2024年中考数学真题专题分类汇编专题30 尺规作图类问题（解析版）

2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）

专题30尺规作图类问题

一、选择题

1.（2024山东烟台）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，

其中射线OP为AOB的平分线的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【解析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的

性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可．

【详解】第一个图为尺规作角平分线的方法，OP为AOB的平分线；

第二个图，由作图可知：OCOD,OAOB，

∴ACBD，

∵AODBOC，

∴△AOD≌△BOC，

∴OADOBC，

∵ACBD，BPDAPC，

∴BPD≌APC，

∴APBP，

∵OAOB,OPOP，

∴△AOP≌△BOP，

∴AOPBOP，

∴OP为AOB的平分线；

第三个图，由作图可知ACPAOB,OCCP，

∴CP∥BO，COPCPO，

∴ÐCPO=ÐBOP

∴COPBOP，

∴OP为AOB的平分线；

第四个图，由作图可知：OPCD，OCOD，

∴OP为AOB的平分线；

故选D．

2.（2024四川眉山）如图，在ABC中，ABAC6，BC4，分别以点A，点B为圆心，大

1

于AB的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交AC于点D，连接BD，则△BCD

2

的周长为（）

A.7B.8C.10D.12

【答案】C

【解析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可证明ADBD，根据

△BCD的周长BDCDBCADCDBCACBC，即可求出答案．

【详解】由作图知，EF垂直平分AB，

ADBD，

△BCD的周长BDCDBCADCDBCACBC，

ABAC6，BC4，

△BCD的周长6410，

故选：C．

3.（2024天津市）如图，Rt△ABC中，C90,B40，以点A为圆心，适当长为半径画

1

弧，交AB于点E，交AC于点F；再分别以点E,F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧（所

2

在圆的半径相等）在BAC的内部相交于点P；画射线AP，与BC相交于点D，则ADC的大

小为（）

A.60B.65C.70D.75

【答案】B

【解析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐

角互余可求出BAC50，由作图得BAD25，由三角形的外角的性质可得ADC65，

故可得答案

【详解】∵C90,B40，

∴BAC90B904050，

由作图知，AP平分BAC，

11

∴BADBAC5025，

22

又ADCBBAD,

∴ADC402565,

故选：B

4.（2024河北省）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是ABC的（）

A.角平分线B.高线C.中位线D.中线

【答案】B

【解析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得BDAC，从而可得

答案．

由作图可得：BDAC，

∴线段BD一定是ABC的高线；

故选B

5.（2024武汉市）小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画MAN；②以点A为圆心，1个单

位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，

两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若A44，则CBD的大小是（）

A.64B.66C.68D.70

【答案】C

【解析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形ABCD是菱形，进而根据

菱形的性质，即可求解．

【详解】解：作图可得ABADBCDC

∴四边形ABCD是菱形，

∴ADBC,ABDCBD

∵A44，

∴MBCA44，

11

∴CBD180MBC1804468，

22

故选：C．

1

6.（2024四川南充）如图，已知线段AB，按以下步骤作图：①过点B作BCAB，使BCAB，

2

连接AC；②以点C为圆心，以BC长为半径画弧，交AC于点D；③以点A为圆心，以AD长为

半径画弧，交AB于点E．若AEmAB，则m的值为（）

5152

A.B.C.51D.52

22

【答案】A

1

【解析】本题考查了勾股定理，根据垂直定义可得ABC90，再根据BCAB，设AB=a，

2

5

然后在Rt△ABC中，利用勾股定理可得ACa，再根据题意可得：

2

1

ADAE，CDBCa，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．

2

【详解】∵BCAB，

∴ABC90，

1

∵BCAB，设AB=a

2

1

∴BCa，

2

2

22215

∴ACABBCaaa，

22

1

由题意得：ADAE，CDBCa，

2

5151

∴AEADACCDaaa，

222

∵AEmAB，

51

∴m，

2

故选：A

7.（2024北京市）下面是“作一个角使其等于AOB”的尺规作图方法.

（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；

（2）作射线OA，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点C；以点C为圆

心，CD长为半径画弧，两弧交于点D¢；

（3）过点D¢作射线OB，则AOBAOB.

上述方法通过判定△COD≌△COD得到AOBAOB，其中判定△COD≌△COD的依

据是（）

A.三边分别相等的两个三角形全等

B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

【答案】A

【解析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可.

本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键.

【详解】根据上述基本作图，可得OCOC，ODOD，CDCD，

故可得判定三角形全等的依据是边边边，

故选A.

8.（2024深圳）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分BAC的是（）

A.B.C.D.只有

【答①案②】B①③②③①

【解析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分

线的定义．利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．在图①中，利用基本作图可判断AD平分

BAC；在图③中，利用作法得AEAF，AMAN，可证明AFM≌AEN，有

AMDAND，可得MENF，进一步证明△MDE≌△NDF，得DMDN，继而可证明

△ADM≌△ADN，得MADNAD，得到AD是BAC的平分线；在图②中，利用基本作

图得到D点为BC的中点，则AD为BC边上的中线．

【详解】在图①中，利用基本作图可判断AD平分BAC；

在图③中，利用作法得AEAF，AMAN，

在△AFM和△AEN中，

AEAF

BACBAC，

AMAN

∴AFM≌AENSAS，

∴AMDAND，

AMAEANAF

MENF

在MDE和NDF中

AMDAND

MDENDF，

MENF

∴MDE≌NDFAAS，

∴DMDN，

∵ADAD,AMAN，

∴ADM≌ADNSSS，

∴MADNAD，

∴AD是BAC的平分线；

在图②中，利用基本作图得到D点为BC的中点，则AD为BC边上的中线．

则①③可得出射线AD平分BAC．

故选：B．

9.（2024四川成都市）如图，在YABCD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径

1

作弧，分别交BA，BC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，

2

两弧在ABC内交于点O；③作射线BO，交AD于点E，交CD延长线于点F．若CD3，

DE2，下列结论错误的是（）

A.ABECBEB.BC5

BE5

C.DEDFD.

EF3

【答案】D

【解析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定

的综合．先由作图得到BF为ABC的角平分，利用平行线证明AEBABE，从而得到

AEABCD3，再利用平行四边形的性质得到BCADAEED325，再证明

BE3

△AEB∽△DEF，分别求出，DF2，则各选项可以判定．

EF2

【详解】由作图可知，BF为ABC的角平分，

∴ABECBE，故A正确；

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴ADBC,ABCD,ADBC，

∵AD∥BC

∴AEBCBE，

∴AEBABE，

∴AEABCD3，

∴BCADAEED325，故B正确；

∵ABCD，

∴ABEF，

∵AEBDEF，

∴△AEB∽△DEF，

BEABAE

∴，

EFDFED

BE33

∴，

EFDF2

BE3

∴，DF2，故D错误；

EF2

∵DE2，

∴DEDF，故C正确，

故选：D．

10.（2024湖北省）AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且CAB50．①以点B为圆心，

1

适当长为半径作弧，交AB,BC于D,E；②分别以DE为圆心，大于DE为半径作弧，两弧交于

2

点P；③作射线BP，则ABP（）

A.40B.25C.20D.15

【答案】C

【解析】本题主要考查圆周角定理以及角平分线定义，根据直径所对的圆周角是直角可求出

1

ABC=40，根据作图可得ABPABC20，故可得答案

2

【详解】∵AB为半圆O的直径，

∴ACB90，

∵CAB50，

∴ABC=40，

由作图知，AP是ABC的角平分线，

1

∴ABPABC20，

2

故选：C

二、填空题

1.（2024湖南省）如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线

1

段BE，BF，使BEBF；分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，在ABC内，

2

两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MNAB于点N．若MN2，AD4MD，

则AM________．

【答案】6

【解析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知BP平分ABC，根据角平

分线的性质可知DMMN2，结合AD4MD求出AD，AM．

【详解】作图可知BP平分ABC，

∵AD是边BC上的高，MNAB，MN2，

∴MDMN2，

∵AD4MD，

∴AD8，

∴AMADMD6，

故答案为：6．

2.（2024贵州省）如图，在ABC中，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交BC于点D，

连接AD．若AB5，则AD的长为______．

【答案】5

【解析】本题考查了尺规作图，根据作一条线段等于已知线段的作法可得出ADAB，即可求解．

由作图可知∶ADAB，

∵AB5，

∴AD5，

故答案为∶5．

3.（2024黑龙江齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x

1

轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两

2

弧在第一象限交于点H，画射线OH，若H2a1,a1，则a______．

【答案】2

【解析】此题主要考查了角平分线的尺规作图和性质，坐标与图形的性质，根据作图方法可得点H

在第一象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第一象限内点的坐标符号可得答案．

【详解】根据作图方法可得点H在第一象限角平分线上；点H横纵坐标相等且为正数；

2a1a1，

解得：a2，

故答案为：2．

4.（2024山东枣庄）如图，已知MAN，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AM、AN

1

相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧在MAN内部相交于

2

1

点P，作射线AP．分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作

2

直线DE分别与AB，AP相交于点F，Q．若AB4，PQE67.5，则F到AN的距离为

________．

【答案】2

1

【解析】如图，过F作FHAC于H，证明BAPCAP，DEAB，AFBFAB2，

2

再证明FAH45，再结合勾股定理可得答案.

【详解】如图，过F作FHAC于H，

1

由作图可得：BAPCAP，DEAB，AFBFAB2，

2

∵PQE67.5，

∴AQF67.5，

∴BAPCAP9067.522.5，

∴FAH45，

2

∴AHFHAF2，

2

∴F到AN的距离为2；

故答案为：2

【点睛】本题考查了作图−复杂作图：基本作图，三角形的内角和定理的应用，勾股定理的应用，等

腰三角形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，逐步

操作．

5.（2024天津市）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,F,G均在格点上．

（1）线段AG的长为______；

（2）点E在水平网格线上，过点A,E,F作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与AE,AF

的延长线相交于点B,C,△ABC中，点M在边BC上，点N在边AB上，点P在边AC上．请用无．

刻．度．的直尺，在如图所示的网格中，画出点M,N,P，使△MNP的周长最短，并简要说明点M,N,P

的位置是如何找到的（不要求证明）______．

【答案】①.2②.图见解析，说明见解析

【解析】【分析】此题考查了勾股定理、切线的性质等知识，根据题意正确作图是解题的关键．

（1）利用勾股定理即可求解；

（2）根据圆的相关性质和网格特点进行作图即可．

【详解】（1）由勾股定理可知，AG12122，

故答案为：2

（2）如图，根据题意，切点为M；连接ME并延长，与网格线相交于点M1；取圆与网格线的交点

D和格点H，连接DH并延长，与网格线相交于点M2；连接M1M2，分别与AB,AC相交于点N,P，

则点M,N,P即为所求．

三、解答题

1.（2024福建省）如图，已知直线l1l2．

（1）在l1,l2所在的平面内求作直线l，使得ll1l2，且l与l1间的距离恰好等于l与l2间的距离；

（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若l1与l2间的距离为2，点A,B,C分别在l,l1,l2上，且ABC为等腰直角三

角形，求ABC的面积．

5

【答案】（1）见解析；（2）ABC的面积为1或．

2

【解析】本题主要考查基本作图，平行线的性质，全等三角形的判定，勾股定理以及分类讨论思想：

（1）先作出与l2的垂线，再作出夹在l1,l2间垂线段的垂直平分线即可；

（2）分BAC90,ABAC；ABC90,BABC；ACB90,CACB三种情况，结

合三角形面积公式求解即可

【小问1详解】

解：如图，

直线l就是所求作的直线．

【小问2详解】

①当BAC90,ABAC时，

ll1l2，直线l1与l2间的距离为2，且l与l1间的距离等于l与l2间的距离，根据图形的对称性可

知：BC2，

ABAC2，

1

S△ABAC1．

ABC2

②当ABC90,BABC时，

分别过点A,C作直线l1的垂线，垂足为M,N，

AMBBNC90．

ll1l2，直线l1与l2间的距离为2，且l与l1间的距离等于l与l2间的距离，

CN2,AM1．

MABABM90，NBCABM90，

MABNBC，△AMB≌△BNC，

BMCN2．

在RtABM中，由勾股定理得AB2AM2BM2，

AB5．

15

S△ABBC．

ABC22

5

③当ACB90,CACB时，同理可得，S．

ABC2

5

综上所述，ABC的面积为1或．

2

2.（2024广西）如图，在ABC中，A45，ACBC．

（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，分别交AB，AC于点D，E：（要求：保留作图痕迹，

不写作法，标明字母）

（2）在（1）所作的图中，连接BE，若AB8，求BE的长．

【答案】（1）见详解（2）42

1

【解析】（1）分别以A、B为圆心，大于AB为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E，作直线DE，

2

则直线l即为所求．

（2）连接BE，由线段垂直平分线的性质可得出BEAE，由等边对等角可得出EBAA45，

由三角形内角和得出BEA90，则得出ABE为等腰直角三角形，再根据正弦的定义即可求出

BE的长．

【小问1详解】

解：如下直线l即为所求．

【小问2详解】

连接BE如下图：

∵DE为线段AB的垂直平分线，

∴BEAE，

∴EBAA45，

∴BEA90，

∴ABE为等腰直角三角形，

BE2

∴sinA，

AB2

22

∴BEAB842

22

【点睛】本题主要考查了作线段的垂线平分线，线段的垂线平分线的性质，等腰三角形的性质，三角

形内角和定理以及正弦的定义．掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．

3.（2024陕西省）如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角ABC，

使得顶点B和顶点C都在直线l上．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不

写作法）

【答案】见解析

【解析】本题考查了等腰直角三角形的定义，尺规作图．过点A作ABl，垂足为B，再在直线l

上截取点C，使BCAB，连接AC，则ABC是所求作的等腰直角三角形．

【详解】等腰直角ABC如图所示：

4.（2024内蒙古赤峰）如图，在ABC中，D是AB中点．

（1）求作：AC的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）若l交AC于点E，连接DE并延长至点F，使EF2DE，连接BE，CF．补全图形，并证

明四边形BCFE是平行四边形．

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】本题考查了尺规作图，中位线的性质，平行四边形的判定．

（1）利用尺规作图作出线段AC的垂直平分线l即可；

1

（2）由D，E分别为AB，AC的中点，根据中位线的性质，得到DE∥BC，DEBC，结合

2

EF2DE，得到EFBC，即可证明结论成立．

【小问1详解】

解：直线l如图所示，

；

【小问2详解】

证明：补全图形，如图，

由（1）作图知，E为AC的中点，

∵D，E分别为AB，AC的中点，

1

∴DE∥BC，DEBC，

2

1

∵EF2DE，即：DEEF，

2

∴EFBC，

∵EF∥BC，

∴四边形BCFE是平行四边形．

5.（2024黑龙江绥化）已知：ABC．

（1）尺规作图：画出ABC的重心G．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）

（2）在（1）的条件下，连接AG，BG．已知ABG的面积等于5cm2，则ABC的面积是______cm2．

【答案】（1）见解析（2）15

【解析】本题考查了三角形重心的性质，尺规画垂线；

（1）分别作BC,AC的中线，交点即为所求；

S2

（）根据三角形重心的性质可得ABG，根据三角形中线的性质可得2

2SABC2SABD15cm

SABD3

【小问1详解】

解：如图所示

作法：①作BC的垂直平分线交BC于点D

②作AC的垂直平分线交AC于点F

③连接AD、BF相交于点G

④标出点G，点G即为所求

【小问2详解】

解：∵G是ABC的重心，

2

∴AGAD

3

S2

∴ABG

SABD3

∵ABG的面积等于5cm2，

∴2

SABD7.5cm

又∵D是BC的中点，

∴2

SABC2SABD15cm

故答案为：15．

6.（2024甘肃临夏）根据背景素材，探索解决问题．

平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形ABCDEF

背

六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，

景

旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由

素

欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述．

材

已

知

点C与坐标原点O重合，点D在x轴的正半轴上且坐标为2,0

条

件

操①分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P；

作②以点P为圆心，PC长为半径作圆；

步③以CD的长为半径，在P上顺次截取DEEFFAAB；

骤

④顺次连接DE，EF，FA，AB，BC，得到正六边形ABCDEF．

问题解决

任

根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写

务

作法）

一

任

务将正六边形ABCDEF绕点D顺时针旋转60，直接写出此时点E所在位置的坐标：______．

二

【答案】任务一：见解析；任务二：4,0

【解析】本题考查尺规作图，弧、弦、圆心角的关系，旋转的性质．利用数形结合的思想是解题关键．

任务一：根据操作步骤作出P，再根据弧、弦、圆心角的关系，分别作出

DEEFAFABCD，即得出DEEFFAAB，最后顺次连接即可；

任务二：由旋转的性质可知DEOD2，即得出OEDEOD4，即此时点E所在位置的

坐标为4,0．

【详解】解：任务一：如图，正六边形ABCDEF即为所作；

任务二：如图，

由旋转可知DEOD2，

∴OEDEOD4，

∴E4,0．

故答案为：4,0．

7.（2024甘肃威武）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共

用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶

艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形

三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知O和

圆上一点M．作法如下：

①以点M为圆心，OM长为半径，作弧交O于A，B两点；

②延长MO交O于点C；

即点A，B，C将O的圆周三等分．

（1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将O的圆周三等分（保留作图痕迹，

不写作法）；

（2）根据（1）画出的图形，连接AB，AC，BC，若O的半径为2cm，则ABC的周长为

______cm．

【答案】（1）见解析（2）63

【解析】【分析】（1）根据尺规作图的基本步骤解答即可；

（2）连接AM，设AB,OM的交点为D，得到ADOM，根据O的半径为2cm，MC是直径，

ABC是等边三角形，计算即可．

本题考查了尺规作图，圆的性质，等边三角形的性质，熟练掌握尺规作图的方法和圆的性质是解题的

关键．

【小问1详解】

根据基本作图的步骤，作图如下：

则点A，B，C是求作的O的圆周三等分点．

【小问2详解】

连接AM，设AB,OM的交点为D，

根据垂径定理得到ADOM，

∵O的半径为2cm，MC是直径，ABC是等边三角形，

∴CAM90，CMAB60,MC4cm，

∴ACMCsinCMAsin60423cm，

∴ABC的周长为ABBCAC63cm，

故答案为：63．

8.（2024河南省）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，BE∥DC交AC的延长线

于点E．

（1）请用无刻度的直尺和圆规作ECM，使ECMA，且射线CM交BE于点F（保留作图

痕迹，不写作法）．

（2）证明（1）中得到的四边形CDBF是菱形

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关

键是：

（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；

（2）先证明四边形CDBF是平行四边形，然后利用直角三角形斜边中线的性质得出

1

CDBDAB，最后根据菱形的判定即可得证．

2

【小问1详解】

解：如图，

；

【小问2详解】

证明：∵ECMA，

∴CM∥AB，

∵BE∥DC，

∴四边形CDBF是平行四边形，

∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，

1

∴CDBDAB，

2

∴平行四边形CDBF是菱形．

9.（2024武汉市）如图是由小正方形组成的34网格，每个小正方形的顶点叫做格点．ABC三个

顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．

（1）在图（1）中，画射线AD交BC于点D，使AD平分ABC的面积；

（2）在（1）的基础上，在射线AD上画点E，使ECBACB；

（3）在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转90到点C，再画射线AF交BC于点G；

（4）在（3）的基础上，将线段AB绕点G旋转180，画对应线段MN（点A与点M对应，点B

与点N对应）．

【答案】（1）作图见解析

（2）作图见解析（3）作图见解析

（4）作图见解析

【解析】【分析】本题考查了网格作图．熟练掌握全等三角形性质，平行四边形性质，等腰三角形性

质，等腰直角三角形性质，是解题的关键．

（1）作矩形HBIC，对角线HI交BC于点D，做射线AD，即可；

（2）作OP∥BC,射线AROP于点Q，连接CQ交AD于点E，即可；

（3）在AC下方取点F，使AFCF5，△ACF是等腰直角三角形，连接CF，AF，AF

交BC于点G，即可；

（4）作OP∥BC，交AG于点M，作ST∥AG，交BC于点N，连接MN，即可．

【小问1详解】

如图，作线段HI，使四边形HBIC是矩形，HI交BC于点D，做射线AD，点D即为所求作；

【小问2详解】

如图，作OP∥BC,作AROP于点Q，连接CQ交AD于点E，点E即为作求作；

【小问3详解】

如图，在AC下方取点F，使AFCF5，连接CF，连接并延长AF，AF交BC于点G，

点F，G即为所求作；

【小问4详解】

如图，作OP∥BC，交射线AG于点M，作ST∥AG，交BC于点N，连接MN，线段MN即为

所求作．

10.（2024吉林省）小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：

【探究论证】

（1）如图①，在ABC中，ABBC，BDAC，垂足为点D．若CD2，BD1，则

．

SABC______

（2）如图②，在菱形ABCD中，AC4，BD2，则S菱形ABCD______．

（3）如图③，在四边形EFGH中，EGFH，垂足为点O．若EG5，FH3，则

S四边形EFGH______；若EGa，FHb，猜想S四边形EFGH与a，b的关系，并证明你的猜想．

【理解运用】

（4）如图④，在△MNK中，MN3，KN4，MK5，点P为边MN上一点．

小明利用直尺和圆规分四步作图：

（ⅰ）以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边KN，KM于点R，I；

（ⅱ）以点P为圆心，KR长为半径画弧，交线段PM于点I；

（ⅲ）以点I为圆心，IR长为半径画弧，交前一条弧于点R，点R，K在MN同侧；

（ⅳ）过点P画射线PR，在射线PR上截取PQKN，连接KP，KQ，MQ．

请你直接写出S四边形MPKQ的值．

151

【答案】（1）2，（2）4，（3），S四边形ab，证明见详解，（4）10

2EFGH2

【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式计算即可；

（2）根据菱形的面积公式计算即可；

（3）结合图形有，S四边形EFGHSEFGSEHG，

111

即可得S四边形EGFOEGHOEGFOHO，问题随之得解；

EFGH222

（4）先证明△MNK是直角三角形，由作图可知：MKNMPQ，即可证明KMPQ，再结

合（3）的结论直接计算即可．

【详解】（1）∵在ABC中，ABBC，BDAC，CD2，

∴ADCD2，

∴AC4，

1

∴SVACBD2，

ABC2

故答案为：2；

（2）∵在菱形ABCD中，AC4，BD2，

1

∴S菱形BDAC4，

ABCD2

故答案为：4；

（3）∵EGFH，

11

∴SEGFO，SEGHO，

EFG2EHG2

∵S四边形EFGHSEFGSEHG，

111

∴S四边形EGFOEGHOEGFOHO，

EFGH222

11

∴S四边形EGFOHOEGFH，

EFGH22

∵EG5，FH3，

115

∴S四边形EGFH，

EFGH22

15

故答案为：，

2

1

猜想：S四边形ab，

EFGH2

证明：∵EGFH，

11

∴SEGFO，SEGHO，

EFG2EHG2

∵S四边形EFGHSEFGSEHG，

111

∴S四边形EGFOEGHOEGFOHO，

EFGH222

11

∴S四边形EGFOHOEGFH，

EFGH22

∵EGa，FHb，

1

∴S四边形ab；

EFGH2

（4）根据尺规作图可知：QPMMKN，

∵在△MNK中，MN3，KN4，MK5，

∴MK2KN2MN2，

∴△MNK是直角三角形，且MNK90，

∴NMKMKN90，

∵QPMMKN，

∴NMKQPM90，

∴MKPQ，

∵PQKN4，MK5，

1

∴根据（3）的结论有：S四边形MKPQ10．

MPKQ2

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的性质，作一个角等于已知角的尺规作图，勾股定理的

逆定理等知识，难度不大，掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法，是解答本题的关键．

11.（2024江苏扬州）如图，已知PAQ及AP边上一点C．

（1）用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点O，使得COQ2CAQ；（保留作图痕迹，不

写作法）

（2）在（1）的条件下，以点O为圆心，以OA为半径的圆交射线AQ于点B，用无刻度直尺和圆规

在射线CP上求作点M，使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等；（保留作图痕迹，不

写作法）

3

（3）在（1）、（2）的条件下，若sinA，CM12，求BM的长．

5

【答案】（1）作图见详解（2）作图见详解（3）BM65

【解析】【分析】（1）根据尺规作角等于已知角的方法即可求解；

（2）根据尺规作圆，作垂线的方法即可求解；

（3）根据作图可得MWAQ，CMWM12，AB是直径，结合锐角三角函数的定义可得AM

的值，根据勾股定理可求出AC的值，在直角BCM中运用勾股定理即可求解．

【小问1详解】

解：如图所示，

∴COQ2CAQ；

点O即为所求

【小问2详解】

解：如图所示，

连接BC，以点B为圆心，以BC为半径画弧交AQ于点B1，以点B1为圆心，以任意长为半径画弧

1

交AQ于点C，D，分别以点C，D为圆心，以大于CD为半径画弧，交于点F，连接BF并

1111211111

延长交AP于点M，

∵AB是直径，

∴ACB90，即BCAP，

，

根据作图可得B1C1B1D1C1F1D1F1，

∴MB1AQ，即MB1B90，MB1是点M到AQ的距离，

∵BCBB1，

∴RtBCM≌RtBB1MHL，

∴CMB1M，

点M即为所求点的位置；

【小问3详解】

解：如图所示，

根据作图可得，COQ2CAQ，MCMW12，MWAQ，连接BC，

WM3

∴在RtAMW中，sinA，

AM5

5WM512

∴AM20，

33

∴ACAMCM20128，

∵AB是直径，

∴ACB90，

BC3

∴sinA，

AB5

设BC3x，则AB5x，

22

∴在RtABC中，5x3x82，

解得，x2（负值舍去）