2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）专题51 二次函数的图象与性质（一）-重难点题型（举一反三）（苏科版）含解析

2023・2024学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）专题5.1二次

函数的图象与性质（一）•重难点题型（举一反三）（苏科版）专题5.1

二次函数的图象与性质（一）•重难点题型

【苏科版】

衣

”片芦，?三

【知识点1二次函数的概念】

一般地，形如的函数，叫做二次函数.其中X、y是变量，a、b、c

是常量，是二次项系数，—是一次项系数，—是常数项.y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a#O）

也叫做二次困数的一般形式.

【知识点2二次函数的取值范围】

一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题

有意义.

【题型1判断二次函数的个数】

【例1】（2020秋•太康县期末）下列函数：①y=3-岛2；②产今③），=x（3-5x）；@y=（心）（1

-2r）,是二次函数的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式1-1]（2020•涡阳县一模）已知函数：®y=2x-1：@y=-2?-I；③），=3.P-2?；@y=2?-x-

1；⑤其中二次函数的个数为（）

A.IB.2C.3D.4

【变式1-2]（2020秋•扬州期末》下列函数是关于x的二次函数的有（)

①y=x⑵・1）；②y=③y=亨/一1；@y=a^+2x（a为任意实数）；©y=（x-1）2-x2；

@y=Vx24-x+1.

A.2个B.3个C.4个D.5个

【变式1-3］（2020秋•广汉市期中）观察：①），=6/；②y=-3*+5；③），=200f+400,什200：④y=.d-2r；

⑤y=/—+3点@y=（x+l）2-?.这六个式子中，二次函数有________.（只填序号）

Ji4

【总结】

【题型2利用二次函数的概念求字母的值】

［ft2］（2020秋•沙坪坝区校级月考）若函数y=（a+l）/a2+i|是关于x的二次函数，则。的值为.

【变式2-1］（2020秋•肃州区期末）如果函数），=（A-3）/2-合+2十七什］是二次函数，则A的值是.

【变式2-2］（2020秋•江油市校级月考）函数y=（/n2-3///+2）jp,+inx+i-in,则当机=时，它为正

比例函数；当〃?=时，它为一次函数；当〃?时，它为二次函数.

【变式2-3］（2020秋•新昌县校级月考）已知函数尸（谒+加a2_2加+2.

（1）当函数是二次函数时，求〃?的值；；

（2）当函数是一次函数时，求机的值..

【总结】

【题型3二次函数的一般形式】

【例3】（202（）秋•防城区期中）设出b,c分别是二次函数），=-/+3的二次项系数、一次项系数、常数

项，则（）

A.a=-I,/?=3,c=0B.a=-1,b=0,c=3

C.a--1,b=3,c=3D.a=1,〃=0,c=3

【变式3-1］（2020秋•遂溪县校级期中）关于函数），=（50（）-100（40+x）,下列说法不正确的是（）

A.y是％的二次函数B.二次项系数是70

C.一次项是100D.常数项是20000

【变式3-2］（2020春♦肇东市期末）已知二次函数），=15x+3）,则二次项系数a=，一次项系数〃

=,常数项c=.

【变式3-3]（2020秋•新昌县期末）若二次函数），=（2.V-1）2+1的二次项系数为4,一次项系数为〃，常

数项为c,则g-4ac0（填写“>”或"V”或“=”）

【总结】

【知识点3根据实际问题列二次函数表达式的步骤】

（1）:找出实际问题中的已知量和变量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言；

（2）：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；

（3）：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用白变量表示

的函数的形式.

【题型4根据实际问题列二次函数（销售类）】

【例4】（2020秋•研口区期中）某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300

件.市场调查反映；如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件.则每星期售出商品的利润y（单

位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）

A.y=3（）（）-10xB.y=3（X）（60-40-x）

C.y=（300+10、）（60-40-x）D.y=（300-10、）（60-40+.v）

【变式4.1】（2020秋•朝阳期中）某农产品市场经销•种销售成本为40元的水产品.据市场分析，若按每

千克50元销售，一个月能售500千克；销售单价每涨2元，月销售量就减少10千克.设每千克涨x

元，月销售利润为y元，则y与工的函数关系式为（）

A.y=（50+.V-40）（500-IDx）B.y=（x+40）（10.V-500）

C.y=（x-40）[500-5（x-50）]D.y=（50+.V-40）（500-5x）

【变式4-2]（2020春•西湖区校汲月考）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖

出21（）件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨I元，则每个月少卖1件，如果

售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件.设每件商品的售价x元（”为整数），每个月

的销售量为），元.

（1）求），与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）设每月的销售利润为W,请直接写出W与工的函数关系式.

\\\\\\\\\\\

墙

门

M7:-----1---X--------M

A.>*=-%2+26x(2Wx<52)

B.>>=-1X2+50X(2WX<52)

C.y=-X2+52A-(2^X<52)

D.产-#+27x-52(2WxV52)

【变式5-2](2()20秋•思明区校级期中)如图，某小区进行绿化改造，矩形花园的一边由墙AB和一节篱

笆8川构成，另三边由篱笆AOEV围成，篱笆总长40米，墙48长16米,若BF=x米，花园面积是S

平方米，则S关于x的函数关系式是：___________.

「

D1---------------------]E

【变式5-3]（2020秋•东营期中）如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈,打算一面利用归墙，其余各

面川木材围成栅栏，该计划用木材围成总长24〃?的栅栏，设面积为s（〃『），垂直于墙的一边长为X（小）

米.则s关于X的函数关系式：______（并写出自变量的取值范围）

/////〈///“//〈/

【总结】

【题型6根据实际问题列二次函数（几何类）】

[例6]（2（）2（）•西湖区校级模拟）在RtAABC中，ZC=90°,BC=a,AC=b,AB=Cy若a+h=5,则

RtAABC的面积S关于边长c的函数关系式为（）

A.B.C.D.S=：25+C2

4

【变式6-1］（202（）秋•翼城县期末）如图，在RtZXABO中，且人8=。8=3,设直线工=/截此三

角形所得的阴影部分的面积为S,则S与/之间的函数关系式为（）

B.(0V/W3)

C.S=?(0V/W3)D.5=7-1(0V/W3)

【变式6-2］（2021•江夏区模拟）如图，在△4/3。中，AB=AC,BC=6,石为AC边上的点且AE=2EG

点D在BC边上且满足BD=DE,设BD=y,SMBC=X,则y与x的函数关系式为（）

B-尸薪

4n

C,v=8lOA+2D->?=8lOr+2

【变式6-3］（2020秋♦孝感期末）如图，正方形43co的边长是4,E是A8上一点，F是AQ延长线上的

一点，BE=DF.四边形AEGF是矩形，矩形AEGF的面积y与8E的长x的函数关系是

【总结】

专题5.1二次函数的图象与性质(一)一重难点题型

【苏科版】

》孙必I先力

。加千一及三

【知识点1二次函数的概念】

一般地，形如y=a%2+bx+c(a、b、c是常数，a#0)的函数，叫做二次函数.其中x、y是变量，a、b、c

是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.y=a%2+bx+c(a、b、c是常数，aKO)也叫做二

次函数的一般形式.

【知识点2二次函数的取值范围】

一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题

有意义.

【题型1判断二次函数的个数】

【例1】(2020秋•太康县期末)下列函数：©y=3-V3x2；②产备@y=x(3-5x)；@y=(l+2x)(1

-2x),是二次函数的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】利用二次函数定义进行分析即可.

【解答】解：©y=3-V3x2；③y=x(3-5.i)；®y=(l+2x)(1-2x),是二次函数，共3个，

故选：C.

【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是

否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项

系数不为。这个关键条件.

【变式1-1](2020•涡阳县一模)已知函数：®y=2x-1；@y=-2A2-1；③)，=3--2r\④),=2^-

1；⑤+以+c,其中二次函数的个数为（）

A.IB.2C.3D.4

【分析】根据二次函数定义：一般地，形如y=o?+云+c（〃、力、c是常数，〃W0）的函数，叫做二次函

数进行分析即可.

【解答]解：②®是二次函数，共2个，

故选：B.

【点评】此题主要考查了二次函数的定义，关键是掌握丁=/+灰+。（〃、仄。是常数，aWO）是二次函

数，注意〃KO这一条件.

【变式1-2]（2020秋•扬州期末）下列函数是关于x的二次函数的有（）

22

①y=x⑵-1）；@y=^；③y=苧/一1；④产苏+2%（〃为任意实数）；@y=（x-1）-x；

@y=Vx2+x+1.

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如＞，=⑥2+法+cQ、力、。是常数，。工0）的函数，叫做二次

函数进行分析可得答案.

【解答】解：是关于X的二次函数的有①③，

故选:A.

【点评】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，

若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0

这个关键条件.

【变式1-3]（2020秋•广汉市期中）观察：①y=6/；②y=-3/+5；③），=200，+400.计200；④y=9-2x；

⑤、=/一。+3]®y=（x+l）2-?.这六个式子中，二次函数有________.（只填序号）

人乙

【分析】根据二次函数的定义可得答案.

【解答】解：这六个式子中，一次困数有：①y=6/；②y=-3『+5；@y=2CX）x2+400.r+200；

故答案为：①②®.

【点评】本题主要考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的概念是解题的关键.

【题型2利用二次函数的概念求字母的值】

[ft2]（2020秋•沙坪坝区校级月考）若函数y=（a+l）/a2+i|是关于x的二次函数，则。的值为.

【分析】根据二次函数定义可得|/+“=2且a+lHO,求解即可.

【解答】解：•・•函数y=（a+l）/a2+il是关于x的二次函数,

，|M+］|=2且C

解得。=1,

故答案为：1.

【点评】本题考杳的是二次函数的定义，二次函数的定义：一般地，形如,，=/+历；+0（队b、。是常数,

,7^0）的函数，叫做二次函数.

【变式2-1］（2020秋•肃州区期末）如果函数尸（八3）*』+2+&+［是二次函数，则4的值是.

【分析】利用二次函数定义可得炉-34+2=2,且女・3工0,再解ILH的值即可.

【解答】解：由题意得：F・3A+2=2,且k-3W0,

解得:k=0,

故答案为：0.

【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如,=aF+/zx+c"、/八c是常数，。三0）的函数,

叫做二次函数.

【变式2-2］（2020秋•江油市校级月考）函数y=Cm2-3/«+2）X2+//LV+1-m,则当/〃=时，它为正

比例函数；当〃?=时，它为一次函数；当机时，它为二次函数.

【分析】首先解方程，进而利用正比例函数、一次函数与二次函数的定义得出答案.

【解答】解：・3〃?+2=0,

则（/??-1）（/n-2）=0,

解得：〃?1=1,"72=2,

故〃岸1且机W2时，它为二次函数：当加=1或2时，它为一次函数，当加=1时，它为正比例函数；

故答案为：1;1或2；〃?W1且

【点评】此题主要考查了一次函数与二次函数的定义，正确解方程是解题关键.

【变式2-3］（2020秋•新昌县校级月考）已知函数尸（〃P+M%匠一2m+2.

（1）当函数是二次函数时，求机的值；；

（2）当函数是一次函数时，求〃?的值..

【分析】（1）这个式子是二次函数的条件是：毋・2〃?+2=2并且病+小工0；

（2）这个式子是一次函数的条件是：川-26+2=1并且〃P+〃?W0.

【解答】解：⑴依题意，得nr-2〃计2=2,

解得m=2或〃?=0；

又因rrr+m^O,

解得mWO或-1；

因此加=2.

（2）依题意，得谓-222=1

解得m=l;

又因加2+〃?WO,

解得m#0或/〃#-I；

因此m=1.

【点评】本题主要考查一次函数与二次函数的定义与一般形式.

【题型3二次函数的一般形式】

【例3】（2020秋•防城区期中）设小b,c•分别是二次函数y=-7+3的二次项系数、一次项系数、常数

项，贝|J（）

A.a=-1,0=3,c=0B.a=-\,〃=0,c=3

C.a=-i,b=3,c=3D.a=1,〃=0,c=3

【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如），="2+辰+c（人力、。是常数，aWO）的函数，叫做二次

函数.其中r），是变量，〃、4、c是常量，。是二次项系数，b是一次项系数,。是常数项作答.

【解答】解：二次函数y=・f+3的二次项系数是〃=・1,一次项系数是〃=0,常数项是c=3；

故选：B.

【点评】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要

漏掉符号.

【变式3-1］（2020秋•遂溪县校级期中）关于函数），=（500-10A）（40+X）,下列说法不正确的是（）

A.y是x的二次函数B.二次项系数是-10

C.一次项是100D.常数项是20000

【分析】根据形如丁=。»+&+°是二次函数，可得答案.

【解答】解：y=-10?+100^+20000,

A、y是x的二次函数，故A正确；

B、二次项系数是-10,故8正确；

C、一次项是100A-,故C错误；

D、常数项是20000,故。正确;

故选：c.

【点评】本题考杳了二次函数的定义，化成二次函数的一般式是解题关键.

【变式3-2］（2020春•肇东市期末）已知二次函数），=1-5/3/，则二次项系数。=,一次项系数8

=,常数项c=.

【分析】根据二次函数的定义，可得答案.

【解答】解：二次函数y=l-5x+3/，则二次项系数。=3,一次项系数〃=-5,常数项c=l,

故答案为：3,-5,1.

【点评】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键.

【变式3-3］（2020秋•新昌县期末）若二次函数y=（lv-1）2+1的二次项系数为一次项系数为从常

数项为c,则b2-4ac0（填写“>”或“<”或“二”）

【分析】根据二次函数的解析式得出a,b,c,的值，再代入户-4〃,计算，判断与0的大小即可.

【解答】解：*.>=（2A-1）2+1,

，a=4,b=-4,c=2,

.,.序-4〃。=16-4X4X2=-16<0,

故答案为<.

【点评】本题考查了二次函数的定义以及各项系数，掌握a,b,。的确定是解题的关键.

【知识点3根据实际问题列二次函数表达式的步骤】

（1）理解题意:找出实际问题中的己知量和变量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言；

（2）分析关系:找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；

（3）列函数表达式:设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表

示的函数的形式.

【题型4根据实际问题列二次函数（销售类）】

【例4】（2020秋•研口区期中）某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300

件.市场调查反映；如调整价格，每涨价I元，每星期要少卖出10件.则每星期售出商品的利润），（单

位：元）与每件涨价大（单位：元）之间的函数关系式是（）

A.y=300-10xB.y=3（X）（60-40-x）

C.>'=（300+lO.v）（60-40-x）D.y=（300-10x）（60-40+x）

【分析】由每件涨价x元，可得出俏售每件的利润为（60・40+K）元，每星期的销售量为（300-IQv）,

再利用每星期售出商品的利润=销售每件的利润X每星期的俏售量，即可得出结论.

【解答】解：•・•每涨价1元，每星期要少卖出10件，每件洸价x元，

・•・销售每件的利润为(60-40-x)元，每星期的销售量为(300-10.r),

每星期售出商品的利润丁=C300-10A)(60-40+x).

故选：

【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y与工之间的函数

关系式.

【变式4-1](2020秋•朝阳期中)某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品.据市场分析，若按每

千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨2元，月销售量就减少1()千克.设每千克涨x

元，月销售利润为)，元，则)，与x的函数关系式为()

A.y=(50+X-40)(500-10x)B.y=(.r+40)(10x-500)

C.>'=(x-40)1500-5(x-50)]D.y=(50+.r-40)(500-5x)

【分析】直接利用销量X每千克利涧=总利涧，得出函数关系式即可.

【解答】解：设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与入•的函数关系式为：

y=(50+X-40)(500-5x).

故选：D.

【点评】此题主要考查了根据实际问题列函数关系式，正确表示出销量是解题关键.

【变式4-2](202()春•西湖区校级月考)某商品的进价为每件4()元，如果售价为每件50元，每个月可卖

出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果

售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件.设每件商品的售价x元(%为整数)，每个月

的销售量为)，元.

(1)求)，与x的函数关系式并更接写出自变量x的取值范围；

(2)设每月的销售利润为W,请直接写出卬与x的函数关系式.

【分析】(1)当售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨I元，则每个月少卖1件，)，=

260-x,500W80,当如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件，y=420-3x,80

VxWl40,

(2)由利润=(售价-成本)X销售量列出函数关系式，

【解答】解：(1)当50WxWB0时,y=2\0-(x-50),艮]y=260-x,

当80VxW140时，>'=210-(80-50)-3(x-80),即y=420・3%.

Jy=260-x(50<x<80)

'(y=4ZU-3x(80<x<140)：

（2）由题意可得,

W=-A300X-10400（50Wx<80）,

W=-3?+540.v-16800（80<.v<140）.

【点评】本题主要考查二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解决本题的关键.

【变式4-3］（2020•诸城市一模）某厂生产某种零件，该厂为鼓励销售商订货，提供了如下信息：

①每个零件的成本价为40元；

②若订购量不超过100个，出厂价为60元；若订购量超过100个时，每多订1个，订购的全部零件的出

厂单价就降低0.02元；

③实际出厂单价不能低于51元.

根据以上信息，解答下列问题：

（1）当一次订购量为个时，零件的实际出厂单价降为51元.

（2）设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为F元，写出F与x的函数表达式.

（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？

（工厂售出一个零件的利润=实际出厂价-成本）.

【分析】（I）由题意设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x个，则x=

100+华浮=550进而得出答案；

（2）前100件单价为P,当进货件数大于等于550件时，P=51,则当1（）0V.EV55（）时，0=60-0.02（x

-100）=62-4得到。为分段函数，写出解析式即可；

（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，表示出L与x的函数关系式，然后令x

=500,1000即可得到对应的利润.

【解答】解：（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时.，一次订购量为x个，则x=100+耳需=550,

根据实际出厂单价不能低于51元，

因此，当一次订购量为大于等于550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元.

故答案为:2550；

（2）当OVxWlOO时，P=60

当100«550时,0=60-002（x-100）=62-余

OV

当x》550时，P=51

60(0<x<100)

62-^(100<x<550)；

(51(550<x)

（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，

（20x（0<100）

则L-（P-40）x={Yz

I22%-^（100<x<500）

当x=500时，L=22X500-=6000（元）；当x=1000时，L=（51-40）X1000=11000（元），

因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购100（）个，利润是11000

元.

【点评】本小题主要考查了二次函数的应用以及分段函数的应用，注意利用自变量取值范围得出函数解

析式是解题关键.

【题型5根据实际问题列二次函数（面积类）】

［例5］（2020•平阳县一模）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并

在如图所示位置留2机宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为50%设饲养

室长为X”?，占地面积为"〃2,则关于工的函数表达式是（）

A.y=-X2+5O.VB.）=一袋+24%

1A19

C.y=—&尸+25xD.y=—之r+26工

【分析】根据题意表示出矩形的宽，再利用矩形面积求法得出答案.

【解答】解：设饲养室长为X”!，占地面积为

则y关于x的函数表达式是：y=x*~（50+2-x）=-1.V2+26A-.

故选：D.

【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确表示出矩形的宽是解题关键.

【变式5-1］（2020秋•沙坪坝区校级期中）如图，某农场拟建•间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现

有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50〃?，门宽为2,〃.若饲养室长为

工小，占地面积为则关于x的函数表达式为()

\\\\\\\\\\\

墙

7门1-----------------------

M:----------X-----------M

A.y=-#+26x(2Wx<52)

B.y=—ix2+50x(2W/V52)

C.y=・』+52J(2《xV52)

D.y=-1x2+27x-52(2«52)

【分析】直接根据题意表示出垂直与墙饲养室的一边长，再利用矩形面枳求法得出答案.

【解答】解：y关于x的函数表达式为：y=i(50+2-x)x

=-iv2+26.v(2WxV52).

故选：A.

【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系，正确表示出另一边长是解题关键.

【变式5-2](2020秋•思明区校级期中)如图，某小区进行绿化改造，矩形花园的一边由墙/W和一节篱

笆3F构成，另三边由篱笆4OE厂围成，篱笆总长40米，墙A8长16米，若4F=x米，花园面积是S

平方米，则S关于x的函数关系式是：.

【分析】根据题意分别表示出长方形的长与宽进而得出答案.

40—%—16—3

【解答】解：由题意可得：5=(16+x)-------------------

=(16+x)(12-x)

=-『-4x+192.

故答案为：5=-A2-4X+192.

【点评】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，正确表示出矩形的长与宽是解题关键.

【变式5-3](2020秋•东营期中)如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各

面用木材围成栅栏，该计划用木材围成总长24〃?的栅栏，设面积为s（〃』），垂直于墙的一波长为

米.则s关于x的函数关系式：（并写出自变量的取值范围）

【分析】先根据栅栏的总长度24表示出三间羊圈与旧墙平行的一边的总长为（24-4x）,再根据长方形

为面积公式表示即可得到s关于x的函数关系式；找到关于/的两个不等式：24-4£>0,心>0,解之即

可求出x的取值范围.

【解答】解：根据题意可知，三间羊圈与旧墙平行的一边的总长为（24-44），

则：s=（24-4.r）x=-4A2+24X

由图可知：24・4x>0,x>0,

所以x的取值范围是0VxV6,

故答案为：s=-4X2+24X（0<X<6）.

【点评】此题主要考查了结合实际问题列二次函数解析式.本题中主要涉及的知识点有：二次函数的表

示方法，自变量取值范围的解法，找到关于x的不等式.

【题型6根据实际问题列二次函数（几何类）】

[例6]（2020•西湖区校级模拟）在RtA4BC中，NC=90°,BC=a,AC=b,AB=c,若a+b=5,则

RtAABC的面积S关于边长c的函数关系式为（.）

AJ25-c225-c2C.S=^^

A.5=-4—B.S==^-D.5=半

【分析】直接利用直角三角形的性质结合完全平方公式得出S与c的关系.

【解答】解：VZC=90°,BC=a,AC=b,AB=c,

:./+后=d,

•••□△ABC的面积S,

S=^ab,

*.*«+/?=5>

/.Ca+b）2=25,

：.a-+b-+2ab=25,

・32+45=25,

25-c2

故选：A.

【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确掌握直角三角形的性质是解题关键.

【变式6-1］（2020秋•翼城县期末）如图，在RtZVlB。中，ABVOB,W.AB=OB=3,设直线x=f截此三

角形所得的阴影部分的面积为S,则S与,之间的函数关系式为（）

A.S=t(0VW3)B.5=暴(0VW3)

C.S=r(0V/W3)D.S=1r-1(0</^3)

【分析】Rt^AOB中，AB_LO8,且48=08=3,所以很容易求得NAO8=NA=45°；再由平行线的性

质得出NOCO=NA,即N4OD=NOCQ=45°,进而证明。。=。。=/；最后根据三角形的面积公式，

解答出S与l之间的函数关系式.

【解答】解：如图所示，

•.•RiZXAOB中，ABLOB,且人8=08=3,

・・・NAO3=N4=45°,

：,CD//ABf

：.Z0CD=ZA,

・・・NAOO=NOCO=45°,

：,OD=CD=t,

•*.S^OCD=IXODXCD

=1r(0V/W3),即S=1(0V/W3).

故选：B.

【点评】本题主要考查的是二次函数解析式的求法，解题的关键是能够找到题目中的有关面积的等量关

系，难度不大.

【变式6-2］（2021•江夏区模拟）如图，在△A8C中，AB=AC,BC=6,E为AC边上的点且AE=2EC,

点。在BC边上且满足设SMBC=X,则『与式的函数关系式为（）

4。5

B-y=810r+2

U尸焉82D•产薪f+2

【分析】过A作人过？作EP_LBC,则A，〃EP,由此得出关于x和3，的方程，即可得出关系式.

【解答】解：过A作A〃J_4C,过£作£。3_5。，则A〃〃七户,

:.HC=3,PC=\,BP=5,PE=

■:BD=DE=y,

・••在RtZ\EOP中，＞-2=(5-y)2+PE2,

•・・x=6AH+2=34H,

故选：A.

【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，关键是根据等腰三角形的性质进行分

析，难度适中.

【变式6-3](2020秋•孝感期末)如图，正方形ABCD的边长是4,E是48上一点，尸是AD延长线上的

一点，BE=DF.四边形AEG尸是矩形，矩形AEG/的面积y与8E的长x的函数关系是.

【分析】设3E的长度为x(0&V4),则AE=4-x,4尸=4+弟根据矩形的面积即可得出)，关于x的

函数关系式，此题得解.

【解答】解：设8E的长度为x(0WxV4),则AE=4・x,4/=4+x,

.\y=AE*AF=(4-x)(4+x)=16-，.

故答案为：y=16-/(0<x<4).

【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据矩形的面积找出)，关于x的函数关系式是解

题的关键.

专题5.2二次函数的图象与性质（二）一重难点题型

【苏科版】

》孙必I先力

”片芦，?三

【知识点1二次函数的配方法】

y=ax2+bx+c(aH0)

=Q(/++§①提取二次项系数：

="卜+"+恁)2-篇②配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方;

=小+犷+甘③整理：前三项化为平方形式，后两项合并同类项;

=(+犷+铲④化简：去掉中括号.

二次函数的一般形式y=以2+尿+c（a工0）配方成顶点式y=a（x++等泮，由此得到二次函数对

称轴为顶点坐标为心‘与声

【题型1二次函数的配方法】

【例I】用配方法将下列函数化成），=〃（X+/?）2+k的形式，并指出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标.

（1）y=-iv2+6x-17；

（2）y=（2-x）（l+2x）.

【解题思路】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把

一般式转化为顶点式；

（2）化为一般式后，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，

把一般式转化为顶点式.

【解答过程】解：(1)y=-1v2+6x-17=(/-⑵+36：+18-17=(x-6)2+1,

,:a=一；<0,

，开口向下，

对称轴为直线x=6,顶点坐标为(6,1)；

902

-^285

(2))，=(2-x)(\+2x)=-2X2+3X+2=84

Va=-2<0,

，开口向下，

o325

对称轴为直线户弓，顶点坐标为(：，—).

,48

【变式1-1】用配方法确定下列函数的对称轴和顶点坐标，

(1)y=2?-12x+3

(2)y=-5/+80x-319

(3)y=2(T)(X-2)

(4)y=3(2x+l)(2-A)

【变式1-2］用配方法把下列函数化成)，=a(x・〃)2的形式，并写出函数图象的顶点坐标、开口方向及对

称轴.

(1)y=4/-4x+l；

(2)y=J/+2x+2；

132L

⑶y=—□-V+^x/Bx-1.

【变式1-3］利用配方法，把下列函数写成)，=〃(x-〃)2+4的形式，并写出它们图象的开口方向、对称轴

和顶点坐标.

(1)y=~/+6x+l

(2)y=2AT-3x+4

(3)y=-

(4)y=jr+px+q.

【知识点2二次函数的五点绘图法】

利用配方法将二次函数），"/+取+c化为顶点式j，”（x-4+-确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，

然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点（0,c）、以及（0,c）

关于对称轴对称的点（2人c）、与k轴的交点（内，0）,（与，0）（若与x轴没有•交点，则取两组关于对称轴

对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与X轴的交点，与J•轴的交点.

【题型2二次函数的五点绘图法】

【例2】（2020秋•番禺区校级期中）已知二次函数.\，=/-以-3,在给定的直角坐标系中画出这个函数的

【解题思路】求出与大轴的交点坐标，然后再利用配方法把函数解析式化为顶点式找出顶点坐标与函数

的对称轴直线，即可作出大致图象；

【解答过程】解：当尸0时，w・2"3=0,

解得X1=-1,X2=3,

・••与x轴的交点坐标是（7,0）,（3,0）,

又•；），=7-2x-3=（x-1）2-4,

・•・顶点坐标是（1,-4）,对称轴是直线x=l,

图象如图所示:

【变式2-1]（2020秋•虹口区期末）已知二次函数的解析式为尸分2・2x.

（1）用配方法把该二次函数的解析式化为），=，，（A+W）2+k的形式；

（2）选取适当的数据填入下表，并在如图所示的平面直角坐标系X。）'内描点，画出该函数的图象.

•••

X…__________-----------—------------

y…•••

--------------------—

【变式2・2】（2020秋•岑溪市期中）已知二次函数），=・f+4x.

（1）下表是y与人的部分对应值，请补充完整；

X•♦•01234

•••

y0———0

（2）根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数图象;

（3）根据图象，写出当），VOE寸，x的取值范围.

【变式2-3］（2020秋•浑源县期末）已知二次函数），=『-4%+3.

（1）将二次函数表达式），=/-4x+3化成），=。（广力）2+人•的形式，并直接写出其顶点坐标;

（2）完成下列表格并在如图所示的直角坐标系内画出该函数的大致图象;

01234

【知识点3二次函数的图象与各系数之间的关系】

①二次项系数总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，同的大小决定

开口的大小.

②一次项系数8：在。确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置，对称轴x=-2在y轴左边则ab>0,

2a

在y轴的右侧则。6