2025届高考数学二轮复习专题12平面向量综合必刷100题教师版

专题12平面对量综合必刷100题

任务一:和善模式（基础）1-30题

一、单选题

1.已知〃工10,向量"=匕=（一2,〃?），若|a+〃H”-〃I，则实数”=（）

A.±72B.&C,-2D.2

【答案】D

【分析】

由b+加叫,可得£$=o,用坐标表示数量积，即得解

【详解】

由|。+〃|=|。一〃I

可得（“+by=（a-by

-2--2-2---2«•

：.a+2tih+b=a-2a,b+b：.ab=O

ab=-2m+mn=0»因为〃工0,所以〃=2.

故选：D

2.设A8c中HC边上的中线为A。，点。满意AO=-2OO,则OC=（）

A.--AB+-ACB.-AB--AC

3333

i-2-2—I

C.-AB——ACD.——AB+-AC

3333

【答案】A

【分析】

由中线向量公式得到4O=g（AB+4cj：由AO=-2。0,利用线型运算得到人。=：,

进而利用向量的减法运算OC=40-40得到结论.

【详解】

因为A8C中8c边上的中线为八O,

所以AO=；(/W+AC),

因为AO=-200，所以AO=20。，

所以八0=2(人。一人O),

—•7—?1一-1

川T以=-4。=一x一(A8+AC)=-(AB+AC),

3323

11|2

所以OC=AC-AO=AC工=AB+QAC.

JJJJ

故选：A.

3.若平面对量〃也(•两两的夹角相等，且|。|=|们=l,|c|=3,则|“+)+c|=()

A.2B.5C.2或5D.衣或不

【答案】C

【分析】

分类探讨，再由向量求模公式，即可求解.

【详解】

当仇。两两的夹角均为0°时，明显|a+"c|=5：当a也c两两的夹角均为120°时,

\a+b+c\=\la'+b+c~+2a•/?+2a,c+2〃,c=2，

故选：C.

4.在菱形八8C。中，M、N分别是BC、C。的中点，若AZ?=2,/。八8=?,则..从N=

()

A.0B.：C.4D.

22

【答案】B

【分析】

2

以==b为基底表示有关向量，然后利用数量积的运嵬和定义求解.

【详解】

设A3=a,4。=/?,则闷=网=2,“♦力=2x2xcosy=2-

.•.OM.AN=(OC+CM).(AD+ON)=m.(0+q]=9-l^-+3a.〃=3'

\M2I2)2242

故选:B.

5.如图，点。在半径为2的八8上运动，1oc=mOA+nOB，则利+〃的最大值

为()

2/

rV*-----

3

【答案】C

【分析】

建立适当的坐标系，设NAOC=a,利用向量的坐标运算得到“〃与。的关系，进而得到

研〃关于。的三角函数表达式，利用协助角公式整理后，依据三的函数的性质求得其最大值.

【详解】

3

以0为原点、0A的方向为X釉的正方向，建立平血直角坐标系，

则有OA=(2,0),OB=(1,B.

设ZAOC=a,则OC=(2cosa,2sina).

2/〃+〃=2cosa

由题意可知｛r-c.

,3〃=2sina

.273.(乃、

所以〃?+〃=cosa+——sina=---sina+—.

33I3J

因为aw0,-j,所以a+^w~^,~Y，

故加+〃的最大值为名叵.

3

6.已知向量”,方满意|々|=1,|〃|=五"〃=1,贝ij“-占与〃夹角为()

24卜3兀八*r兀

A.彳B,C.-D.-

【答案】B

【分析】

先求得，-4,再利用向量夹角公式，结合向量数量枳的运算计算即可得到答案.

【详解】

p-Z?|=a-2a-b+b=1-2+2=1»

rr

(i-b=1,

（a-=a•=1-2=-1

所以8'卜-4&）=告瑞=品=-¥'

4

故向量a-b与〃的夹角为下.

4

故选:B.

7.已知。=(-1.2),1=(1,3),,则2〃-人在"〃方向上的投影为()

A.1B.5C.叵D.x/5

2

【答案】A

【分析】

由〃力的坐标求出(2a-叶伍+。)和口+可，进而利用投影的定义求解即可.

【详解】

V«=(-l,2),力=(1,3),

则2。_)=(_3,1),a+力二(0,5)

I.(2a-b)(a+/>)=5,卜+0=5,

(2a-b\(a+b\

二2〃一6在a+8方向上的投影为：-~ir2-fr一-=1.

故选:A.

8.在中，A8=2,AC=3,且UImA8UIMJUC=3,则I|人。-丸州(2c2取最小值时2的值

为()

A3R33G

4424

【答案】B

【分析】

对,。-74耳平方，利用平面对量的数量积公式和已知条件，可知

5

AC—/M8[=4(4-qJ+等，依据二次函数的性质，即可求出结果.

【详解】

因为k0一/1时=,可+万阿-2/148.从0=祝2_6%+9=4(/1—()+y

所以当2=1时，,C-4Aq(/ieR)取最小值.

故选：B.

9.在一4?。中，点。是线段3c上靠近点。的三等分点，点E在线段人。上，AE.ED=3:5t

贝J|E8+EC=()

1——33-1

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2442

I一233.

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4342

【答案】B

【分析】

依据平面对量的二角形法则可得E8=4B-4£EC=AC-AE,进而

m+EC=AB+AC-2AE，再依据AE：瓦＞=3:5和点。是线段8C上靠近点C的三等分点,

利共线定理可得AE="/)，CD=；CB,再结合平面对量的三角形法则，即可求出结果.

83

【详解】

依据题意，作出图形，如图所示.

因为£8=AB-AE,EC=AC-AE

所以EB+EC=A3—AE+AC—AE=A8+AC-24E

6

3

又AE:ED=3:5,所以=

o

aa____QI

所以£8+£右=48+八。-2/^=48+八。-二(43+。。)=48-二。0+—人右

44V/44

又点。是线段3c1上靠近点C的三等分点，所以CO=gcB,

所以EB+EC=AB-±x±C8+±4C=A8+-AC-L(A8-AC)=」A8+-4C.

43444、f42

故选:B.

10.己知点M(2.4),若过点N(4,0)的直线J交圆于G(x-6)2+V=9于48两点，则

|MA+M81的最大值为()

A.12B.8&C.10D.6>/2

【答案】A

【分析】

设出AB的中点P(x,y),依据垂径定理即可求出点P的轨迹方程是以(5,0)为圆心，1为半径

的圆，再利用圆的性质求出IMPI的最大值，再由向量的运算性质即可求解.

【详解】

由已知圆的方程可得：圆心。(6,0),半径为r=3,

设/W的中点为P(x,y),则由圆的性质可得：NP_L。，

即NPCP=0，而NP=(x-4,y),CP=(x-6,y)»

所以(x-4)(x-6)+y2=0,

即点P的轨迹方程为(x-5)2+)，2=1,

设E为NC的中点，则?(5.0),半径为1,

所以|MP|的最大值为眼目+1=J(2-5f+42+1=5+1=6,

又|MA+MB|=2|MP|,

7

所以IM4+MBI的最大值为12,

故选：A

11.以下四个命题中正确的是（）

A.若OP=；OA-；OB,则P,AB三点共线

B.若,,b,c|为空间的一个基底，则｛a+4〃+c,c、+d构成空间的另一个基底

C.|（。创十=4忡，

D.A4C为直角三角形的充要条件是A3AC=0

【答案】B

【分析】

对于A,。，A,4三点共线时，0尸=ZOA+〃OBQ+〃=1）,故从不正确：

对JB,a+〃,〃+c,c+a不共线，所以｛a+〃,〃+c,c+”｝构成空间的另一个基底，故6正

确：

对JC，|（。/）|。我示与c共线的向量，叱忖•，表示与a共线的向量，故C不正确；

对于。，48人右=0时，ZA为直角，反之也可以是DA,NC为直角，故。不正确.

【详解】

对于A：P、A，3三点共线时，OP=WA+/iOB（A+/t=\）,

-OP=-OA--OB,

23

;.P，A,8三点共线不成立，故A不正确；

对于B：若｛小仇引为空间的•个基底，

则不共线，

a+b.b+c,c+a下共线，

8

优+力2+c,c+a｝构成空间的另一个基底，故B正确;

对于C假设|(〃囱.0=州阳，

不妨设|(。而卜”"用。卜"，

则me=na，

因为向量不肯定共线，故C不正确：

对于D,ABAC=O时，为直角，

故《48c为直角三角形，反之也可以是D8,NC为直角，

故D不正确.

故选：B.

12.已知向量〃、人满意卜+4=W，且同=2,贝山在〃方向上的投影是()

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】D

【分析】

II

在等式,+。|=|同两边同时平方，求出〃.〃的值，进而可得出〃在a方向上的投影为加

【详解】

•・•忖=2,在等式卜+耳=%两边平方并化简得a+2a-/?=()»ah=-^-=-2»

ab,

因此，〃在a方向上的投影为TT=T.

故选:D.

13.在△胸中，己知止3,405,△胸的外接圆圆心为0,贝IJAO.8C=

A.4B.8C.10D.16

9

【答案】B

【分析】

画出图形，并将。和AC中点D,。和A5中点E连接，从而得到OD_LAC,OE工AB,依

据数量积的计算公式以及条件即可得出40MC=W?5，AOAB=9^从而

22

AOBC=AO（AC-AB）,从而可得到AO•BC的值.

【详解】

如图，取AC中点。，A8中点E,并连接OQ,0E,

则OO_LAC,OELAB,

22s

/.AOAC=-AC=—,

22

OSQ

AOBC=AO(AC-AB]=AOAC-AOAB=-----=8.

''22

故选：B

14.已知向量”与向量。不共线，力=(1.1),对随意feR,恒有卜一加上|。-劝|,贝IJ()

A.albB.C.方_L(a—劝)D.(a+2b)_L(a-2/))

【答案】C

10

【分析】

设向量〃的坐标为(x,y)，代入题中向量等式，解出MJ，之间的关系式，再逐项验证答案.

【详解】

设4=(.1,y),则“―/力=(%_/,y-r),o-2/?=(x-2,y-2)

2222

.•.,一/2,一劝]可化简为(x-t)+(y-r)>(x-2)+(y-2)

依据题意，WfGR,(x-f)2+(y-f『》(x-2)2+()，-2『恒成立

即，DfeR,产一(x+)，)f+2(x-y)—420恒成立

.,.♦=(.¥+y)2-4x2[(x+y)—4】40,用孕得x+y=4

ah=(只句，)=x玲H)。，选项A错误：

a(4-2Z?)=(x,y)[.">2,)=2r2+y2-(x2-y)*,选项B错误；

/>p-2/7)=(l,lX-^-)，及,)=9+)』=S选项C正确：

(d-2b)(a+/£)=(£Wy-)(2,+2+)=X?+W-0H,选项D错误.

故选：C.

15.如图所示，矩形ABC力的对角线相交于点。，点E在线段03上且。£=：。8,若

AE=ZAB+pAD(A,〃wR),则2一〃=()

11

【答案】A

【分析】

2I

以为基底表示出八E,求得//=-,从而确定正确答案.

【详解】

因为四边形A3CQ为矩形，OE=goB,所以OE=：D8=：（/仍—AD）,所以

AE=AD+DE=AO+：（A3—AO）=|A8+gAQ,因为AE=2A5+〃AD（4,//eR）,

21211

所以4=3，〃=§'所以义一"=5-5=I，

故选：A

二、多选题

16.已知平面对量。A、OB、0C为三个单位向量，且04.08=0，若OC=xOA+yOB

（x,ycR）,则x+F的取值可能为（）

A.--B.1C.72D.73

2

【答案】ABC

【分析】

建立如图坐标系，以向晶。4、。8作为一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点C

12

(cosasin。)(0表示由x轴非负半轴旋转到17所形成的角)构成的向量oc，0e[O,2/r),

求出。4、08、0C的坐标，列出等式，结合两角和的正弦公式和正弦函数的值域即可得出

结果.

【详解】

依题意，0A、03是•组垂直的单位向量，如图建立坐标系，

向量。4、0后作为•组垂直的单位基底可以表小不位国上任小《cosasin。)(。表示由*

轴非负半轴旋转到"所形成的角)构成的向量OC，040,2公，

因为OA=(LO),05=(0,1),OC=(cos，,sin9)，OC=xOA+yOB,

0+?),同0,2不).

所以x=cosO,y=sin6,故A+y=cos0+sin〃=41sin

故x+)，e卜"Jfj,故可以是选项中的-李，1,72.

故选:ABC.

17.下列说法中错误的是()

A.已知“=(1,-3),〃=(1,-3),则“与〃可以作为平面内全部向量的一组基底

B.若〃与。共线，则〃在8方向上的投影为|。|

C.若两非零向量a，b满意1。+“=|"-匕|,则aJ_b

D.平面直角坐标系中，41J),8(4,2),C(5,0),贝心月加?为锐角三角形

【答案】ABD

【分析】

结合向量基底定义，投影的运兑，及模的转化，夹角的运第分别检验各选项即可推断.

13

【详解】

对于A,b=a,所以4〃力，故不能作为平面内全部向量的一组基底，A错误:

对于B,“与8共线，则〃在〃方向.上的投影为±1。1，所以B错误：

对于C,两非零向量”，人满意1。+勿=|"-/)|,则|6+邸=O,则a_L〃,

C成立：

对于D,A(l,l),8(4,2),C(5,0),则初=(3,1),ZJC=(1.-2),AC=(4,-1),

cos<AB,AC>=-:------------=—)=-f=>0.

\A13\\AC\VK)VI7

ABCH-1c

cos<AB,CH>=--------------=—f=-r=<0,

\AB\-\CB\V1()V5

»“BCAC5

cos<BC.AC>=---------------=—f=-f=>0A,

|BC|-|4C|拒

所以D8为钝角，

则，A4C为钝角三角形，D错误；

故选：ABD.

18.设“，。是两个非零向量，下列四个命题为真命题的是()

A.若外向=}4,则〃和〃的夹角为?

B.若+忖=|。+〃|,则〃和力的夹角为学

C.若卜+N=M+W，贝和3方向相同

D.若ab<0,则“和b的夹角为钝角

【答案】ABC

【分析】

利用向量加减法的几何意义，推断A、B的正误：两向量模的性质推断C,由向量的夹角与

14

数量枳回的关系判定推断I).

【详解】

解：|4=忖=,一人|，a，b，a-b构成等边三角形，A正确：

卜卜W=|a+q由向量加法的平行四边形法则可知，”和^，的夹角为B正确：

1+目=恸+忖=>1+42=(口+忖)="力=,卜忖n(a,b)=0,则〃与〃同向，C正确:

若£石<。则£和方的夹角为钝角或者兀，D错误,

故选:ABC.

19.在MAC中，有如下四个命题正确的有()

A.若人C.八8>0,贝LA8C为锐角三角形

B.若|成+8。卜卜q,则.ABC的形态为直角三角形

C.&AAC内一点G满意GA+GB+GC=O,贝UG是的重心

D.若PAPB=PBPC=PC,PA，则点P必为▲八8c的外心

【答案】BC

【分析】

对于A,由ACA3〉OuJ■得角A为锐角，从而可推断，对于B,对|曲+=,。|两边平方

化简，再结合余弦定理可得结论，对于C,由向量加法和共线及三角形重心概念推断，对于

D,由向量运算性质和三角形垂心概念可推断

【详解】

解：对于A,由ACMB>0,得卜4|4q8$4>0,所以cosA>0,所以角A为锐角，但不

能推断三角形为锐角三角形，所以A错误，

对于B,因为忸+财=罔，+2BABC+BC2=A(^»即

15

网斗心-AC『

网-+2网.|/JC|cos8+,C/=|AC|?,所以-cos8=cosB,得cos5=0,

2网

因为8c（0,m,所以8=],所以三角形为直角三角形，所以3正确，

对于C,因为GA+G8+GC=G，所以GA+GB=—GC，所以2G0=—GC（。为84的中点），

所以G,C,Q三点共线，所以点G在胡边的中线C。上，同理，可得点G在其它两边的中线

上，所以G是“8c的重心，所以C正确，

对于D,因为PAPB=PBPC，所以PAPB-PB，PC=0,PB（PA-PC）=PBCA=0,

以PBIGI,所以点尸在边a的高上，同理可得点尸也在其它两边的高上，所以点P为

.A8c的垂心，所以D错误，

故选:BC

20.已知向量他。是两个非零向量，在下列条件中，肯定能使力共线的是（）

A.2a-3〃=4e且。+2〃=-2e

B.存在相异实数人〃，使"-〃〃=0

C.xa+yb=0（其中实数％y满意X+y=。）

D.已知梯形地力，其中A8=a,CO=〃

【答案】AB

【分析】

选项4依据2a—36=4e〃+28=—2e，即可得出。=-4a,从而得出。，〃米线：选项8：可

得出4〃都不等于0,并得出4人从而得出。口共线：选项G当x=y=0,时，满意

选项的条件，明显得不出共线；对于选项〃：明显得不出“力共线.

【详解】

解：A.联立2〃一3/）=46和4+2/，=一26消去向量6可得出4〃+4=0.

b=—4a»且ah（）,所以a力共线.

16

8.都是非零向量，1工2。〃，大”曲=0,

所以。=今匕,

:.都不为0,所以。力共线.

C.当x=），=0时，满意x+y=O,此时对随意的向量都有xa+y〃=O,.•.得不出a〃

共线；

〃.•.•在梯形中/应与切不肯定平行，・••得不出共线.

故选：AB.

第口卷(非选择题)

三、填空题

21.已知在.A8c中，AB=3.AC=\,ZBAC=^,BD=DC,AE=2ED贝UCEZ?C=

3t

13

【答案】

O

【分析】

设AB=&AC=〃，依据B力=£>C4E=2E£>,得至U〃—〃利CE=；a—1/),结合向量的

数量枳的运算公式，即可求解.

【详解】

如图所示，设八8=«*=/九可得,耳=3,卜4=1,«©=2，

因为4D=OC,4E=2E。，可得8C=AC-A8=〃-“，

92I•I9.I9-

CE=AE-AC=-AD-AC=-x-(AB+AC)-AC=-AB--AC=-a一一b,

3323333

19-•--1-22-211213

所以Cf.8C=(_a—h){b-a)=ab—a—b=3xlx----x9—xl=---.

33332336

17

3

22.在八8C中，点D满意RD=^BC,当E点在线段AZ）上移动时，^AE=AAB+pAC

4t

则/=（/I-If+"2的最小值是.

9

【答案】—/0.9

【分析】

L1LB1HUU

依据题意画出图形，利用48,4。表示出A。，再设AE=A4/），04kVI；用k分别表示出

求出2与〃，再将其代入，=（/-iy+〃，可得，="-七十］,然后利用二次函数的性质即

82

可求1=（4-1）2+〃2的最小值.

【详解】

如图所示,

-3

“8C中，BD=-RC,

4

OO1

.・.AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB\=-AB+-AC,

18

inn]।nin

又点E点在线段AO上移动，设AE=*/AO，O<A:<1,

k一

：.AE=-AB+—AC,

44

f；k

A.=—

4

又AE=/IA3+〃AC,：.\；,

，A

HAj+传j片争，

29

.•.当时，，取到最小值，最小值为历.

故答案为:..

23.在/WC中，点〃是边8C的中点，点G在4。上，且是ABC的重心，则用向量AS、AC

表示BG为.

21I2

【答案】BG=——AB+-AC^BG=-AC——AB

3333

【分析】

依据三角形重:心的性质可知，AG=；(A3+AC),再依据向量减法8G=4G-人8即可求出.

【详解】

在4ABe中，点〃是边8。的中点，点。在入。上，且是S8C的重心，

9.7II

所以AG=—/W=—X—(A8+AC)=—(A8+AC),

3323

——1———2一1—

BG=AG-AB=-(AB+AC)-AB=一一AB+-AC.

333

21

故答案为：RG=--AB+-AC.

24.已知点G为△脑的重心，过G作直线与四JC两边分别交于两点，且AM=^AB，

19

AN=yACf求'的值为_______.

xy

【答案】3

【分析】

以AMAM为基底，由G是AA4c的重心和MG,1V三点共线，可得(+(=1，即求.

【详解】

依据条件：AC=-AN,AB=-AM,

yx

如图设〃为aI的中点，则+

22

因为。是MBC的重心，AG=^AD=-AB+^AC,

AG--AM+—4A(,

3x3y

又MG,N三点共线，

+]=即‘+'=3.

3x3yxy

故答案为：3.

25.如图，在菱形A3co中，AB=2»NHAD=«F.已知BE=；6C,DE=FC»EG=；EF,

贝IJAGEb=.

20

D

C

G

【答案爆

【分析】

利用向量的线性运算以及向量数量积的定义即可求解..

【详解】

因为=DF=FC，

所以AK=4〃+-4〃+■!■4D,AF^AD+DF^-AB-i-AD.

32

1.2.

所以"=AA'-A£=-—A8+-AD.

23

又EG=、EF,所以AG=，（AE+Ab）=3A4+2AO.

22V743

因为AB=2，ZBAD=HT,

所以人G.EF=（：A8+gAo]{-jA3+gA。]

3]4-2II

=--AB+-ABAD+-AD=—.

8698

故答案为：9

1o

四、解答题

26.已知同=4,1卜3,（2a—3〃）（2a-〃）=43.

（1）求〃与〃的夹角叫

⑵求卜+年

（3）若（a-O）_L（a+劝），求实数4的值.

【答案】

⑴8=%

（2）历

⑶丸罟

3

【分析】

（1）利用数量积的运算律即可求解：

（2）由（1）中的结果结合模平方之后转化为数量枳运算即可求解：

（3）由向量垂直得出数量积为零的等式，进而求出实数人的值.

（1）

解：•.•（2〃-3/4（2〃-/＞）=43即4--8公〃+3£=43

又因为同=4,冈=3

/.64-8X4X3cos〃+27=43,

/.cos^=—.

2

V^e[0,司，

：.0=-.

3

（2）

解：由（1）得k+b|=J（a+/»）2=小；+2ab+b，=^42+2x4x3x-i+32=737.

(3)

解：•.[〃-/))旦。+/1/)),

(a-〃).(a+Nb)=O,

•2...2

••a+Aab-ah-Ab=0

即42+Ax4x3xi-4x3x1-9A=0,

.•.3/1=10,

10

.・.X2=——.

3

27.已知已A,5是不共线的三点，ROP=mOA+nOB(min^R)

(1)若㈤■77=1,求证：A,P,8三点共线：

(2)若4P,8三点共线，求证：Ml.

【答案】(1)证明见解析：(2)证明见解析.

【分析】

(1)由，〃+〃=1原式可代换为OP=〃QA+(1—〃?)O3,再由。户=[切+(1-，叨。儿两式联立

变形即可求证：

(2)由爪〃,4三点共线，可得AP=2PB，变形得。夕-。八=4。8-04，整理成0户关于。408

的表达式，再结合+“小，由对应关系即可求证

【详解】

(1)证明：

若炉炉1,则OP=/〃OA+(1-冽)08,OP=[〃i+("，〃)]OP,

mOP+(\-m)OP=mOA+(\-fn)OB,g|jm(0P-0A)=(\-m)(0B-0P),

〃MP=("〃j)P8,即人P,8P共线，又AP,8P有公共点，则月，化8三点共线:

(2)证明:

23

若4P,8三点共线，则存在实数，使得AP=2P8,变形得。夕-以=斗用-OP),即

{\^Z)OP-AOB+OA,OP=20：+。八=,丈OP=〃QA+“OB,T"r+T~r=*»故

14-2I+A1+21+x1+x

m+n=\

28.如图，己知〃,£尸分别为5次?的三边AC,AC,"的中点，求证：AD+BE+CF=0.

【答案】证明见解析

【分析】

利用向量加法的三角形法则，在图形中找寻回路，即可证明.

【详解】

由题意知A。=AC+C/)，BE=BC+CE，CF=CB+BF»

由题意可知EF=CO，BF=FA.

：.AD+BE+CF=(AC+CD)-F(BC+CE)+(CB+BF)

=(AC+CO+CE+»)+(4C+C8)

=(AE+EC+CO+CE+3F)+0

=AE+CD+BF=AE+EF-¥FA=O.

29.已知向量04=(3,-4),。8=(6,-3),OC=(5-m,-3-m).

24

(1)若点A,B,C能够成三角形，求实数"，应满意的条件；

(2)若，A/C为直角三角形，且ZA为直角，求实数机的值.

【答案】⑴〃，■：(2)〃1=:

【分析】

(1)点A,B,C能构成三角形，则这三点不共线，即A8与"C不共线，利用向量共线的坐

标公式计算即可.

(2)AAHC为直角三角形，ILNA为直角，则48_LAC，利用向量的数量积坐标公式计算即

可.

【详解】

(1)已知向量04=(3,-4),。8=(6,-3),OC=(5-〃?,-3-〃?j,

若点A,B,C能构成三角形，则这三点不共线，即48与6C不共线.

LUU

A8=(3,l),AC=,

故知工2-〃?，

・•・实数，〃工;时，满意条件.

(2)若4ABe为直角三角形，.且乙4为直角，则A6_LAC，

3(2-〃?)+(1-"?)=0,

解得，〃二.

4

30.设ABC的内角4B,。的对边长a,b,c成等比数列，2ccs(A-C)-2sin^+=1,

延长月C至〃使B£>=3.

(1)求DB的大小；

⑵求作荀的取值范围.

25

【答案】(1)£:(2)(。,卷

【分析】

(1)先依据2cos(A-C)-2sin('+B卜1,得到cosAcosC=：：①再结合。,反。成等比数

列得到sin23=sin人sinC：②二者联马上可求出DB的大小；

(2)上面的二者联立求得A=C,得到其为正三角形，再结合二次函数的性质即可求得结

论.

【详

(1)依题可得：cos(A-C)-cosfi=—,/.cos(A-C)+cos(A+C)=—,

22

cosAcosC=；①

又因为长a,力，c成等比数列，所以。2=双，由正弦定理得：sin28=sin4sinC②

①一②得：--sin2/^=cosAcosC-sin4sinC,

4

化简得：4cosn3+4cosB-3=0，解得：cos8=g,又0<8<%，所以8=q,

(2)①+②得：cos(y4-C)=l,即A—C=O,即丹=。，即三角形A3C为正三角形，

设.ABC的边长为x,由已知可得0<x<3,

UUUHIV.lainULM7rI

则-CDcosZACD)=X(3-A)COS—=—X(3-J)

32

99\<9

"--€a-3

47<8(当且仅当％时取等号).

IUJULHM1I9

ACCO的】仅值范围［。柒

26

任务二:中立模式(中档)1-40题

一、单选题

1.设八b、£为非零不共线向量，若卜-%+(一)〃卜|。-。|小/?),则()

A.(a+〃)_L(a-c)B.(a+))_L()+c)

C.D.(4-C)_LR+C)

【答案】D

27

【分析】

由题意化简得到卜-c+(lT)(c+〃)/2|a-cf,整理得

(〃+c)2产-2|(%+。)2+(〃+。).5-。"+俗+。尸+2(〃+3-(。-4之0恒成立，结合二次函数的

性质，结合AWO,即可求解.

【详解】

由向量0、〃、C为非零不共线向星，若,一川十(1一，)小卜

贝1巾一"(17)9+〃)卜,一目，可得,_c+(l-f)(c+时讣

化简得(1T)2(C+方)2+2(1T)(C+(a-c)NO,

即(b+c)2t2-2[(b+c)2+(b+c)(a-(?)]/+(b+c):+2(b+c)•(£-&N0恒成立，

令(b+")，2-2[区+1)2+(b+c)(a-c)]r+(b+c)2+2(b+c)-(a-c)=0,

则△=41(/?+c)2+(h+c)•(n-c)]2-4(6+c)2•[(/?+c)2+2(/?+c)(a-c)J

=4|(/?+C)-(«-C)J2<0,即S+C)-(“-C)=(),

所以(a_c)_L(O+c)

故选：D.

2.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-2),若动点M满意需=正，则OMON

的取值范围是()

A.[-2,2]B.[Y4]C.[<6]D.[-2,6]

【答案】D

【分析】

设M(x,y),求出动点轨迹方程，然后用.；.用换元法衣小出苑九计算血.丽，并由两角

和的正弦公式变形，由正弦函数性质求得范围.

【详解】

28

设M(x,y)t则由假=日得J/的方程为/+()-2)2=8,设历(2缶os6,2+2缶而〃卜

〃+扑卜2,6].

故选：D.

3.已知48CD是边长为2的正方形，P为平面A8CD内一点，则卜A+啊PC的最小值是

()

A.—2B.—C.-3D.—4

2

【答案】B

【分析】

依据给定条件建立平而直角坐标系，利用向量运算的坐标表示即可计算作答.

【详解】

八8。。是边长为2的正方形，则以点力为原点，直线仍业?分别为x轴，y轴建立平面直

角坐标系，如图：

则A(0,0),B(2,0),C(2,2),设点P(x,y),

PA-(-x,-y),PB=(2-x,-y),PC=(2-x,2-j)»

于是得:(PA+PB)-PC=(2-2x-2y)-(2-2-^)=2(x-l)(x-2)+2y(y-2)=

2(x-1)2+2(y-l)2-|,

当x=',y=l时，(PA+PBAPC1取得最小值一3，

29

5

所以(PA+P8)PC的最小值是

故选：B

4.已知点。为正AAC所在平面上一点，且满意OA+2O8+(l+/i)OC=0,若"MC的面积

与.049的面积比值为1:4,则以的值为(