第1节　圆周运动-物理人教版必修第二册

第1节圆周运动学习目标要求核心素养和关键能力1.会用线速度、角速度、周期、转速描述圆周运动。2.知道线速度、角速度、周期、转速之间的关系。3.知道匀速圆周运动的定义。4.掌握同轴传动和皮带传动的特点，分析比较各物理量。1.科学思维：(1)圆周运动模型(2)同轴传动和皮带传动模型(3)控制变量法分析问题(4)极限思维法2.关键能力：(1)物理建模能力(2)极限思维能力一、线速度1.线速度(1)定义：如图所示，物体沿圆弧由M向N运动，通过的弧长Δs与所用时间Δt之比反映了物体在A点附近运动的快慢，如果Δt非常非常小，eq\f(Δs,Δt)就可以表示物体在A点时运动的快慢，通常把它称为线速度的大小。(2)表达式：v＝eq\f(Δs,Δt)。(3)方向：线速度的方向为物体做圆周运动时该点的切线方向。2.匀速圆周运动如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动。【判一判】(1)做圆周运动的物体，其速度一定是变化的。(√)(2)圆周运动线速度公式v＝eq\f(Δs,Δt)中的Δs表示位移。(×)(3)做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的弧长相等。(√)(4)做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的位移相同。(×)二、角速度1.定义：如图所示，物体在Δt时间内由A运动到B。半径OA在这段时间内转过的角Δθ与所用时间Δt之比叫作角速度，用符号ω表示。2.表达式：ω＝eq\f(Δθ,Δt)。3.单位：在国际单位制中，时间的单位是秒，角的单位是弧度，角速度的单位是弧度每秒，符号是rad/s。三、周期1.周期：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间叫作周期，用T表示。周期也是常用的物理量，它的单位与时间的单位相同。2.转速：技术中常用转速来描述物体做圆周运动的快慢。转速是指物体转动的圈数与所用时间之比，常用符号n表示，转速的单位为转每秒(r/s)，或转每分(r/min)。【判一判】(1)物体转过的角度越大，则角速度越大。(×)(2)物体转动的越快，则角速度越大。(√)(3)钟表的秒针、分针、时针中时针的角速度最大。(×)四、线速度与角速度的关系1.推导：如图所示若物体做圆周运动的半径为r，由A运动到B的时间为Δt，eq\o(AB,\s\up8(︵))的长度为Δs，eq\o(AB,\s\up8(︵))对应的圆心角为Δθ，由v＝eq\f(Δs,Δt)，ω＝eq\f(Δθ,Δt)，当Δθ以弧度为单位时，Δθ＝eq\f(Δs,r)，可得v＝ωr。2.两者关系：在圆周运动中，线速度的大小等于角速度大小与半径的乘积。3.关系式：v＝ωr。【做一做】(多选)甲、乙两个做圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法正确的是()A.它们的半径之比为2∶9 B.它们的半径之比为1∶2C.它们的周期之比为2∶3 D.它们的周期之比为1∶3答案AD解析由v＝ωr，所以r＝eq\f(v,ω)，r甲∶r乙＝eq\f(v甲,ω甲)∶eq\f(v乙,ω乙)＝2∶9，选项A正确，B错误；由T＝eq\f(2π,ω)，所以T甲∶T乙＝eq\f(1,ω甲)∶eq\f(1,ω乙)＝1∶3，选项D正确，C错误。探究1线速度和匀速圆周运动■情境导入闹钟与手表为什么会有上述快慢之争？提出你的看法，请同学进行讨论。答案“闹钟”和“手表”是从不同角度看圆周运动的快慢，闹钟指的是秒针针尖的线速度；手表则指的是秒针转动的角速度。■归纳拓展1.线速度v(1)物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢。(2)定义：做圆周运动的物体通过的弧长Δs和所用时间Δt的比值叫作线速度。(3)大小：v＝eq\f(Δs,Δt)。单位：m/s。(4)线速度是矢量。2.匀速圆周运动(1)圆周运动：物体沿着圆周的运动，称为圆周运动，其运动轨迹是圆或圆的一部分。(2)匀速圆周运动：质点沿圆周运动，在任意相等的时间里通过的圆弧长度都相等的运动叫作匀速圆周运动。(3)方向：圆周运动线速度的方向总是沿该点圆周的切线方向，如图所示。(4)性质：由于物体做匀速圆周运动时的速度方向不断发生变化，所以匀速圆周运动是一种变速运动。【例1】(多选)下面关于匀速圆周运动的表述正确的是()A.做匀速圆周运动的物体处于平衡状态B.匀速圆周运动的线速度方向时刻变化C.做匀速圆周运动的物体，其运动快慢用线速度描述D.做匀速圆周运动的物体，在任意相等时间内的位移相同答案BC解析做匀速圆周运动的物体，其线速度方向是时刻变化的，所受合力不为零，因此处于非平衡状态，故A错误；做匀速圆周运动的物体，线速度的方向总是在该点的切线方向，时刻是变化的，物体运动快慢可用线速度描述，故B、C正确；做匀速圆周运动的物体在任意相等时间内通过的弧长即路程相等，但位移的方向可能不同，故D错误。【针对训练1】(多选)关于匀速圆周运动，下列说法正确的是()A.匀速圆周运动的速度不变B.匀速圆周运动的速率不变C.任意相等时间内通过的位移相等D.任意相等时间内通过的路程相等答案BD解析由线速度定义知，速度的大小不变，也就是速率不变，但速度方向时刻改变，故A错误，B正确；做匀速圆周运动的物体在任意相等时间内通过的弧长即路程相等，位移不相等，D正确，C错误。探究2描述圆周运动的物理量及关系1.物理量的比较项目内容大小国际单位(符号)各物理量在图中示意联系线速度v＝eq\f(Δs,Δt)米每秒(m/s)都是描述圆周运动快慢的物理量，v＝eq\f(2πr,T)＝ωr＝2πnr角速度ω＝eq\f(Δθ,Δt)弧度每秒(rad/s)周期T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2πr,v)秒(s)转速n＝eq\f(1,T)转每秒(r/s)2.线速度与角速度的关系(1)“控制变量法”分析物理量间的关系①当半径r一定时，线速度v与角速度ω成正比。②当角速度ω一定时，线速度v与半径r成正比。③当线速度v一定时，角速度ω与半径r成反比。(2)图像法表示物理量间的关系【例2】(2021·广西梧州市高一期中)如图是一种叫“指尖陀螺”的玩具。当将陀螺绕位于中心A的转轴旋转时，陀螺上B、C两点的周期、角速度及线速度的关系正确的是()A.TB＝TC，vB<vC B.TB>TC，vB<vCC.ωB＝ωC，vC<vB D.ωB>ωC，vB<vC答案A解析由于是同轴转动，可知ωB＝ωC，根据T＝eq\f(2π,ω)，得转动周期相等，即TB＝TC，根据v＝rω，因为rB<rC，则vB<vC，故B、C、D错误，A正确。【针对训练2】(2021·甘肃靖远二中高一期中)如图所示是一个玩具陀螺。a、b、c是陀螺上的三个点。当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是()A.a、b、c三点的线速度大小相等B.a、b、c三点的角速度相等C.a、b的角速度比c的角速度大D.c的线速度比a、b的线速度大答案B解析a、b、c三点的角速度相同，而线速度不同，由v＝ωr得va＝vb>vc，选项B正确，A、C、D错误。探究3两类传动模型问题1.同轴传动模型如图所示，A点和B点在同轴的一个“圆盘”上，它们的半径分别为r和R，且r＜R。运动的特点是转动角速度相同，转动方向相同，即同为逆时针转动或顺时针转动，转动周期相同，转动线速度vA＜vB。2.“皮带传动类”模型(1)三类典型传动(如图所示)①皮带传动②齿轮传动③摩擦传动(2)共同特点齿轮传动、皮带传动、摩擦传动方式均有接触处的线速度大小相等的特点。【例3】(多选)(2021·黑龙江哈尔滨三中高一月考)如图所示为常见的自行车传动示意图。A轮与脚蹬子相连，B轮与车轴相连，C为车轮。当人蹬车匀速运动时，以下说法中正确的是()A.A轮与B轮的角速度相同B.A轮边缘与B轮边缘的线速度大小相同C.B轮边缘与C轮边缘的线速度大小相同D.B轮与C轮的角速度相同答案BD解析A轮与B轮边缘上的点与传动链条接触，其速度大小和传动链条的速度大小一致，所以A轮边缘与B轮边缘的线速度大小相等，根据公式v＝rω可知线速度相等时，半径小的角速度大，所以A轮角速度小于B轮的角速度，故A错误，B正确；B轮与C轮在同一个轮子上，所以B轮边缘与C轮边缘的角速度相同，根据公式v＝ωr可知角速度相同时，半径小的线速度小，所以B轮边缘的线速度小于C轮边缘的线速度，故C错误，D正确。【针对训练3】(2021·浙江高一月考)如图甲所示，修正带是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的，其原理可简化为图乙所示。A、B是盘上的边缘点，C为A盘上的一点，已知2rC＝rA，rC＝rB。以下关于A、B、C三点的线速度大小v、角速度大小ω之间关系的说法正确的是()A.vA<vB，ωA＝ωB B.vA>vC，ωA＝ωCC.ωA>ωB，vB＝vC D.ωA<ωB，vB＝vC答案B解析A、C是同轴传动，有ωA＝ωC，vA＝ωArA，vC＝ωCrC，又因2rC＝rA，故vA＝2vC，B、A是同轴传动，有vA＝vB，又因vA＝2vC，所以vB＝2vC，故A、C、D错误，B正确。1.(线速度和匀速圆周运动)质点做匀速圆周运动，在任意相等的时间内，下列物理量可能不同的是()A.通过的弧长 B.通过的位移大小C.转过的角度 D.速度的变化答案D解析质点做匀速圆周运动时，因线速度的大小不变，故在任意相等的时间内通过的圆弧长度相同，A错误；位移是矢量，所以在任意相等的时间内通过的位移方向不一定相同，但是位移大小相等，B错误；质点做匀速圆周运动时，角速度是不变的，所以在任意相等的时间内转过的角度是相同的，C错误；速度的变化是矢量，任意相等的时间内的速度变化方向不一定相同，D正确。2.(描述匀速圆周运动的物理量及关系)(多选)质点做匀速圆周运动时，下列说法中正确的是()A.因为v＝ωR，所以线速度v与圆周半径R成正比B.因为ω＝eq\f(v,R)，所以角速度ω与圆周半径R成反比C.因为ω＝2πn，所以角速度ω与转速n成正比D.因为ω＝eq\f(2π,T)，所以角速度ω与周期T成反比答案CD解析ω一定时，线速度v与圆周半径R成正比，选项A错误；v一定时，角速度ω与圆周半径R成反比，选项B错误；在用转速或周期表示角速度时，角速度与转速成正比，与周期成反比，选项C、D正确。3.(描述匀速圆周运动的物理量及关系)(2021·辽宁省实验中学高一期中)如图所示，小强同学正在荡秋千，关于绳上a点和b点的线速度和角速度，下列关系正确的是()A.va＝vb B.va＞vbC.ωa＝ωb D.ωa＜ωb答案C解析绳子绕O点转动，a、b两点角速度相等，ωa＝ωb，D错误，C正确；因ra＜rb，故vb＞va，A、B错误。4.(两类传动模型)(多选)(2021·江苏苏州市高一期末)明代出版的《天工开物》一书中就有牛力齿轮翻车的图画(如图所示)，记录了我们祖先的劳动智慧，若A、B、C三齿轮半径的大小关系如图(rA>rB>rC)，下列关于A、B、C的线速度和角速度的关系正确的是()A.线速度vA＝vB>vC B.线速度vA<vB＝vCC.角速度ωA<ωB＝ωC D.角速度ωA＝ωB>ωC答案AC解析齿轮A与齿轮B是同缘传动，边缘点线速度相等，故vA＝vB，因为半径关系为rA>rB，根据公式v＝ωr可知，A的角速度小于B的角速度，即ωA＜ωB；B与C是同轴传动，角速度相等，即ωC＝ωB，所以角速度关系为ωA＜ωB＝ωC，故C正确，D错误；B、C两轮角速度相等，根据公式v＝ωr可知，半径比较大的齿轮B比C边缘的线速度大，即vC＜vB，结合以上可得vC＜vB＝vA，故A正确，B错误。课时定时训练(限时25分钟)题组一线速度和匀速圆周运动1.(多选)对于做匀速圆周运动的物体来说，不变的物理量是()A.周期 B.速率C.角速度 D.线速度答案ABC解析匀速圆周运动中，线速度的大小不变，但方向变化，所以速率不变，线速度是变化的，周期、频率、角速度都是不变的，选项A、B、C正确，D错误。2.(多选)某质点绕圆轨道做匀速圆周运动，下列说法中正确的是()A.因为它的速度大小始终不变，所以它做的是匀速运动B.该质点速度大小不变，但方向时刻改变，是变速运动C.该质点速度大小不变，处于平衡状态D.该质点做的是变速运动，所受合力不等于零答案BD题组二描述匀速圆周运动的物理量及关系3.关于做匀速圆周运动物体的线速度、角速度、周期之间的关系，下列说法中正确的是()A.线速度大的角速度一定大B.线速度大的周期一定小C.角速度大的半径一定小D.角速度大的周期一定小答案D解析由v＝ωr得ω＝eq\f(v,r)，故只有当半径r一定时，角速度ω才与线速度v成正比；只有当线速度v一定时，角速度ω才与半径r成反比，选项A、C错误；由v＝eq\f(2πr,T)知，只有当半径r一定时，线速度v才与周期T成反比，选项B错误；由ω＝eq\f(2π,T)知，角速度ω与周期T成反比，即角速度大的周期一定小，选项D正确。4.(2021·嘉兴市五中高一期中)如图为在短道速滑比赛中运动员过弯道的情景。假定两位运动员在过弯道时保持各自的速率恒定，一位运动员在内道(ω1、v1)，另一位运动员在外道(ω2、v2)，他们同时进入弯道同时出弯道，则他们的角速度与线速度大小的关系为()A.ω1<ω2，v1＝v2 B.ω1>ω2，v1<v2C.ω1＝ω2，v1<v2 D.ω1<ω2，v1>v2答案C解析两运动员同时进入弯道同时出弯道，则运动时间Δt相等，由v＝eq\f(Δs,Δt)可知，外轨运动员所走弧较长，则线速度较大，有v1<v2，由ω＝eq\f(Δθ,Δt)可知，圆心角相同，时间相等，则ω1＝ω2，故选项C正确。题组三两类传动模型问题5.如图所示的齿轮传动装置中，主动轮的齿数z1＝24，从动轮的齿数z2＝8，当主动轮以角速度ω顺时针转动时，从动轮的转动情况是()A.顺时针转动，周期为eq\f(2π,3ω)B.逆时针转动，周期为eq\f(2π,3ω)C.顺时针转动，周期为eq\f(6π,ω)D.逆时针转动，周期为eq\f(6π,ω)答案B解析主动轮顺时针转动，从动轮逆时针转动，两轮边缘的线速度大小相等，由齿数关系知，主动轮转一周时，从动轮转三周，则ω2＝3ω，由ω＝eq\f(2π,T)知，T从＝eq\f(2π,3ω)，选项B正确，A、C、D错误。6.(2021·河南洛阳市高一检测)如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在转动过程中，皮带不打滑，则()A.a点与b点的线速度大小相等B.a点与b点的角速度大小相等C.a点与c点的线速度大小相等D.a点与d点的线速度大小相等答案C解析左、右两轮通过皮带传动，在皮带不打滑的前提下，a、c两点的线速度大小相等，b、c、d三点的角速度大小相等，即va＝vc，ωb＝ωc＝ωd，由v＝rω可得vb＝rω，vc＝2rω，vd＝4rω，显然vd>vc>vb，则vd>va>vb，又va＝rωa，vb＝rωb，则ωa>ωb，A、B、D错误，C正确。7.(2021·安徽蚌埠三中高一月考)如图所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω转动，则()A.A、B两点的角速度相等B.A、B两点的线速度相等C.若θ＝45°，则vA：vB＝eq\r