广东省廉江市高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 利用导数研究函数的单调性教学实录 新人教A版选修2-2

广东省廉江市高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的单调性教学实录新人教A版选修2-2课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、课程基本信息1.课程名称：广东省廉江市高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用——利用导数研究函数的单调性

2.教学年级和班级：高一年级（1）班

3.授课时间：2022年9月15日星期四上午第二节课

4.教学时数：1课时二、核心素养目标分析1.发展数学抽象思维，培养学生从实际问题中提炼数学模型的能力。

2.培养学生运用导数概念和性质分析函数性质，理解函数单调性的几何意义。

3.培养学生的逻辑推理能力和运算求解能力，通过导数的应用，提升解决问题的策略和方法。

4.培养学生数学应用意识，理解导数在解决实际问题中的应用价值，提高学生的数学素养。三、学情分析高一年级的学生在数学学习上正处于从初中到高中的过渡阶段，他们的知识体系正在逐步完善，但同时也面临着新的挑战。在知识层面，学生对初中阶段的函数、方程等基础数学概念已有一定的了解，但对导数这一新概念的理解可能还比较模糊，需要教师引导他们从直观到抽象的思维方式转变。

在能力方面，学生的抽象思维能力开始增强，但仍然需要通过具体实例来辅助理解。他们的运算能力有了提高，但计算速度和准确性仍需加强。在解决问题的能力上，学生能够运用已有的数学知识解决一些简单问题，但对于涉及导数概念的问题，他们可能会感到困惑，需要教师提供适当的引导和帮助。

从素质方面来看，学生的自主学习能力和合作学习能力正在逐步培养中，但部分学生可能在学习过程中缺乏主动性和积极性，这可能会影响他们对导数概念的理解和应用。此外，学生的数学学习兴趣和学习习惯也有所差异，部分学生可能对数学学习缺乏热情，需要教师激发他们的学习兴趣。

这些学情特点对课程学习有直接影响。首先，教师需要通过生动的例子和直观的教学方法来帮助学生理解导数的概念，并逐步引导他们过渡到抽象思维。其次，教师应注重培养学生的运算能力，通过大量的练习来提高他们的计算速度和准确性。此外，教师还应关注学生的学习兴趣和学习习惯，通过鼓励学生积极参与课堂讨论和实践活动，提高他们的学习积极性和主动性。最后，教师需要根据学生的个体差异，提供个性化的辅导和支持，确保每个学生都能在导数的应用学习中取得进步。四、教学资源1.软硬件资源：计算机、投影仪、电子白板、多功能教室。

2.课程平台：学校网络教学平台、教学资源库。

3.信息化资源：多媒体课件、教学视频、数学软件（如MATLAB、Geogebra等）。

4.教学手段：黑板、粉笔、教具（如函数图像卡、导数性质图表等）。五、教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。例如，要求学生预习导数的定义和导数的几何意义。

设计预习问题：围绕“导数在研究函数中的应用”，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。如：“如何通过导数判断函数在某一点的增减性？”

监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。教师可以通过查看学生提交的预习成果来了解预习情况。

学生活动：

自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解导数的定义和几何意义。

思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。例如，学生可能会思考如何将导数与函数的图形变化联系起来。

提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。教师可以通过这些成果来了解学生的预习情况。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过故事、案例或视频等方式，引出“利用导数研究函数的单调性”课题，激发学生的学习兴趣。例如，可以通过展示函数图形的变化来引入课题。

讲解知识点：详细讲解导数如何用于研究函数的单调性，结合实例帮助学生理解。例如，讲解如何通过导数的符号来判断函数的增减性。

组织课堂活动：设计小组讨论、角色扮演、实验等活动，让学生在实践中掌握导数在研究函数单调性中的应用。例如，让学生分析具体函数的导数，并讨论其单调性。

解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，进行及时解答和指导。例如，解答学生在使用导数判断函数单调性时遇到的具体问题。

学生活动：

听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。

参与课堂活动：积极参与小组讨论、角色扮演、实验等活动，体验导数在研究函数单调性中的应用。

提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。例如，学生可能会讨论如何处理导数不存在的情形。

教学方法/手段/资源：

讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解导数在研究函数单调性中的应用。

实践活动法：设计实践活动，让学生在实践中掌握导数在研究函数单调性中的应用。

合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

帮助学生深入理解导数在研究函数单调性中的应用，掌握相关技能。

通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：根据“导数在研究函数中的应用”课题，布置适量的课后作业，巩固学习效果。例如，布置学生分析给定函数的单调区间。

提供拓展资源：提供与“导数在研究函数中的应用”相关的拓展资源（如书籍、网站、视频等），供学生进一步学习。例如，推荐学生观看关于导数应用的数学竞赛视频。

反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。例如，指出学生在分析函数单调性时的错误，并提供纠正方法。

学生活动：

完成作业：认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。

拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。例如，学生可以尝试分析更复杂的函数。

反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。例如，学生可以思考如何更有效地使用导数来分析函数的性质。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

作用与目的：

巩固学生在课堂上学到的导数在研究函数单调性中的应用知识点和技能。

通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。

通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。六、学生学习效果学生学习效果

在学习了“导数及其应用”中的“1.3导数在研究函数中的应用——利用导数研究函数的单调性”这一章节后，学生在以下几个方面取得了显著的效果：

1.理解导数的概念和应用

学生通过本节课的学习，对导数的概念有了更加深入的理解。他们能够区分导数的定义、导数的几何意义以及导数在研究函数性质中的应用。学生能够运用导数来判断函数在某一点的增减性，理解导数与函数图形的关系，从而更好地把握函数的变化趋势。

2.掌握函数单调性的判断方法

学生学会了利用导数来研究函数的单调性。他们能够根据导数的正负来判断函数的增减区间，理解函数在增减区间上的变化趋势。通过实际例子的分析，学生能够熟练地运用导数来解决问题，提高了他们的数学应用能力。

3.提高逻辑推理和运算能力

在本节课的学习过程中，学生需要运用逻辑推理和运算能力来分析函数的性质。他们在解决实际问题时，能够运用导数的定义和性质进行推理，从而提高了逻辑推理能力。同时，学生通过计算导数和判断导数的正负，提高了运算能力。

4.培养问题解决能力

学生在学习过程中，通过分析实际问题，运用导数来研究函数的单调性，培养了问题解决能力。他们能够从实际问题中提取数学模型，运用数学知识解决实际问题，提高了分析问题和解决问题的能力。

5.增强合作学习意识

本节课采用了小组讨论、角色扮演、实验等活动，让学生在实践中掌握导数在研究函数单调性中的应用。这些活动有助于培养学生的合作学习意识，提高他们的团队协作能力。学生在合作中互相学习、互相帮助，共同完成任务，增强了团队精神。

6.提升学习兴趣和自信心

7.培养自主学习能力

本节课的课前自主探索环节，要求学生自主阅读预习资料，思考预习问题，提交预习成果。这一环节有助于培养学生的自主学习能力。学生在自主学习过程中，能够发现问题、解决问题，提高了自我管理能力。

8.增强数学应用意识

学生在学习过程中，通过分析实际问题，运用导数来研究函数的单调性，增强了数学应用意识。他们能够将数学知识应用于实际生活，提高了数学素养。七、重点题型整理1.题型一：判断函数在某一点处的单调性

题型示例：已知函数f(x)=x^3-3x+2，求函数在x=1处的单调性。

解答步骤：

a.求导数f'(x)=3x^2-3。

b.计算导数在x=1时的值，f'(1)=3*1^2-3=0。

c.分析导数的符号变化，由于导数在x=1时为0，需要进一步分析x=1附近的导数符号。

d.得出结论，由于在x=1左侧导数为负，右侧导数为正，因此函数在x=1处从减少变为增加，即函数在x=1处由减少变为增加。

2.题型二：求函数的增减区间

题型示例：已知函数f(x)=2x^3-6x^2+2x+1，求函数的增减区间。

解答步骤：

a.求导数f'(x)=6x^2-12x+2。

b.解方程f'(x)=0，得到导数的零点，x=1/3或x=1。

c.分析导数在零点附近的符号变化，确定函数的增减区间。

d.得出结论，函数在区间(-∞,1/3)和(1,+∞)上单调增加，在区间(1/3,1)上单调减少。

3.题型三：分析函数图像的凹凸性

题型示例：已知函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1，分析函数的凹凸性。

解答步骤：

a.求二阶导数f''(x)=12x^2-24x+12。

b.解方程f''(x)=0，得到二阶导数的零点，x=1或x=1/2。

c.分析二阶导数在零点附近的符号变化，确定函数的凹凸性。

d.得出结论，函数在区间(-∞,1/2)和(1,+∞)上凹，在区间(1/2,1)上凸。

4.题型四：求函数的极值

题型示例：已知函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1，求函数的极值。

解答步骤：

a.求导数f'(x)=3x^2-12x+9。

b.解方程f'(x)=0，得到导数的零点，x=1或x=3。

c.分析导数在零点附近的符号变化，确定极值点的类型（极大值或极小值）。

d.计算极值点处的函数值，得到极值。

5.题型五：结合实际问题应用导数

题型示例：一物体以速度v(t)=t^2-4t+6（单位：米/秒）做匀速直线运动，求物体在t=2秒时的位移和平均速度。

解答步骤：

a.计算速度函数v(t)在t=2秒时的值，v(2)=2^2-4*2+6=2。

b.由于速度是位移的导数，可以通过积分求位移函数s(t)。

c.对速度函数v(t)进行积分，得到位移函数s(t)=t^3/3-2t^2+6t+C。

d.利用初始条件（如t=0时位移为0）求解常数C，得到位移函数。

e.计算t=2秒时的位移，s(2)=2^3/3-2*2^2+6*2+C。

f.计算平均速度，平均速度=(位移变化量)/(时间变化量)。八、教学反思与总结今天这节课，我们学习了导数在研究函数中的应用，特别是如何利用导数来研究函数的单调性。我想，这节课对我来说，既有得也有失，下面我就来简单反思一下。

首先，我觉得我在教学方法上还是做得不错的。我尝试通过引入实际生活中的例子，比如物体的运动速度，来帮助学生理解导数的概念。我发现，这样的方法很有效，学生们对导数的理解变得更加直观和具体。我还设计了一些小组讨论和实践活动，让学生们在互动中学习，这让他们更加投入，课堂气氛也活跃了许多。

但是，我也发现了一些问题。比如，在讲解导数的几何意义时，我发现有些学生还是不太能理解导数与函数图形的关系。这可能是因为他们对函数图形的理解还不够深入。我应该在讲解之前，先回顾一下函数图形的基础知识，或者通过更直观的图示来帮助他们理解。

在策略上，我尝试了多种教学方法，包括讲授法、讨论法、实验法等，但我觉得还可以更加多样化。比如，我可以在课堂上加入一些游戏或者竞赛元素，这样既能提高学生的兴趣，也能激发他们的学习动力。

管理方面，我觉得我做得还可以。我尽量保持课堂秩序，让学生在安静的环境中学习。但是，我也注意到，有些学生可能会在课堂上分心，这需要我在今后的教学中更加关注。

情感态度方面，学生们对数学学习的兴趣似乎有所提高。他们更加积极地参与课堂讨论，对数学问题有了更多的好奇心。这让我感到非