湖南省永州市永华高级中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

永州永华高级中学2025年高一开学考试数学本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，，则（）A B.C. D.2.“”是“函数为奇函数”的（）A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件3.已知不等式的解集为或，则下列结论错误的是（）A. B.C. D.的解集为或4.已知函数，则（）A.2 B. C.1 D.45.若奇函数在区间上是增函数，且最小值为5，则它在区间上是（）A增函数且有最大值 B.增函数且有最小值C.减函数且有最大值 D.减函数且有最小值6.定义在上的偶函数满足：在上单调递减，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知幂函数是偶函数，则实数t的值为（）A.0 B.－1或1C1 D.0或18.若两个正实数，满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.9.(多选)已知函数的图象如图所示，则（）A.a>1 B.0<a<1C.b>1 D.0<b<110.已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（）A.B.不等式的解集为C.不等式的解集为或D.11.已知函数的图象向右平移个单位长度得的图象，则下列关于函数和的说法正确的是（）A.函数与有相同的周期B.函数的图象与函数的图象的对称中心一定不同C.若函数的图象在上至少可取到两次最大值1，则D.若函数的图象与直线在上恰有两个交点，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知“，使得”是假命题，则实数的a取值范围为________．13.若函数，满足：对任意的，都有，则m的取值范围为____________．14.已知定义在R上的奇函数，当时，，且，则满足的实数x的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，.（1）当时，求；（2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.16.已知定义在R上的函数为偶函数.（1）求a的值；（2）判断在上的单调性，并用定义法证明.17.函数（其中，，）的部分图象如图所示，先把函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），把得到的曲线向左平移个单位长度，再向上平移1个单位，得到函数的图象.（1）求函数图象的对称中心.（2）当时，求的值域.（3）当时，方程有解，求实数m取值范围.18.已知（1）求函数取最大值时取值集合；（2）设锐角的角，，所对的边分别为，，，，，求的面积的最大值.19.育人中学为了迎接建校70周年校庆，决定在学校艺术中心利用一侧原有墙体，建造一间墙高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室.由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元.设荣誉室的左右两面墙的长度均为（米）.（1）将甲工程队的整体报价（元）表示为长度（米）的函数；（2）当（米）取何值时，甲工程队的整体报价最低？并求出最低整体报价；（3）现有乙工程队也要参与此荣誉室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（乙工程队的整体报价比甲工程队的整体报价更低），试求实数的取值范围.

永州永华高级中学2025年高一开学考试数学本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合集合间的运算，即可求解.【详解】根据题意，易得，故．故选：A.2.“”是“函数为奇函数”的（）A.充分不必要条件 B.充要条件C必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据函数为奇函数，结合，解得，利用充分条件和必要条件，即可求解.【详解】由函数为奇函数，即，即，可得，所以，可得，所以“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件.故选：A.3.已知不等式的解集为或，则下列结论错误的是（）A. B.C. D.的解集为或【答案】D【解析】【分析】根据二次不等式的解集可得对应二次函数的开口，即可判断A；由已知可得，可判断BC；根据二次不等式可得对应方程的根，利用韦达定理可解的解集，判断D.【详解】不等式的解集为或，则函数开口向下，故，A正确；不等式的解集为或，则对于函数，有，，B，C正确；不等式的解集为或，即方程的解为，则，且，即为，，解得，故D错误.故选：D.4.已知函数，则（）A.2 B. C.1 D.4【答案】C【解析】【分析】根据当时，，得到，再利用当时，，求出，即为结果.【详解】当时，，故在时，为周期函数，最小正周期为1，因为2021>0，所以，又因为当时，，所以，所以故选：C5.若奇函数在区间上是增函数，且最小值为5，则它在区间上是（）A.增函数且有最大值 B.增函数且有最小值C.减函数且有最大值 D.减函数且有最小值【答案】A【解析】【分析】根据奇偶函数的性质直接得出结果.【详解】因为函数在区间上是增函数，且有最小值5，所以，又为奇函数，所以函数在区间上是增函数，且有最大值.故选：A6.定义在上的偶函数满足：在上单调递减，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用偶函数的性质及单调性脱去法则“f”求解不等式.【详解】由是定义在上的偶函数，得，又在上单调递减，因此，整理得，解得，所以满足不等式的的取值范围是.故选：C7.已知幂函数是偶函数，则实数t的值为（）A.0 B.－1或1C.1 D.0或1【答案】C【解析】【分析】根据幂函数定义，由系数为1求得值，再由偶函数确定结论．【详解】∵是幂函数，∴t2－t＋1＝1，即t2－t＝0，∴t＝0或t＝1.当t＝0时，f(x)＝x是奇函数，不满足题设；当t＝1时，f(x)＝x是偶函数，满足题设．故选：C．8.若两个正实数，满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值，再借助恒成立建立不等式并求解.【详解】正实数满足，则，因此，当且仅当时，即时取等号，由不等式恒成立，得，解得，实数的取值范围是.故选：B二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.9.(多选)已知函数的图象如图所示，则（）A.a>1 B.0<a<1C.b>1 D.0<b<1【答案】BD【解析】【分析】根据给定的函数图象确定的单调性，进而确定a的范围，再由图象与y轴交点确定b的范围即可作答.【详解】观察图象得，函数是单调递减的，因此，，图象与y轴交点纵坐标有：，而时，，于是得，解得，所以，.故选：BD10.已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（）A.B.不等式的解集为C.不等式的解集为或D.【答案】BD【解析】【分析】A选项，根据的解集为得到且-3,4是的两个根；BC选项，根据-3,4是的两个根得到，然后解方程即可；D选项，根据和判断的正负即可.【详解】因为的解集为，所以且是的两个根，则，整理得，故A错；不等式可整理为，因为，所以，解得，故B正确；不等式可整理为，因为，所以，即，解得，故C错；，故D正确.故选：BD.11.已知函数的图象向右平移个单位长度得的图象，则下列关于函数和的说法正确的是（）A.函数与有相同的周期B.函数的图象与函数的图象的对称中心一定不同C.若函数的图象在上至少可取到两次最大值1，则D.若函数的图象与直线在上恰有两个交点，则【答案】ACD【解析】【分析】先求出的解析式，再根据选项,逐项验证即可得出答案.【详解】本题考查三角函数的图象和性质．函数的图象向右平移个单位长度得，所以函数与的周期都为，所以选项正确；函数的对称中心为，函数的对称中心为，当时，对称中心可以相同，所以选项不正确；若函数的图象在上至少可取到两次最大值1，则，解得，所以选项正确记，所以函数的图象与直线右边最近两个交点横坐标为和，左边最近两个交点横坐标为和，令，得，所以，所以正确．故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知“，使得”是假命题，则实数a取值范围为________．【答案】【解析】【分析】由题可得命题“∀x∈R，使”是真命题，再利用二次函数的性质即得．【详解】∵“，使得”是假命题，∴命题“∀x∈R，使”是真命题，∴判别式，∴故答案为：．13.若函数，满足：对任意的，都有，则m的取值范围为____________．【答案】【解析】【分析】由题可知函数的图象与直线最多只有一个交点，分类讨论即得.【详解】依题意知函数的图象与直线最多只有一个交点.当时，函单调递减且；当时，若，，此时不合题意；若时，函数单调递增且，满足题意；若时，当时，函数单调递减，此时只需，即.综上，的取值范围为.故答案为：.14.已知定义在R上的奇函数，当时，，且，则满足的实数x的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】由题知奇函数在上单调递减，在上单调递减，可作函数示意图，再利用符号法则列出不等式即求.【详解】由为定义在R上的奇函数，有，，又当时，，∴当时，函数单调递减；当时，函数单调递减．则可得函数的图象的大概趋势如下图所示：由可得或或，解得或.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，.（1）当时，求；（2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式求得集合，由此求得.（2）根据“”是“”的充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围.【小问1详解】，解得或，所以时，，所以.【小问2详解】，因为“”是“”充分不必要条件，所以是的真子集，且；所以实数的取值范围为：.16.已知定义在R上的函数为偶函数.（1）求a的值；（2）判断在上的单调性，并用定义法证明.【答案】（1）；（2）在上单调递减，证明见解析.【解析】【分析】（1）由偶函数的概念即可求解；（2）根据函数单调性的定义，利用定义法证明即可.【小问1详解】由题意可得，则，解得.【小问2详解】在上单调递减.证明如下：由（1）可得，令，则，又，即，故在上单调递减.17.函数（其中，，）的部分图象如图所示，先把函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），把得到的曲线向左平移个单位长度，再向上平移1个单位，得到函数的图象.（1）求函数图象的对称中心.（2）当时，求的值域.（3）当时，方程有解，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）观察图象，由函数最值求出，由周期求出，再将代入得出，即可求出函数的解析式，进而得出函数的解析式以及对称中心；（2）由的范围结合余弦函数的性质可得的值域；（3）将已知方程参变分离，利用对勾函数的性质求出值域，可得实数m的取值范围．【详解】（1）根据图象可知，，∴，∴，，将代入得，，即，解得，，∵，∴，，∴.函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得，曲线再向左平移个单位长度，再向上平移1个单位得令，解得∴此函数图象的对称中心为.（2）当时，，，即的值域为.（3），令，由（2）知，，因此m的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数图象的应用，考查余弦函数的性质，考查有解问题的应用，解决本题的关键点是将已知方程化简，参变分离，利用对勾函数的性质求出对应函数的值域，进而得出参数的取值范围，考查学生计算能力，属于中档题．18.已知（1）求函数取最大值时的取值集合；（2）设锐角的角，，所对的边分别为，，，，，求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先化简函数解析式，得到，令，求解，即可得出结果；（2）先由，根据题中条件，求出，结合余弦定理，以及基本不等式得出，再由三角形面积公式，即可得出结果.【详解】（1）.令，即时，取最大值;所以，此时的取值集合是；（2）由，得，因为，所以，所以，则；在中，由余弦定理，得，即，当且仅当时取等号，所以的