞17＜=。^,进而推出GK=MN=

CG,1正明△GBKW4MBN（AAS）,得至UBK=BN,设BK=BN=a,则AK=AC=CN=10-a,CB=10

—2a,求出BK=2,47=8,BC=6,设CG=GK=M，则GB=6—利用勾股定理即可求解.

【解析】（1）解：••,AB_LDE,

ZAFL＞=90°

乙4HE=90°,4c=2D

：.AAHC-4AFD

:"CAD=2DAB;

⑵解:如图2:连接BC,

由（1）知/。＞1D=/_DAB,

•/AAHK=ZAHC=90°,AH=AH,

：.AAHC^/XAHK^ASA）,

CH=KH,AACH=/LAKH,

•：ABAD+Z.AKH=ABAD+ZADF=90°,图2

ZADF=Z.AKH,

•：TH±FH,

：.ZTHK+Z.FHK=AFHK+ZFHD=90°,

：.4THK=4FHD,

•••

・・・NTKH〜/\FDH,

：.4HTK=4HFD,

・・,点F是。石的中点，NEHD=90°,

：.HF=DF,

・・・AFHD^AFDH,

・・.NTHK=/TKH,

♦:4TKH=4ACH,

・・・/THK=/ACH,

：.ACIITH,

・・・dAKC〜dTKH

.AC=CK=2HK=2

9,~TH~HK~HK

・・・ACIITH

・・.ACAB=ZHTB,

・・・4ACB=4THF=90°

・・・/\ABC〜/\TFH

.=J4C=9

・,TFTH

・・.AB=2FT;

⑶解:如图3,连接GK,过点M作CB的垂线，垂足为点N,

・・,ACAD=/BAD,/AHC=/AHK=90°,AH=AH

：.AAHCm/\AHK^ASA)

:・CH=KH,AC=AK

・・.ZACK=AAKC

：.CG=GK

・・.ZGCK=AGKC

：.AACK+AGCK=AAKC+AGKC

：.4ACG=4AKG

・・・AB是。O直径

・・・AACB=AAKG=AGKB=90°

・・・4AKG=4CNM=90°,4GAK=/MCN,AG=CM

・・・AGAK艺/\MCN(AAS)

・・.AC=AK=CN

:・GK=MN=CG

・・,AGKB=AMNB=90°,/GBK=AMBN

：./\GBK^/XMBN^AAS)

:・BK=BN

VTF=5,AB=2FTf

：.AB=109OA=OB=5f

设BK=BN=Q,则AK=AC=C7V=10—a,CB=10—2。

在Rt/\ABC中,AC2+BC2=AB2

即(10—a)2+(10—2a)2=102

a=2或a=10(舍去)

：.BK=2,AC=8,BC=6

设CG=GK=M，则GB=6—m,—

在Rt/XGKB中，GK2+BK2=GB2

即m2+22=（6—m）2

...m——8

o

.♦.CG=*

【点睛】本题考查了圆与三角形的综合问题，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，三角形全等的判定和性

质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形，全等三角

形.

，题白Q（2024.黑龙江哈尔滨.一模）如图1,在。。中，直径AB垂直弦CD于点G,连接AD,过点。作CF，

40于F,交AB于点H,交⑷。于点E,连接OE.

⑴如图1,求证：/E=2/C；

⑵如图2,求证：DE=CH；

⑶如图3,连接BE,分别交AD、CD于点M、N,当OH=2OG,HF=43求线段EN的长.

【答案】（1）见解析

⑵见解析

⑶12

【分析】（1）连接,根据垂径定理和等弧所对的圆周角相等，结合等角的余角相等即可证明结论；

⑵连接BC,运用同弧（等弧）所对的圆周角相等，结合同角的余角相等和等量代换即可证明；先证明BC=

CH,再证明BC=DE;

⑶根据已知设出OG和OH,结合⑵表示BG,进而用z表示半径、直径，结合勾股定理表示,结合

△BGN〜△跳的，即可求解.

【解析】⑴证明：连接AC,

•/AB是。。的直径，AB±CD,

：.BC^BD,ABAD+AADG=90°

4cAB=ABAD=；/CAD=]zCED,

AF±CE,

：.AECD+AADG^9Q°,

：.NECD=/BAD,

：.4E=24DCE;

⑵连接B。，

­：AB±CD,CE±AD,

：.4ECD+ZCHG=4ECD+NCDF=90°,

・・・ACHG=ZADC,

又・・・AADC=ZB,

・・・ZCHG=ZB,

:・CH=CB,

由⑴知：4E=24ECD,

：.CD=2DEf

•：CD=2BC,

：.DE=BCf

:・DE=BC=CH・,

⑶连接OC,AE,则：ZABB=90°,

•：OH=2OG9

设OG=力，则OH=2x,

：.HG=OH+OG=3x,

由⑵知，BC=CH,

・・・ABVCD,

:.BG—GH—3力,

:.OB—BG+OG—4x,

OC—4x,AB—8x,AH—2x,

•・・ZCfffi=NAHE,ACBH=Z.CEA,且ACHB=ACBH,

・・・4AHE=/CEA,

:.AE—AH—2x,

/.Rt/\ABE中，BE=-JAB2—AE2=2V15x,

RtAOGC中，CG=VOC2-OG2=V15a;,

Rt^HGC中，CH=y/CG2+GH2=2娓x,

•：DE=BC=BD,

/BAD=NDCE,

sinZ.BAD—sin/DCE,即：„=„,

A.HOH

•VW=3z：

"2x~2V6X'

•/些

.・力3’

BE—2V152：=20,BG=3c=2VlK,AB—8x—,

o

・・・/ABE=4GBN,/BGN=ZAEB=9Q°,

：・/\BGN〜/\BEA,

.BN=BG

,•布―南，

.BN=BGYB=2E中

BE20'

:.EN=BE—BN=\2.

【点睛】此题主要考查圆的综合问题，涉及到垂径定理，圆周角定理，弧、弦、角之间的关系，解直角三角形，相

似三角形的判定和性质，综合性强，难度较大，熟悉圆的相关性质，会结合题意灵活运用勾股定理和方程思

想，会借助相似三角形构建等量关系是解题的关键.

:题目回（2024.浙江.模拟预测）如图1,△48。内接于。。，作AD，于点D•••

DG7C

（1）连结A。，BO.求证：ZAOB+2ZJDAC=180°；

（2）如图2,若点E为弧AC上一点,连结BE交AO于点F,若ABAD=2ACAD,ADBF+4/CAO=90°,

连结OF,求证：O尸平分NAFB；

（3）在（2）的条件下，如图3,点G为上一点,连结EG,4BGE=2ZC.若AD=前,BD+EG=3,求

DF的长.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】

⑴根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半,且结合AD±BC,即可作答；

（2）先根据三角形的外角性质，得AABF=ABAD=2a,等角对等边，得BF=AF,即可证明△4OF笃

^BOF（SSS）,结合全等三角形的对应角相等，即可作答；

（3）根据同弧所对的圆周角是相等，得=90°-a,由三角形的内角和，得=90°—a,等角对等

边，得AB=BE,进而证明△ABDZ4BEM（AAS）,得ME=BD,等角对等边，得EG=EN,故MN=ME

+EN=3,因为AMBE=NMNB,BMN=NBMN=90°,证明4BME〜/XNMB，得手=嘤^，解得ME=

2,由勾股定理建立式子，即可作答.

【解析】（1）证明：：ADYBC,

：.ZADC=90°,

：./C+/ZMC=90°,

••.2/C+2/DAC=180°,

ZAOB=2/C,

AAOB+2/D4C=180°;

（2）证明：设/CAD=a,

•/ABAD=2ACAD,ADBF+4/CAD=90°,

ABAD=2a,AFBD=90°-4a,

/BFD=4a,

：.4ABF=/RAD=2w,

：.BF=AFf

,：OB—OA,OF—OF,

・・・/XAOF^ABOF（SSS）,

・・・/BFO=/AFO,

・・・O尸平分乙4尸

（3）解:连接4E,过点后作矶f_LAB于点“交BC的延长线于点N,•••

由(2)得，乙4cB=90°—a,

・・.AAEB=9Q°-af

・・・/ABF=/BAD=2a,

/./ABE=2a,

・・・ABGE=2NO,且/。=90°—a,

・・・/BAE=180°-/LABE-AAEB=90°-a,ABGE=180°—2a,

・・・/.BEA=/BAE,ZEGC=2a,

/.AB—BE,

・・•/.BAD=/ABE,ABME=AADB=90°,

・•・/\ABDn相EM(AAS),

・・.ME=BD,AD=MB=®AMEB=/DBA=90°-2a,

・・・AEBN=90°—4a,

・・.NN=2a,

・・・AEGC=/ENG,

・・.EG=EN,

・；BD+EG=3,

：,MN=ME+EN=3,

・・・4MBE=4MNB,BMN=乙BMN=90°,

,MBME〜ANMB,

.BM=ME

"NM~^B9

.正=ME

•〒一词’

:.ME=2,

：.ME=BD=2,

•：BD2+DF2=BF2,

：.2\DF2=(V6-OF)2,

・・.DF=乎.

6

【点睛】本题考查了圆综合，涉及圆周角定理，三角形外角性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判

定与性质，勾股定理等综合内容，难度较大，综合性较强，学会灵活运用等角对等边以及作出正确的辅助线是

解题的关键.

题型2：圆与四边形综合

:题目回(2024•浙江杭州•模拟预测)如图，四边形ABCD内接于。O,AC为。。的直径，DELAC于点F

交BC于点E.

图1图2

(1)设/DBC=a,试用含a的代数式表示NADE：•••

⑵如图2,若BE=3CE,求器的值；

⑶在⑵的条件下，若交于点G,设=cos/BDE=y.

Ur

①求V关于c的函数表达式.

②若求？/的值.

【答案】⑴90。一&

（2）2

⑶①穴小②朵

x+116

【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，结合三角形的内角和定理，即可得解；

⑵圆周角定理得到/ADC=90°=乙4FD,进而得到ZDAC=NCDF,推出ABCE〜△BCD,得到黑=

L）E/

综=察，设CE=a，求出CD的长，即可得出结果；

CDCE

⑶①过点G作GH//DE,得至1△CEF〜△CHG,ABHG〜ABED,进而得到需=桀=需，萼=

CHCGGHDE

黑=善，根据弟=叫班=3CE,推出DG=^BD,DF=，产.DE,利用"=cos/BDE=需

DbjbJJ5O3（T+1）DG

结合黑=2进行求解即可；

DE

②作EW_LB_D于W,根据已知条件推出BD=4CE,DE=2CE,设CE=a,DW=M,勾股定理求出m=

日a,再根据y=cosZBDE=与等求解即可.

oUE/

【解析】（1）解：•・,四边形ABCD内接于。O,

・・・/DAC=/CBD=a,

•：DE±AC,

：.ZAFD=90°f

：.NADE=90°-ZDAC=90°-a;

（2）V4。为。。的直径，

・・.ZADC=90°=ZAFD,

・・.ZDAC=ZCDF=90°-AADF,

・・•ZDBC=/DAC,

：.ADBC=乙CDF,

・・・4DCE=/BCD,

.-.△nCE-ABCD,

.BD=BC=CD

''^E~~CD~~CE"

•：BE=3CE,

：.设CE=a，则：BE=3a,

・・・BC=4a,

・・・CD?：石。・五=4Q.Q=402,

・・.CD=2Q（负值舍去）；

,BD=BC=4a=2.

"DE-CD-2^-；

（3）①过点G作GH7/DE,

则：/\CEF〜4cHG,/\BHG〜4BED,

.CE=CF=EFGH=BH=BG

一~CH~~CG~~GH^^E~~BE~~BD

77=a:,BE=3CE,

Ur

：.EF=^--GHCH=(x+l)CE

x-rlff

：.BH=BC-CH=^CE-O+1)CE=(3—c)CE,

•：BE=3CE,

.BG__GH_BH_3—x

"BDDEBE3，

3-7Q9_3-CD7~)

•••KJll——3un,,-oCr3BD，

・・.DG=:BD—BG=弓RD斤—1「口―DE，

o/+1'3(^+1)

:・DF=DE—EF=产、・DE,

3(z+l)

n/?_3(3.DE

••,〃y，一5ccG/anz?—ui

DGfBD

由（2）知：萼=2,

UrL/

4x

3Q+1)2

3/

②如图，作EW±BD于W,

・・・BC=BD,BD=2DE,BC=4CE,

:・BD=4CE,DE=2CE,

设CE=a,DW:BD=4a,DE=2a,BE=3a,BW=BD—DW—^a—m,

・・・EW2=DE2-DW2=BE2-BW2,

4a2—m2=9a2—(4a—m)2,

解得：m—耳a,

o

DW_晋。_11

y=cos/BDE=

DE2a16

【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及到圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，求函数解析

式，勾股定理等知识点，综合性强，难度大，计算量大，掌握圆周角定理，添加辅助线，构造特殊图形和相似三

角形，是解题的关键，注意计算的准确性.

题目回（2024.广东珠海・一模）如图1,F为正方形4BCD边上一点，连接AF,在AF上取一点O,以

OA为半径作圆，恰好使得。。经过点B且与CD相切于点E.

图1图2

（1）若正方形的边长为4时，求。。的半径；

（2）如图2,将AF绕点、A逆时针旋转45°后，其所在直线与。O交于点G,与边CD交于点连接DG,

BG.

①求/ADG的度数；

②求证：AB-BF+AGFG=BG2.

【答案】⑴段

（2）①45°;②证