中考数学专项复习：全等与相似模型-对角互补模型（含答案及解析）

全等与相似模型-对角互补模型

全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综

合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本

解题模型，再遇到该类问题就信心更足了.本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1、旋转中的对角互补模型

对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。

思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋

转的构造，构造手拉手全等。

常见的对角互补模型含90。-90。对角互补模型、120。-60。对角互补模型、2a-(180°-2a)对角互补模型。

1)“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(异侧型)

结论：①CD=C£,②OD+OE=4ioC,③

结论：①CD=CE,②OE-OD=MOC,③S$-OC2-

2

3)”等边三角形对120。模型”(1)

条件：如图，已知/NO8=2/DCE=120°,0c平分//O氏

结论：①CD=CE,②OD+OE=OC,③Sd,=BoC。.

△CCZtJACC/JC4

4）”等边三角形对120。模型”（2）

条件：如图，已知N/O3=2NOCE=120。，OC平分//OB,/DCE的一边与2。的延长线交于点.

结论：①C»=CE,②OD—OE=OC,③$5「冰=走0。2.

ACC/ZJ△CC/zl4

5)“120。等腰三角形对60。模型”

条件：△N3C是等腰三角形，且/历1C=12O。，NBPC=60。。结论：①PB+PO^PA；

6)“2a对180。-2a模型”

条件：四边形48。中，乙4+乙8=180。结论：0P平分入102

注意：①AP=BP,②乙4+乙8=180。，③OP平分乙―以上三个条件可知二推一。

7）“蝴蝶型对角互补模型”

例1.（2023•黑龙江黑河•八年级期中）R04BC中，AB=/C,点。为2c中点.^MDN=90°,AIDN绕点D

旋转，DM、DN分别与边48、/C交于E、尸两点.下列结论：®（BE+CF）=^BC,②SAAEF.SAABC，

24

③S四边形AEDF="。・即，④即其中正确结论的个数是（）

例2.（2022辽宁九年级期末模拟）已知NAOB=90。，在NAOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板的直

角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA,0B（或它们的反向延长线）相交于点D,E.

当三角板绕点C旋转到CD与0A垂直时（如图①），易证：OD+OE=72OC；

当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，即在图②，图③这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若

成立，请给予证明：若不成立，线段OD,OE,OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.

例3.(2022秋•四川绵阳•九年级校联考阶段练习)已知//CD=90。，AC=DC,MN是过点A的直线，过

点、D作DBLMN于点B,连接C8.⑴问题发现：如图(1),过点C作CE_LCB,与龙W交于点E,BD、48、

C2之间的数量关系是什么？并给予证明.(2)拓展探究：当"N绕点A旋转到如图(2)位置时，BD、4B、CB

之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明.

例4.(2022四川宜宾八年级期末)如图1,ZAOB=90°，OC平分/AOB,以C为顶点作/DCE=90°，

交OA于点D,03于点E.(1)求证：CD=CE；(2)图1中，若。C=3,求。。+OE的长；

(3)如图2,4405=120°,。。平分2/。8,以C为顶点作/DCE=6CT,交CM于点D,。8于点E.若。C=3,

求四边形OECD的面积.

OEB

图1图2

例5.（2022湖北省宜城市八年级期末）如图，已知乙408=120。，在乙408的平分线（W上有一点C,将一

个60。角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线08相交于点。、E.

（1）当乙DCE绕点C旋转到C。与。4垂直时（如图1）,请猜想OE+8与OC的数量关系，并说明理由;

（2）当NOCE绕点C旋转到C。与ON不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由;

（3）当四CE绕点C旋转到CD与。”的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；

若不成立，线段与0C之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.

例6.（2023•山东•九年级专题练习）如图，AABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点,NEDF=120。,

把4EDF绕点D旋转，使NEDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F.（1）当DF1AC时，求证：BE=CF；

（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由

例7.（2022山东省枣庄市一模）如图，已知//。2=60。，在的角平分线上有一点C,将一个120。

角的顶点与点C重合，它的两条边分别与射线相交于点

（1）如图1,当/DCE绕点C旋转到CO与。/垂直时，请猜想0D+0E与0C的数量关系，并说明理由;

（2）当/DCE绕点C旋转到8与。/不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；

（3）如图3,当/DCE绕点C旋转到点。位于的反向延长线上时，求线段与OC之间又有怎样

的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.

例8.（2023•浙江金华•校考三模）如图，点P为定角〃0B的平分线上的一个定点，且ZJWPN与NA0B互补,

若NMPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、0B相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒

成立；（2）0M-ON的值不变；（3）△0MN的周长不变；（4）四边形P/WON的面积不变，其中正确的序号

为.

'N

B

模型2.对角互补模型（相似模型）

【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向

两边做垂线，从而证明两个三角形相似.

【常见模型及结论】

1）对角互补相似1

条件：如图，在及A/BC中，乙C=LEOF=90。,点。是的中点，

辅助线：过点。作0DL/C,垂足为。，过点。作。垂足为

结论：①40DE〜AOHF；@—=—（思路提示：—=—=—=—）.

OFACOFOHOHAC

2）对角互补相似2

条件：如图，已知41。2=〃》尊=90。，4BOC=a.

辅助线：作法1：如图1,过点C作CCM,垂足为尸，过点C作CGL02,垂足为G；

结论：①4ECG〜ADCF；②（思路提示：—,CF=OG,在MACOG中，tana=—^

CDCFOG

辅助线：作法2：如图2,过点。作。尸，。C,交OB于F；

一CFCFCF

结论：@ACFE-ACOD-,②C£=CZ>to?a.（思路提示：—=—=tana,在MAOCP中，tana=—）

CDCOOC

3）对角互补相似3

条件：已知如图，四边形/BCD中，ZB+ZD=18O°»

E

A

DD

O

B

辅助线：过点。作垂足为过点。作。尸，2C,垂足为尸;

结论：①4DAE〜4DCF；②Z3CD四点共圆。

例L（2023•成者B市•九年级期中）如图所示，在Rt"3C中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,在R"MPN中,

/MW=90。，点尸在/C上，PM交AB于点、E,PN交BC于■点、F.当尸E=2Pb时，/尸的值为（）.

C.3D.4

例2.（2023•河南南阳•九年级统考阶段练习）如图，在等腰直角“BC中，AACB=9G°,AC=BC,过点C

作射线C尸过48,D为射线CP上一点，E在边2c上（不与8,C重合）且ND4E=45。，/C与。£交于点

O.(1)求证：AADC-AAEB;(2)求证：AADE~AACB；(3)如果CD=CE,求证：CD2=CO-CA.

例3.（2023•广西河池•校联考一模）综合与实践【问题情境】在RtZXABC中，ZBAC=9Q°,AB=3,AC=4,

在直角三角板EDF中，NEDF=9Q°,将三角板的直角顶点。放在斜边3C的中点处，并将三角

板绕点D旋转,三角板的两边DE,。尸分别与边/B,/C交于点M,N.

【猜想证明】如图1,在三角板旋转过程中，当M为边48的中点时，试判断四边形的形状，并说

明理由.【问题解决】如图2,在三角板旋转过程中，当=时，求线段CN的长.

例4.（2023年江西省南昌市月考）如图，两个全等的四边形/3CZ）和其中四边形049。的顶点

。位于四边形/8C。的对角线交点O.

（1）如图1,若四边形和夕C都是正方形，则下列说法正确的有.（填序号）

①OE=。尸；②重叠部分的面积始终等于四边形N8C。的;；③BE+BF（DB.

（2）应用提升:如图2,若四边形ABCD和OA'B'C都是矩形，/。=a,DC=6,写出OE与O尸之间的数量关系,

并证明.

⑶类比拓展:如图3,若四边形/BCD和04月。都是菱形，NDAB=a,判断（1）中的结论是否依然成立;

如不成立，请写出你认为正确的结论（可用。表示），并选取你所写结论中的一个说明理由.

例5.（2023.辽宁中考模拟）如图，在RS48C中，AC=BC,乙4c8=90。，点O在线段48上（点。不与

点N,B重合），且OB=kOA,点”是NC延长线上的一点，作射线OM,将射线（W绕点。逆时针旋转90°,

交射线C8于点N.（1）如图1,当左=1时，判断线段（W与ON的数量关系，并说明理由；

（2）如图2,当左>1时，判断线段与ON的数量关系（用含左的式子表示），并证明；（3）点P在射

线3C上，若乙BON=15。，PN=kAM（k"）,且生<1二1,请直接写出生的值（用含左的式子表示）.

例6.（2023浙江中考二模）（1）特例感知：如图1,已知在RS/2C中，Z^AC=90°,AB=AC,取5c边

上中点。，连接（，点E为边上一点，连接DE,作DF1DE交4c于点F,求证：BE=AF-

（2）探索发现：如图2,已知在必A/BC中，484c=90°,AB=AC=3,取8C边上中点。，连接4D,点

E为A4延长线上一点，NE=1,连接DE,作。尸IDE交NC延长线于点尸，求/尸的长;

（3）类比迁移：如图3,已知在A4BC中，的C=120。，AB=AC=4,取BC边上中点£>,连接4D,点E

为射线A4上一点（不与点/、点3重合），连接。打，将射线绕点。顺时针旋转30。交射线C/于点尸,

当/£二44尸时，求/尸的长.

F

图1图2图3

课后专项训练

1.（2022,江苏•八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B两点分别在x轴，y轴的正半轴上,

且OA=OB,点C在第一象限，0C=3,连接BC,AC,若NBCA=90。，贝ljBC+AC的值为.

2.（2023.广东九年级期中）如图，AZBC为等边三角形，以48为边向外作△43。，使N4D8=120。，再

以点C为旋转中心把ACBD旋转到VC4E,则给出下列结论：①D,A,E三点共线；②DC平分NBD4；

③/E=/BAC；④DC=DB+DA.其中正确的有（）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.（2023•山西临汾•统考二模）在菱形48CD中，ZABC=60°,AC=6,对角线/C,AD交于点O,E,F

分别是“A4。边上的点，且/ECF=60°,BE=2,CF与BD交于点、G,则段的值为.

4.（2023青岛版九年级月考）如图，在火a48c中，ZACB=90°,4BC=30°,直角/MCW的顶点。在

r）A1op

上，OM,ON分别交C/、CB于点P、Q,/MON绕点。任意旋转.当——=—时，"行的值为；

OB2OQ

r）Aop

当空=▲1时，=为______.（用含"的式子表示）

OBnOQ

5.（2023•西城区校级期中）已知，如图，在四边形48。中，BOBA,Z^+ZC=180°,DELBC,BD

平分/48C,试说明/D=DC.

6.（2023•阜新中考模拟）如图，在△4BC中，NA4c=90°,AB=AC,4D_L2C于点。.

（1）如图1,点E,尸在48,AC±,且/瓦加=90°.求证：BE=AF；

(2)点M,N分别在直线4D,AC±,且/8MV=90°.

①如图2,当点〃■在的延长线上时，求证：AB+AN=J^AM；

②当点M在点/,。之间，且/4W=30°时，已知/2=2,直接写出线段的长.

7、（2023.重庆九年级期中）已知：如图，在等边A/BC中，点。是BC的中点，乙DOE=120°,绕着

点。旋转，角的两边与相交于点。，与NC相交于点£

（1）若。。,OE者B在8c的上方，如图1,求证：OD=OE.⑵在图1中，3O,CE与8C的数量关系是.

⑶若点。在的延长线上，点£在线段NC上，如图2,直接写出AD,CE与8C的数量关系是.

8.（2022山西省吕梁市八年级期末）如图，已知/DCE与/,OC平分/AOB.

⑴如图L/DCE与的两边分别相交于点。、E,ZAOB=ZDCE=90°,试判断线段CD与CE的

数量关系，并说明理由.以下是小宇同学给出如下正确的解法：解:CD=CE.

理由如下：如图1,过点。作C/_LOC,交08于点尸，则NOCF=90。，…

请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分.

⑵你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程.⑶若408=120。，ZDCE=60°.

①如图3,/DCE与/403的两边分别相交于点。、£时，（1）中的结论成立吗？为什么？线段OE、

OC有什么数量关系？说明理由.②如图4,NDCE的一边与/。的延长线相交时，请回答⑴中的结论是

否成立，并请直接写出线段。。、OE、OC有什么数量关系；如图5,NDCE的一边与8。的延长线相交

时，请回答⑴中的结论是否成立，并请直接写出线段。£、OC有什么数量关系.

9.（2022•湖北武汉•八年级校考期末）已知在四边形/3C。中，ZABC+ZADC=1^°，AB=BC.

（1）如图L连接3。，若/8/。=90°,求证：AD=CD.

⑵如图2,点尸,。分别在线段DC上，满足尸0=/P+C0,求证：NPBQ=ZABP+NQBC；

⑶若点。在DC的延长线上，点尸在D4的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ=/P+CQ,请写出/尸

与//OC的数量关系，并给出证明过程.

10.（2023•山东青岛•八年级统考期中）［问题］如图①，点。是。的角平分线3P上一点，连接4D,CD,

若//与NC互补，则线段与。有什么数量关系？

［探究］探究一：如图②，若44=90。，则/C=180。-44=90。，即40148,CDLBC,又因为8。平分

ZABC,所以理由是：.

探究二：若44/90。，请借助图①，探究/。与CD的数量关系并说明理由.

［结论］点。是/48C的角平分线AP上一点，连接AD,CD,若//与/C互补，则线段与的数量

关系是•

［拓展］已知：如图③，在“8C中，AB=AC,44=100。，BD平分/4BC.求证：BC=AD+BD.

11.(2022•陕西宝鸡•统考二模)问题提出

(1)如图1,四边形ABC。中，AB=AD,N2与/。互补，BC=2CD=20,点A至！］BC边的距离为17,

求四边形ABCO的面积.

问题解决(2)某公园计划修建主题活动区域，如图2所示，BA=BC=6Qm,/2=60。，CD过4B,在尤

上找一点E,修建两个不同的三角形活动区域,&ABE区域为体育健身活动区域,AECD为文艺活动表演区域，

根据规划要求，ED=EA,ZAED=60\设式的长为x(m),"CO的面积为伏m>求了与x之间的函数关

系式，并求出AECD面积的最大值.

图2

12.(2023山东中考模拟)如图，矩形ABCD中，乙4c8=30。，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角

线/C,AD的交点处，以点尸为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边2C所在的

PF

直线相交，交点分别为£,F.(1)当PE上AB,尸时，如图1,则/的值为；

PF-----

PF

(2)现将三角板绕点尸逆时针旋转a(0°<a<60°)角，如图2,求乐的值；(3)在(2)的基础上继续

PF

旋转，当60。<。<90。，且使4尸：PC=1：2时，如图3,—的值是否变化？证明你的结论.

13.（2022秋•河南鹤壁•九年级统考期末）已知在RM/2C中，NB4c=90°,AB=2,AC=4,D为BC边

上的一点.过点。作射线DE1DF,分别交边AB、AC于点、E、F.

（1）当。为2C的中点，DE±AB.。尸//C时，如图1,——=

DF

DF

（2）若。为BC的中点，将/ED尸绕点。旋转到图2位置时，——=_______；

DF

（3）若改变点。到图3的位置，且生=生时，求匹的值.

BDnDF

14.（2023•浙江台州•九年级校考阶段练习）【问题情境】如图①，在Rg4BC中，ZACB=90°,AC=BC,

点。为48中点，连结CO,点E为C8的延长线上一点，过点E且垂直于的直线交/C的延长线于点尸.

易知BE与CF的数量关系.

【探索发现】如图②，在RtA42C中，ZACB=90°,AC=BC,点。为中点，连结8,点E为C2的

延长线上一点，过点石且垂直于。£的直线交NC的延长线于点尸.【问题情境】中的结论还成立吗？请说

明理由.【类比迁移】如图③，在等边“8C中，48=4,点。是A8中点，点£是射线NC上一点（不与

点A、。重合），将射线DE绕点。逆时针旋转60。交2C于点F.当C尸=2CE时，CE=.

15.（2023广东中考模拟）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做"等邻角四边形"

（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；

（2）问题探究；如图1,在等邻角四边形ABCD中，Z.DAB=ZABC,AD,BC的中垂线恰好交于AB边上一点

P,连结AC,BD,试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；

（3）应用拓展；如图2,在RSABC与RSABD中，ZC=ZD=9O°,BC=BD=3,AB=5,将RtAABD绕着点A顺

时针旋转角a（0°<za<zBAC）得至（JRtAAB'D'（如图3）,当凸四边形AD，BC为等邻角四边形时，求出它的

面积.

「A

图1图:?图33'

16.（2023年成都市中考模拟）（1）如图,RS4BC中，乙4=90。，AB=AC,。为8C中点，E、尸分别为

AB、/C上的动点，且乙⑦尸=90。.求证:DE=DF；(2)如图2,RS/8C中，4艮4c=90°,AC=4,AB

=3,ADLBC,"DF=9。。.①求证：DF・DA=DB・DE；②求斯的最小值.

AA

BDCBDc

图1图2

17.（2023浙江省绍兴市九年级期中）如图，在RtAABC中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8,点D为边BC的中点,

点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且Z.PDQ=90。.

（1）当DPJ_AB时，求CQ的长；（2）当BP=2,求CQ的长.

18.（2023•湖北,九年级专题练习）如图，四边形N8C。是矩形，点P是对角线NC上一动点（不与N、C重

合），连接尸8,过点P作尸尸8,交DC于点E,已知4D=3,AC=5.设/尸的长为x.

WAB=；当x=l时，求箴PF的值；⑵试探究：箴PF是否是定值?若是，请求出这个值；若不是,

请说明理由；（3）当APCE是等腰三角形时，请求出x的值.

19.（2023秋・山西忻州•九年级校考期末）综合与实践

问题情境：在学习了三角形的相似后，同学们开始了对不同三角形中的相似模型的探究.

猜想推理：（1）如图1,在等边“8C中，「为8c边上一点,E为NC边上一点，ZADE=60°,AB=6,BD=2,

则CE=.问题解决：（2）如图2,O3C是等边三角形，。是8c的中点，射线DE,。尸分别交48,

AC于点、E,F,且NEDE=120°,求证：OE=.（3）如图3,ZBAC^90°,AB=6,AC=8,D是BC

DF

的中点，射线DE,。尸分别交4B,NC于点E,F,且/ED尸=90。，求一的值.

图1图2图3

20.（2023广东深圳三模试题）（1）【探究发现】如图1,正方形A8C。的对角线相交于点。，在正方形HB'C'。

绕点。旋转的过程中，边4。与边3C交于点边C'O与边。交于点N.证明：AOMCAOND；

（2）【类比迁移】如图2,矩形/BCD的对角线相交于点O,S.AB=6,AD=\2.在矩形42'C'。绕点。旋

转的过程中，边H。与边8c交于点边C'。与边。交于点N.若DN=\,求CM的长；

（3）【拓展应用】如图3,四边形/BCD和四边形/'B'C'O都是平行四边形，且NHOC'=ZADC,4B=3,

BC=3也，△BCD是直角三角形.在口N'B'C'。绕点。旋转的过程中，边H。与边3C交于点边C'O与

边CD交于点N.当YZ3CD与口HB'C'。重叠部分的面积是YA8CO的面积的2时，请直接写出ON的长.

B/M

A

A1B'

全等与相似模型-对角互补模型

全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综

合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本

解题模型，再遇到该类问题就信心更足了.本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1、旋转中的对角互补模型

对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。

思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋

转的构造，构造手拉手全等。

常见的对角互补模型含90。-90。对角互补模型、120。-60。对角互补模型、2a-(180°-2a)对角互补模型。

1)“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(异侧型)

结论：①CD=C£,②OD+OE=4ioC,③

2

结论：®CD=CE,②OE—OD=6OC,@sSron=-OC.

3）”等边三角形对120。模型”（1）

条件：如图，已知/NO8=2/DCE=120°,0c平分//O氏

结论：①CD=CE,②OD+OE=OC,③Sd,=BoC。.

△CCZtJACC/JC4

4）”等边三角形对120。模型”（2）

条件：如图，已知N/O3=2NOCE=120。，OC平分//OB,/DCE的一边与2。的延长线交于点.

结论：①C»=CE,②OD—OE=OC,③$5「冰=走0。2.

ACC/ZJ△CC/zl4

5)“120。等腰三角形对60。模型”

条件：△N3C是等腰三角形，且/历1C=12O。，NBPC=60。。结论：①PB+PO^PA；

6)“2a对180。-2a模型”

E

条件：四边形48。中，乙4+乙8=180。结论：0P平分入102

注意：①AP=BP,②乙4+乙8=180。，③OP平分乙―以上三个条件可知二推一。

7）“蝴蝶型对角互补模型”

例1.（2023•黑龙江黑河•八年级期中）R04BC中，AB=/C,点。为2c中点.^MDN=90°,AIDN绕点D

旋转，DM、DN分别与边48、/C交于E、尸两点.下列结论：®（BE+CF）=^BC,②SAAEF.SAABC，

24

③S四边形AEDF="。・即，④即其中正确结论的个数是（）

【答案】C

【详解】解:••,RtAABC中,AB=AC,点D为BC中点.ZMDN=90°,

.•.AD=DC,ZEAD=Z.C=45",ZEDA=ZMDN-ZADN=90°-ZADN=ZFDC.

.•.△EDA=AFDC(ASA).；.AE=CF..-.BE+CF=BE+AE=AB.

V2V2

在RtAABC中，根据勾股定理，得AB=2BC.MBE+CF)=2BC..,.结论①正确.

设AB=AC=a,AE=b,则AF=BE=a-b.

SAAEF-|SAABC=~AE-AF~~1-AB-AC=1b(a-b)-1a2=-1(a-2by

...SAAEF/SAABC....结论②正确.

如图，过点E作EI_LAD于点I,过点F作FG_LAD于点G,过点F作FH1BC于点H,ADEF相交于点O.

••・四边形GDHF是矩形，AAEI和AAGF是等腰直角三角形，

.♦.EO2日(EF1AD时取等于)=FH=GD,OF>GH(EF1AD时取等于)=AG.

.-.EF=EO+OF>GD+AG=AD.结论④错误.

S

6匚M«DF=SAADC=--AD.DC=-AD-<AD-<AD.EF…

•••△EDAA=AFDC,・•・22.••・结论③错庆.

综上所述，结论①②正确.故选C.

例2.（2022辽宁九年级期末模拟）已知NAOB=90。，在NAOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板的直

角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA,OB（或它们的反向延长线）相交于点D,E.

当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图①），易证：OD+OE=V2OC；

当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，即在图②，图③这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若

成立，请给予证明：若不成立，线段OD,OE,OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.

【答案】图②中OD+OE=&OC成立.证明见解析；图③不成立，有数量关系：OE—OD=V^OC

【分析】当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，易得ACKD三ACHE,进而可得出证明；判断出结果，解

此题的关键是根据题意找到全等三角形或等价关系，进而得出OC与OD、0E的关系；最后转化得到结论.

【详解】解：图②中OD+OE=0OC成立.

证明：过点C分别作OA,OB的垂线，垂足分别为P,Q

有ACPDmACQE,.1.DP=EQ,­.-OP=OD+DP,OQ=OE—EQ,

又•••OP+OQ=V^OC,即OD+DP+OE—EQ=3OC,.-.OD+OE=V2oc.

图③不成立，有数量关系：OE—OD=0OC过点C分别作CK1OA,CH1OB,

••,OC为NAOB的角平分线，且CK1OA,CH1OB,.•.CK=CH,Z.CKD=ZCHE=90°,

X-Z.KCD与NHCE都为旋转角,.-.ZKCD=ZHCE,

•■•△CKD=ACHE,.'.DK=EH,.-.OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK,

由（1）知：OH+OK=0OC,.'.OD,OE,OC满足OE-OD=®OC.

【点睛】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，

两组对应点连线的交点是旋转中心.

例3.（2022秋•四川绵阳•九年级校联考阶段练习）已知N/CD=90。，AC=DC,初V是过点A的直线，过

点、D作DBLMN于点、B,连接C反

⑴问题发现：如图（1）,过点C作CELC2,与交于点£,BD、AB.C8之间的数量关系是什么？并

给予证明.（2）拓展探究：当"N绕点A旋转到如图⑵位置时，BD、AB,C2之间满足怎样的数量关系？

请写出你的猜想，并给予证明.

【答案】（1）BD+AB=0CB；证明见解析⑵9―=证明见解析

【分析】⑴过点C作CELC8,得到=判断出A/CE0ADCB,确定为等腰直角三角

形即可得出结论；（2）过点°作CELC8于点C,判断出A/CEGADCB,确定AEC3为等腰直角三角形，即

可得出结论.

【详解】（1）解：如图L过点0作CE'CB交加于点上,

ZACE900-ZACB,ZBCD=90°-ZACB,ZACE=ZBCD,

-.■DB1MN,.,.在四边形/CD2中，ZBAC+ZACD+ZABD+ZD=360°,+=180。，

VZCAE+ZBAC=\^°,...ZCAE=ZD,vAC=DC,:AACE知DCB,AE=DB,CE=CB,

•.•/EC2=90。，是等腰直角三角形，二a^二/四，

:.BE^AE+AB=DB+AB,BD+AB=V2CB;

(2)BD-AB=gCB；理由：如图2,过点C作C£，C3交MN于点E,

•••ZACE=90°+ZACBtZBCD=9Q0+ZACB,ZACE=ZBCD,

•••DB1MN,;.NCAE=9Q°-/AFB,ZD=90。-NCFD,

ZAFB=ZCFD,ZCAE=ZD,­：AC=DC,:.^ACE^DCB,/.AEDB,CE=CB,

・.•/EC8=90。，是等腰直角三角形，，3£=逝。8,

:.BE=AE-AB=DB-AB,；.BD-AB=OCB；

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，构造全等三角

形是解题的关键.

例4.(2022四川宜宾八年级期末)如图1,ZAOB=90°，OC平分/AOB,以C为顶点作/DCE=90°，

交。4于点D,OB于点E.(1)求证：CD=CE-(2)图1中，若。C=3,求。。+OE的长；

(3)如图2,乙403=120°,。。平分,以C为顶点作NOCE=60°,交04于点。，。8于点E.若。。=3,

求四边形的面积.

973

【答案】(1)见解析；(2)OD+OE=3V2；(3)4

【分析】(1)过点C作CG10A于G,CH10B于H,然后根据题意利用AAS定理进行证明ACDG三ACEH,从

而求解；(2)根据全等三角形的性质得到0D+0E=20H,然后利用勾股定理求OH的值，从而求解；

(3)过点C作CG1OA于G,CH1OB于H,然后根据题意利用AAS定理进行证明ACDG三ACEH,从而求得

33-

,四边形。ES=S四边形。HCG=2SAOCG,然后利用含30。的直角三角形性质求得OH=2,CH=2从而求得三角形面积，

使问题得到解决.

【详解】解：(1)如图，过点C作CG1OA于G,CH_LOB于H,

•••ZCDG+ZCDO=180".'.ZCDG=4CE0

ZCDG=ZCEO

<ZCGD=ACHE

在ACDG与ACEH中tCG=CH

•••△CDG=ACEH(AAS).-.CD=CE

(2)由(1)得ACDGmACEH；.DG=HE

由题易得AOCG与AOCH是全等的等腰直角三角形，且OG=OH

.•.0D+0E=0D+0H+HE=0G+0H=20H设OH=CH=x,在RtAOCH中，由勾股定理，得:

37230

—--------------------I

OH2+CH2=OC2；.x2+x2=3).2(舍负)；QH=2,-,OD+OE=20H=3V2

(3)如图，过点C作CG1OA于G,CH1OB于H,

・••OC平分//O3.・.CG=CHVZAOB=120°,ZDCE=60°.-.ZCDO+ZCEO=180°

•••ZCDG+ZCDO=180/.ZCDG=NCEO

ZCDG=/CEO

在2XCDG与△CEH中]ZCGD=ZC/fE.-.ACDG=ACEH（^S）.-.DG=HE

CG=CH

由题易得aOCG^AOCH是全等的直角三角形，且OG=OH

・•.OD+OE=OD+OH+HE=OG+OH=2OH.\S四边形。疣。二S四边形OHCG=2S^OCG

在中，有S.=四边形还

RtAOCHNCOH=60°,OC=3,...OH=|;CH=l^i.-.OCG—••.S0ECD=2SAOCG^

2224

【点睛】本题考查全等三角形的性质及判定，含30。直角三角形的性质以及勾股定理，是一道综合性问题,

掌握相关知识点灵活应用解题是本题的解题关键.

例5.（2022湖北省宜城市八年级期末）如图，已知乙408=120。，在乙的平分线（W上有一点C,将一

个60。角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线03相交于点。、E.

（1）当乙DCE绕点C旋转到C。与O/垂直时（如图1）,请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由;

（2）当ZDCE绕点C旋转到CD与。/不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由;

（3）当〃）CE绕点C旋转到CD与。”的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；

若不成立，线段。。、与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.

【答案】（1）详见解析；（2）（1）中结论仍然成立，理由详见解析；（3）（1）中结论不成立，结论为0E-

OD=OC,证明详见解析.

【分析】（1）根据0M是NAOB的角平分线，可得NAOB=60。，则NOCE=30。，再根据30。所对直角边是斜边的一

半，得出0D=20C,同理：0E=5（DC,即可得出结论；（2）同⑴的方法得到OF+OG=OC,再根据AAS证明

△CFD=ACGE,得出DF=EG,则OF=OD+DF=OD+EG,OG=OE-EG,OF+OG=OD+OE,即可得出结论.⑶同⑵的

方法得到DF=EG,根据等量代换可得0E-OD=OC.

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【详解】⑴,.QM是NAOB的角平