2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题122 全等三角形的判定【八大题型】（举一反三）（人教版）含解析

2023.2024学年八年级数学上册举一反三系列专题12.2全等三角形的

判定【八大题型】

【人教版】

【题型।全等三角形的判定条件】.........................................................I

【题型2证明两个三角形全等】.................................................................2

【题型3全等三角形的判定与性质（证两次全等）】...............................................3

【题型4全等三角形的判定与性质（证垂直）】...................................................4

【题型5全等三角形的判定与性质（多结论）】...................................................5

【题型6全等三角形的判定与性质（探究角度之间的关系）】......................................7

【题型7全等三角形的判定与性质（探究线段之间的关系）】......................................8

【题型8仝等三角形的应用】...................................................................10

■―

"片之“二

【知识点全等图形的判定】

判定方法解释图形

边边边

三条边对应相等的两个三角形全等

（SSS）

边角边两边和它们的头角对应相等的两个

（SAS）三角形全等

角边角两角和它们的夹边对应相等的两个

（ASA）三角形全等

角角边两个角和其中一个角的对边对应相

（AAS）等的两个三角形全等

斜边、直角边斜边和一条直角边对应相等的两个

（HL）直角三角形全等44

【题型1全等三角形的判定条件】

[例I]（2022春•顺德区期末）如图，N4=NO=90°,给出下列条件：®AB=DC,②OB=OC,③N

44C=NOCB,®ZABO=ZDCO,从中添加一个条件后，能证明△A8C0△DC8的是（）

A

O

BC

A.①②③B.②@④C.①②④D.①©④

【变式1-1］（2021秋•庐阳区期末）如图，点8、E在线段C。上，若NA=NDEF,则添加下列条件，不

一定能使△A8C'g△以。的是（

B.BC=DF,AC=DE

C.ZABC=ZDFE,AC=DED.AC=DE,AB=EF

【变式1-2］（2021秋•源汇区校级期末）如图，已知N1=N2,AC=AD,增加下列条件之一：®AB=AE：

②BC=ED；③NC=NO；®ZB=ZE.其中能使△ABCgZXAEO的条件有（）

【变式1-3］（2022秋•佳木斯期末）在△4BC和△£）£小中，其中NC=N”，则下列条件：©AC=DF,Z

A=ZD：®AC=DF,BC=EF；③NA=/O,/B=/E；④AB=DE,NB=NE；@AC=DF,AB=

DE.其中能够判定这两个三角形全等的是（）

A.①②④B.①©⑤C.②③④D.③@⑤

【题型2证明两个三角形全等】

【例2】（2022春•鼓楼区校级期末）如图，点4,E,F,5在同一直线上，CELAB,DFLAB,垂足分别

为E,F,AE=BF,NA=NB.求证：ZXAO尸且△8CE.

【变式2-1］（2021秋•肥西县期末）已知，如图，AH=AE,AB//DE,NECB=65：NO=1I5°,求证:

△ABC@XEAD.

【变式2-2］（2U21秋•信州区校级期中）如图，在△A8C'中，点。是8c'边的中点，分别过点从C.作此

J_A。于点E,CnLA。交AO的延长线于点F,求证：△BDE/ACDF.

【变式2・3】（2022•河源模拟）如图，在四边形ABCO中，AO〃8C,点M为对角线AC上一点，连接3例,

若AC=BC,/AMB=/BCD,求证：△ADC/4CMB.

【题型3全等三角形的判定与性质（证两次全等）】

【例3】（2022春•徐汇区校级期末）如图，已知AE〃OF,OE=OF,ZB=ZC,求证：A8=CD.

【变式3-1］（2021春•横山区期中）如图，AB=BC,NBAD=NBCD=90°,点、D是EF上一点、,AE±

EF于E,CF工EF于F,AE=CF,连接80,求证：RtAADE^RtACDF.

【变式3-2］（2021秋•石阡县期木）如图，AA=AC,E、。分别是A8、AC的中点，AP_L8。，垂足为点尸,

AG1CE,垂足为点G,试判断A尸与AG的数量关系，并说明理由.

【变式3-3］（2021秋•沂源县期末）如图，AD=AC,AB=AE,ZDAB=ZCAE.

（1）ZsAOE与△ACB全等吗？说明理由；

（2）判断线段。尸与。尸的数量关系，并说明理由.

【题型4全等三角形的判定与性质（证垂直）】

【例4】（2022秋•孟津县期末）如图，BM,CN分别是钝角△/18C的高，点Q是射线CN上的点，点P在

线段8M上，且BP=AC,CQ=AB,请问AP与AQ有什么样的关系？请说明理由.

【变式4-1］（2022春•金牛区校级期中）如图：在△A8C中，BE.Cr分别是AC、A8两边上的高，在BE

上截取8。=4。，在。尸的延长线上截取CG=A8,连结AZ）、AG.

(1)求证：ZABE=ZACG,

（2）试判：AG与4。的关系？并说明理由.

【变式4-2］（2021春•亭湖区校级期末）如图，△ABC中，CD1AB,垂足为DBEA.AC,垂足为G,AB

=CF,BE=AC.

（1）求证：AE=AF；

（2）AE与人尸有何位置关系.请说明理由.

【变式4-3］（2021春•泰兴市期末）如图，在锐角△ABC中，于点。，点E在4。上，DE=DC,

BO=A。，点F为BC的中点，连接石口并延长至点M,使尸〃=石尸，连接CM.

（1）求证：BE=ACx

（2）试判断线段4C与线段的关系，并证明你的结论.

【题型5全等三角形的判定与性质（多结论）】

【例5】（2022春•九龙坡区校级期末）如图，Rt446C中，NZMC=90°,AQ_L6c于点。，过点4作AF

〃3C且A”=A。，点E是AC上一点且AE=48,连接EF,DE.连接FQ交班:于点G.下列结论中正

确的有（）个.

①NE4E=ND4B；②BD=EF；③FD平分NAFE；④S网边形AW)E=S.边形皿)“•：®BG=GE.

A.2B.3C.4D.5

【变式5-1］（2021秋•垦利区期末）如图，在AABC中，BD、CE分别是N4BC和N4CB的平分线，AM

J_CE于P,交BC于M,AN_LB。于Q,交BC于MZBAC=110°,AB=6,AC=5,MN=2,结论：

①4P=MP；②8C=9；③NM/1N=3O。；®AM=AN.其中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【变式5-2］（2021春•锦州期末）如图，在△AO8和△C。。中，OA=OB,OC=OD（OA<OC）,ZAOB

=NCOD=a,直线AC,BD交于点M,连接OM.下列结沦：®AC=BD,②NOAM=/OBM,③/

AMB=a,④OM平分NBOC,其中正确结论的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

【变式5-3］（2021春•江北区校级期末）如图，已知A8=AC,点。、E分别在AC、AB上且AE=4。，连

接EC,BD,EC交BD于点M,连接AM,过点A分别作AF_LCE,AG1BD,垂足分别为F、G,下列

结论：①也/XOCM；②NEMB=N/^G；③MA平分/EM。；④若点E是AB的中点，则BM+AC

>EM+BD；⑤如果S△5EM=S"OM,则上是A8的中点；其中正确结论的个数为（）

A

【题型6全等三角形的判定与性质（探究角度之间的关系）】

【例6】（2022春•杏花岭区校级期中）已知AD=AE,NBAC=NDAE.

（1）如图1,当点。在4c上时，求证：BD=CE；

（2）如图2,当点。、E、C在同一直线上，且N84C=a,时，求的度数（用含a和

3的式子表示）.

【变式6-1]（2022•南京模拟）在△A8C中，A〃=AC,点力是射线C8上的一动点（不与点8、C重合），

以人。为一边在4。的右侧作A4。凡使人。=4凡/DAF-/RAC,连接C?.

（1）如图1,当点。在线段8上，且NZMC=90°时，那么NOCE=度；

（2）设N8AC=a,ZDCE=p.

①如图2,当点。在线段C8上，/84CW9（T时，请你探究a与0之间的数量关系，并证明你的结论;

②如图3,当点。在线段C8的延长线上，NB4CW90。时，清将图3补充完整，并直接写出此时a与0

之间的数量关系（不需证明）.

【变式6-2]（2022秋•江夏区期末）已知△48C,分别以48、4C为边作和△ACE,AAD=AB,

AC=AE,ZDAB=ZCAE,连接。。与BE,G、尸分别是OC与BE的中点.

E

E

（1）如图1,若NO4B=60°,则/A/G=；

（2）如图2,若ND4B=90°,则NAR7=：

（3）如图3,若ND48=a,试探究NAFG与a的数最关系，并给予证明.

【变式6-3］（2021秋•肥西县期末）在3c中，AB=AC,。是直线4c上一点，连接A3,以AO为一

条边在AQ的右侧作△AQE,使AE=A。，NDAE=NBAC,连接C£

（1）如图，当点。在3。延K线上移动时，若NSAC=26°,则NOCE=.

（2）设NBAC=a,ZDCE=p.

①当点。在8c延长线上移动时，a与6之间有什么数量关系？请说明理由；

②当点。在直线BC上（不与&。两点重合）移动时，a与0之间有什么数量关系？请直接写出你的

结论.

【题型7全等三角形的判定与性质（探究线段之间的关系）】

【例7】（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC中，/ABC、N4CB的平分线交于点。，延长8。

交AC于，G、尸分别在B。、上，连接OF、GF,其中乙4=2NBOF,GD=DE.

（1）当NA=80°时，求NEDC的度数；

（2）求证：CF=FG+CE.

.AA

备用图

【变式7-1](2022•黄州区校级模拟)如图，ZBAD=ZCAE=90°,AB=AD,AE=AC,AFLCB,垂足

为尸.

(1)求证：

(2)求的度数；

(3)求证：CD=2BF+DE.

c

【变式7-2](2021秋•两江新区期末)在RIZW8C中，NA8C=90°,点。是CB延长线上一点，点E是

线段/W上一点，连接AC=DE,BC=BE.

(1)求证：AB=BD；

(2)8尸平分N/WC交AC于点P,点G是线段延长线上一点，连接。G,点〃是线段0G上一点，

连接A”交8。于点K,连接KG.当K6平分N4KG时，求证：AK=DG+KG.

【变式7-3](2022春•济南期中)把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACB。以。为顶

点作NMQN,交边AC、8C于M、N.

(1)若NACO=30°,NMDN=60：当NMQN绕点。旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种

数量关系？证明你的结论;

（2）当NAC£>+NMON=9（）°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；

（3）如图③，在（2）的条件下，若将"、N改在CA、的延长线上，完成图3,其余条件不变，则

【题型8全等三角形的应用】

【例8】（2022春•二七区期末）为了测量一池塘的两端A,8之间的距离，同学们想出了如下的两种方案:

方案①如图1，先在平地上取一个可直接到达A,8的点C,再连接AC,BC,并分别延长AC至点。，

BC至点、E,使。C=4C,EC=BC,最后量出OE的距离就是A8的长；

方案②如图2,过点B作AB的垂线BF,在B/上取C,。两点，使BC=C。，接着过。作的垂线

DE,在垂线上选一点E,使A、C、E三点在一条直线上，见测出。石的长即是48的距离.

（2）方案②是否可行？请说明理由;

（3）小明说在方案②中，并不一定需要6尸，AB,DEA.BF,只需要就可以了，请把小明所说的

条件补上.

【变式8/】（2021春•普宁市期末）学校为开展数学实践活动，成立了以小明为首的户外测量小组，测量

小组带有测量工具：绳子、拉尺、小红旗、测角器（可测量两个点分别到测量者连线之间的夹角大小）.小

明小组的任务是测量某池塘不能直接到达的两个端点A、B之间的距离.

AOA。

D

B

备用图1备用图2

（1）小明小组提出了测量方案：在池塘南面的空地上（如图），取一个可直接到达A、8的点G用绳

子连接AC和BC,并利用绳子分别延长AC至。、BC至E,使用拉尺丈量CD=C4、CE=CB,确定

E两个点后，最后用拉尺直接量出线段。E的长，则端点A、8之间的距离就是。E的长.你认为小明小

组测量方案正确吗？请说明理由.

（2）你还有不同于小明小组的其他测最方法吗？请写出其中一个完整的测量方案（在备用图I中画出简

图，但不必说明理由）.

（3）假设池塘南面（即点D.E附近区域）没有足够空地（或空地有障碍物或不可直达等不可测量情况），

而点〃的右侧区域有足够空地并可用于测量，请你设计一个可行的测量方案（在备用图2中画出图形），

并说明理由.

【变式8-2]（2022春•金乡县期中）如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想耍测量小明家

所在单元楼的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点&然后小华在自己家阳台C处测得E处

的俯角为N1,小明站在E处测得眼睛尸到A8楼端点A的仰角为N2,发现NI与N2互余，已知E尸=1

米，BE=CD=20米,8。=58米，试求单元楼的高.

【变式8-3]（2022春•郑州期末）阅读并完成相应的任务.

如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的8点（AB与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这

艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案.

课题测凉亭与游艇之间的距离

测量工具皮尺等

测量方案示意图（不完整）

测量步骤①小明沿堤岸走到电线杆。旁（直线AC与堤岸平行）：

②再往前走相同的距离，到达。点；

③他到达。点后向左转90度直行，当自己，电线杆与游艇在一条直线上时

停下来，此时小明位于点E•处.

测量数据AC=20米，CO=20米，OE=8米

（1）任务一：根据题意将测量方案示意图补充完整.

（2）任务二：①凉亭与游艇之间的距离是米.

②请你说明小明方案正确的理由.

B

・

C*X

专题12.2全等三角形的判定【八大题型】

【人教版】

【题型1全等三角形的判定条件】.................................................错误!未定义书签。

【题型2证明两个三角形全等】..................................................错误!未定义书签。

【题型3全等三角形的判定与性质（证两次全等）】................................错误!未定义书签。

【题型4全等三角形的判定与性质（证垂直）】....................................错误!未定义书签。

【题型5全等三角形的判定与性质（多结论）】....................................错误!未定义书签。

【题型6全等三角形的判定与性质（探究角度之间的关系）】........................错误!未定义书签。

【题型7全等三角形的判定与性质（探究线段之间的关系）】........................错误!未定义书签。

【题型8全等三角形的应用】.....................................................错误!未定义书签。

4

”2声，?二

£知识点全等图形的判定】

判定方法解释图形

边边边

三条边对应相等的两个三角形全等

（SSS）

边角边两边和它们的夹角对应相等的两个

（SAS）三角形全等

角边角两角和它们的央边对应相等的两个

（ASA）三角形全等

角角边两个角和其中一个角的对边对应相

（AAS）等的两个三角形全等

斜边、直角边斜边和一条直角边对应相等的两个

（HL）直角三角形全等44

【题型1全等三角形的判定条件】

【例1】（2022春•顺德区期末）如图，NA=//）=90°,给出下列条件：①人B=OC,@OB=OC,③/

ABC=ZDCB,®ZABO=ZDCO,从中添加一个条件后，能证明△人BCgAOCB的是（）

0

BC

A.①②③B.②®④C.①②④D.①©④

【分析】由题意可得NA=NO=90°,BC=BC,即有一组对应角相等，一组对应边相等，结合全等三

角形的判定条件进行分析即可.

【解答】解：VZA=ZD=90°,BC=BC,

・•・①当4B=OC时，由“心可得△ABCg/XOCB,故①符合题意；

②当。8=0C时，可得NBC0=NC8。，利用AAS可得△ABCgAOCB,故②符合题意；

③当N4BC=NOCB时，利用4A5可得△ABCgZ\OCB,故③符合题意；

④当NABO=N/）CO时，不能得故④不符合题意；

故符合题意的有①®

故选：A.

【变式1・1】（2021秋•庐阳区期末）如图，点从E在线段C。上，若NA=NDEF,则添加下列条件，不

一定能使的是（）

A.NC=N。，AC=DEB.BC=DF,AC=DE

C.NABC=NDFE,AC=DED.AC=DE,AB=EF

【分析】利用三角形全等的判定方法进行分析即可.

【解答】解：A、添加/C=N。，AC=。E可利用ASA判定注△E/如故此选项不合题意；

B、添加8C=FD,AC=£。不能判定△A8Cg/\£FO,故此选项符合题意：

。、添加乙4BC=N。尸E,4C=QE可利用A4S判定△ABC名△EFT）,故此选项不合题意；

D、添力口AC=OE,AB=EP可利用S4S判定△A8CgZ\E/:7＞故此选项不合题意；

故选：B.

【变式1-2]（2021秋•源汇区校级期末）如图，已知Nl=/2,AC=AD,增加下列条件之一：®AB=AEx

②BC=ED；③NC=NQ；®ZB=ZE.其中能使△ABCgZXAE。的条件有（）

n

A.I个B.2个C.3个D.4个

【分析】先由N1=N2得到NC44=NQA£,然后分别利用“SAS”、“4SA”和“A4S”对各添加的条

件进行判断.

【解答】解：・・・N1=N2,

：.ZCAB=ZDAE,

'：AC=AD,

・•・当A8=4E时，可根据“S4S”判断△ABCg/XAEZ）；

当BC=K。时，不能判断

当NC=N。时，可根据“AS4”判断

当N8=N£时，可根据“AAS”判断△/13cg/XAEQ.

故选：C.

【变式1-3］（2022秋•佳木斯期末）在△AUC和△。£“中，其中NC=ZP,则下列条件：①AC=Z）「，Z

A=ZD；®AC=DF,BC=EF；③NA=NO,ZB=ZE；®AB=DE,ZB=ZE；®AC=DF,AB=

DE.其中能够判定这两个三角形全等的是（）

A.①②④B.⑤C.②③④D.©©⑤

【分析】根据全等三角形的判定方法：545,ASA,AAS,5sS'，如果是两个直角三角形，除了前面四种方

法以外，还可以用HL来判定.

【解答】解：①4C=O",NA=N。，再加上已知NC=NE符合ASA,故符合题意；

@AC=DF,BC=EF,再加上己知NC=NF,符合SAS,故符合题意；

@ZA=ZD,NB=NE,再加上已知NC=NA不能判定两个三角形全等，故不符合题意；

@AB=DE,NB=NE,再加上已知NC=NF,符合AAS,故符合题意；

⑤4C=OF,AB=DE,再加上已知NC=NF,不能判定两个三角形全等，故不符合题意；

故选：A.

【题型2证明两个三角形全等】

【例2】（2022春•鼓楼区校级期末）如图，点4,E,F,3在同一直线上，CELAB,DFA.AB,垂足分别

为E,F,AE=BF,NA=NB,求证：△ADF9XBCE.

【分析】根据ASA证明△A。广经△BCE即可.

【解答】证明：•・・4E=8F,

:・AF=BE,

VCE1AB,DF1AB,

：.ZAFD=ZBEC=90°,

在△A。/；和△/?("：中，

；乙4=Z.B

\AF=BE,

{/.AFD=乙BEC

:.△ADF9XBCE(ASA).

【变式2-1](2021秋•肥西县期末)已知，如图，AB=AE,AB//DE,NEC8=65°,ZD=1I5°,求证:

^ABC^^EAD.

【分析】由NECB=65°得NAC8=U5°,再由A8〃O£,证得NCA3=NE,再结合已知条件A8=AE,

可利用A4S证得△ABCgaEAO.

【解答】证明：・・・NEC8=65°,

AZACB=1800-ZECfi=115°.

又•・•/£>=115°,

/.ZAC«=ZD.

•:AB"DE,

：.ZCAB=ZE,

在△A3C和△B4O中，

(Z.ACB=NO

l^CAB=乙E,

lAB=AE

:.△ABC4XEA。CAAS).

【变式2-2](2()21秋•信州区校级期中)如图，在△A8C中，点。是8c边的中点，分别过点B、C作8七

J_AO于点E,C凡LA。交40的延长线于点F,求证：△BDE@BCDF.

【分析】由“A4S”可证△BZ)Eg/\CDF.

【解答】证明：•••8E_LA。，CF1AD,

・・・NBED=NCFD=9()°,

♦:前D是BC的中点，

：・BD=CD,

在△BOE和△0/)尸中，

ZBED=Z.CFD

乙BDE=LCDF,

(BD=CD

:•△BDEQACDF(AAS).

【变式2-3](2022•河源模拟)如图，在四边形48CO中，AQ/8C,点M为对,角线AC上一点，连接8W,

若4C=3C,/AMB=NBCD,求证：AADgACMB.

【分析】根据平行线的性质求出ND4C=NMC8,求出NCBM=NACQ,根据全等三角形的判定定理求

出即可.

【解答】证明：'：AD//BC,

：.ZDAC=NMCB,

<NAMB=NBCD,NC3M+NACB=NAM3,ZACB+ZACD=ZBCD,

：,ZCBM=ZACD,

在△AOC和△CM8中,

f/-ACD=乙CBM

\AC=BC,

{/.DAC=乙MCB

r.(ASA).

【题型3全等三角形的判定与性质（证两次全等）】

【例3】（2022春•徐汇区校级期末）如图，已知4E〃短F,OE=OF,NB=NC,求证：AB=CD.

【分析】首先根据全等三角形的判定定理ASA推知△AOEgaOO凡则然后再根据全等三角

形的判定定理ASA证得△AOBZZXOOC,则AB=CD.

【解答】证明：如图，［AE〃DF,

NAEO=NDFO.

在△AOE与△OOF中，

(Z.AEO=Z.DFO

\0E=OF.

1/.AOE=乙DOF

•••△AOE—QOF(ASA).

：.OD=OA.

在AAOB与△OOC中，

(Z-AOB=乙DOC

OD=OA.

sB=Z-C

••.△A08也△OOC(ASA).

：.AB=CD.

【变式3-1]（2021春•横山区期中）如图,AB=BC,NBAD=NBCD=90°,点D是EF上一点,AE1

EF于E,CFLEF于F,AE=CF,连接8D,求证：RtA?lDE^RtACDF.

【分析】由直角二角形全等的“〃入”判定定理证得内△AE)gRtZ\C8/3根据全等二角形的性质得到

AO=CD,再由直角三角形全等的”判定定理即可证得为△AZ)EgRtZ\CDF.

【解答】证明：•••N8AO=/BCO=90°,

在RtAABD和Rt/ICBD中，

\BD=BD

UF=BC

ARtAABD^RtACfiDqHL)、

：.AD=CD,

•••八七工石产于区CFLEF于凡

.*.ZE=ZF=90°,

在RtAADE和RlACDF中，

[AD=CD

UE=CF'

：.RtAADE^RtACDF(HL).

【变式3-2](2021秋•石阡县期末)如图，AB=AC,E、。分别是A8、AC的中点，AFA.BD,垂足为点R

AG±CE,垂足为点G,试判断A/与AG的数量关系，并说明理由.

【分析】结论：AF=AG.先证明△/W。且△ACE(SAS),推出N48O=N4CE,再证明△八8尸0△入CG

(A4S)即可解决问题.

【解答】解：结论：AF=AG.

理由：・・・A8=AC,E、。分别是A8、AC的中点，

：.AD=^AC=^AB=AE,

乙乙

在△48。和△AC七中，

AB=AC

乙BAD=Z.CAE,

AD=AE

:.△ABD9XACE(SAS),

・•・ZABD=NACE,

'：AFLBD,AGICE,

：.ZAFB=ZAGC=90°.

在△ABF和△ACG中，

Z.ABF=Z.ACG

/-AFB=AACG,

AB=AC

AAABF^AACG(AAS),

：.AF=AG.

【变式3-3](2021秋•沂源县期末)如图，AD=AC,AB=AE,ZDAB=ZCAE.

(1)△AOE与AACB全等吗？说明理由；

(2)判断线段D尸与C尸的数量关系，并说明理由.

【分析】（1）由ND48=NCAE得出NOAE=NCA8,再根据SAS判断△AOE与△AC8全等即可；

（2）由△AO8与全等得出。8=£C,ZFDB=ZFCEf判断/与△£（?〃全等，最后利用全

等三角形的性质可得.

【解答】解：（1）全等，理由如下：

•；NO4B=NCAE,

：.ZDAE=ZCAB,

在△AQE与△AC8中

AD=AC

/.DAE=乙CAB

AB=AE

AAADE^AACB(SAS)

(2)DF=CF,理由如下：

在△AQ3与中

AD=AC

Z.DAB=Z-CAEt

AB=AE

•••△AOB/zMCE(SAS),

；・NO8A=NCE4,

•；△AQNZXACB,

・•・ZABC=NAED,

：.NDBF=ZCEF,

在△05“马△C£77中

NDFB=乙CFE

乙DBF=乙CEF,

DB=EC

:.△DBF/4CEF(AAS),

：.DF=CF.

【题型4全等三角形的判定与性质（证垂直）】

（ft4]（2022秋•孟津县期末）如图，BM,CN分别是钝角△力BC的高，点Q是射线CN上的点，点P在

线段8M上，且8P=AC,CQ=AB,请问AP与AQ有什么样的关系？请说明理由.

【分析】根据同角的余角相等得出NABP=NACQ,即可利用S4S证明△ACQg/XPBA,再根据全等三

角形的性质即可得解.

【解答】解：AP=AQ且人P_LAQ.

理由如下：

,CN1AB,

；・/A8P+NBAM=90°,ZACQ+ZCAN=90°.

・•・ZABP=ZACQ.

在△ACQ和△P8A中,

AC=PB,

/-ACQ=^PBA,

QC=AB,

•••△ACQdPBA(SAS).

：.AP=AQ,NQ=NB4B.

•・・/Q+NM4Q=90°.

••・NRW+NNAQ=90°.

・・・NQAP=90°.

：,APVAQ,

即"=AQ,AP±AQ.

【变式4-1](2022春•金牛区校级期中)如图：在△ABC中，BE、。产分别是AC、A8两边上的盲，在BE

上截取8D=4C,在CF的延长线上截取CG=AB,连结A。、AG.

(1)求证：ZABE=ZACG；

(2)试判：4G与AO的关系？并说明理由.

【分析】(1)易证NHFB=NHEC=90°,又/BHF=/CHE,由三角形内角和定理即可得出结论：

(2)先证△ABQg/\GCA(SAS),得出AD=GA,ZADB=ZGAC,再由NAO8=NAED+NO4E,Z

GAC=ZGAD+ZDAE,则NAEO=NG4O=90°,即可得出结果.

【解答】(1)证明：TBELAC,CF1AB,

；・NHFR=/HEC=90°,

/48石=9()°-NBHF,NnCG=900-NCHE,

*：NBHF=NCHE,

/.ZABE=NACG；

(2)解：AG与AO的关系为：AG=AD,AGA.AD,理由如下：

•・・BE_LAC,

・・・NA£O=90°，

由（1）得：ZABD=ZACG,

在aAB。和△GCA中，

AB=CG

/.ABD=Z.ACG,

BD=AC

:.△ABDQlXGCACSAS）,

：.AD=GA,NAQB=NG4C,

又,/NADB=ZAED+ZDAE,ZGAC=ZGAD+ZDAE,

AZAED=ZGAD=9（）°,

：.AD±GA.

【变式4-2］（2021春•亭湖区校级期末）如图，△A8C中，CDA.AB,垂足为O.BE±AC,垂足为G,AB

=CF,BE=AC.

（1）求证：AE=AF；

（2）AE与A/有何位置关系.请说明理由.

【分析】（1）利用SAS证明AAEB丝△以C可证明结论；

（2）由全等三角形的性质可得NE=NC4R由余角的定义可求得NE4/的度数即可得解.

【解答】（1）证明：'rCDA.AB,BE1AC,

・・・NAOC=NAG8=90°,

；・/CAD+NACD=/CAD+/EBA=90”,

NACD=NEBA,

在△AE/e和△MC中，

AB=CF

乙EBA=Z.ACF，

BE=AC

/.^AEB^/XFAC（SAS）,

：.AE=AF；

(2)解：AE±AFf理由如下:

由(1)知aAEBg△以C,

・・・NE=NC4F,

,：BELAC,垂足为G,

ZAGE=90°,

VZE+ZE4G=90°,

：.ZCAF+ZEAG=W,

即NE4~=90°,

：.AELAF.

【变式4-3](2021春•泰兴市期末)如图，在锐角aABC中，AO_L8C于点。，点£在A。上，DE=DC,

BO=AO,点”为，。的中点，连接并延长至点"，使FM=EF,连接CM.

(1)求证：BE=AC；

(2)试判断线段AC与线段MC的关系，并证明你的结论.

A-

【分析】(1)根据SAS证明再根据全等三角形的性质即可得解；

(2)根据S4S证明△BFEg/XCFM,得到NCBE=NBCM,BE=MC,由(1)得NCBE=NCAZ),BE

=AC,即得AC=M。，再利用直角三角形的两锐角互余得出AC_LMC.

【解答】(1)证明；・・・AD_L5C,

・・・N8OE=NAOC=90°,

在△4QE与△4QC中，

DE=DC

乙BDE=Z.ADC，

BD=AD

r.AfiDE^AADC(SAS),

・•・BE=AC、

（2）解：4C_LMC且AC=MC,理由如下:

•・•尸为5c中点,

:・BF=CF,

在△BFE与△CFM中，

BF=CF

乙BFE=乙CFM，

EF=FM

:.ABFE/ACFM(S4S),

:・/CBE=NBCM,BE=MC,

由(1)得：ZCBE=ZCAD,BE=AC,

：.ZCAD=ZBCM,AC=MC,

*：ZCAD+ZACD=90a,

AZZ?CM+ZACD=90°,

即NACM=90°,

・・・ACJ_MC,

・"C_LMC且AC=MC.

【题型5全等三角形的判定与性质（多结论）】

【例5】（2022春•九龙坡区校级期末）如图，RtZ\48C中，ZMC=90°,AO_L3C于点。，过点A作Q

〃BC且A/=AO,点E是AC上一点且AE=AB,连接EF,DE.连接交8E于点G.下列结论中正

确的有（）个.

①N用E=ND4B；②BD=ER③尸。平分NA”E；④S网边形,i8DE=S四边形人。5；®BG=GE.

A.2B.3C.4D.5

【分析】由“SAS”可证△AB。咨△4£：厂,利用全等三角形的性质依次判断可求解.

【解答】解：VAD1BC,AF//BC,

：.AFLAD,

AZMD^90°=Z5AC,

；・NFAE=NBAD,故①正确;

在△ABO和中，

AB=AE

乙BAD=Z.EAFy

AD=AF

•••△ABOdAE尸(SAS),

；,BD=EF,ZADB=ZAFE=9Q°,故②正确;

•：AF=AD,NO4尸=90°,

/.Z4FD=45°=NEFD,

・•・/。平分NA/^E,故③正确；

•・•^ABD^AAEF,

S^ABD—S^AEFf

S四边影AtfDt,=S内边形ADb,b，故④正确；

如图，过点E作ENLEF,交DF于N,

:・/FEN=90°,

:,NEFN=/ENF=45°,

:.EF=EN=BD,NEND=NBDF=135°,

在△忒；£>和△EGN中，

NBDG=乙ENG

乙BGD=NEGN,

BD=NE

•••△BDGdENG(A4S),

:,BG=GE,故⑤正确，

故选：D.

【变式5-1]（2021秋•垦利区期末）如图，在△ABC中，BD、CE分别是NABC和NACB的平分线，AM

_LCE于P,交8C于M,AN1.BD于Q,交8c于N,ZBAC=110°,48=6,AC=5,MN=2,结论：

①AP=MP；②BC=9；③NM4N=30°；®AM=AN.其中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【分析】证明AACPgZXMCP,根据全等三角形的性质得到AP=MP,判断①；根据全等三角形的性质

得到CM=AC=5,BN=AB=6,结合图形计算，判断②；根据三角形内角和定理判断③；根据等腰三角

形的性质判断④.

【解答】解：:CE是NAC8的平分线，

；・/ACP=/NCP,

在△ACP和△MCP中，

(乙4cp=Z-MCP

CP=CP,

{/.CPA=NCPM=90°

A(ASA),

：,AP=MP,①结论正确；

•・•△ACP冬△MCP,

：.CM=AC=5,

同理可得：BN=AB=6,

：.BC=BN+CM-MN=5+6-2=9,②结论正确；

•・・NB4C=110°,

AZMAC+ZBAN-ZMAN=ll()c,

由①知：ZCMA=ZCAM,Z13NA=ZBAN,

在△AMN中，ZCMA+ZBNA=\SO°-ZMAN=ZBAN+ZMAC,

A180°-ZMAN-ZMAN=\\0°,

・・・NM4N=35°,③结论错误；

④当NAMN=NANM时，AM=AN,

•・・4B=6HAC=5

NA8C#NACB,

；・NAMN#NANM,则人M与/W不相等，④结论错误；

故选：C.

【变式5-2】(2021春•锦州期末)如图，在△AO3和△COO中，OA=OB,OC=ODCOA<OC),ZAOB

=ZCOD=a,直线AC,8。交于点M,连接OM.下列结,金：®AC=BD,②NOAM=/O8M,③/

AMB=a,④OM平分/8OC,其中正确结论的个数是()

【分析】由SAS证明△40C四AB。。得出N04M=N08M,AC=BD,①②正确；

由全等三角形的性质得出NOAC=NOB。，由三角形的外角性质得：ZAMB+ZOBD=ZOAC+ZAOB,

得出/AMB=NAOB=a,③正确；

作OG_LAM于G,0H1,DM于H,则NOG人=/0"8=9()。，即可判定△OAGgZXOB凡得出OG=

OH,由角平分线的判定方法得NAMO=NOM。，假设0M平分/40C,则可求出NA0M=/。。例，由

全等三角形的判定定理可得△AMOg^QMO,得AO=。。，而0C=0。，所以OA=OC,而O4V0C,

故④错误；即可得出结论.

【解答】解：TN4O8=NC0O=a,

NAOB+NBOC=NCOO+NBOC,

即N4OC=NBO。，

在△AOC和△80。中，

0A=OB

Z.AOC=乙BOD»

OC=OD

A^AOC^/\BOD(SAS),

：.ZOAC=ZOBD,AC=BD,

即N04M=N08M,

故①②正确；°

由三角形的外角性质得：，一〜Am

/AMB+NOBD=ZOAC+ZAOB,

•・・/OAC=NOB。,

，ZAMB=ZAOB=a,

故③正确；

作OG_LAM于G,0HLDM于H,如图所示,

则NOGA=NO”8=90°,

在△OAG和中,

Z.OGA=乙OHB

Z.OAC=Z.OBD，

OA=OB

:.AOAG沿/\OBHCAAS),

：.OG=OH,

*/△AOCdBOD,

：・OG=OH,

・・・MO平分N4MO,

4MO=NQMO,

假设OM平分N8OC,则N/30M=/COM,

■:NAOB=NCOD,

・•・々AOB+乙BO