第3节　向心加速度-物理人教版必修第二册

第3节向心加速度学习目标要求核心素养和关键能力1.理解向心加速度的概念，知道其方向特点。2.知道向心加速度和线速度以及角速度的关系。3.会从动力学角度分析向心加速度产生的原因。4.会应用动力学方法分析匀速圆周运动问题。1.科学思维(1)通过控制变量法理解向心加速度与线速度和角速度的关系。(2)建立匀速圆周运动模型，应用动力学方法分析推理。2.关键能力：建模能力，分析推理能力。一、匀速圆周运动的加速度方向1.向心加速度：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，我们把它叫作向心加速度。2.方向：沿半径方向指向圆心，与线速度方向垂直。3.作用：向心加速度只改变线速度的方向，而不改变其大小。【做一做】(多选)(2020·深州中学高一月考)关于向心加速度，以下说法中正确的是()A.向心加速度的方向始终与线速度方向垂直B.向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小C.物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心D.物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心答案ABD解析向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，故A、B正确；变速圆周运动的加速度方向不指向圆心，故C错误；物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心，故D正确。二、匀速圆周运动的加速度大小1.向心加速度公式：an＝eq\f(v2,r)＝ω2r。2.适用范围：向心加速度公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动。【想一想】(1)什么情况下，向心加速度与半径成正比？(2)什么情况下，向心加速度与半径成反比？答案(1)角速度不变(或相同)时。(2)线速度不变(或相同)时。探究1向心加速度的理解■情境导入如图甲所示，地球绕太阳做匀速圆周运动(漫画)；如图乙所示小球绕细绳的另一端固定点在光滑水平面内做匀速圆周运动，请思考：(1)在匀速圆周运动过程中，地球、小球的运动状态发生变化吗？若变化，变化的原因是什么？(2)向心加速度改变物体的速度大小吗？(3)向心加速度是如何产生的？答案(1)变化。向心加速度的作用。(2)向心加速度只改变线速度的方向，不改变速度的大小。(3)向心力。■归纳拓展1.物理意义描述匀速圆周运动线速度方向变化的快慢，不表示速度大小变化的快慢。2.向心加速度的方向总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变。3.圆周运动的性质不论向心加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动一定是非匀变速曲线运动。4.变速圆周运动的向心加速度做变速圆周运动的物体，加速度一般情况下不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度。向心加速度改变速度的方向，切向加速度改变速度的大小。在变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心。【例1】关于向心加速度，下列说法正确的是()A.由an＝eq\f(v2,r)知，匀速圆周运动的向心加速度恒定B.向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小C.向心加速度越大，物体速率变化越快D.做圆周运动的物体，加速度方向时刻指向圆心答案B解析向心加速度是矢量，且方向始终指向圆心，因此为变量，故A错误；向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，故B正确；向心加速度越大表示物体速度方向变化越快，故C错误；只有匀速圆周运动，加速度方向才时刻指向圆心，故D错误。【针对训练1】如图所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么()A.加速度为零B.加速度恒定C.加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心D.加速度大小不变，方向时刻指向圆心答案D解析由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误。探究2向心加速度与其他物理量的关系1.几种表达式(1)对应线速度：an＝eq\f(v2,r)。(2)对应角速度：an＝rω2。(3)对应周期：an＝eq\f(4π2,T2)r。(4)对应转速：an＝4π2n2r。2.通过控制变量法理解各量间关系(1)当r一定时，an∝v2，an∝ω2。(2)当v一定时，an∝eq\f(1,r)。(3)当ω一定时，an∝r。3.an与r的关系图像如图所示。由an－r图像可以看出：an与r成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定。【例2】(2021·湖南岳阳市高一期末)如图所示，两轮用皮带传动，皮带不打滑，A、B、C三点分别位于两轮上且满足关系rA>rB＝rC，则这三点的向心加速度aA、aB、aC的关系是()A.aA＝aB＝aC B.aC>aA>aBC.aC<aA<aB D.aC＝aA>aB答案C解析A、B两点线速度大小相等，根据a＝eq\f(v2,r)，因rA>rB，则aA<aB；A、C两点角速度相等，根据a＝rω2，因rA>rC，则aA>aC，故aB>aA>aC。故选项C正确。【针对训练2】(2021·浙江杭州市高一期末)物体做半径不同的匀速圆周运动，它的加速度与半径的倒数关系如图所示，则该物体运动中下列哪个物理量保持不变()A.线速度大小 B.角速度大小C.转速 D.向心力大小答案A解析由图像可知，a与r成反比，则由向心加速度公式a＝eq\f(v2,r)可知，物体的线速度大小不变，故A正确；根据a＝ω2r知，若ω不变，a∝r，故B错误；根据a＝(2πn)2r可知，若转速不变，a∝r，故C错误；若向心力保持不变，向心加速度就不随半径变化，故D错误。探究3匀速圆周运动的动力学分析1.匀速圆周运动的条件：F合＝Fn。2.动力学方法应用步骤(1)对匀速圆周运动物体受力分析，求合力。(2)根据牛顿第二定律列式：Fn＝man＝mω2r＝meq\f(v2,r)。(3)求解相关物理量。【例3】如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心OO′转动，筒内壁粗糙，筒壁与中心轴OO′的夹角θ＝60°，筒内壁上的A点有一质量为m的小物块，A离中心轴OO′的距离为R，重力加速度为g。求：(1)当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；(2)当物块在A点随筒做匀速转动，且其受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度。答案(1)eq\f(1,2)mgeq\f(\r(3),2)mg(2)eq\r(\f(\r(3)g,3R))解析(1)当筒不转动时，对物块进行受力分析如图。则FNsinθ＋fcosθ＝mgFNcosθ＝fsinθ由以上两式解得FN＝mgsinθ＝eq\f(\r(3),2)mgf＝mgcosθ＝eq\f(1,2)mg。(2)物块随筒匀速转动，其受到的摩擦力为零时，FNcosθ＝mω2RFNsinθ＝mg由以上两式解得ω＝eq\r(\f(g,Rtanθ))＝eq\r(\f(\r(3)g,3R))。【针对训练3】如图所示，将小球穿在硬杆上，硬杆与竖直轴线OO′的夹角为53°，使硬杆绕OO′匀速转动，此时小球相对于硬杆静止在某一位置上，且与硬杆之间没有摩擦，小球质量为0.1kg，已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，g取10m/s2。求：(1)杆对小球的弹力大小；(2)小球做圆周运动的角速度ω与其离O点距离x的关系式。答案(1)1.25N(2)ω＝eq\f(5,4)eq\r(\f(6,x))rad/s解析对小球受力分析如图(1)竖直方向由平衡条件可得FNsin53°＝mg，解得FN＝1.25N。(2)水平方向有FNcos53°＝mω2r，其中r＝xsin53°解得ω＝eq\f(5,4)eq\r(\f(6,x))rad/s。【题型示例】图甲为游乐场的悬空旋转椅，可抽象为如图乙所示模型，已知绳长L＝5m，水平横梁L′＝3m，小孩质量m＝40kg，整个装置可绕竖直轴匀速转动，绳与竖直方向夹角θ＝37°，小孩可视为质点，g取10m/s2，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：(1)绳子的拉力大小；(2)该装置转动的角速度；(3)增大转速后，绳子与竖直方向的夹角变为53°，求此时装置转动的角速度。【模型分析】圆锥摆模型(1)运动分析：小球在水平面内做匀速圆周运动。(2)受力分析：只受两个力作用，即竖直向下的重力以及沿摆线方向的拉力。(3)力与运动关系分析①水平面(轨道平面)方向F合＝ma向，即mgtanθ＝meq\f(v2,lsinθ)②竖直面(垂直于轨道平面)方向Fcosθ＝mg。【建模思路】(1)将实际运动情境转化为平面示意图。(2)通过运动分析和受力分析看是否符合圆锥摆特点。(3)利用分解思想①在匀速圆周运动轨道平面方向列牛顿第二定律方程。②在垂直匀速圆周运动轨道平面方向列平衡方程。【规范解析】答案(1)500N(2)eq\f(\r(5),2)rad/s(3)eq\r(\f(40,21))rad/s解析(1)小孩受力情况如图所示由于竖直方向受力平衡，有Fcosθ＝mg代入数据得F＝500N。(2)小孩做圆周运动的半径r＝L′＋Lsin37°＝6m由Fsinθ＝mrω2，代入数据解得ω＝eq\f(\r(5),2)rad/s。(3)此时半径为r′＝L′＋Lsin53°＝7m由mgtan53°＝mr′ω′2解得ω′＝eq\r(\f(40,21))rad/s。【模型拓展】1.(向心加速度的理解)(多选)关于圆周运动中的向心加速度，以下说法中正确的是()A.向心加速度越大，说明做圆周运动的物体线速度的大小变化越快B.向心加速度越大，说明做圆周运动的物体线速度的方向变化越快C.向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直D.在匀速圆周运动中向心加速度是恒量答案BC解析向心加速度是描述做圆周运动的物体线速度方向变化快慢的物理量，向心加速度越大，说明做圆周运动的物体线速度的方向变化越快，选项A错误，B正确；向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直，选项C正确；在匀速圆周运动中向心加速度方向不断变化，不是恒量，选项D错误。2.(向心加速度与其他物理量的关系)(多选)(2021·甘肃天水市高一期中)对于匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是()A.由an＝eq\f(v2,r)知，向心加速度an与半径r成反比B.由an＝eq\f(4π2,T2)r知，向心加速度an与半径r成正比C.由ω＝eq\f(2π,T)知，角速度ω与周期T成反比D.由an＝ω2r知，当角速度ω一定时，向心加速度an与半径r成正比答案CD解析由an＝eq\f(v2,r)知，线速度不变时，向心加速度an与半径r成反比，选项A错误；由an＝eq\f(4π2,T2)r知，周期不变时，向心加速度an与半径r成正比，选项B错误；由ω＝eq\f(2π,T)知，角速度ω与周期T成反比，选项C正确；由an＝ω2r知，当角速度ω一定时，向心加速度an与半径r成正比，选项D正确。3.(向心加速度与其他物理量的关系)甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为4∶9，转动的周期之比为3∶2，则它们的向心加速度之比为()A.3∶2 B.16∶81C.4∶9 D.9∶4答案B解析根据向心加速度公式a＝eq\f(4π2r,T2)，代入数据可得eq\f(a甲,a乙)＝eq\f(16,81)，故B正确，A、C、D错误。4.(匀速圆周运动的动力学分析)(2021·石家庄精英中学高一月考)甲、乙两名花样滑冰运动员M甲＝40kg，M乙＝60kg，面对面手拉手绕他们连线上某一点做匀速圆周运动，角速度均为5rad/s，如图所示。若两人相距1.5m，不计冰面对人的摩擦力，求：(1)甲做圆周运动的半径；(2)乙做圆周运动的线速度为多大；(3)甲对乙的拉力大小。答案(1)0.9m(2)3.0m/s(3)900N解析(1)甲、乙两名运动员受到的拉力提供向心力，由于相互的拉力大小相等，根据牛顿第二定律得M甲R甲ωeq\o\al(2,甲)＝M乙R乙ωeq\o\al(2,乙)由于甲、乙两名运动员面对面手拉着手做圆周运动的溜冰表演，所以ω甲＝ω乙已知两人相距1.5m，即R甲＋R乙＝1.5m所以两人的运动半径R甲＝0.9m，R乙＝0.6m。(2)两人的角速度相同，ω甲＝ω乙＝5rad/s。根据线速度v＝ωr得乙的线速度是v乙＝ωR乙＝5×0.6m/s＝3.0m/s。(3)甲对乙的拉力提供乙的向心力F＝M乙ω2R乙＝60×52×0.6N＝900N。课时定时训练(限时35分钟)题组一向心加速度的理解1.(2020·广州实验学校高一月考)关于向心力和向心加速度的说法中正确的是()A.做匀速圆周运动的物体其向心力是恒定不变的B.向心力不改变做圆周运动物体的线速度的大小C.做圆周运动的物体所受各力的合力一定是向心力D.向心加速度时刻指向圆心，方向不变答案B解析做匀速圆周运动的物体，向心力的方向始终指向圆心，其向心力是变力，故A错误；向心力的方向始终沿着半径指向圆心，与速度方向垂直，只改变速度的方向，不改变速度的大小，故B正确；非匀速圆周运动，合力指向圆心的分力提供向心力，物体所受各力的合力并不一定是向心力，故C错误；向心加速度的方向始终沿着半径指向圆心，方向改变，故D错误。2.关于做匀速圆周运动物体的向心加速度的方向，下列说法中正确的是()A.与线速度方向始终相同B.与线速度方向始终相反C.始终指向圆心D.始终保持不变答案C解析向心加速度的方向与线速度方向垂直，始终指向圆心，选项A、B错误，C正确；做匀速圆周运动物体的向心加速度的大小不变，而方向时刻变化，D错误。题组二向心加速度与其他物理量的关系3.(多选)(2021·湖北葛洲坝中学月考)关于质点做匀速圆周运动，下列说法正确的是()A.由a＝ω2r可知，a与r成正比B.由a＝eq\f(v2,r)可知，a与r成反比C.当v一定时，a与r成反比D.由ω＝2πn可知，角速度ω与转速n成正比答案CD解析利用a＝eq\f(v2,r)和a＝ω2r来讨论a与r的关系时应该先明确v与ω的情况，不能单从数学关系出发，故选项A、B错误，C正确；由ω＝2πn可知，式中的2π是常数，故ω与n成正比，选项D正确。4.甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为3∶4，在相同的时间里甲转过60圈，乙转过45圈，则它们的向心加速度之比为()A.3∶4 B.4∶3C.4∶9 D.9∶4答案B解析根据公式an＝ω2r及ω＝eq\f(Δθ,Δt)＝eq\f(2π,T)知eq\f(a甲,a乙)＝eq\f(r甲,r乙)×eq\f(Teq\o\al(2,乙),Teq\o\al(2,甲))，而T甲＝eq\f(t,60)，T乙＝eq\f(t,45)，所以eq\f(a甲,a乙)＝eq\f(3,4)×eq\f(602,452)＝eq\f(4,3)，选项B正确。5.(多选)(2021·河北高一学业考试)如图所示，风力发电机叶片上有M、N两点，其中M在叶片的端点，N在另一叶片的中点。当叶片匀速转动时，下列说法正确的是()A.M点的角速度等于N点的角速度B.M点的角速度大于N点的角速度C.M点的向心加速度等于N点的向心加速度D.M点的向心加速度大于N点的向心加速度答案AD解析M、N两点属于同轴转动，故他们的角速度相等，A正确，B错误；根据a＝ω2r，M点转动半径大于N点的转动半径，M点的向心加速度大于N点的向心加速度，C错误，D正确。6.(多选)某同学放飞了一只纸飞机，恰好在空中盘旋，若近似认为纸飞机以速率v在水平面内做半径为r的匀速圆周运动，则关于纸飞机的向心加速度的说法正确的是()A.大小为eq\f(v2,r)B.大小为g－eq\f(v2,r)C.方向在水平面内D.方向在竖直面内答案AC解析向心加速度的大小an＝eq\f(v2,r)，方向在水平面内，故A、C正确，B、D错误。7.(2021·湖南会同一中高一期中)A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动(如图)，在相同的时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们()A.线速度大小之比为3∶2B.角速度大小之比为4∶3C.圆周运动的半径之比为2∶1D.向心加速度大小之比为2∶1答案D解析根据v＝eq\f(Δs,Δt)和ω＝eq\f(Δθ,Δt)可知线速度之比为4∶3，角速度之比为3∶2，选项A、B错误；由v＝ωr知半径之比为8∶9，选项C错误；根据an＝ωv可判断向心加速度大小之比为2∶1，选项D正确。题组三匀速圆周运动的动力学分析8.(2021·南阳市高一下学期期末)如图所示，长为L的细绳一端固定于O点，另一端系一个小球，在O点的正下方钉一个光滑的小钉子A，小球从一定高度摆下，当细绳与钉子相碰时，钉子的位置距小球eq\f(L,4)，则细绳碰到钉子前、后瞬间()A.绳对小球的拉力大小之比为1∶4B.小球所受合力大小之比为1∶4C.小球做圆周运动的线速度大小之比为1∶4D.小球做圆周运动的角速度之比为4∶1答案B解析细绳碰到钉子前、后瞬间线速度大小不变，即线速度大小之比为1∶1，半径变小，根据v＝ωr得知，角速度之比为1∶4，故C、D错误；根据F合＝F－mg＝meq\f(v2,r)，则合力之比为1∶4，选项B正确；拉力F＝mg＋meq\f(v2,r)，可知拉力之比eq\f(F1,F2)＝eq\f(g＋\f(v2,L),g＋\f(4v2,L))＝eq\f(gL＋v2,gL＋4v2)≠eq\f(1,4)，选项A错误。9.如图所示，两个质量相同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做同方向的匀速圆周运动，则它们的()A.向心力大小相同B.运动周期不同C.运动线速度大小相同D.运动角速度相同答案D解析对其中一个小球受力分析，如图所示，受重力，绳子的拉力，由于小球做匀速圆周运动，故合力提供向心力；将重力与拉力合成，合力指向圆心，由几何关系得合力F＝mgtanθ，①θ不同，则F大小不同，故A错误；由向心力公式得F＝mω2r，②设小球与悬挂点间的高度差为h，由几何关系，得r＝htanθ，③由①②③得，ω＝eq\r(\f(g,h))，可知角速度与绳子的长度和转动半径无关，两球角速度相同，故D正确；又由T＝eq\f(2π,ω)可知两球运动周期相同，故B错误；由v＝ωr可知，两球转动半径不等，线速度大小不同，故C错误。10.(2021·浙江杭州市高一期末)转篮球是一项难度较高的动作技巧，其中包含了许多物理知识。如图所示，假设某同学能让篮球在手指上(手指刚好在篮球的正下方)做匀速圆周运动，下列有关该同学转篮球的物理知识正确的是()A.篮球上各点做圆周运动的圆心在手指上B.篮球上各点的向心加速度方向都指向球心C.篮球上各点做圆周运动的角速度相同D.篮球上各点离转轴越近，做圆周运动的向心加速度越大答案C解析篮球上的各点做圆周运动时，是绕着转轴做圆周运动，圆心均在转轴上，故A错误；篮球上各点的向心加速度应该指向运动时所在圆周的圆心，故B错误；篮球上的各点绕同一转轴做圆周运动，故角速度相同，故C正确；由于各点转动的角速度相同，根据a＝ω2r可知篮球上各点离转轴越近，做圆周运动的向心加速度越小，故D错误。11.(2021·甘肃天水一中高一段考)如图所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘的a点和轮4边缘的c点相比()A.线速度之比为1∶4B.角速度之比为4∶1C.向心加速度之比为8∶1D.向心加速度之比为1∶