全国高中数学联赛试题及解析苏教版6

1986年全国高中数学联赛试题第一试1．选择题(本题满分42分，每小题7分，每小题答对得7分，答错得0分不答得1分)⑴设－1<a<0，θ=arcsina，那么不等式sinx<a的解集为()A．{x|2nπ+θ<x<(2n+1)π－θ，n∈Z}B．{x|2nπ－θ<x<(2n+1)π+θ，n∈Z}C．{x|(2n－1)π+θ<x<2nπ－θ，n∈Z}D．{x|2nπ+θ<x<(2n+1)π－θ，n∈Z}⑵设x为复数，M={z|(z－1)2=|z－1|2}，那么()A．M={纯虚数}B．M={实数}C．{实数}eq\o(\s\up3(),\s\do3())Meq\o(\s\up3(),\s\do3()){复数}D．M={复数}⑶设实数a、b、c满足eq\b\lc\{(\a\ac(a2－bc－8a+7=0，,b2+c2+bc－6a+6=0．))那么，a的取值范围是()A．(－∞，+∞)B．(－∞，1]∪[9，+∞)C．(0，7)D．[1，9]⑷如果四面体的每一个面都不是等腰三角形，那么其长度不等的棱的条数最少为()A．3B．4C．5D．6⑸平面上有一个点集和七个不同的圆C1，C2，…，C7，其中圆C7恰好经过M中的7个点，圆C6恰好经过M中的6个点，…，圆C1恰好经过M中的1个点，那么M中的点数最少为()A．11B．12C．21D．28⑹边长为a、b、c的三角形，其面积等于eq\f(1,4)，而外接圆半径为1，若s=eq\r(a)+eq\r(b)+eq\r(c)，t=eq\f(1,a)+eq\f(1,b)+eq\f(1,c)，则s与t的大小关系是A．s>tB．s=tC．s<tD．不确定2．填空题(本题满分28分，每小题7分)：本题共有4个小题，每小题的答案都是000到999的某一个整数，请把你认为正确的答案填在上．⑴在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，其球心距为13，若作一平面与这二球面相切，且与圆柱面交成一个椭圆，则这个椭圆的长轴长与短轴长之和是．⑵已知f(x)=|1－2x|，x∈[0，1]，那么方程f(f(f(x)))=eq\f(1,2)x的解的个数是．⑶设f(x)=eq\f(4x,4x+2)，那么和式f(eq\f(1,1001))+f(eq\f(2,1001))+f(eq\f(3,1001))+…+f(eq\f(1000,1001))的值等于；⑷设x、y、z为非负实数，且满足方程4eq\s\up6(eq\r(5x+9y+4z))－682eq\s\up6(eq\r(5x+9y+4z))+256=0，那么x+y+z的最大值与最小值的乘积等于．

第二试1．(本题满分17分)已知实数列a0，a1，a2，…，满足ai－1+ai+1=2ai，(i=1，2，3，…)求证：对于任何自然数n，P(x)=a0Ceq\a(0,n)(1-x)n+a1Ceq\a(1,n)x(1-x)n-1+a2Ceq\a(2,n)x2(1-x)n-2+…+an-1Ceq\a(n－1,n)xn-1(1-x)+anCeq\a(n,n)xn是一次多项式．(本题应增加条件：a0≠a1)2．(本题满分17分)已知锐角三角形ABC的外接圆半径为R，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，求证：AD，BE，CF是⊿ABC的三条高的充要条件是S=eq\f(R,2)(EF+FD+DE）．式中S是三角形ABC的面积．3．平面直角坐标系中，纵横坐标都是整数的点称为整点，请设计一种染色方法将所有的整点都染色，每一个整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色，使得⑴每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上；⑵对任意白色A、红点B和黑点C，总可以找到一个红点D，使得ABCD为一平行四边形．证明你设计的方法符合上述要求．

1986年全国高中数学联赛解答第一试1．选择题(本题满分42分，每小题7分，每小题答对得7分，答错得0分不答得1分)⑴设－1<a<0，θ=arcsina，那么不等式sinx<a的解集为()A．{x|2nπ+θ<x<(2n+1)π－θ，n∈Z}B．{x|2nπ－θ<x<(2n+1)π+θ，n∈Z}C．{x|(2n－1)π+θ<x<2nπ－θ，n∈Z}D．{x|(2n－1)π－θ<x<2nπ+θ，n∈Z}解：－eq\f(π,2)<θ<0，在(－π，0)内满足sinx<a的角为－π－θ<x<θ，由单位圆易得解为D．⑵设x为复数，M={z|(z－1)2=|z－1|2}，那么()A．M={纯虚数}B．M={实数}C．{实数}eq\o(\s\up3(),\s\do3())Meq\o(\s\up3(),\s\do3()){复数}D．M={复数}解：即(z－1)2－(z－1)(eq\o(\s\up5(－),z)－1)=0，(z－1)(z－eq\o(\s\up5(－),z))=0，z=1或z=eq\o(\s\up5(－),z)，总之，z为实数．选B⑶设实数a、b、c满足eq\b\lc\{(\a\ac(a2－bc－8a+7=0，,b2+c2+bc－6a+6=0．))那么，a的取值范围是()A．(－∞，+∞)B．(－∞，1]∪[9，+∞)C．(0，7)D．[1，9]解：①×3+②：b2+c2－2bc+3a2－30a+27=0，(b－c)2+3(a－1)(a－9)=0，1≤a≤9．选D．b2+c2+2bc－a2+2a－1=0，(b+c)2=(a－1)2，b+c=a－1，或b+c=－a+1．⑷如果四面体的每一个面都不是等腰三角形，那么其长度不等的棱的条数最少为()A．3B．4C．5D．6解：取等腰四面体，其棱长至多2种长度．棱长少于3时，必出现等腰三角形．选A．⑸平面上有一个点集和七个不同的圆C1，C2，…，C7，其中圆C7恰好经过M中的7个点，圆C6恰好经过M中的6个点，…，圆C1恰好经过M中的1个点，那么M中的点数最少为()A．11B．12C．21D．28解：首先，C7经过M中7个点，C6与C7至多2个公共点，故C6中至少另有4个M中的点，C5至少经过M中另外1个点，共有至少7+4+1=12个点．⑹边长为a、b、c的三角形，其面积等于eq\f(1,4)，而外接圆半径为1，若s=eq\r(a)+eq\r(b)+eq\r(c)，t=eq\f(1,a)+eq\f(1,b)+eq\f(1,c)，则s与t的大小关系是A．s>tB．s=tC．s<tD．不确定解：△=eq\f(1,2)absinC=eq\f(abc,4R)，由R=1，△=eq\f(1,4)，知abc=1．且三角形不是等边三角形．∴eq\f(1,a)+eq\f(1,b)+eq\f(1,c)≥eq\f(1,\r(ab))+eq\f(1,\r(bc))+eq\f(1,\r(ca))=eq\f(\r(a)+\r(b)+\r(c),\r(abc))=eq\r(a)+eq\r(b)+eq\r(c)．(等号不成立)．选C．2．填空题(本题满分28分，每小题7分)：本题共有4个小题，每小题的答案都是000到999的某一个整数，请把你认为正确的答案填在上．⑴在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，其球心距为13，若作一平面与这二球面相切，且与圆柱面交成一个椭圆，则这个椭圆的长轴长与短轴长之和是．解：易得cosα=eq\f(6,6.5)=eq\f(12,13)，于是椭圆长轴=13，短轴=12．所求和=25．⑵已知f(x)=|1－2x|，x∈[0，1]，那么方程f(f(f(x)))=eq\f(1,2)x的解的个数是．解：f(f(x))=|1－2|1－2x||=eq\b\lc\{(\a\ac(1－4x，(0≤x≤\f(1,4)),4x－1，(\f(1,4)≤x≤\f(1,2)),3－4x，(\f(1,2)≤x≤\f(3,4)),4x－3，(\f(3,4)≤x≤1)))同样f(f(f(x)))的图象为8条线段，其斜率分别为±8，夹在y=0与y=1，x=0，x=1之内．它们各与线段y=eq\f(1,2)x(0≤x≤1)有1个交点．故本题共计8解．⑶设f(x)=eq\f(4x,4x+2)，那么和式f(eq\f(1,1001))+f(eq\f(2,1001))+f(eq\f(3,1001))+…+f(eq\f(1000,1001))的值等于；解f(x)+f(1－x)=eq\f(4x,4x+2)+eq\f(41－x,41－x+2)=eq\f(4x,4x+2)+eq\f(4,4+24x)=1．⑴以x=eq\f(1,1001)，eq\f(2,1001)，eq\f(3,1001)，…，eq\f(500,1001)代入⑴式，即得所求和=500．⑷设x、y、z为非负实数，且满足方程4eq\s\up6(eq\r(5x+9y+4z))－682eq\s\up6(eq\r(5x+9y+4z))+256=0，那么x+y+z的最大值与最小值的乘积等于；解：令2eq\s\up6(eq\r(5x+9y+4z))=t，则得，t2－68t+256=0，(t－64)(t－4)=0，t=4，t=64．eq\r(5x+9y+4z)=25x+9y+4z=4，9(x+y+z)=4+4x+5z≥4，x+y+z≥eq\f(4,9)；4(x+y+z)=4－x－5y≤4，x+y+z≤1x+y+z∈[eq\f(4,9)，1]；eq\r(5x+9y+4z)=65x+9y+4z=36，9(x+y+z)=36+4x+5z≥36，x+y+z≥4；4(x+y+z)=36－x－5y≤36，x+y+z≤9．故，所求最大值与最小值的乘积=eq\f(4,9)9=4．第二试1．(本题满分17分)已知实数列a0，a1，a2，…，满足ai－1+ai+1=2ai，(i=1，2，3，…)求证：对于任何自然数n，P(x)=a0Ceq\a(0,n)(1-x)n+a1Ceq\a(1,n)x(1-x)n-1+a2Ceq\a(2,n)x2(1-x)n-2+…+an-1Ceq\a(n－1,n)xn-1(1-x)+anCeq\a(n,n)xn是一次多项式．(本题应增加条件：a0≠a1)证明：由已知，得ai+1－ai=ai－ai－1，故{ai}是等差数列．设ai－ai－1=d≠0．则ak=a0+kd．于是P(x)=a0Ceq\o(\s\up7(0),n)(1-x)n+a1Ceq\o(\s\up7(1),n)x(1-x)n-1+a2Ceq\o(\s\up7(2),n)x2(1-x)n-2+…+an-1Ceq\a(n－1,n),n)xn-1(1-x)+anCeq\o(\s\up7(n),n)xn=a0Ceq\o(\s\up7(0),n)(1-x)n+(a0+d)Ceq\o(\s\up7(1),n)x(1-x)n-1+(a0+2d)Ceq\o(\s\up7(2),n)x2(1-x)n-2+…+(a0+(n－1)d)Ceq\o(\s\up7(n－1),n)xn-1(1-x)+(a0+nd)Ceq\o(\s\up7(n),n)xn=a0[Ceq\o(\s\up7(0),n)(1-x)n+Ceq\o(\s\up7(1),n)x(1-x)n-1+Ceq\o(\s\up7(2),n)x2(1-x)n-2+…+Ceq\o(\s\up7(n－1),n)xn-1(1-x)+Ceq\o(\s\up7(n),n)xn]+d[Ceq\o(\s\up7(1),n)x(1-x)n-1+2Ceq\o(\s\up7(2),n)x2(1-x)n-2+…+(n－1)Ceq\o(\s\up7(n－1),n)xn-1(1-x)+nCeq\o(\s\up7(n),n)xn](由kCeq\o(\s\up7(k),n)=nCeq\o(\s\up7(k－1),n－1))=a0(1－x+x)n+ndx[Ceq\o(\s\up7(0),n－1)(1-x)n-1+Ceq\o(\s\up7(1),n－1)x(1-x)n-2+…+Ceq\o(\s\up7(n－2),n－1)xn-2(1-x)+Ceq\o(\s\up7(n－1),n－1)xn－1]=a0+ndx(1－x+x)n－1=a0+ndx=a0+(an－a0)x．此为一次多项式．证毕．2．(本题满分17分)已知锐角三角形ABC的外接圆半径为R，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，求证：AD，BE，CF是⊿ABC的三条高的充要条件是S=eq\f(R,2)(EF+FD+DE)．式中S是三角形ABC的面积．证明连OA，则由C、E、F、B四点共圆，得AFE=C，又在⊿OAB中，OAF=(180-2C)/2=90-C，∴OA⊥EF．∴SOEAF=EF·eq\f(OA,2)=eq\f(R,2)·EF，同理，SOFBD=eq\f(R,2)·DF，SODCE=eq\f(R,2)·DE，故得S=eq\f(R,2)(EF+FD+DE)．