高二下学期期中复习选择题压轴题十六大题型专练（解析版）-1

2024-2025学年高二下学期期中复习选择题压轴题十六大题型专练【人教A版（2019）】题型1题型1两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题1．（24-25高三上·内蒙古阿拉善盟·期末）已知函数f(x)=ex-ax+b,g(x)=x2-x.若曲线y=f(x)和y=g(x)在公共点A(1,0)处有相同的切线，则A．e-1,-1 B．-1,e-1 C．e【解题思路】先根据y=f(x)和y=g(x)在公共点A(1,0)处有相同的切线得出在x=1处两函数的导数相等,再由A(1,0)在y=f(x)上,列方程组求解即可.【解答过程】因为g'(x)=2x-1，所以由题意，f'(1)=故选:A.2．（24-25高三上·河南洛阳·阶段练习）若直线y=4x+m是曲线y=x3-nx+13与曲线y=x2A．11 B．12 C．-8 D．-7【解题思路】由直线y=4x+m是曲线y=x2+2lnx的切线求解m=-3，可得切线方程，再设直线y=4x-3【解答过程】解：由y=x2+2lnx，得y则直线y=4x+m与曲线y=x2+2∴4+m=1+2ln1=1，得∴直线y=4x-3是曲线y=x由y=x3-nx+13，得y则3t2-n=4，且t解得t=2，所以n=8．∴n-m=8-(-3)=11．故选：A．3．（24-25高三·江西·阶段练习）若函数f(x)=3x+1x-3(x>0)的图象与函数gx=txex的图象有公切线l，且直线lA．1e B．e2 C．1e或2e D【解题思路】根据垂直性质可得kl=2，再求导根据导数的几何意义可得切线l的方程为y=2x-1，再设函数gx=txe【解答过程】由题知，kl=2，令f'x=3-1x2=2，又x>0，解得x=1设函数gx=txex与直线所以2x0-1=t即2x0-1x0=2故选：D.4．（24-25高二下·安徽亳州·阶段练习）若存在过点O0,0的直线l与曲线fx=x3-3xA．1 B．164 C．132 D【解题思路】根据题意，分点O是切点与点O不是切点，两种情况讨论，然后结合切线方程的求解方法，得到相应的切线方程，从而得到a的值.【解答过程】由题意可得，f'因为0,0在直线l上，当O0,0为f则f'0=2，所以直线l又直线l与y=x所以x2+a-2x=0满足Δ=4-4a=0当O0,0不是f设切点为x0则f'所以x03-3所以f32=-14由y=-14x由题意得Δ=116综上得a=1或a=1故选:AB.题型2题型2利用导数研究函数的单调性5．（2025·黑龙江·二模）已知函数fx=2ax+cos2x-π4在区间A．12 B．22 C．32【解题思路】求导，根据在区间-π2,0上导数恒大于等于【解答过程】f'因为函数fx在区间-所以2a-2sin2x-π4即a≥sin2x-π4因为x∈-π2,0，所以所以a≥22，即实数a的最小值为故选：B.6．（2025·贵州毕节·二模）已知函数fx是定义域为R的奇函数，f'x是fx的导函数，f1=0，当x<0时，A．-∞,-1∪C．-∞,-1∪【解题思路】当x<0时，xf'x+3fx>0，可得gx=x3【解答过程】令gx=x由题意知当x<0时，g'x>0，故g因为函数fx是定义域为R所以f-x所以g-x所以gx是定义域为R所以gx在0,+又因为f1=0，所以所以g1所以当x∈-∞,-1时，g当x∈-1,0时，gx=当x∈0,1时，gx=当x∈1,+∞时，gx则不等式fx<0的解集为故选：D.7．（2025·黑龙江·一模）已知实数x，y，z满足ex-e2=ex-2≠0，ey-e3=ey-3A．x<y<z B．y<x<z C．z<x<y D．z<y<x【解题思路】构建函数ft=et-et，利用导数分析ft的单调性，根据题意可得fx=f2，【解答过程】设ft=et-et因为f't在定义域上单调递增，且若t>1，则f't>0；若t<1可得ft在1,+∞上单调递增，在又因为ex-e2=可得ex-ex=e即fx=f2，fy=f3，fz可知fx<fy<fz，且x<1，y<1故选：D.8．（2025高三·全国·专题练习）下列说法中，正确的是（

）A．若对任意x1,x2∈I,B．函数y=2|x+1|的递减区间是(-C．函数f(x)=2-D．y=2x+2cosx在【解题思路】由函数单调性的定义判断A；作出函数y=2|x+1|的图象可判断B；由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可判断C；利用导数求解单调性可判断D．【解答过程】对于A，若对任意x1,x当x1<x2时，则有fx由函数单调性的定义可知y=f(x)在I上是单调递增，故A正确．对于B，作出函数y=2|x+1|的图象，如图所示，由图象可知：函数y=2|x+1|的递减区间是(-∞,-1]，故对于C，函数y=-x2+2x+3=-x-12又函数y=2x在∴由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可得，f(x)=2-x2+2x+3对于D，因为-1≤sinx≤1，y=2x+2cos所以y=2x+2cosx是R上的增函数，故故选：ABD.题型3题型3利用导数研究函数的极值与最值9．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数f(x)=exx3+aA．(-4,0) B．[-4,0] C．(0,4) D．[0,4]【解题思路】对函数求导，问题化为g(x)=x3+3x【解答过程】由题设f'(x)=e则g'当x<-2或x>0时，g'(x)>0，则g(x)在(-∞当-2<x<0时，g'(x)<0，则g(x)在g(-2)=-8+12+a=4+a，g(0)=a且x→-∞时g(x)趋向-∞，x→+∞时g(x)要使函数f(x)=e即f'(x)至少有两个变号零点，所以所以4+a>0a<0故选：A.10．（24-25高二上·湖南·期末）若x=0是函数fx=x3-aA．5027 B．-5027 C．-【解题思路】先对函数fx=x3-a求出a的值，再由a的取值和单调性即可求出x=-23【解答过程】因为fx=x又x=0是函数fx的极小值点，所以f'0=a当a=0时，f'x=3x当a=-1时，f'所以当x∈-∞,-23当x∈-23,0时，当x∈0,+∞时，f'x=0是fx的极小值点，所以a=-1，f由以上分析知，当x=-23时，fx故选：B.11．（2024·四川凉山·三模）函数f(x)=a2x2-sinx，若fA．0,+∞ B．0,1 C．-∞,0【解题思路】对函数求导，讨论参数a的范围，根据导数的符号判断单调性，进而确定是否存在最小值，即可得范围.【解答过程】由题意，函数f(x)=a2x若a≤0时，当x∈0,π2时f此时函数f(x)在0,π当a>0时，令f'(x)=0，即画出函数y=ax与y=cos

结合图象，存在x0∈0,当x∈0,x0当x∈x0,此时函数f(x)在0,π综上可得，实数a的取值范围是(0,+∞故选：A.12．（24-25高三下·江苏南通·开学考试）已知函数fx=sinA．fx的零点为B．fx在-πC．直线x=π是fD．0是函数y=xfx【解题思路】令fx=0可判断A；由fx为奇函数可判断B；由对称性的性质计算f(π+x)≠f(π【解答过程】解：对于A，函数fx的零点即fx=因为sinx1-cosx=0当sinx=0时，x=kπ当1-cosx=0，即cosx=1时，x=2kπ所以fx的零点为kπ，k∈Z，A对于B，因为f-x=-sin所以fx在-π，π上的最大值与最小值之和为0，对于C，fπfπfπ+x≠fπ-x，所以直线x=对于D，令gx则g'当x∈-π2，0所以g'x<0又gx=xfx为偶函数，所以x∈所以0是函数y=xfx的极小值点，D选项正确故选:BD.题型4题型4利用导数研究函数的零点（方程的根）

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示13．（24-25高二下·江苏南京·开学考试）已知函数f(x)=aex-x2A．0,6e3 B．0,2e C【解题思路】将问题转化为y=a与曲线gx=x2-3【解答过程】令fx=0，即得ae即直线y=a与曲线gx可得g'所以当x∈-∞,-1或x∈3,+∞当x∈-1,3时，g'x所以当x=-1时，gx有极小值为g(x)=-2当x=3时，gx有极大值为g当x→+∞时，gx→0，且当x所以作出函数gx所以数形结合可知0<a<6e3，即实数a故选：A.14．（24-25高三上·浙江·期末）已知函数fx=x3+2x2+2120x,x≤0A．0,1e B．0,12e C【解题思路】利用分段函数思想，结合分离参变量，再利用求导，数形结合，可得参数范围.【解答过程】当x≤0时，由gx=fx显然x=0，是gx再当x≠0时，有x2作出图象可得：当x=-1时，y=1-2+21所以当a∈120,2120再当x>0时，由gx=fx整理得lnxx2=a，令令y'=当x∈0,e时，y'=1-2当x∈e,+∞时，y'=作出图象：所以由图可得：当a∈0,12e时，又由于120所以要使得gx=fx故选：D.15．（24-25高三下·浙江宁波·阶段练习）已知函数fx=x2+4x,x≤0eA．3 B．4 C．5 D．6【解题思路】利用导数研究fx单调性，画出fx图象，先求fx零点，再借助数形结合判断函数【解答过程】当x≤0时，f(x)=x2+4x，令fx=0当x>0时，fx=ex-又x→0+时，fx→-∞；x→+所以∃x0∈函数图象如图所示：要使gx=ffx-5=0，即即fx=5或fx由函数图象知y=5，y=1，y=x0+5故fx=5或fx故函数gx=ff故选：D.16．（24-25高三上·黑龙江·期末）已知函数fx=ax3-6aA．a的取值范围是-B．a的取值范围是1C．xD．x【解题思路】求出f'x，分a<0、a>0讨论，利用导数求出极值可判断AB；利用fx=a【解答过程】f'令f'x=0，解得x=0当a<0时，当x∈4,+∞时，f'当x∈-∞,0时，f当x∈0,4时，f'x所以f0极小值=1>0此时函数fx当a>0时，当x∈4,+∞时，f'当x∈-∞,0时，f当x∈0,4时，f'x<0，要使fx则f4极小值=64a-96a+1=1-32a<0，解得a>132，即a的取值范围是1因为函数fx=ax则f=a=ax即有-ax1x2x3=1，x1故选：BD.题型5题型5利用导数研究恒成立、存在性问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示17．（24-25高三下·河北·开学考试）∀x∈R，不等式x2-xexA．e2，e B．e，2e【解题思路】分离参数后，可得x>0时，问题等价为a≤x-1ex+ex；当x<0时，问题等价为a≥【解答过程】因为不等式x2①当x=0时，a∈R②当x>0时，问题等价为a≤x-1设gx则g'x则h'x=x+1ex+所以gx在0，1所以y=gx上的最小值为g1=③当x<0时，问题等价为a≥x-1设mx则mx所以y=hx在-而x→-∞时，hx→0综上所述：实数a的取值范围为0故选：D.18．（24-25高三上·宁夏银川·期末）已知函数fx=x+a-1ex-ax-a2+aA．-∞,e B．1,e C．【解题思路】先转化变元，由fx>0得a-exa+x-1a2<0【解答过程】由fx=x+a-1得a2得a-e设gx=e故gx在1,+∞上单调递增，故故当x>1时，ex故-x+1<a<e因为x>1，所以-x+1<0，ex故0≤a≤e故选：D.19．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）已知函数fx=xe-x，gx=12xA．2e2+C．12-1【解题思路】题中条件“∃x1,x2∈1,2，使得fx1=gx【解答过程】由fx=xe因为本题中x∈1,2，所以f所以fx单调递减，所以f由gx=1当x∈1,2时，g'x所以gx因为∃x1,所以2-ln所以a∈2故选：D.20．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）若对任意的x1,x2∈0,m，且x1A．2 B．e C．e2 D．【解题思路】交给定不等式变形为lnx2-1x【解答过程】对∀x1,x2则x1lnx2-令函数g(x)=lnx-1x，依题意，函数y=g(x)求导得g'(x)=2-lnxx2因此函数y=g(x)的单调递增区间为(0,e2)，则(0,m)⊆(0,所以实数m的取值范围是(0,e2]，ABC满足，故选：ABC.题型6题型6利用导数研究双变量问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示21．（23-24高二下·福建福州·期末）已知x,y为正实数，lnx+lny=A．x ＞ y B．x ＜【解题思路】利用构造一个函数，结合求导思想分析单调性，从而可得出选项.【解答过程】由lnx+lny=构造函数fx=ln可知fx=ln结合lnx+x=ln1y+由基本不等式可知：x+y≥2xy当且仅当x=y=1时等号成立，所以x+y>1.故选：C.22．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知函数f(x)=e2x,g(x)=x-1，对任意x1∈R，存在x2∈(0,+A．1 B．2C．2+ln2 D【解题思路】令fx1=gx2=m>0，将x1,【解答过程】解：由题意，令fx1=gx2所以x1=12ln令hm=m+1-1令h'm=0所以当m∈0,12时，h当m∈12,+∞时，所以当m=12时，hm即x2-x故选：D．23．（23-24高二下·湖南·期中）已知Pt,t2，过点P可作曲线fx=x-lnx的两条切线，切点为xA．-1,0 B．-1,0 C．-2,-1 D．-2,-1【解题思路】先设切点坐标，利用导数的几何意义确定切线方程，参变分离得方程t+1-t2=tx+lnx有两不同解x1,x2【解答过程】因为f'x=1-则曲线在该点处的切线方程为：y=1-又Pt,t2则方程t+1-t2=令gx易知t≤0时，gx单调递增不合理，故t>0当t>0时，g't=0，当x∈0,t时，gx单调递减，x∈要使t+1-t2=tx令ht=t又因为h1=0易知x1又因为x1,x2为方程代入可得x1x2故选：A.24．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）已知函数fx=lnxx，gx=xe-xA．lnx1=C．x2x12⋅ek【解题思路】由fx1=gx2=k(k<0)，得-lnx1x1=-【解答过程】由fx1=g则-lnx1x1两边同时取对数可得：ln-又函数y=lnx+x在∴-lnx1=-x由lnx1=x2，若此时ln-x2=0，-x所以x2x1设hk=k由ekk2+2k>0，k<0，可得k<-2由ekk2+2k<0，k<0，可得-2<k<0故hkmax=h-2=4e2，因此x故选：AC.题型7题型7导数中的新定义问题25．（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数fx的导函数为f'x，若存在x0使得fx0=f'x0，则称x0是A．fx=lnC．fx=sin【解题思路】求导，然后直接解方程fx=f'【解答过程】对于A选项，fx=ln令gx因为函数y=lnx+1、y=-1所以，函数gx=ln因为g0=-1<0，g1由零点存在定理可知，函数gx=ln所以，函数fx=lnx+1有对于B选项，fx=1由fx=f'x所以，函数fx=12x对于C选项，fx=sin由fx=f'x可得sin所以，函数fx=sinx有对于D选项，fx=cos由fx=f'x可得cos所以，函数fx=cosx故选：B.26．（2024·安徽·模拟预测）给出定义：若函数fx在D上可导，即f'x存在，且导函数f'x在D上也可导，则称fx在D上存在二阶导数，记f″x=f'x'.若fA．fx=sinC．fx=-x【解题思路】根据给出的导数新定义逐项判断即可.【解答过程】对于A：fx=sinx+cos则fx在0,π2上恒有f对于B：fx=lnx-2x，则fx在0,π2上恒有f对于C：fx=-x3+2x-1则fx在0,π2上恒有f对于D：fx=-xe-x，则fx在0,π2上恒有f″故选：D.27．（23-24高二下·江苏常州·期中）设f(x)定义在R上，若对任意实数t，存在实数x1,x2，使得fx1-fx2x1-x2=A．f(x)=x3-3x B．f(x)=ex-1 C【解题思路】对题干条件变形，转化为g(x)=f(x)-f'(t)x在R上不单调，即可满足“性质T【解答过程】将fx1-f令g(x)=f(x)-f'(t)x，则g(x)在R上至少有2所以g(x)=f(x)-f'(t)x在R上不单调，即可f(x)满足“性质对于A，g(x)=f(x)-f'(t)x=x3-3x-(3t2-3)x，当t=0时，g(x)=x对于B，g(x)=f(x)-f'(t)x=ex-1-xet-1，g'(x)=ex-1-et-1，所以x>t时，g'对于C，g(x)=f(x)-f'(t)x=sin2x-2xcos2t，当t=0时，则g'(x)=2cos2x-2≤0，所以对于D，g(x)=f(x)-f'(t)x=xx2+1+t2-1(t2+1)2故选：B.28．（23-24高二下·江苏南京·期末）对于三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0，给出定义：f'x是函数y=fx的导数，f″x是函数f'x的导数，若方程f″x=0有实数解x0，则称x0A．fx的极大值为B．fx有且仅有2C．点12,2是D．f【解题思路】求得f'x=2(x-3)(x+2)，得出函数单调性，结合极值的概念，可判定A正确；根据极大值为f-2>0，极小值f3<0，进而得到函数fx有3个零点，可判定B错误；求得f″x=4x-2，令f″【解答过程】由函数fx=2令f'x>0，解得x<-2或x>3；令f所以函数fx在(-∞,-2)上单调递增，在(-2,3)当x=-2时，fx取得极大值，极大值为f-2=又由极小值f3=-1136<0当x→+∞时，fx→+∞，所以函数fx由f'x=2x2-2x-12，可得又由f(12)=23所以C正确；因为12,2是函数fx令S=f1可得S=f2023所以2S=[f12024+f20232024所以S=4046，即f1所以D正确.故选：ACD.题型8题型8两个计数原理的综合应用

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示29．（24-25高三上·广西·阶段练习）如图，对A，B，C，D，E五块区域涂色，现有5种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（

）A．480种 B．640种 C．780种 D．920种【解题思路】先涂B，D，E，然后分类讨论A的颜色，最后利用乘法原理与加法原理可得答案.【解答过程】先涂B，D，E，有A53若A的颜色不同于B，D，E所涂颜色，有2种涂法，此时C有3种涂法，则对应总涂法数为60×6=360；若A的颜色与E的颜色相同，此时C有3种涂法，则对应总涂法数为60×3=180；若A的颜色与D的颜色相同，此时C有4种涂法，则对应总涂法数为60×4=240.综上，总涂法数为360+180+240=780.故选：C.30．（23-24高二下·广东中山·期末）用数字0，1，2，3，4，5组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（

）A．76 B．38 C．36 D．30【解题思路】组成有重复数字的三位数，且是偶数,按个位是0和不是0进行分类;个位不是0时要注意选中的数有0和不是0情况求解.【解答过程】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即0，2，4，有3种选择，而由于这是一个三位数，所以百位数不能是0，有5种选择，因为存在重复数字，由此分类讨论:①当个位数为0时，则百位数有5种选择，十位数有两种情况，与百位数一样，只有一种选择，与个位数一样，也只有一种选择;②当个位数为2时，如果百位数为2，则十位数有6种选择，如果百位数不为2，则百位数有4种选择，此时十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择:当个位数为4时，如果百位数为4，则十位数有6种选择，如果百位数不为4，则百位数有4种选择，十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择综上所述，5×1+5×1+1×6+4×2+1×6+4×2=38.故选：B.31．（2024高二下·江苏·学业考试）用红、黄、蓝、白、黑五种颜色在“田”字型的4个小方格内涂色，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（

）A．120 B．260 C．280 D．320【解题思路】利用分类分步计数原理，分4步分别计算即可求得结果.【解答过程】将“田”字型的4个小方格分别编号为A,B,C,D，如下图所示：根据题意，将问题分成4步进行，第一步：涂方格A，共有5种颜色选择，第二步：涂方格B，需与A不同，共有4种颜色选择，第三步：涂方格C，若方格C与方格B颜色相同，只有1种选择；若方格C与方格B颜色不同，则有3种选择；第四步：涂方格D，当方格C与方格B颜色相同，方格D有4种颜色选择；当方格C与方格B颜色不同，方格D有3种颜色选择，因此可得不同的涂色方法共有5×4×1×4+3×3=260故选：B.32．（24-25高二下·浙江嘉兴·阶段练习）如图，用n种不同的颜色把图中A,B,C,D,E五块区域涂上颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则（

）A．n≥3B．当n=4时，若B,D同色，共有48种涂法C．当n=4时，若B,D不同色，共有48种涂法D．当n=5时，总的涂色方法有420种【解题思路】根据B,D同色或者B,D不同色，即可结合选项，根据分步乘法计数原理求解.【解答过程】对于A，由于区域A,B,C两两相邻，所以至少需要三种及以上的颜色才能保证相邻区域不同色，故A正确，对于B，当n=4时，此时按照ABC的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有4×3×2=24种涂法，涂D时，由于B,D同色（D只有一种颜色可选），所以只需要从剩下的颜色或者与A同色的两种颜色中选择一种涂E，故共有24×2=48种涂法，B正确；对于C，当n=4时，涂ABC有4×3×2=24种，当B,D不同色（D只有一种颜色可选），此时ABCD四块区域所用颜色各不相同，涂E只能用与A同色，此时共有24种涂法，C错误；对于D，当n=5时，此时按照ABC的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有5×4×3=60种涂法，涂D时，当B,D同色（D只有一种颜色可选），所以只需要从剩下的两种颜色中或者与A同色的颜色中选择一种涂E，故共有60×3=180种涂法，当B,D不同色，此时ABCD四块区域所用颜色各不相同，共有5×4×3×2=120，只需要从剩下的颜色或者与A同色的两种颜色中选择一种涂E此时共有5×4×3×2×2=240种涂法，综上可知，总的涂色方法有420种，故D正确，故选：ABD.题型9题型9相邻、不相邻排列问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示33．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的是（

）A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有720种不同排法【解题思路】根据捆绑法、特殊位置的排列和插空法计算，依次判断选项即可.【解答过程】A：如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个“大元素”，此时，共有A44AB：如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个“大元素”，此时，共有A33AC：如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制，此时，共有A42AD：如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的5个空中，此时，共有A44A5故选：C．34．（24-25高三上·重庆·阶段练习）我校田径队有十名队员，分别记为A,B,C,D,E,F,G,H,J,K，为完成某训练任务，现将十名队员分成甲、乙两队．其中将A,B,C,D,E五人排成一行形成甲队，要求A与B相邻，C在D的左边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求F与G不相邻，则不同的排列方法种数为（

）A．432 B．864 C．1728 D．2592【解题思路】先计算甲队的排列总数，分别要用上捆绑法和除序法；然后再利用插空法计算乙队的排列总数，最后利用计数原理计算总的排列方法数即可.【解答过程】甲队，先用捆绑法，将A与B捆绑有A22=2种，将A与B看作一个整体，再用除序法得A乙队，利用插空法得A3按照计数原理可知，一共24×72=1728种.故选：C.35．（23-24高二下·安徽·阶段练习）李白的一句“烟花三月下扬州”让很多人对扬州充满向往．据统计，唐朝约有120名诗人写下了400多首与扬州有关的诗篇，某扬州短视频博主从中选取了7首，制作了分别赏析这7首诗的7个短视频（含甲、乙），准备在某周的周一到周日发布，每天只发布1个，每个短视频只在其中1天发布，若甲、乙相邻两天发布，则这7个短视频不同的发布种数为（

）A．180 B．360 C．720 D．1440【解题思路】元素相邻的排列问题，利用捆绑法解决即可.【解答过程】先将甲、乙排为一列，有A2再将其视为一个整体与其余5个视频排成一列，有A6根据分步乘法计数原理可得，甲、乙在相邻两天发布的不同的发布种数为A2故选：D．36．（24-25高二上·福建龙岩·期中）传承红色文化，宣扬爱国精神，湖洋中学国旗队在高一年级招收新成员，现有小明、小红、小华等7名同学加入方阵参加训练，则下列说法正确的是（

）A．7名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为840B．7名同学站成一排，小明、小红两人相邻，则不同的排法种数为720C．7名同学站成一排，小明、小红两人不相邻，则不同的排法种数为480D．7名同学分成三组（每组至少有两人），进行三种不同的训练，则有630种不同的训练方法【解题思路】A先从7个位置中选3个排小明等3人，随后排列剩下4人，可得排法总数；B将小明，小红两人捆绑为1人，随后与剩下5人一起排列，可得排法总数；C先排剩下5人，随后将小明小红排进5人的空隙中，可得排法总数；D先将7人按2+2+3形式分为3组，再给每组安排训练，可得安排总数.【解答过程】A选项，先从7个位置中选3个排小明等3人，有C7随后排列剩下4人，有A44=4!=24种方法，则共有35×24=840B选项，将小明，小红两人捆绑为1人，有2种排列方法，随后与剩下5人一起排列，有A66=6!=720种方法，则共有720×2=1440C选项，先排剩下5人，有A55=5!=120种方法，再将小明小红排进5有A62=6×5=30种方法，则共有30×120=3600D选项，由题分组情况为2人的2组，3人的一组，则有C7随后安排训练，有A33=3!=6种方法，则共有105×6=630种方法，故故选：AD.题型10题型10分组分配问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示37．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分队，平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则不同的分配方案有（

）A．72种 B．36种 C．24种 D．18种【解题思路】先分配语文老师，再把数学体育老师按1，2和2，1分配，或2，1和1，2分配即可求解；【解答过程】两名语文老师由A2数学老师按1，2分，则体育老师按2，1分，或数学老师按2，1分，则体育老师按1，2分，共有C3所以不同的分配方案有2×18=36，故选：B.38．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（

）A．1280 B．300 C．1880 D．1560【解题思路】利用先分组再分配的思想结合排列组合的知识求解.【解答过程】将6名导游分成四组，各组人数分别为1，1，1，3或1，1，2，2．当各组人数为1，1，1，3时，共有C6当各组人数为1，1，2，2时，共有C6故不同安排方法有480+1080=1560种．故选：D.39．（24-25高三上·广西·期中）为促进城乡教育均衡发展，某地区教育局安排包括甲、乙在内的5名城区教师前往四所乡镇学校支教，若每所学校至少安排1名教师，每名教师只能去一所学校，则甲、乙不安排在同一所学校的方法数有（

）A．1440种 B．240种 C．216种 D．120种【解题思路】根据分组分配计算所有的安排方法数，再计算甲、乙安排在同一个学校的方法总数，相减得符合的方法数.【解答过程】根据题意，若每所学校至少安排1名教师，每名教师只去一所学校，则有C5若甲、乙安排在同一个学校，则有A4甲、乙不安排在同一所学校的方法数有240-24=216种．故选：C．40．（24-25高三上·吉林白城·阶段练习）现安排甲､乙､丙､丁､戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的是（

）A．不同安排方案的种数为5B．若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为CC．若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为CD．若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为C【解题思路】根据分步计数原理可判断A；先分组，然后再分配可判断BCD.【解答过程】对A，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则不同安排方案的种数为45，故A对B，先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，则不同安排方案的种数为C52A对C，先将5人分为3组，有C5将分好的三组安排翻译､导游､礼仪三项工作，有A3则不同安排方案的种数是C53C对D，第一类，先从乙，丙，丁，戊中选出1人从事司机工作，再将剩下的4人分成三组，安排翻译､导游､礼仪三项工作，则不同安排方案的种数为C4第二类，先从乙，丙，丁，戊中选出2人从事司机工作，再将剩下的3人安排翻译、导游、礼仪三项工作，则不同安排方案的种数为C42A33.所以不同安排方案的种数是故选：BD.题型11题型11排列、组合的综合应用

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示41．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）据典籍《周礼•春官》记载，“宫､商､角､徵､羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“羽”不为首音阶，“商”“角”不相邻，则可以排成不同音序的种数是（

）A．50 B．64 C．66 D．78【解题思路】以“宫”的顺序将音阶排序分为四类，再考虑“商”“角”顺序，运用排列组合知识可得答案.【解答过程】①若“宫”为首音阶，“商”“角”可取24,25,35音阶，排成的音序有C3②若“宫”为第2音阶，“商”“角”可取13,14,15,35音阶，排成的音序有C3③若“宫”为第3音阶，“商”“角”可取14，15，24，25音阶，排成的音序有C2④若“宫”为第4音阶，“商”“角”可取13，15，25，35音阶，排成的音序有C21由分类加法计数原理可知，一共有12+14+12+12=50种排法.故选：A.42．（24-25高三上·河北邢台·期末）运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到A，B，C三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（

）A．72 B．96 C．114 D．124【解题思路】根据题意，先将5人分为三组并分配到各个场地，再计算得出甲乙不在同一个场地的情况即可求解.【解答过程】将5名志愿者分为1，2，2，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法有C21将5名志愿者分为1，1，3，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法有A33故不同的安排方法共有72+42=114种.故选：C.43．（2024高三·全国·专题练习）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有（

）A．252个 B．300个C．324个 D．228个【解题思路】根据题意，分三种情况进行讨论，四位数中包含5和0的情况，四位数中包含5，不含0的情况，四位数中包含0，不含5的情况，再由分步计数原理，即可求解．【解答过程】（1）若四位数中含有数字0不含数字5，则选法是C32C（2）若四位数中含有数字5不含数字0，则选法是C31C（3）若既含数字0，又含数字5，选法是C31C41若5在个位，有2A22=4根据加法原理，共有72+108+120=300个．故选：B．44．（23-24高二下·江苏南通·期中）某机构组织举办经验交流活动，共邀请了八位专家，以A、B、A．F专家和C专家发言中间必须间隔1个人，共有A6B．E专家和G专家发言不相邻，共有A6C．A、B、D．D专家不第一个发言，H专家不最后一个发言，共有A7【解题思路】根据插空法即可判断AB；根据捆绑法即可判断C；分成H排在第一、H排在除第一位和最后一位之外的某一位置两类情况分析即可判断D.【解答过程】A：先排剩下的六人，有A66种，两人之间必须间隔一个人，有6×A22B：若E、G不相邻，剩余6类排列方法为A6则E、G填入7个空的方法为A72，所以共有C：先排列A、B、C三位专家则有则方法有A66种排列方法，所以共有6AD：分成两类情况，一是H排在第一，则此类情况下排法有A7二是H排在除第一位和最后一位之外的某一位置，有C6则共有A77+故选：BD．题型12题型12用赋值法求系数和问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示45．（24-25高二上·江西抚州·期末）若(2x-1)5=aA．a0=-1 BC．|a0|+|【解题思路】根据给定条件，利用赋值法逐项计算判断.【解答过程】对于A，取x=1，得a0=1对于B，[2(x-1)+1]5展开式中(x-1)4项的系数为C5对于C，二项式[2(x-1)+1]5展开式中各项系数均为正，取x=2得|a0|+|对于D，取x=2，得a0+a1+联立解得a0+a2+a故选：C.46．（24-25高二上·辽宁·期末）已知(1-2x)5=aA．a1+aC．a0-a【解题思路】利用二项式定理展开式的通项公式，结合赋值法逐项计算可判断每个选项的正误.【解答过程】由Tr+1所以a1，a3，a5皆为负值，a0，a2，a令x=-1，则35=a0-a即a1+a2+由①知a0+a在(1-2x)5令x=1，则a0+a1故选：A.47．（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知(1+2x)(2-x)6=a0A．170183 B．-170183 C．121【解题思路】令x=1可得a0+a1+a2+a3+a4+【解答过程】因为(1+2x)(2-x)令x=1可得a0令x=-1所以a0+a又(1+2x)(2-x)其中(2-x)6展开式的通项为Tr+1=26-r所以a6所以a0所以a0故选：B.48．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）已知(2-x)11=aA．aB．aC．aD．a【解题思路】利用赋值法即可求解.对于选项A，令x=0即可求解；对于选项B，令x=1即可求解；对于选项C，令x=-1，与x=1时的式子作差即可求解；对于选项D，令x=2，结合选项A即可求解.【解答过程】令x=0，得a0=2令x=1，得a0+a1令x=-1，得a0-由①-②得a1+a令x=2，得a0则2×a得a1+21故选：ACD.题型13题型13条件概率、全概率公式

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示49．（24-25高三下·安徽·阶段练习）甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为（

）A．13 B．713 C．23【解题思路】根据给定条件，利用条件概率、全概率公式列式计算得解.【解答过程】用事件A,B分别表示“周六跑步”，“周日跑步”，则A,B分别表示“周六游泳”，“周日游泳于是P(A)=0.6,P(B|A)=0.7,P(B|因此P(B所以P(A|B故选：D.50．（2025·辽宁·模拟预测）为了加快生产进度，公司决定使用某种检测机器对加工零件的等级（分为一等品和二等品）进行初筛和复查，已知该机器初筛的过程中零件被标记为一等品的概率为35，被标记为二等品的概率为25，被标记为一等品的零件有110的概率为二等品，被标记为二等品的零件中也有110的概率为一等品A．1314 B．67 C．57【解题思路】先分别设事件先应用对立事件求概率，再应用全概率和条件概率计算即可.【解答过程】设事件A表示“零件为一等品”，事件A表示“零件为二等品”，事件B表示“零件被标记为一等品”，事件B表示“零件被标记为二等品”，则P(B)=35,P(B)=故P(B故选:B.51．（24-25高三下·云南昆明·开学考试）甲箱中有3个红球，2个白球和2个黑球，乙箱中有2个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球．分别以A1，A2和A3表示从甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件，以B表示从乙箱取出的球是红球的事件，则PA．29 B．417 C．27【解题思路】利用全概率公式和条件概率公式计算即可得到答案.【解答过程】因为PA1=33+2+2若A1发生，则乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，所以P若A2发生，则乙箱中有2个红球，4个白球和3个黑球，所以P若A3发生，则乙箱中有2个红球，3个白球和4个黑球，所以P所以PB=PAPA故选：B．52．（2025·贵州毕节·二模）甲，乙两个盒子中装有除颜色外完全相同的球，其中甲盒子中有3个红球，4个白球，乙盒子中有2个红球，3个白球.先从甲盒子中随机取出一球放入乙盒子，再从乙盒子中随机取出一球.事件A1=“从甲盒子中取出的球是红球”，事件A2=“从甲盒子中取出的球是白球”，事件B=“从乙盒子中取出的球是红球A．PB∣A2C．PB∣A1【解题思路】利用条件概率的公式计算后可判断AC的正误，根据对立事件可判断B的正误，根据全概率公式可判断D的正误.【解答过程】对于A，PB∣A2对于B，A1,A2为对立事件，故对于C，PB∣A1故C错误；对于D，P=4故D正确；故选：AD.题型14题型14随机变量的期望与方差的综合应用

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示53．（24-25高二下·全国·课后作业）已知X,Y两个盒子中分别装有形状、大小、质量均相同的小球．其中，X盒中有3个红球，1个白球；Y盒中有1个红球，3个白球，现从两个盒子中同时各取走一个小球，一共取三次，此时记X盒中的红球个数为ξ,Y盒中的红球个数为η，则（

）A．Eξ>EηC．Eξ>Eη【解题思路】得到ξ与η的所有可能取值及其对应概率后即可得其分布列，借助分布列即可得其期望与方差.【解答过程】由已知ξ=0,1，Pξ=0Pξ=1则ξ的分布列为：ξ01P13可得Eξ=0×1由已知η=0,1，Pη=0Pη=1则η的分布列为：η01P31可得Eη=0×3所以Eξ故选：A.54．（23-24高二下·江苏苏州·期末）设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=ak+1(k=1,2,5),a∈R，E(ξ),D(ξ)分别为随机变量ξA．P(0<ξ<3.5)=23 B．E(3ξ+2)=7 C．D(ξ)=2 D【解题思路】利用分布列的性质概率之和为1，得出a=1，利用概率的性质可判断A选项，再利用均值方差定义公式以及其性质逐项判断BCD即可.【解答过程】因为随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=ak+1(k=1,2,5)，由分布列的性质可知，P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=5)=对于A，P(0<ξ<3.5)=P(ξ=1)+P(ξ=2)=12+对于B，∵E(ξ)=1×1∴E(3ξ+2)=3E(ξ)+2=3×2+2=8，故B不正确；对于C，D(ξ)=12×对于D，∵D(ξ)=2，∴D(3ξ+1)=9×D(ξ)=18，故D不正确.故选：C.55．（23-24高二下·江苏徐州·期中）不透明口袋中有n个相同的黑色小球和红色､白色､蓝色的小球各1个，从中任取4个小球，ξ表示当n=2时取出黑球的数目，η表示当n=3时取出黑球的数目，则下列结论中成立的是（

）A．Eξ<EηC．Eξ<Eη【解题思路】当n=2时，ξ的可能取值为1，2，分别求出相应的概率，进而求出期望和方差；当n=3时，η可取1，2，3，分别求出相应的概率，进而求出期望和方差，再比较即可得解得.【解答过程】当n=2时，ξ的可能取值为1，2，Pξ=1=C因此Eξ=1×2当n=3时，η的可能取值为1，2，3，Pη=1=C31因此Eη=1×1所以E(ξ)<E(η)，D(ξ)<D(η).故选：A.56．（2024·海南·模拟预测）某电子展厅为了吸引流量，举办了一场电子竞技比赛，甲、乙两人入围决赛，决赛采用2n+1局n+1胜的赛制，其中n∈N*，即先赢n+1局者获得最终冠军，比赛结束.已知甲每局比赛获胜的概率为p，且各局比赛结果相互独立，则（A．若n=3，p=12B．若n=1，p=13，记决赛进行了XC．若n=2，p=34，记决赛进行了YD．若n=1比n=2时对甲更有利，则0<p<【解题思路】对于A，利用独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求甲最终获胜的概率即可判断；对于B，由条件求X的分布列，再求其期望及方差即可判断，对于C，由条件求Y的分布列，再由期望公式求其期望即可判断，对于D，分别求n=1，n=2时甲获胜的概率，列不等式确定p的范围即可判断.【解答过程】对于A，因为n=3，p=1所以甲获胜的概率为124+C对于B，因为n=1，p=1由已知X的取值有2,3，PX=2=1所以EX所以DX=2-22对于C，因为n=2，p=3又Y的可能取值有3,4,5，所以PY=3PY=4PY=5所以EY=3×7对于D，当n=1时，甲获胜的概率为p2当n=2时，甲获胜的概率为p3若n=1比n=2时对甲更有利，则p2所以6p所以32p-1p-12所以0<p<12，故选：ABD.题型15题型15超几何分布与二项分布

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示57．（24-25高三上·福建莆田·开学考试）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0,1,2,3,4,5用X表示小球落入格子的号码，则下面计算错误的是（

）A．PX=0=1C．EX=5【解题思路】分析可知X~B5,12，利用独立重复试验的概率公式可判断AB【解答过程】设A=“向右下落”，则A=“向左下落”，P因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球下落的过程中共碰撞小木钉5次，所以X∼B5,对于A：PX=0=1-对于B：PX=5=1对于C：EX=5×1对于D：DX=5×1故选：B．58．（23-24高二下·浙江·期中）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为X1，期望方差分别为EX1,DX1；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为A．EX1=EC．EX1>E【解题思路】利用超几何分布和二项分布知识分别计算从中随机地无放回摸出3个球、从中随机地有放回摸出3个球的期望、方差，再做比较可得答案．【解答过程】试验一：从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为X1则X1的可能取值是0，1，2，3则P(X1P(X1=2)=故随机变量X1X0123P1131则数学期望为：E(X方差为：D(X试验二：从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为410则X2故E(X2)=3×故E(X1)=E(故选：A．59．（23-24高一下·甘肃天水·阶段练习）产品的质量是企业的根本，产品检测是生产中不可或缺的重要工作，某工厂为了保证产品质量，利用两种不同方法进行检测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，设员工甲抽取到的3件产品中次品数量为X，员工乙抽取到的3件产品中次品数量为Y，k=0,1,2,3，则下列判断不正确的是（

）（参考：超几何分布其均值EXA．随机变量X服从二项分布 B．随机变量Y服从超几何分布C．EX=EY【解题思路】由二项分布的定义判断A；由超几何分布的定义判断B；通过计算判断CD.【解答过程】对于A，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，则随机变量X服从二项分布，A正确；对于B，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，则随机变量Y服从超几何分布，B正确；对于C，该批产品有M件，则EXEY=k=0对于D，E(X)=k=03kP(X=k)，E(Y)=则EX<EY，与选项C故选：D.60．（2025·全国·模拟预测）某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件