中考数学压轴题专项突破：将军饮马模型（含答案及解析）

将军饮马模型

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考情分析：:通过全国中考试题分析来看，将军饮马的模型多出现在中考二次函数压轴题第二

问中出现，难度不大，但需要注意对称点的选择，动点通常在对称轴上，而且已

知定点中往往有一个与X轴的交点.

考法主要有以下几种：1.求取最小值时动点坐标2.求最小值3求三角形或四边形

周长最小值.

模型一：两定点一动点

如图，AB为定点，P为/上动点，求AP+BP最小值

解析：作点A关于直线的对称点4,连接B4',则府'=①，PA+PB=PA+PB

当4、P、3三点共线的时候，PA'+PB=A'B,此时为最小值（两点之间线段最短）

B

/

A端点/

:、、、/

____I_____________

1/0折点

I/

A

模型二：一定点两动点

如图，P为定点，M、N分别为。4和08上的动点，求△尸跖V周长最小值

解析：分别作点P关于04、。8的对称点，魁LPMN的周长为PM+MN+NP=P'M+MN+NP”,

当尸'、M、N、P”共线时，△尸周长最小.

模型三：两定点两动点

如图，P、。为两定点，M、N分别为04、。8上的动点，求四边形PQMN的最小值.

解析：；PQ是条定线段，

...只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，

分别作点尸、。关于。4、08对称，

PM+MN+NQ=P'M+MN+NQ',

当P'、M,N、Q'共线时，四边形PMNQ的周长最小。

2

模型四：一定点两动点

如图，P为定点，M、N分别为。4、OB上的动点、,求尸最小值。

解析：作点P关于对称的点尸'，

PM+MN^P'M+MN,

过点P作0B垂线分别交04、0B于点M,N,

得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）

模型五：将军饮马有距离

例一、如图，4。为定点，B、C为直线/上两动点，3C为定值，求A3+BC+C。最小值？

*

D

A

BCI

解析：8c为定值，只需求AB+C。最小即可；

平移AB至CE,则变成求CE+CO的最小值，基本将军饮马的模型

例二、如图，4。为定点，B、C为直线A、/2上两动点，BCLlx,求A3+3C+CD最小值?

A

B

11

C12

D

解析：3C为定值，只需求AB+C。最小即可；

平移C。至BE,则变成求A3+3E最小，基本将军饮马.

3

二、典例精析

例一：如图1(注：与图2完全相同)，在直角坐标系中，抛物线经过点4(1,0)、3(5,0)、CQ4)三点.

(1)求抛物线的解析式和对称轴；

(2)P是抛物线对称轴上的一点，求满足R4+PC的值为最小的点P坐标(请在图1中探索)；

【分析】(1)将点A、3的坐标代入二次函数表达式得：y=«(x-l)(x-5)=a(x2-6x+5),即可求解;

(2)连接3、C交对称轴于点尸，此时上4+尸。的值为最小，即可求解；

【解答】解：(1)将点A、3的坐标代入二次函数表达式得：y=a(x-V)(x-5')=a(x2-6x+5),

4

贝！)5々=4,解得：a=-f

抛物线的表达式为：y=|(x2-6x+5)=|x2-yx+4,函数的对称轴为：x=3,顶点坐标为(3,-1)；

(2)连接3、C交对称轴于点P,此时PA+PC的值为最小，

将点3、C的坐标代入一次函数表达式：>=区+6得：

k—__

解得：5，

8=4

直线BC的表达式为：y=--x+49

5

当尤=3时，y=->

5

4

故点尸(3,1)；

例二：如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于3、C两点，抛物线y=-犬+灰+。经过点3、c,与

x轴另一交点为A,顶点为O.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在无轴上找一点E,使EC+£D的值最小，求EC+ED的最小值；

【分析】(D直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于3、C两点，则点3、C的坐标分别为(3,0)、(0,3),

将点3、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；

(2)如图1,作点C关于x轴的对称点C,连接C。交x轴于点E,则此时EC+ED为最小，即可求解;

【解答】解：(1)直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于3、C两点，则点3、C的坐标分别为(3,0)、(0,3),

C_Q3/7+r—f)(h=?

将点3、C的坐标代入二次函数表达式得：，一，解得：一。，

[c=3[c=3

故函数的表达式为：y=-x2+2x+3,令y=0,则彳=一1或3,故点4-1,0)；

(2)如图1,作点C关于x轴的对称点CI连接CO交x轴于点E,则此时EC+ED为最小，

函数顶点。坐标为(1,4),点C(0,-3),

将C\。的坐标代入一次函数表达式并解得:

直线。。的表达式为：y=7尤-3,

当y=0时，x=—,

7

5

图1

故点E(—,0),

贝!IEC+ED的最小值为DC

三、中考真题演练

1.(2023•宁夏・中考真题)如图，抛物线>=办2+版+3(。W0)与》轴交于人，8两点，与，轴交于点C.已

知点A的坐标是(-1,0),抛物线的对称轴是直线x=l.

(1)直接写出点B的坐标；

(2)在对称轴上找一点P,使R4+PC的值最小.求点尸的坐标和24+PC的最小值；

(3)第一象限内的抛物线上有一动点过点M作轴，垂足为N,连接3c交于点Q.依题意

补全图形，当MQ+应CQ的值最大时，求点M的坐标.

2.(2023•黑龙江齐齐哈尔•中考真题)综合与探究

如图，抛物线y=f2+bx+c上的点A,C坐标分别为(0,2),(4,0),抛物线与x轴负半轴交于点8,点、M

(1)求点M的坐标及抛物线的解析式；

(4)将抛物线沿无轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点A,点C的对应点为点C',在抛物线平

移过程中，当M4'+MC'的值最小时，新抛物线的顶点坐标为，M4'+MC的最小值为.

3.(2023・湖南张家界•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数>=内2+版+。的图象与x轴交

于点A(-2,0)和点3(6,0)两点，与y轴交于点C(0,6).点。为线段BC上的一动点.

(2)如图1,求△AOZ)周长的最小值;

4.(2023•山东枣庄•中考真题)如图，抛物线w-f+bx+c经过A(T,0),C(0,3)两点，并交x轴于另一点2,

点M是抛物线的顶点，直线4M与轴交于点D

备用图

(1)求该抛物线的表达式;

(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH,DH,求+的最小值；

5.如图，已知抛物线y=-6与x轴的交点A(-3,0),B(1,0),与y轴的交点是点C.

7

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是抛物线对称轴上一点，当PB+PC的值最小时，求点P的坐标；

(3)点/在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点N,使得NCMN=90。且以点C，M,N为顶

点的三角形与“MC相似？若存在，求出点M和点N的坐标；若不存在，说明理由.

6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-N+6x+c经过点A(4,。)、B(0,4)、C.其对称轴/交x

轴于点。，交直线于点尸，交抛物线于点£.

(1)求抛物线的解析式;

(2)点尸为直线/上的动点，求仆P8C周长的最小值；

(3)点N为直线A8上的一点(点N不与点尸重合)，在抛物线上是否存在一点使以点E、F、N、/为顶

点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由.

7.已知，抛物线y=/+2x-3,与无轴交于A、B两点、(点A在点B的左侧)，交y轴于点C,抛物线的顶

点为点D.

8

(1)求A3的长度和点。的坐标；

(2)在该抛物线的对称轴上找一点P,求出尸3+PC的值最小时尸点的坐标；

(3)点M是第三象限抛物线上一点，当S-MAC最大时，求点〃的坐标，并求出S’”.的最大值.

9

将军饮马模型

一、知识导航

考情分析：:通过全国中考试题分析来看，将军饮马的模型多出现在中考二次函数压轴题第二

问中出现，难度不大，但需要注意对称点的选择，动点通常在对称轴上，而且已

知定点中往往有一个与X轴的交点.

考法主要有以下几种：1.求取最小值时动点坐标2.求最小值3求三角形或四边形

周长最小值.

模型一：两定点一动点

如图，为定点，P为/上动点，求AP+BP最小值

解析：作点A关于直线的对称点A连接PA',则PA'=PA,所以PA+PB=PA+PB

当A'、P、8三点共线的时候，PA'+PB=A'B,此时为最小值（两点之间线段最短）

B

/

A端点/

\~*——

1/'尸折点

A

10

模型二：一定点两动点

如图，P为定点，M,N分别为。4和08上的动点，求周长最小值

解析：分别作点尸关于。4、08的对称点，时APMN的局长为PM+MN+NP=P'M+MN+NP”,

当P、M.N、P”共线时，周长最小.

模型三：两定点两动点

如图，尸、。为两定点，M、N分别为。4、。8上的动点，求四边形尸QMN的最小值.

解析：:PQ是条定线段，

,只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，

分别作点P、Q关于。4、08对称，

PM+MN+NQ=P'M+MN+NQ,

当尸、M,N、Q'共线时，四边形PMN。的周长最小。

模型四：一定点两动点

如图，P为定点，M.N分别为0A、08上的动点，求PM+MV最小值。

解析：作点P关于0A对称的点P',

PM+MN^P'M+MN,

过点尸作0B垂线分别交。4、0B于点M、N,

得PM+MV最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）

模型五：将军饮马有距离

例一、如图，4。为定点，B、C为直线/上两动点，BC为定值，求A3+BC+C。最小值？

*

D

A

BCI

解析：3C为定值，只需求AB+C。最小即可；

平移A3至CE,则变成求CE+CD的最小值，基本将军饮马的模型

例二、如图，4。为定点，B、C为直线6、，2上两动点，BCl/i,求A3+BC+CD最小值?

A

B

11

C12

*

D

解析：8c为定值，只需求AB+C。最小即可；

平移至BE,则变成求A3+3E最小，基本将军饮马.

二、典例精析

12

例一：如图1(注：与图2完全相同)，在直角坐标系中，抛物线经过点4(1,0)、3(5,0)、CQ4)三点.

(1)求抛物线的解析式和对称轴；

(2)P是抛物线对称轴上的一点，求满足R1+PC的值为最小的点P坐标(请在图1中探索);

【分析】(1)将点A、3的坐标代入二次函数表达式得：y=a(x-lXx-5)=a(x2-6x+5),即可求解;

(2)连接3、C交对称轴于点尸，此时R4+PC的值为最小，即可求解；

【解答】解：(1)将点A、3的坐标代入二次函数表达式得：y=a(x-l)(x-5)=a(x2-6x+5),

4

贝!)5a=4,解得：a=—f

5

抛物线的表达式为：j=|(x2-6x+5)=|x2-yx+4,函数的对称轴为：x=3,顶点坐标为(3,-1)；

(2)连接3、C交对称轴于点尸，此时R4+PC的值为最小,

将点3、C的坐标代入一次函数表达式:y=fcr+b得:

解得：5，

b=4

直线3c的表达式为：y=--x+4,

5

当x=3时，y=->

5

故点P(3,|)；

13

例二：如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于3、C两点，抛物线＞=-/+云+。经过点3、c,与

x轴另一交点为A,顶点为£).

(1)求抛物线的解析式；

(2)在x轴上找一点E,使EC+ED的值最小，求EC+RD的最小值;

【分析】(1)直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于3、C两点，则点3、C的坐标分别为(3,0)、(0,3),

将点3、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；

(2)如图1,作点C关于x轴的对称点CI连接CO交x轴于点E,则此时EC+田为最小，即可求解;

【解答】解：(1)直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于3、C两点，则点8、C的坐标分别为(3,0)、(0,3),

[—Q「一

将点5、C的坐标代入二次函数表达式得：一,解得:

故函数的表达式为：y=-x2+2x+3,令y=0,则x=—1或3,故点A(-l,0)；

(2)如图1,作点C关于x轴的对称点C，，连接交x轴于点E,则此时EC+ED为最小,

函数顶点。坐标为(1,4),点C(0,-3),

将C、。的坐标代入一次函数表达式并解得:

直线CD的表达式为：y=7x-3,

当)=0时，A：=—,

故点石弓，0),

图1

14

则EC+ED的最小值为DC=Jl+(4+3)2=50；

三、中考真题演练

1.（2023•宁夏•中考真题）如图，抛物线丁=0?+法+3（。工0）与》轴交于人，6两点，与,轴交于点C.已

知点A的坐标是（-1,0）,抛物线的对称轴是直线x=l.

备用图

（1）直接写出点3的坐标;

⑵在对称轴上找一点尸，使B4+PC的值最小.求点尸的坐标和B4+PC的最小值;

（3）第一象限内的抛物线上有一动点过点M作轴，垂足为N,连接BC交MN于点Q.依题意

补全图形，当MQ+后。的值最大时，求点M的坐标.

【答案】（1）（3,0）

（2）点P（l,2）,PA+PC的最小值为3也

【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可；

（2）根据抛物线的对称性，得到=得到当尸,3,C三点共线时，Bl+PC的值最小，

为3c的长，求出直线8C的解析式，解析式与对称轴的交点即为点尸的坐标，两点间的距离公式求出3C的

长，即为R4+PC的最小值；

【详解】（1）解：：点A（-l,0）关于对称轴的对称点为点3,对称轴为直线x=l,

六点6为（3,0）；

（2）当x=0时，＞=3,

・・・C（0,3）,

连接3C,

15

VB(3,0),

•>-BC=^32+32=372-

:点A关于对称轴的对称点为点B，

：.PA+PC=PB+PC>BC,

.•.当P,2,C三点共线时，9+PC的值最小，为8C的长,

设直线BC的解析式为：y=kx+n,

n=3n=3

则:。'解得:

3"k=一1'

y—~x+3,

••,点尸在抛物线的对称轴上,

••/(1,2)；

点尸(1,2),24+PC的最小值为3拒;

2.(2023•黑龙江齐齐哈尔•中考真题)综合与探究

如图，抛物线y=-f+bx+c上的点A,C坐标分别为(0,2),(4.0),抛物线与x轴负半轴交于点8,点、M

(1)求点M的坐标及抛物线的解析式；

(4)将抛物线沿无轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点A,点C的对应点为点C',在抛物线平

移过程中，当M4'+MC的值最小时，新抛物线的顶点坐标为,M4'+MC的最小值为.

16

【分析】（1）根据点M在y轴负半轴且OM=2可得点M的坐标为加（0,-2）,利用待定系数法可得抛物线

7

的解析式为y=-x1+—x+2；

（4）设抛物线沿x轴的负方向平移机个单位长度得到新抛物线，将点M右平移机个单位长度得到点

由平移的性质可知，MA^M'A,MC'=M'C,的值最小就是MA+MC最小值，作出点C关于直

线产-2对称的对称点C",连接AC"交直线尸-2于点连接M'C则此时"A+M'C取得最小值，即为

AC"的长度，利用两点间的距离公式求这个长度，用待定系数法求出直线AC"的解析式，从而确定〃'的坐

标，继而确定平移距离，将原抛物线的解析式化为顶点式，从而得到其顶点，继而确定新抛物线的顶点.

【详解】（1）解：：点M在y轴负半轴且31=2,

M（0,-2）

将4（0,2）,C（4,0）代入y=_Y+灰+c,得

Jc=2

[-16+4b+c=0

\=l

解得＜b2

c=2

7

.•・抛物线的解析式为y=-x2+-x+2

（4）Hl为，2岳,

补充求解过程如下：

设抛物线沿X轴的负方向平移机个单位长度得到新抛物线,

将点M向右平移机个单位长度得到点AT,作出图形如下:

由平移的性质可知，MA=M'A,MC'=M'C,

：.MA+MC的值最小就是MA+M'C最小值,

显然点在直线产-2上运用,

17

作出点C关于直线厂-2对称的对称点c",连接AC〃交直线产-2于点,连接M'c则此时MA+M'C取

得最小值，即为AC"的长度，

:点C关于直线产-2对称的对称的点是点C〃，C(4,0)

22

{MA!+=(M'A+M'C)mm=AC"=^(4-0)+(-4-2)=2屈,

设直线AC"的解析式是：y=kxx+b,

仿=2

将点A(0,2)，C"(4,T)代入得：'

I/v|I

k=--

解得：1x2

b\=2

3

直线AC〃的解析式是：y=-|x+2

令丁=-5%+2=-2,解得：x=-,

・•.“[IT，

平移的距离是机=|

▽27(7丫，81

•y=—xH-x+2=—x—H---->

214)16

•••平移前的抛物线的坐标是倍，整〕

[416；

(QQQ1A(1181、

.•.新抛物线的顶点坐标为gp

(4316yI1216J

上……(1181)「

故答案是：|-R，/|,2A/13.

I"167

【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何变换综合，二次函数与

相似三角形综合，最短路径问题，三角形面积公式等知识，难度较大，综合性大，作出辅助线和掌握转换

18

思想是解题的关键，第二问的解题技巧是使用铅锤公式计算面积，第三问的技巧是转化成直角三角形的讨

论问题，如果直接按相似讨论，则有四种情况，可以降低分类讨论的种类，第四问的技巧，是将点M向反

方向移动，从而将两个动点转化成一个动点来解决.

3.（2023・湖南张家界•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，己知二次函数yuaY+bx+c的图象与无轴交

于点4（-2,0）和点3（6,0）两点，与y轴交于点C（0,6）.点。为线段上的一动点.

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图1,求△AOD周长的最小值；

【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为y=a（x+2）（x-6）,将（0,6）代入求解即可；

（2）作点。关于直线的对称点E,连接EC、EB,根据点坐特点及正方形的判定得出四边形O3EC为

正方形，E（6,6）,连接AE,交BC于点D,由对称性，国,此时口。+|必有最小值为AE的长，再

由勾股定理求解即可；

【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为y=a（尤+2）（尤-6）,

将（0,6）代入上式得：6=«（0+2）（0-6）,

a=—1

2

所以抛物线的表达式为y=-?2+2x+6；

（2）作点。关于直线的对称点E,连接EC、EB,

•••3（6,0）,C（0,6）,ZBOC=90°,

：.OB=OC=6,

：O、E关于直线BC对称，

.,•四边形O3EC为正方形，

19

E(6,6),

连接AE,交BC于点D,由对称性|DE|=|DO|,

此时QO|+|「阐有最小值为AE的长，

AE=yjAB2+BE2=V82+62=10

,?△AOD的周长为D4+DO+AO,

AO=2,D4+DO的最小值为10,

△AOZ)的周长的最小值为10+2=12；

4.(2023•山东枣庄•中考真题)如图，抛物线>=-尤2+云+，经过4—1℃(0,3)两点，并交x轴于另一点8,

直线AM与轴交于点D

(1)求该抛物线的表达式;

⑵若点反是x轴上一动点，分别连接MH,DH,求+的最小值;

【分析】(1)待定系数法求出函数解析式即可；

(2)作点。关于x轴的对称点连接DM,DM与无轴的交点即为点进而得到MW+O〃的最小值

为。的长，利用两点间距离公式进行求解即可；

【详解】(1)解：:•抛物线产-炉+帆+c经过A(T0),C(0,3)两点,

20

-l-b+c=Ob=2

0,解得:

c=3c=3

•9y=—无2+2x+3；

(2)Vy=-x2+2x+3=-(x-l)2+4,

AM(1,4),

设直线AAf:y=kx+m(k^O),

-k+m=Qk=2

则:，解得:

k+m=4m=2

/.AM:y=2x+2,

当x=0时，y=2,

/.D(0,2)；

作点D关于x轴的对称点£(我连接DM,

则：。(0,-2),MH+DH^MH+UH>iyM,

.•.当三点共线时，MH+DH有最小值为。”的长,

2),“(1,4),

/.D'M=JF+(4+2)2=屈,

即：+的最小值为：而'；

5.如图，已知抛物线>=以2+法-6与x轴的交点A(-3,0),B(1,0),与y轴的交点是点C.

21

(1)求抛物线的解析式;

⑵点P是抛物线对称轴上一点，当PB+PC的值最小时，求点P的坐标;

(3)点/在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点N,使得NCMN=90。且以点C，M,N为顶

点的三角形与“MC相似？若存在，求出点M和点N的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】(1)>=2一+叔-6

(2)P(-1,-4)

17)或MTV-?)・

(3)M(-1,-8),N(0,--,N(0,

【分析】(1)将A(-3,0),B(1,0)代入y="2+6无一6,求出a和b即可；

(2)根据抛物线的性质可知足4=尸3,即尸8+尸。=%+「。24。，即AC与对称轴的交点即为点尸，根据

抛物线求出C点坐标，从而可求出AC的直线解析式，从而即可求出点尸的坐标；

(3)设M点的坐标为(t,2t2+4t-6)，分f>0和r<0讨论，当K0时，分^CMN^/XAOC

进行讨论，当>0时，不存在符合的点.

【详解】(1)解：将A(-3,0),B(1,0)代入y=a%2+6x-6,得：

J0=<IX(-3)2+Z?X(-3)-6

।0-axl2+bxl-6'

:・抛物线的解析式为y=2f+4x-6；

(2)解：•..点P是抛物线对称轴上一点,

/.PA=PB,

22

・•・PB+PC=PA+PC>AC,

・•・连接AC,AC与对称轴的交点即为点尸，如图.

AC(O,-6),

设直线AC的解析式为y=kx+b{kw0),

Q=-3k+b

—6=b

\k=—2

解得:

b=-69

・,・直线AC的解析式为y=-2x-6.

4

•・•抛物线对称轴为x=---=-1

zxz

・•・对于y=_2x_6,

令产一1,贝!Jy=-2X(-1)-6=-4,

・・・P(-1,-4)；

(3)解：设M点的坐标为(32/+4/-6),

当点"在点。下方时，过M点作轴于点。,

当时，ZMCD=ZOCAf

・.•NCMN=NMDN=9U。,

：.ZCMD+ZNMD=ZCMD+ZMCD=90°,

・•・ZNMD=ZMCD,

：・4CMNS4MDN,

23

AO1

tanZMCD=tanZOCA二tanZDMN=-----=—,

OC2

MDDN1

即nn---=----=-，

CDMD2

CD=2\t\,DN=^\t\,

贝I]OD=OC+CD=|2-+4f-6|,

即6+21|=|2/+取_6|

即6—2/=—2产―4f+6,

解得r=-l,

点M和点N的坐标分别为M(-1,-8),N(0,-5)

当△CMNs/vlOC时，可得co=-；f,

1°

则一一t+6=-2t-4t+6,

2

7

解得,

4

83

点M和点N的坐标分别为N(0,

24

当＞0时，没有符合的点,

)或叫55、

存在点M,N,使得NCMN=90。，点M和点N的坐标分别为M(-l,-8),N(0,T

83

N(0,

8

【点睛】本题是二次函数综合题，涉及最短路径问题，相似三角形问题，整体难度较大.

6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-/+版+。经过点A(4,0)、B(0,4)、C.其对称轴/交x

轴于点。，交直线AB于点尸，交抛物线于点£.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点尸为直线/上的动点，求仆P8C周长的最小值；

(3)点N为直线AB上的一点(点N不与点尸重合)，在抛物线上是否存在一点使以点E、F、N、M为顶

点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由.

【答案】⑴尸T+3X+4

(2)717+472

⑶存在，(2,0)或(山工一Z±坦)或(上叵，_*1)

242424

25

【分析】(1)把点A(4,0)、B(0,4)代入抛物线y=-N+6x+c中，求得6和c即可；

(2)作点2关于直线/的对称轴"，连接交/于一点尸，点尸即为使APBC周长最小的点，由对称可

知，PB'=PB,即△P8C周长的最小值为：BC+CB'；

(3)设M(如-/+3机+4),①当口为边时，则EF//MN,则N(m,-m+4),所以NM=EF=—,BP|-m2+3m+4-

4

(-7/2+4)|=1今5，求出机的值，代入即可；②当为对角线时，EF的中点为3(;，3U5),由中点坐标公式

428

19

可求得点N的坐标，再由点N是直线AB上一点，可知-3+〃2+4=;层-3优+不，解得加的值即可.

4

【详解】(1)解：把点A(4,0)、B(0,4)代入抛物线y=-N+bx+c中，

「一16+4b+c=0(b—3

得，“，解得小

[c=4[c=4

抛物线的解析式为：y=-x?+3x+4；

3

(2)解：由抛物线解析式可知，对称轴直线/：x=|,

;点A(4,0),

.•.点C(-1,0),

如图，作点B关于直线/的对称轴〃，连接B'C交/于一点尸，点尸即为使APBC周长最小的点,

此时夕(3,4),

设直线B'C的解析式为y=kx+bi,

[3k+b1=4

jd+4=0

k=l

解得:

4=1

直线9C的解析式为：y=x+l,

把尸|■代入得：y=|+l=j,

：.P

22

；B(0,4),C(-1,0),B'(3,4),

26

BC=衽+42=旧，CB'=43+1）2+不=4V2，

...△PBC周长的最小值为：而'+40;

（3）解：存在，以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形的点〃的坐标为（：，之）或（1±恒,

242

-2±坦）或（上画，一1）.理由如下：

424

由抛物线解析式可知，E（43，325），

24

VA（4,0）、B（0,4）,

直线A8的解析式为：产“+4,

：.F

22

._15

••EF——.

4

设M（m,-m2+3m+4）,

①当所为边时，则EF〃MN,

:・N（m,-m+4）,

NM=EF=—,BP|-m2+3m+4-（-m+4）|=—,

4

3

解得m=1（舍）或|■或4+731^4-731

4+用7+2用）或4-7317-2用

A/（一,（

2

335

②当政为对角线时'"的中点为（5,

・••点N的坐标为（3-m,m2-3m+一）,

m=—，

综上，满足以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形的点M的坐标为（g，斗）或（出包,「+2庖）